Serie 2

MMP I – HERBSTSEMESTER 2016 – PROF. DR. CHRISTOPH KELLER
SERIE 2
1. Aufgabe: Gerade und ungerade Funktionen
Es sei f eine stetige L-periodische Funktion, L > 0. Zeigen Sie:
(a) Falls f gerade ist, verschwinden alle Fourierkoeffizienten bezüglich sin( 2πn
L x).
(b) Falls f ungerade ist, verschwinden alle Fourierkoeffizienten bezüglich cos( 2πn
L x).
2. Aufgabe: Riemannsche Zeta-Funktion
In dieser Aufgabe wollen wir die Riemannsche Zeta–Funktion für gerade Argumente auswerten. Wir
wollen also
∞
X
1
ζ(2k) :=
n2k
n=1
für k ∈ N bestimmen. Es sei α ∈ C \ Z.
(a) Es sei die Funktion f auf ] − π, π] definiert durch f (x) = cos(αx) und 2π-periodisch fortgesetzt.
Berechnen Sie die Fourierreihe von f .
(b) Beweisen Sie mit Hilfe von a) die folgende Formel:
∞
X
n=1
n2
1
1
π
=
−
2
2
−α
2α
2α tan(απ)
und folgern Sie daraus
∞
X
2u
1
= cot(u) − für alle u ∈ C \ πZ.
2 − n2 π 2
u
u
n=1
(c) Die Bernoulli’schen Zahlen Bn sind durch die Formel
∞
X
z
Bn n
=
z
ez − 1 n=0 n!
definiert. Zeigen Sie
ζ(2k) :=
∞
2k
X
1
k+1 (2π)
=
(−1)
B2k , k = 1, 2, 3, . . .
n2k
2(2k)!
n=1
Hinweis: Ein Zwischenergebnis ist die Formel
∞
X
B2n
z cot z = 1 +
(−1)n (2z)2n .
(2n)!
n=1
3. Aufgabe: Fleisch grillieren
Sei f : [0, a] → R eine stetige Funktion, die stetig differenzierbar auf dem offenen Interval (0, a) ist.
(a) Falls f (0) = f (a) = 0, zeigen Sie, dass
f (x) =
∞
X
n=1
bn sin
πnx
a
und drücken Sie die Koeffizienten bn durch f aus.
Hinweis: f lässt sich zu einer stetigen ungeraden 2a-periodischen Funktion eindeutig fortsetzen.
1
2
MMP I – HERBSTSEMESTER 2016 – PROF. DR. CHRISTOPH KELLER
SERIE 2
(b) Falls f (0) = f (a) = 0 und D > 0, finden Sie die Lösung u(x, t), 0 ≤ x ≤ a, t ≥ 0, der
Wärmeleitungsgleichung
∂u
∂2u
= D 2,
∂t
∂x
mit Randbedingungen u(0, t) = u(a, t) = 0 und Anfangsbedingung u(x, 0) = f (x).
(c) Sei f (0) = T1 , f (a) = T2 und D > 0. Finden Sie die Lösung u(x, t), 0 ≤ x ≤ a, t ≥ 0, der
Wärmeleitungsgleichung
∂2u
∂u
= D 2,
∂t
∂x
mit Randbedingungen u(0, t) = T1 , u(a, t) = T2 und Anfangsbedingung u(x, 0) = f (x).
(d) In Aufgabenteil c) kann man u(x, t) als Temperatur (zum Zeitpunkt t und am Punkt x) eines
eindimensionalen Stückes Fleisch der Dicke a interpretieren, dass an beiden Enden auf die Temperaturen T1 bzw. T2 Grad Celsius erhitzt wird. Welche Temperaturverteilung stellt sich
schiesslich ein? Berechnen Sie dazu
lim u(x, t).
t→∞
Was können Sie qualitativ über das Verhältnis von Garzeit und Fleischdicke aussagen?
4. Aufgabe: Integration von nicht-stetigen Funktionen
(a) Berechnen Sie das Lebesgue–Mass von Q.
(b) Seien a < b relle Zahlen. Sei f : [a, b] → R definiert durch
(
1, falls x ∈ Q ∩[a, b]
f (x) =
0, sonst.
Ist f Riemann–integrierbar? Ist f Lebesgue–integrierbar? Falls ja, berechnen Sie das jeweilige
Integral.
(c) Wiederholen Sie den vorherigen Aufgabenteil für die Funktion g : [0, 1] → R definiert durch
(
1
, falls x ∈ Q, x = pq mit teilerfremden q, p ∈ Z, p 6= 0
g(x) = p
0, x ∈
/ Q.