Kapitel 5

5
Räume stetig linearer Operatoren und Banachalgebren
Seien X, Y, Z, . . . normierte Räume über K = R oder K = C.
Definition 5.1. Wir definieren
L(X, Y )
= {T ; T : X → Y ist stetig linear},
F (X, Y )
= {T ∈ L(X, Y ); dim(T X) < ∞},
K(X, Y )
= {T ; T : X → Y ist linear und kompakt}.
Für X = Y schreiben wir kürzer L(X) statt L(X, X), F (X) statt F (X, X) und K(X) statt K(X, X).
Lemma 5.2. (a) Für S, T ∈ L(X, Y ) und α ∈ K sind
S + T : X → Y, (S + T )(x) = Sx + T x und αS : X → Y (αS)(x) = αS(x)
stetig linear. Die Verknüpfungen
+ : L(X, Y ) × L(X, Y ) → L(X, Y ), (S, T ) 7→ S + T,
·:
K × L(X, Y ) → L(X, Y ), (α, S) 7→ αS
machen L(X, Y ) zu einem K-Vektorraum.
(b) F (X, Y ) ⊂ K(X, Y ) ⊂ L(X, Y ) sind lineare Teilräume.
(c) Ist S ∈ K(X, Y ), T ∈ L(Y, Z) oder S ∈ L(X, Y ), T ∈ K(Y, Z), so ist T S ∈ K(X, Z). Ersetzt man
hier die kompakten Operatoren durch die stetigen Operatoren endlichen Ranges, so bleibt alles richtig.
Beweis. (a) Als Komposition stetiger Abbildungen ist
(S,T )
+
S + T : X −→ Y × Y −→ Y,
stetig. Analog folgt die Stetigkeit von αS. Man prüft leicht nach, dass L(X, Y ) durch diese beiden Verknüpfungen zu einem K-Vektorraum wird.
(b) Für T ∈ F (X, Y ) ist T X ⊂ Y abgeschlossen nach Korollar 4.16 (c). Als abgeschlossen und beschränkte Teilmenge T B1 (0) ⊂ T X des endlich dimensionalen normierten Raumes T X ist T B1 (0) nach Satz 4.18
kompakt in T X, also auch kompakt in Y (siehe 2.6). Damit ist die Inklusion F (X, Y ) ⊂ K(X, Y ) gezeigt.
Offensichtlich ist F (X, Y ) ⊂ L(X, Y ) ein linearer Teilraum. Seien S, T ∈ K(X, Y ) und α ∈ K. Dann ist
SB1 (0) + T B1 (0) ⊂ Y kompakt als stetiges Bild der kompakten Menge SB1 (0) × T B1 (0) ⊂ Y × Y
unter der Addition + : Y × Y → Y . Als abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Menge ist
(S + T )B1 (0) ⊂ SB1 (0) + T B1 (0) kompakt. Also ist S + T ∈ K(X, Y ). Aus (αS)B1 (0) = αSB1 (0)
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folgt, dass auch αS ∈ K(X, Y ) ist. Mit Korollar 4.13 (a) folgt, dass K(X, Y ) ⊂ L(X, Y ) ein Teilraum ist.
(c) Ist S ∈ K(X, Y ) und T ∈ L(Y, Z), so ist
(T ◦ S)(B1 (0)) ⊂ T SB1 (0)
als abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Menge kompakt. Ist S ∈ L(X, Y ), T ∈ K(Y, Z), so ist
SB1 (0) ⊂ Y beschränkt und die Bemerkungen nach Definition 4.12 zeigen, dass T ◦ S(B1 (0) ⊂ Z kompakt
ist.
Satz 5.3. Seien X, Y normierte Räume.
(a) Dann ist L(X, Y ) ist ein normierter Raum bezüglich der Norm
!
kT xk
, falls X 6= {0} .
kT k = sup kT xk = sup
x6=0 kxk
kxk≤1
(b) Ist Y vollständig, so ist L(X, Y ) mit der Norm aus (a) vollständig.
(c) Mit der punktweise definierten Addition und Skalarmultiplikation und der Komposition von Operatoren als Produkt ist L(X) eine K-Algebra. Für die Operatornorm gilt
kST k ≤ kSk kT k für S, T ∈ L(X), k1X k = 1 (für X 6= {0}).
