Formelblatt Finanzmathematik

Mathematik 1
Prof. Dr. K. Melzer
[email protected]
http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer.html
Inhaltsverzeichnis
1
Finanzmathematik
1.1
1.2
1.3
Folgen und Reihen
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.1
Folgen allgemein
1
1.1.2
Arithmetische Folge
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.3
Geometrische Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.4
Reihen allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.1.5
Artithmetische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.1.6
Geometrische Reihe
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Zins- und Rentenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2.1
Zinsrechnung
2
1.2.2
Rentenrechnung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Tilgungsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3.1
Darlehen mit konstanter Tilgung (Ratentilgung)
. . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3.2
Tilgung einer Schuld bei konstanten Jahresraten (Annuität) . . . . . . . . . .
5
1
1
FINANZMATHEMATIK
2
II. Finanzmathematik
1
Finanzmathematik
1.1
Folgen und Reihen
1.1.1
Folgen allgemein
Grundlage vieler Zins-, Renten- und Investitionsrechnungen sind Folgen und Reihen.
Folge . . . Funktion, durch die den natürlichen Zahlen eine reelle Zahl zugeordnet wird. Schreibweise:
{ak } = {a0 , a1 , a2 , a3 , a4 , . . . }
ak heiÿen Glieder der Folge.
Die
1.1.2
Arithmetische Folge
Die Dierenz zweier benachbarter Glieder ist konstant:
an+1 − an = d
(d
=
const.) für alle
n
Dies ist äquivalent zu
rekursive Darstellung ) und somit {an } = {a0 , a0 + d, a0 + 2d, a0 + 3d, . . . } bzw.
an+1 = an + d
(
explizite Darstellung )
an = a0 + nd
1.1.3
(
Geometrische Folge
Der Quotient zweier benachbarter Glieder ist konstant:
an+1
an
=q
(q
=
const.) für alle
n
Dies ist äquivalent zu
rekursive Darstellung ) und somit {an } = {a0 , a0 q, a0 q2 , a0 q3 , . . . } bzw.
an+1 = an · q
an = a0 · q n
1.1.4
(
(
explizite Darstellung )
Reihen allgemein
Reihe . . . Summe von Gliedern einer Folge.
Man unterscheidet endliche und unendliche Reihen.
Endliche Reihe . . . Summe von endlich vielen
Gliedern einer Folge.
n
sn := a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + · · · + an =
X
ak
k=0
Unendliche Reihe . . . Summe von unendlich vielen Gliedern einer Folge. Der Wert einer unendlichen
Reihe wird durch den Grenzwert ihrer Teilsummen bestimmt:
s := a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + · · · =
∞
X
k=0
ak = lim
n→∞
n
X
ak
k=0
konvergent, wenn die Folge ihrer Teilsummen konvergiert. In diesem Fall heiÿt der
Summe der Reihe.
Eine Reihe heiÿt
Grenzwert
Eine Reihe heiÿt
divergent, wenn der Grenzwert nicht existiert (d.h. Grenzwert ist ±∞ oder Wert
der Teilsummen wechselt zwischen endlich vielen Werten).
1.1.5
Artithmetische Reihe
Summe von Zahlen einer arithmetischen Folge.
sn =
n
X
ak = a0 + (a0 + d) + (a0 + 2d) + (a0 + 3d) + · · · + (a0 + nd) =
k=0
Es gilt:
n
X
k=0
sn =
n
X
k=0
ak =
n+1
(a0 + an )
2
(a0 + kd)
1
FINANZMATHEMATIK
3
Spezialfall: Summe der ersten
n
natürlichen Zahlen:
1 + 2 + 3 + 4 + ··· + n =
n
X
k=
k=0
1.1.6
n(n + 1)
2
Geometrische Reihe
Summe von Zahlen einer geometrischen Folge.
sn =
n
X
2
3
n
ak = a0 + a0 q + a0 q + a0 q + · · · + a0 q =
k=0
a0 q k
k=0
sn =
Es gilt:
n
X
n
X
ak = a0
q
k=0
n+1
n+1
1−q
−1
= a0
q−1
1−q
a0 = 1:
n
X
1 − q n+1
1 + q + q2 + q3 + q4 + · · · + qn =
qk =
1−q
Spezialfall: Geometrische Reihe mit
k=0
s=
∞
X
qk =
k=0
1.2
1
,
1−q
falls
|q| < 1.
(Für
|q| ≥ 1
ist die Reihe divergent.)
Zins- und Rentenrechnung
1.2.1
Zinsrechnung
Bezeichnungen:
p
Zinsfuÿ
i = p% =
p
100
Zinssatz
q =1+i=1+
p
100
Zinsfaktor
K0
Kapital heute/Anfangskapital/Barwert
Kn
Kapital am Ende der
n
Laufzeit in Jahren
n-ten
n Jahren (;
Berechnung des
Kapitals nach
Berechnung des
Barwerts (; Abzinsen):
Periode
Aufzinsen):
Kn = K0 · q n
Kn = Kn−1 · q
K0 =
Kn
qn
r
Berechnung des
Zinsfuÿes aus Laufzeit, Anfangs- und Endkapital:
Berechnung der
Laufzeit aus Zinssatz, Anfangs- und Endkapital:
Kn
K0
p = (q − 1) · 100
q=
n=
n
log Kn − log K0
log q
Mehrere Zahlungen
Welchen Wert haben mehrere Zahlungen, die zu verschiedenen Zeitpunkten fällig werden (Zahlungsstrom)?
