2. Übung Lineare Algebra II für M Lösungsvorschläge

2. Übung Lineare Algebra II für M
Lösungsvorschläge Gruppenübungen
(G4) Gegeben sei die Matrix


−2 2 3


A =  −2 3 2  .
−4 2 5
Bestimmen Sie die Darstellung der Matrix in Eigenvektorbasis.
Das charakteristische Polynom von A ist

−2 − λ
2
3


3
2
det  −2
3−λ
2  = −λ + 6λ − 11λ + 6 = 0.
−4
2
5−λ

Dieses Polynom hat die Nullstellen λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 3, die Eigenwerte von A. Durch
lösen der drei homogenen Gleichungssysteme


  
−2 − λj
2
3
x1
0


  
 −2
3 − λj
2   x2  =  0  ,
−4
2
5 − λj
x3
0
j = 1, 2, 3
erhält man als Basisvektoren der drei Eigenräume Uλ1 , Uλ2 , Uλ3 die Vektoren:


1
 
 0  für Uλ1 ,
1


 
1
1
 
 
 2  für Uλ2 und  1  für Uλ3 .
0
1
Somit ergibt sich die Transformationsmatrix


1 1 1


T = 0 2 1 
1 0 1
und wir erhalten die Darstellung von A in Eigenvektorbasis als


1 0 0


T −1 AT =  0 2 0  .
0 0 3
1
(G5)
Gegeben sei die Menge X1 := R3 \{0} zusammen mit der Relation ∼
x∼y
:⇐⇒
∃ λ ∈ R : x = λy.
a) Prüfen Sie, ob ∼ eine Äquivalenzrelation ist.


1
 
b) Bestimmen Sie die Äquivalenzklasse des Vektors  2  in R3 und geben Sie eine
3
geometrische Interpretation wieder.
c) Betrachten Sie nun den Raum X2 := X/ ∼, den Raum aller Äquivalenzklassen unter
der Relation ∼. Wie kann man diesen Raum geometrisch beschreiben?
d) Betrachten Sie nun Y := S2 , zusammen mit der Äquivalenzrelation
x∼y
:⇐⇒
x = −y.
Zeigen Sie, dass Y / ∼ ∼
= X2 ist.
a) Reexivität: Setzen wir λ = 1, so ist x = λx, also x ∼ x.
Symmetrie: Ist x ∼ y , so gilt x = λy . Damit gilt auch y =
auch λ1 in R ist, ist damit y ∼ x.
1
x
λ
, und da mit λ
Transitivität: Ist x ∼ y , so gilt x = λ1 y . Ist y ∼ z , so gilt y = λ2 z . Zusammen
gilt dann
x = λ1 y = λ1 (λ2 z) = (λ1 λ2 )z,
d.h. x ∼ z .
Damit ist ∼ eine Äquivalenzrelation.
b) Es ist

 
 


1
1


 
 
3
 2  = x ∈ R \{0} : x = λ  2  für λ ∈ R ,




3
3

d.h. die Äquivalenzklasse eines Vektors x ist die Ursprungsgerade entlang dieses Vektors, ohne den Ursprung.
c) In b) haben wir gesehen, dass die Äquivalenzklasse eines Vektors aus der Ursprungsgeraden entlang dieses Vektors besteht, d.h. X2 ist der Raum aller Ursprungsgeraden.
2
d) Die Repräsentanten einer Äquivalenzklasse in Y / ∼ haben alle Norm 1. Deshalb
betrachten wir die Abbildung
ϕ : R3 \{0} −→ Y
x
x 7−→ kxk
.
Wir zeigen nun, dass diese Abbildung eine wohldenerte Abbildung
ϕ̃ : X2 → Y / ∼
induziert.
x
Unter der Abbildung ϕ wird jeder Punkt λx für λ > 0 auf kxk
, und für λ < 0
x
auf − kxk abgebildet, d.h. die Äquivalenzklasse von x in X2 wird auf die Punkte
x
−x
x
{ kxk
, kxk
} in Y abgebildet, aber dies ist gerade die Äquivalenzklasse von kxk
. Damit
erhalten wir die Abbildung
ϕ̃ : X2 → Y / ∼
x
[x]X2 7→ [ kxk
]Y ,
welche die Ursprungsgeraden auf die Schnittpunkte der Geraden mit der Einheitskugel abbildet. Wir zeigen nun, dass diese Abbildung injektiv ist:
Ist [x1 ]X1 6= [x2 ]X2 , so liegen x1 und x2 nicht auf einer Ursprungsgeraden, d.h. die
Vektoren x1 und x2 sind linear unabhängig. Damit sind auch kxx11 k und kxx22 k linear
unabhängig und liegen somit nicht in derselben Äquivalenzklasse von Y / ∼. Damit
ist die Abbildung injektiv.
Surjektivität: Sei [y]Y ∈ Y / ∼. Wir verbinden die Punkte y und −y in R3 durch
eine Gerade. Diese Gerade geht durch den Ursprung und somit ist das Urbild von
[y]Y unter ϕ̃ die Gerade [y]X2 . Somit ist die Abbildung surjektiv.
Bemerkung: Den Raum, den wir so konstruiert haben ist der Projektive Raum.
Die beiden Beschreibungen sind äquivalent, wie Teil d) zeigt. D.h. man kann sich
den Projektiven Raum als Menge aller Ursprungsgerdaden vorstellen, oder als die
Einheitskugel, in der man alle antipodalen Punkte verklebt. Letzteres dürfte ohne
die erste Beschreibung schwer fallen.
Jedoch ist die zweite Beschreibung besser zur Verallgemeinerung gedacht. Anstatt
S2 kann man auch Sn mit der Relation ausstatten, die antipodale Punkte verklebt.
So erhält man den n-dimensionalen Projektiven Raum.
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