Beweis. (a) Offensichtlich ist kT k ≥ 0 und kT k = 0 genau dann, wenn T = 0 ist. Für T, S ∈ L(X, Y )
und α ∈ K gilt
kαT k
=
sup kαT xk = |α| sup kT xk = |α| kT k,
kxk≤1
kS + T k
=
kxk≤1
sup k(S + T )xk ≤ sup (kSxk + kT xk)
kxk≤1
≤
kxk≤1
sup kSxk + sup kT xk = kSk + kT k.
kxk≤1
kxk≤1
(b) Sei Y vollständig und sei (Tn )n∈N eine Cauchy-Folge in L(X, Y ). Da für alle x ∈ X und n, m ∈ N
kTn x − Tm xk ≤ kTn − Tm k kxk
gilt, ist (Tn x)n∈N eine Cauchy-Folge in Y für jedes x ∈ X. Da Y vollständig ist, existiert der Limes
T x = limn→∞ Tn x in Y für jedes x ∈ X. Aufgrund der Stetigkeit der Addition und Skalarmultiplikation
auf Y überträgt sich die Linearität der Operatoren Tn auf den punktweisen Limes T : X → Y, x 7→ T x.
Wegen
kT xk = lim kTn xk ≤
n→∞
sup kTn k kxk
(x ∈ X)
n∈N
ist T nach Satz 4.10 stetig. Für > 0 gibt es ein n0 ∈ N mit kTn − Tm k < für alle n, m ≥ n0 . Dann gilt
für alle x ∈ B1 (0) und n ≥ n0
k(Tn − T )xk = lim k(Tn − T )xk ≤ .
n→N
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Also konvergiert (Tn )n∈N gegen T in dem normierten Raum L(X, Y ).
(c) Ist X = Y , so gilt nach Satz 4.10 für S, T ∈ L(X) und x ∈ X
kST xk ≤ kSk kT xk ≤ (kSk kT k)kxk.
Also ist ST ∈ L(X) mit kST k ≤ kSk kT k. Offensichtlich ist L(X) zusammen mit der punktweise
definierten Addition und Skalarmultiplikation sowie der Komposition von Operatoren als Produkt eine
K-Algebra.
Satz 5.4. Seien X, Y normierte Räume und sei Y vollständig. Dann ist K(X, Y ) ⊂ L(X, Y ) ein abgeschlossener Teilraum.
Beweis. Nach Lemma 5.2 ist K(X, Y ) ⊂ L(X, Y ) ein Teilraum. Sei (Kn )n∈N eine Folge in K(X, Y ), die
in L(X, Y ) gegen einen Operator K ∈ L(X, Y ) konvergiert. Sei (xi )i≥1 eine beschränkte Folge in X und
sei c = supi≥1 kxi k. Nach Korollar 4.13 (b) genügt es zu zeigen, dass (Kxi )i≥1 eine konvergente Teilfolge
hat. Da K1 kompakt ist, gibt es eine Teilfolge (x1i )i≥1 von (xi )i≥1 so, dass (K1 x1i )i≥1 konvergiert. Da K2
kompakt ist, gibt es eine Teilfolge (x2i )i≥1 von (x1i )i≥1 , so, dass auch die Folge (K2 x2i )i≥1 konvergiert.
Rekursiv erhält man für jedes n ≥ 1 eine Folge (xni )i≥1 so, dass für alle n ≥ 1
(i) die Folge (xn+1,i )i≥1 eine Teilfolge der Folge (xn,i )i≥1 ist und
(ii) die Folge (Kn xni )i≥1 konvergiert.
Dann ist für jedes n ≥ 1 die Folge (xii )i≥n eine Teilfolge der Folge (xni )i≥1 . Insbesondere konvergiert die
Folge (Kn xii )i≥1 für jedes n ≥ 1. Zu > 0 gibt es ein n0 ∈ N mit kK − Kn0 k < und dazu einen Index
i0 ≥ 1 mit
kKn0 xii − Kn0 xjj k < für alle i, j ≥ i0 .
Dann gilt für alle i, j ≥ i0
kKxii − Kxjj k
≤
k(K − Kn0 )xii k + kKn0 (xii − xjj )k + k(Kn0 − K)xjj k
≤
c + + c.
Also ist (Kxii )i≥1 eine Cauchy-Folge. Da Y vollständig ist, konvergiert diese Folge.
Definition 5.5. (a) Eine K-Algebra A zusammen mit einer Norm k · k heißt normierte Algebra, falls
kxyk ≤ kxk kyk
ist für alle x, y ∈ A.
(b) Eine normierte Algebra A, deren Norm vollständig ist, heißt Banachalgebra.
