Einführung in die Logik

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TECHNISCHE UNIVERSITÄT CAROLO-WILHELMINA ZU BRAUNSCHWEIG
Institut für Theoretische Informatik
Prof. Dr. J. Adámek
Dipl.-Inform. D. Schwencke
Braunschweig, 08. Juni 2010
Einführung in die Logik
Aufgabenblatt Nr. 9 – Abgabetermin: 15. Juni 2010, 11:00 Uhr
Website: www.tu-braunschweig.de/iti/teaching/ss2010/logik
Aufgabe 26 [14 Punkte]
Beweisen Sie (mittels natürlicher Deduktion) oder widerlegen Sie die Gültigkeit der folgenden Sequenzen:
(a) p ⇒ (q ∨ r), ¬q, ¬r |= ¬p
(b) p ∨ r ⇒ q, ¬q ∨ r, ¬q ⇒ p |= p ∨ ¬r
(c) p ⇒ q, ¬p ⇒ r, ¬q ⇒ ¬r |= q
Aufgabe 27 [14 Punkte]
(a) [2 Punkte] Für jede Belegung α aller Variablen aus φ und ψ ist der Junktor ⊕ (exklusives Oder)
definiert durch α̂(φ ⊕ ψ) = 1 genau dann wenn α̂(φ) 6= α̂(ψ). Finden Sie eine KNF für die Formel
p ⊕ q.
(b) [2 Punkte] In einem alten Logbuch eines Kapitäns finden Sie folgende zwei Aussagen über einen
Piratenschatz:
1. “Der Schatz liegt entweder auf Insel A oder auf Insel B.”
2. “Falls der Schatz nicht auf Insel A liegt, dann liegt er auch nicht auf Insel B.”
Formalisieren Sie beide Aussagen in Aussagenlogik, zunächst unter Zuhilfenahme von ⊕, dann
ersetzen Sie ⊕ durch die entsprechende KNF aus Teil (a).
(c) [2 Punkte] Liegt der Schatz auf Insel A? Liegt der Schatz auf Insel B? Begründen Sie jeweils Ihre
Antwort in natürlicher Sprache.
(d) [8 Punkte] Verwenden Sie Ihre Formalisierung aus Teil (b), um in natürlicher Deduktion zuerst
Ihre erste Antwort aus Teil (c) zu beweisen, und dann (noch im selben formalen Beweis) Ihre zweite
Antwort aus Teil (c). Welche Teile der KNF für die ⊕-Formel benötigen Sie für welchen Teil des
formalen Beweises?
Aufgabe 28 [8 Punkte]
Ist es möglich in der natürlichen Deduktion die Regel
¬¬φ
(¬¬e)
φ
zu ersetzen?
durch
φ ∨ ¬φ
(LEM)