¨Ubungsblatt 2
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P. D. A K
R P
K W
N I
WS 2010/2011
Übungsblatt 2
Ausgabe: 27.10.2010
Abgabe: Mittwoch, 10.11.2010 bis 11:15
Aufgabe 5: (4 Punkte)
In der Vorlesung haben Sie die Definition des Landau–Symbols O(·) kennengelernt. Desweiteren heißt
f (x) = o(g(x)),
falls
f (x)
→0
g(x)
für x → x0 bzw. x → ±∞.
Sei x > 0. Untersuche, für welche Exponenten α, β ∈ R gilt:
xα = O(xβ ) für x → 0
xα = o(xβ ) für x → 0
xα = O(xβ ) für x → 1
xα = o(xβ ) für x → 1
xα = O(xβ ) für x → ∞
xα = o(xβ ) für x → ∞.
Aufgabe 6: (8 Punkte)
Schreiben Sie ein C++ Programm, welches einen einzulesenen Vektor x ∈ R8192 mit der Matrix
2
−1
A =
−1
2
..
.
−1
..
.
−1
..
.
2
−1
8192×8192
∈ R
−1
2
multipliziert und das Ergebnis y := Ax in einer Text-Datei speichert. Desweiteren soll das Programm das innere
Produkt x · y := xT y berechnen und ausgeben. Plotten Sie außerdem die Lösung y, zum Beispiel mit Hilfe des
Matlab-Programms plotoutput.m. Das Grundgerüst des C++ Programmes inklusive einer Funktion zum Laden
des Vektors x und zum Speichern des Ergebnisses in einer Datei sowie das Matlab Programm finden Sie auf
der Homepage zur Vorlesung. Desweiteren finden Sie dort den Vektor x.
(http://www2.math.uni-paderborn.de/ags/kunoth/lehre/vorlesung-numerik-i.html)
Aufgabe 7: (6 Punkte)
Wir betrachten einen Rechner mit Gleitkommaarithmetik, der einen deutlich geringeren maximalen Rundungsfehler aufweisen soll als ein Rechner mit Festkommaarithmetik (vgl. Aufgabe 3). Gleitkommazahlen haben die
Form
x = ±M · be
mit Mantisse M der Länge m, Exponent e und Basis b. Beispiel:
0.000031 = 0.31 · 10−4 = 3.1 · 10−5 .
Die durch führende Nullen entstehenden Mehrdeutigkeiten sind unerwünscht, daher einigen wir uns auf die
normalisierte Darstellung
M = d1 .d2 d3 . . . dm mit d1 , 0.
Nur für x = 0 erlauben wir, dass alle Ziffern di = 0 sind. Wir stellen nun die Mantisse in Binärdarstellung b = 2
dar. Ausserdem verwenden wir m = 3, also 2 Ziffern für die Nachkommastellen. Damit ist unsere RechnerGleitkommadarstellung gegeben durch
x = ±d1 .d2 d3 · 2e ,
wobei d1 = 1 und d2 sowie d3 entweder 0 oder 1 ist. Ausserdem verwenden wir als Spezialfall
±0 = ±0.00 · 20 .
Als Exponent erlauben wir nur e = −1, e = 0 und e = 1.
a) Geben Sie alle darstellbaren, nichtnegativen Gleitkommazahlen an (das Vorzeichen vernachlässigen wir).
b) Sie werden feststellen, dass die Abstände zwischen aufeinanderfolgenden Gleitkommazahlen stark variieren. Markieren Sie alle darstellbaren nichtnegativen Zahlen auf einem Zahlenstrahl.
c) Zur Darstellung einer beliebigen reellen Zahl x verwenden wir wieder die nächstgelegene Gleitkommazahl. Geben Sie den absoluten und den relativen Rundungsfehler bei der Darstellung der Zahlen x = 58
9
und x = 16
an.
Aufgabe 8: (6 Punkte)
Schreiben Sie ein C++ Programm, welches die Maschinengenauigkeit jeweils für den Datentyp double und
den Datentyp float bestimmt.
Aufgabe 9: (7 Punkte)
Gegeben sei die Matrix
0
A = a
b
a
0
c
b
c
0
mit Konstanten a, b, c ∈ R.
(a) Berechnen Sie die relativen Konditionszahlen der Berechnung der Koeffizienten p(a, b, c) = −a2 − b2 − c2
und q(a, b, c) = −2abc des charakteristischen Polynoms χA (x) = x3 + p(a, b, c)x + q(a, b, c) von A. Ist das
ein gut oder ein schlecht konditioniertes Problem?
(b) Zeigen Sie, dass die Berechnung der Eigenwerte λi (p, q) von A mittels der Nullstellen von χA schlecht
konditioniert ist.
∂λi
i
Hinweis: Man berechne ∂λ
∂p bzw. ∂q implizit.
Aufgabe 10: (9 Punkte)
Für x = (x1 , . . . , xn )T ∈ Rn und p ∈ R mit p ≥ 1 definiere folgende Normen:
n
1/p
X
p
kxk p := |xi | , kxk∞ := max |xi | .
i=1,...,n
i=1
(a) Zeigen Sie:
lim kxk p = kxk∞ .
p→∞
(b) Skizzieren Sie für p ∈ {1, 2, ∞} die Menge
o
n
B p := x ∈ Rn , kxk p = 1 für n ∈ {2, 3} .
(c) Zeigen Sie: Für alle p, q ∈ R mit 1 ≤ q ≤ p ≤ ∞ gibt es eine Konstante c p,q,n ∈ R, so dass für alle x ∈ Rn
gilt:
kxk p ≤ kxkq ≤ c p,q,n kxk p .
Bestimme die kleinste Konstante c p,q,n mit dieser Eigenschaft. Finde für beide Ungleichungen einen
Vektor x ∈ Rn , für den Gleichheit vorliegt.