(c) Eine unitale normierte Algebra (oder Banachalgebra) ist eine normierte Algebra (Banachalgebra) mit
Einselement 1 ∈ A so, dass k1k = 1 ist.
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Bemerkung 5.6. In einer normierten Algebra A ist die Multiplikation
A × A → A, (x, y) 7→ xy
stetig. Dies folgt aus den Abschätzungen
kxy − x0 y0 k ≤ kxk ky − y0 k + kx − x0 k ky0 k ≤ (kx0 k + kx − x0 k)ky − y0 k + kx − x0 k ky0 k.
Beispiel 5.7. (a) Ist X ein kompakter Hausdorffraum, so ist C(X) versehen mit der Supremumsnorm
k · kX eine kommutative unitale Banachalgebra.
(b) Ist E ein Banachraum, so sind L(E) und K(E) zusammen mit der Operatornorm Banachalgebren.
(c) Für a, b, ∈ R mit a < b ist C n [a, b] mit der Norm kf k =
Pn
1
(j)
k[a,b]
j=0 j! kf
eine kommutative unitale
Banachalgebra.
(d) Zusammen mit dem Faltungsprodukt f ∗ g(x) =
R
R
f (y)g(x − y)dλ(y) ist L1 (R) eine kommutative
Banachalgebra ohne Eins (Proposition 9.4.4 in [?]).
Definition 5.8. Sei A eine unitale Banachalgebra über K = R oder K ∈ C. Für a ∈ A nennt man
σ(a) = {λ ∈ K; λ1 − a ist nicht invertierbar in A}
das Spektrum von a in A. Das Komplement ρ(a) = K \ σ(a) heißt die Resolventenmenge von a und die
Funktion
ρ(a) → A, λ 7→ R(λ, a) = (λ1 − a)−1
bezeichnet man als die Resolventenfunktion von a. Wir schreiben A−1 = {x ∈ A; x ist invertierbar in A}
für die Menge der invertierbaren Elemente in A.
Statt λ1 − a werden wir im Folgenden einfach λ − a schreiben.
Lemma 5.9. Sei A eine unitale Banachalgebra über K. Dann gilt:
(a) Für a ∈ A mit kak < 1 ist 1 − a invertierbar in A mit
(1 − a)
−1
=
∞
X
an (Neumannsche Reihe).
n=0
(b) Die Menge A−1 ⊂ A ist offen und die Abbildung
A−1 → A−1 , x 7→ x−1
ist ein Homöomorphismus.
(c) Für a ∈ A ist σ(a) ⊂ K kompakt und σ(a) ⊂ {λ ∈ K; |λ| ≤ kak}.
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(d) Für a ∈ A ist die Resolventenfunktion ρ(a) → A, λ 7→ R(λ, a) stetig und erfüllt die Resolventengleichung
R(λ, a) − R(µ, a) = (µ − λ)R(µ, a)R(λ, a)
für alle λ, µ ∈ ρ(a). Insbesondere gilt
lim
λ→µ
R(λ, a) − R(µ, a)
= −R(µ, a)2 für alle µ ∈ ρ(a).
λ−µ
(e) Für a ∈ A und λ ∈ K mit |λ| > kak gilt
R(λ, a) =
∞
X
an
→ 0 für |λ| → ∞,
λn+1
n=0
wobei die Reihe für jedes r > kak gleichmäßig für |λ| ≥ r konvergiert.
Beweis. (a) Sei kak < 1. Wegen kan k ≤ kakn für alle n ∈ N ist die Reihe
∞
X
an
n=0
absolut konvergent in A und daher auch konvergent (Lemma 4.9). Es ist
!
N
+1
N
∞
∞
∞
X
X
X
X
X
an = lim (1 − aN +1 ) = 1.
an −
an+1 = lim
an −
an =
(1 − a)
n=0
n=0
N →∞
n=0
n=0
n=1
N →∞
(b) Ist b ∈ A−1 , so ist für a ∈ A mit ka − bk < kb−1 k−1 nach Teil(a) auch
a = b − (b − a) = b(1 − b−1 (b − a))
invertierbar und mit r = kb−1 k kb − ak folgt
ka−1 − b−1 k
= k[(1 − b−1 (b − a))−1 − 1]b−1 k
∞
X
≤ kb−1 k
(kb−1 k kb − ak)n
n=1
= kb
−1
k
r (a→b)
−→ 0.
1−r
Also ist A−1 ⊂ A offen und die Inversenbildung A−1 → A−1 , a 7→ a−1 ist stetig. Da diese Abbildung
selbstinvers ist, ist sie ein Homöomorphismus.
