Serie 4

MMP I – HERBSTSEMESTER 2016 – PROF. DR. CHRISTOPH KELLER
SERIE 4
1. Aufgabe: Eigenschaften der Fourier–Transformation
n
Seien f, g : R → C Lebesgue integrierbar, α, β ∈ C. Zeigen Sie:
\
(a) (αf
+ βg) = αfb + βb
g.
−n ˆ
[
(b) f (α·)(k) = |α| f (k/α), falls α 6= 0.
(c) fˆy (k) = fˆ(k)e−iky , fy (x) = f (x − y) und y ∈ Rn .
R
R
(d) f ĝ, fˆg sind integrierbar und Rn fˆgdx = Rn f ĝdx
ˆ(−k)
(e) fˆ(k) = f¯
n
1
ˆ
(f) ∂d
j f (k) = ikj f (k) falls f ∈ C0 (R ).
2. Aufgabe: Beispiele zur Fourier–Transformation
(a) Berechnen Sie die Fourier–Transformation von
f (x) = sin(x)χ[−π,π] .
(b) Berechnen Sie die Fourier–Transformation von
(
e−x , falls x ≥ 0
f (x) =
0,
sonst.
(c) Berechnen Sie die Fourier–Transformation von
f (x) = e−|x| cos(x).
(d) Sei a > 0. Berechnen Sie die Fourier–Transformation von
(
1, |x|, |y| ≤ a
f (x, y) =
0, sonst.
(e) Berechnen Sie die Fourier–Transformation von
(
1, 0 ≤ x ≤ y ≤ 1
f (x, y) =
0, sonst.
(f) Berechnen Sie die Fourier–Transformation von
f (x, y) = e−x
2
−y 2 −xy
.
3. Aufgabe: Dreiecksungleichung für Lp –Normen
(a) Sei 1 ≤ p < ∞, t ∈ [0, 1] und a, b ≥ 0. Zeigen Sie
(ta + (1 − t)b)p ≤ tap + (1 − t)bp .
(b) Sei 1 ≤ p < ∞. Die Lp –Norm einer Funktion f ∈ Lp (R) ist gegeben durch
Z ∞
p1
p
kf kp =
|f (x)| dx .
p
−∞
p
Seien f, g ∈ L (R). Zeigen Sie, dass f, g ∈ L (R) und
kf + gkp ≤ kf kp + kgkp .
1
2
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4. Aufgabe: Das Wick–Theorem
In dieser Aufgabe wollen wir alle Momente von Gauss–Funktionen berechnen. Für ungerades n
definieren wir die Doppelfakultät n!! = n(n − 2) · · · 5 · 3 · 1.
(a) Sei c > 0. Zeigen Sie:
1
√
2πc
Z
2
n − x2c
x e
R
(
0
falls n ungerade
dx =
n
(n − 1)!!c 2 , falls n gerade
(b) Nun verallgemeinern wir das Ergebnis aus Teil a) auf allgemeine Dimensionen. Sei C = (cij )i,j=1,...,d
eine symmetrische, positiv definite d × d Matrix. Seien j1 , . . . , jn ∈ {1, . . . , d}, dann gilt:
Z
−1
1
1
xj1 xj2 . . . xjn e− 2 (x,C x) dx1 . . . dxd
d√
(2π) 2 det C Rd
(
0,
falls n ungerade
= P
σ cjσ(1) jσ(2) . . . cjσ(n−1) jσ(n) , falls n gerade
wobei die Summe über alle (n − 1)!! Möglichkeiten geht, die Zahlen 1, 2, . . . , n als verschiedene
ungeordnete Paare (σ(1), σ(2)), . . . , (σ(n − 1), σ(n)) zu schreiben.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst
Z
−1
1
xj1 xj2 . . . xjn e− 2 (x,C x) dx1 . . . dxd
Rd
=
n
X
Z
cj1 jk
k=2
1
xj2 . . . x̂jk . . . xjn e− 2 (x,C
−1
x)
dx1 . . . dxd
Rd
wobei der Hut bedeutet, dass das entsprechende xjk wegzulassen ist.
5. Aufgabe: Vertauschen von Ableitung und Summe
Sei A = P(N) die σ-Algebra aller Teilmengen der natürlichen Zahlen. Sei ferner
(
|E|, falls E endlich ist
µ : A → [0, ∞]
µ(E) =
∞, sonst.
(a) Zeigen Sie: µ ist ein Mass. Es wird das Zählmass genannt. Welche Funktionen f : N → C sind
messbar?
(b) Sei (fn )n∈N eine Folge nichtnegativer reeller Zahlen. Wir können diese Folge als Funktion
f : N → R≥0
n 7→ f (n) = fn
auffassen. Zeigen Sie
Z
f dµ =
N
∞
X
fn .
n=1
Hinweis: Die Lemmata 2.3 und 2.4 aus Anhang A des Skriptes gelten auch für das Zählmass.
(c) Für eine Folge f : N → R reeller Zahlen definieren wir die Folgen f + : N → R≥0 und f − : N →
R
durch (f ± )n := max{0, ±fn }. Zeigen Sie: f ist genau dann bezüglich µ integrabel, wenn
P≥0
∞
n=1 |fn | endlich ist.
(d) Seien a < b reellen Zahlen. Sei
f : (a, b) × N → C
(t, n) 7→ fn (t)
eine parameterabhängige
Folge von komplexen Zahlen. Wir machen folgende Annahmen:
P∞
(i)
|f
(t)|
<
∞
für
alle t ∈ (a, b)
n
n=1
(ii) Für jedes n ∈ N ist (a, b) 3 t 7→ fn (t) differenzierbar.
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(iii) Es existiert eine Folge g : N → R≥0 mit
|
P∞
n=1 gn
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< ∞, sodass
d
fn (t)| ≤ gn
dt
für alle n ∈ N und P
t ∈ (a, b).
∞
Zeigen Sie, dass S(t) = n=1 fn (t) eine differenzierbare Funktion auf (a, b) definiert und
∞
dS(t) X dfn (t)
=
.
dt
dt
n=1
Hinweis: Der Satz über dominierte Konvergenz gilt für allgemeine Masse, insbesondere für das
Zählmass.