•
Jede Zahlung kann für sich betrachtet und bewertet werden
•
Die Ergebnisse werden addiert.
•
Ein-/Auszahlungen werden mit unterschiedlichen Vorzeichen belegt (kommt auf den Betrachter an).
•
Wichtig: alle Zahlungen auf den gleichen
Zeitpunkt beziehen (Barwert/Endwert, etc.)
1
FINANZMATHEMATIK
1.2.2
4
Rentenrechnung
Rente . . . regelmäÿige Einzahlungen (oder Auszahlungen) in gleichbleibender Höhe.
E
E
E
vorschüssig )
Einzahlung am Jahresende (nachschüssig )
E
Einzahlung am Jahresbeginn (
E
E
E
E
Nachschüssige Rente:
Endwert einer nachschüssigen Rente nach
R,
regelmäÿige Einzahlung
Barwert einer Rente, die
n
mit konstanter Jahresrate
Zinsfaktor
n
Jahren,
Kn = R
q:
Jahre nachschüssig gezahlt wird
R
und Zinsfaktor
K0 = R
q = 1 + p%:
qn − 1
q−1
qn − 1
q n (q − 1)
Vorschüssige Rente:
n Jahren,
q = 1 + p%:
Endwert einer vorschüssigen Rente nach
R,
regelmäÿige Einzahlung
Zinsfaktor
n Jahre
Jahresrate R und
Kn = R q
Barwert einer Rente, die
vorschüssig gezahlt wird
mit konstanter
Zinsfaktor
1.3
•
K0 = R
q = 1 + p%:
qn − 1
q−1
qn − 1
q n−1 (q − 1)
Tilgungsrechnung
Die Tilgungsrechnung ist ein Sonderfall der Rentenrechnung, bei der ein Kredit aufgenommen
und dieser später in einem oder (meistens) mehreren Teilbeträgen zurückgezahlt wird, wobei
zusätzlich Zinszahlungen zu leisten sind.
•
Man unterscheidet
1.3.1
Ratentilgung und Annuitätentilgung.
Darlehen mit konstanter Tilgung (Ratentilgung)
Rückzahlung einer Schuld mit festem Tilgungssatz und zusätzlich anfallenden Zinsen.
gegeben:
berechnet:
Darlehenshöhe
S
Zinssatz
i = p%
Laufzeit
N
S
(konst.)
N
S
Sk = S − k · T = S − k
N
S
Zk = i · Sk−1 = i · S − (k − 1)
N
T =
Tilgungsrate
k
Restschuld nach
Zinsen im
k -ten
Ak
Jahren
Jahr
Gesamtzahlung im
Die Gesamtbelastung
Jahre
k -ten
Ak = Tk + Zk
Jahr
nimmt jährlich ab, da die gezahlten Zinsen weniger werden.
Tilgungsplan:
Jahr
Restschuld
Tilgung
Zins
Gesamtzahlung
0
S
−
−
−
1
S−
S
N
2
S
S − 2N
.
.
.
.
.
.
N
S
S−NN
=0
T =
T =
S
N
S
N
Z1 = i S
Z2 = i S −
A1 = T + Z 1
S
A2 = T + Z 2
N
.
.
.
T =
S
N
S
ZN = i S − (N − 1) N
AN = T + Z N
1
FINANZMATHEMATIK
1.3.2
5
Tilgung einer Schuld bei konstanten Jahresraten (Annuität)
Die Gesamtzahlung
A ( Annuität ) bleibt jedes Jahr konstant; das Verhältnis zwischen Tilgung und
Zinszahlung ändert sich. Der Tilgungsbetrag zu Beginn ist oft wesentlich niedriger als gegen Ende.
Die Annuitäten lassen sich als Rente auassen, deren Barwert dem Kreditbetrag entspricht.
gegeben:
berechnet:
Darlehenshöhe
S
Zinssatz
i = p%
Laufzeit
N
Annuität (Gesamtzahlung pro Jahr)
A = S qN
Restschuld nach
Zinsen im
k -ten
k
Jahren
Jahre
1−q
(konst.)
1 − qN
k
Sk = Sk−1 q − A = S q k − A 1−q
1−q
Zk = i · Sk−1
Jahr
Tk = A − Zk
Tilgungsrate
Tilgungsplan:
Jahr
Annuität
Zinsen
(konst.)
Tilgung
(=
A
- Zins)
Restschuld
= Restschuld Vorjahr
− Tilgung
0
−
−
−
S
1
A
Z1 = S i
T1 = A − Z1
S1 = S − (A − S i) = S q − A
2
A
Z2 = S1 i
T2 = A − Z2
S2 = S1 q − A
.
.
.
.
.
.
N
A
.
.
.
ZN = SN −1 i
TN = A − ZN
SN = SN −1 q − A = 0