(c) Die Menge ρ(a) = {λ ∈ K; λ − a ∈ A−1 } ⊂ K ist nach Teil(b) offen. Also ist σ(a) = K \ ρ(a) ⊂ K
abgeschlossen. Für λ ∈ K mit |λ| > kak ist
a
∈ A−1 .
λ−a=λ 1−
λ
(d) Die Resolventenfunktion ρ(a) → A, λ 7→ R(λ, a) = (λ − a)−1 ist stetig als Komposition der stetigen
Abbildungen
ρ(a) → A−1 , λ 7→ λ − a und A−1 → A−1 , x 7→ x−1 .
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Indem man für λ, µ ∈ ρ(a) die Gleichung (µ − a) − (λ − a) = µ − λ von links mit R(µ, a) und von rechts
mit R(λ, a) durchmultipliziert, erhält man die Resolventengleichung
R(λ, a) − R(µ, a) = (µ − λ)R(µ, a)R(λ, a).
Indem man die Stetigkeit der Multiplikation in A benutzt (Bemerkung 5.6), sieht man, dass
R(λ, a) − R(µ, a)
(λ→µ)
= −R(µ, a)R(λ, a) −→ −R(µ, a)2 .
λ−µ
(e) Für |λ| > kak gilt nach Teil(a)
R(λ, a) = (λ(1 −
Also folgt
kR(λ, a)k ≤
∞
a −1 X an
.
) =
λ
λn+1
n=0
∞
n
1 X kak
1
1
|λ|→∞
(
−→ 0.
=
|λ| n=0 |λ|
|λ| 1 − kak/|λ|
Die Aussage über die gleichmäßige Konvergenz der darstellenden Reihe für R(λ, a) erhält man mit dem
Weierstraßschen Majorantenkriterium.
Einfache Beispiele zeigen, dass das Spektrum von Elementen in reellen Banachalgebren leer sein kann.
Sei K n versehen mit irgendeiner Norm (etwa der euklidischen Norm). Dann ist
M (n, K) → L(K n ), a 7→ La
(La x = ax)
ein Isomorphismus von K-Algebren. Also definiert
kak = kLa k = sup kaxk
kxk≤1
eine Norm auf M (n, K), die M (n, K) zu einer Banachalgebra über dem Körper K macht.
Für n = 2 ist

a=
0
1
−1
0

 ∈ M (2, R)
eine Matrix, deren charakteristisches Polynom χa (λ) = det(λ − a) = λ2 + 1 keine Nullstelle in K = R
hat. Also ist
σ(a) = {λ ∈ R; λ − a ist nicht invertierbar in M (2, R)} = ∅.
Bemerkung 5.10. Ist A eine unitale komplexe Banachalgebra, so ist
σ(a) 6= ∅
für alle a ∈ A. Wir geben einen kurzen Beweis an dieser Stelle, der allerdings benutzt, dass große Teile
der Funktionentheorie richtig bleiben für holomorphe Banachraum-wertige Funktionen f : U → X über
offenen Mengen U ⊂ C. Eine solche Funktion f heißt holomorph, wenn für alle µ ∈ U der Limes
f (µ) = lim
λ→µ
f (λ) − f (µ)
∈X
λ−µ
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in X existiert. Teil(d) von Lemma 5.9 zeigt, dass die Resolventenfunktion
R : ρ(a) → A, µ 7→ R(µ, a)
eines Elementes a ∈ A einer unitalen komplexen Banachalgebra A eine holomorphe A-wertige Abbildung
auf der offenen Menge ρ(a) ⊂ C ist. Wie in der C-wertigen Funktionentheorie zeigt man, dass jede
beschränkte holomorphe Funktion f : C → X mit Werten in einem Banachraum X konstant ist. Wäre
σ(a) = ∅ für ein Element a ∈ A einer unitalen komplexen Banachalgebra A, so wäre nach Teil(d) und
(e) von Lemma 5.9 die Resolventenfunktion
R : C → A, µ 7→ R(µ, a)
eine beschränkte holomorphe Funktion auf C mit lim|µ|→∞ R(µ, a) = 0. Nach der obigen Banachraumwertigen Version des Satzes von Liouville müsste R ≡ 0 sein. Da R Werte in A−1 hat, ist dies natürlich
nicht möglich. Also ist σ(a) 6= ∅. In Kapitel 6 werden wir eine Methode kennenlernen, mit der man die
oben benutzte Banachraum-wertige Version des Satzes von Liouville direkt zurückführen kann auf die
übliche Version des Satzes von Liouville.
Im Folgenden wenden wir die obigen Ergebnisse an auf den Spezialfall, dass A = L(X) ist für einen
komplexen Banachraum X.
Definition 5.11. Sei X ein Banachraum über C und sei T ∈ L(X). Wir definieren
{λ ∈ C; ker(λ − T ) 6= {0}}
σp (T )
=
(Punktspektrum)
σc (T )
= {λ ∈ σ(T ); λ − T ist injektiv und (λ − T )X ⊂ X ist dicht}
σr (T )
=
{λ ∈ σ(T ); λ − T ist injektiv und (λ − T )X ⊂ X ist nicht dicht}
(stetiges Spektrum)
(Restspektrum).
Definitionsgemäs ist σ(T ) die disjunkte Vereinigung
σ(T ) = σp (T ) ∪ σc (T ) ∪ σr (T ).
Beispiel 5.12. (Volterra-Operator) Sei E = C[a, b] (a, b ∈ R mit a < b) und seien
k : [a, b] × [a, b] → C stetig , c = kkk[a,b]2 .
Der Operator (Volterra-Operator mit Kern k)
Zt
K : E → E, (Kx)(t) =
x(s)k(s, t)ds
a
ist wohldefiniert und kompakt. Der Beweis der Wohldefiniertheit ist eine elementare Übungsaufgabe.
Die Kompaktheit von K folgt mit dem Satz von Arzela-Ascoli ähnlich wie in Beispiel 4.14. Abkürzend
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schreiben wir kxk = kxk[a,b] für die Norm einer Funktion x ∈ E = C[a, b]. Für x ∈ E und t ∈ [a, b] gilt
|(Kx)(t)|
≤ (t − a)ckxk
t
R
2
|(K x)(t)| = (Kx)(s)k(s, t)ds
≤
Rt
c2 (s − a)kxkds =
a
a
c2 (t−a)2
kxk.
2
Induktiv folgt, dass
t
Zt n−1
Z
n−1
c
(s − a)
cn (t − a)n
n−1
n
x)(s)k(s, t)ds ≤
|(K x)(t)| = (K
ckxkds =
kxk
(n − 1)!
n!
a
a
für alle n ≥ 1 und t ∈ [a, b] gilt. Also ist
kK n k ≤ sup
kxk≤1
cn (b − a)n
cn (t − a)n
kxk ≤
n!
n!
t∈[a,b]
sup
P∞
für alle n ∈ N. Diese Abschätzung zeigt, dass die Reihe n=0 K n absolut konvergiert in L(E). Nach
P∞
Lemma 4.9 und Satz 5.3 (b) konvergiert die Reihe n=0 K n in L(E). Wie im Beweis von Lemma 5.9 (a)
folgt, dass
∞
X
K n = (1 − K)−1
n=0
ist.
Korollar 5.13. Für den Volterra-Operator K aus Beispiel 5.12 gilt
σ(K) = {0}.
Beweis. Für λ ∈ C \ {0} ist
K
λ
der Volterra-Operator mit Kern
k
λ.
Also ist λ − k = λ(1 − K
λ ) invertierbar
in L(E) für alle λ ∈ C \ {0}. Da σ(K) 6= ∅ ist nach Bemerkung 5.10, gilt σ(K) = {0}. Dass K nicht
invertierbar ist, folgt alternativ auch mit der Bemerkung im Anschluss an Satz 4.18 und mit Lemma 5.2
(c) aus der Beobachtung, dass E = C[a, b] ein unendlich dimensionaler normierter Raum ist.
Definition 5.14. Sei E ein Banachraum über C. Ein Operator T ∈ L(E) heißt quasinilpotent, falls
σ(T ) = {0} ist.
Bemerkung 5.15. Im Falle dim(E) < ∞ ist jeder quasinilpotente Operator auf E nilpotent, denn in
diesem Falle ist
σ(T ) = σp (T )
und aus der Quasinilpotenz von T ∈ L(E) folgt, dass das charakterische Polynom von T die Form
χT (z) = z n hat. Elementare lineare Algebra zeigt, dass in diesem Fall T n = χT (T ) = 0 ist.
Auf unendlich dimensionalen normierten Räumen kann es quasinilpotente Operatoren geben, die nicht
nilpotent sind. Man sieht etwa leicht, dass der Volterra-Operator K mit Kern k ≡ 1 auf E = C[a, b]
injektiv und damit nicht nilpotent ist. Nach Korollar 5.13 ist dieser Operator aber quasinilpotent.
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