Ue7 - Universität Konstanz

Universität Konstanz
Lehrstuhl für Statistik
WS 2006/2007
Statistische Schätz- und Testtheorie
Übungsblatt 7
Testen: Teil I
Aufgabe 7.1
Sei X 1 , X 2 , K, X n eine Stichprobe aus einer IB(1, p)-Verteilung.
Gegeben sei das Testproblem H 0 : p = 0.5 vs. H 1 : p = p 1 , wobei 0.5 < p 1 < 1 .
Die Nullhypothese werde verworfen, falls
∑X
i
=n.
a) Formulieren Sie die Testfunktion.
b) Teilen Sie den in Aufgabe 3.3a formulierten Stichprobenraum in Annahme- und
Ablehnbereich ein.
c) Berechnen Sie für die Fälle n = 3 und n = 10 das Niveau des Tests und die Güte unter
der Alternative p 1 = 0.6 . Wie ändert sich jeweils die Güte, falls p 1 = 0.9 ?
d) Konstruieren Sie mit Hilfe des Theorems nach Neyman-Pearson einen mächtigsten
(randomisierten) Test zum Niveau 5% für den Fall n = 10 und p 1 = 0.9 . Berechnen
Sie die Güte dieses Tests. Weshalb ist dieser Test auch gleichmäßig mächtigster Test
für das Testproblem H 0 : p ≤ 0.5 vs. H 1∗ : p > 0.5 ?
Aufgabe 7.2
(
)
Sei X 1 , X 2 , K, X n eine Stichprobe aus einer IN µ , σ 2 -Verteilung, wobei σ 2 bekannt ist.
Gegeben sei das Testproblem H 0 : µ = µ 0 vs. H 1 : µ = µ 1 , wobei µ 1 > µ 0 .
a) Zeigen Sie, dass durch den Test ϕ mit
⎧
X − µ0
> u 1− α
⎪⎪ 1 , falls n
σ
ϕ (X 1 , X 2 , K , X n ) = ⎨
⎪0 , falls n X − µ 0 ≤ u 1− α
⎪⎩
σ
ein mächtigster Test zum Niveau α gegeben ist. Dabei bezeichne u 1 − α das (1 − α ) − Quantil
der Standardnormalverteilung.
b) Es sei nun µ 0 = 1 , µ 1 = 2 und σ = 1 . Eine Stichprobe vom Umfang n = 10 ergibt x = 1.51 .
Können Sie die Nullhypothese mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% verwerfen?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art?
Wie groß müsste die Stichprobe mindestens sein, um die Wahrscheinlichkeit für einen
Fehler 2. Art auf 5% zu beschränken, falls das Testniveau bei 5% liegt?
c) Angenommen ein weiteres Testverfahren bestehe aus folgender Vorgehensweise:
Aus einer Urne mit 19 weißen Kugeln und einer roten Kugel wird eine Kugel zufällig
gezogen. Die Nullhypothese wird genau dann verworfen, falls die rote Kugel gezogen
wird. Wie steht es um die Fehlerwahrscheinlichkeiten 1. und 2. Art bei diesem "Test"?
Aufgabe 7.3
Gegeben sei eine Stichprobe vom Umfang n = 10 aus einer IP(λ ) − Verteilung.
Konstruieren Sie einen gleichmäßig mächtigsten (randomisierten) Test zum
Niveau 5% für das Testproblem H 0 : λ ≤ 0.2 vs. H 1 : λ > 0.2 .
Aufgabe 7.4
Gegeben sei eine Stichprobe vom Umfang n = 20 aus einer IExp(λ ) − Verteilung.
a) Konstruieren Sie einen gleichmäßig mächtigsten Test zum Niveau 5% für das
Testproblem H 0 : λ ≤ 0.9 vs. H 1 : λ > 0.9 .
b) Wie ließe sich ein gleichmäßig mächtigster Test zum Niveau 5% für das
Testproblem H 0 : λ ≤ 0.9 oder λ ≥ 1.1 vs. H 1 : 0.9 < λ < 1.1 konstruieren?
Hinweis:
Verwenden Sie das Resultat X ~ IExp(λ ) ⇒ 2 λ X ~ χ 2 (2 ) zur Herleitung der
kritischen Werte.
Aufgabe 7.5
Die durchschnittliche Länge von Metallstiften soll geschätzt werden. Eine Stichprobe vom
Umfang n = 36 liefert eine mittlere Länge von x = 39.5 mm. Aus früheren Untersuchungen sei
bekannt, dass die Länge der Metallstifte normalverteilt ist und die produzierende Maschine
mit einer Standardabweichung von σ = 1.6 mm arbeitet.
a) Kann man mit einer zugelassenen Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% davon ausgehen, dass
die mittlere Länge der Metallstifte geringer ist als der Sollwert von 40 mm?
Führen Sie für diese Fragestellung einen geeigneten Gauß-Test durch (s. Formelsammlung
S. 329). In welchem Sinn ist dieser Test optimal?
b) Bei welchem Testniveau α wird die in a) betrachtete Hypothese gerade noch abgelehnt?
c) Prüfen Sie, ob zum Niveau 5% signifikante Abweichungen vom Sollwert vorliegen.
Führen Sie für diese Fragestellung wiederum einen geeigneten Gauß-Test durch.
In welchem Sinn ist dieser Test optimal?
d) Wie lautet die Gütefunktion des in Teil c) durchgeführten Tests? Skizzieren Sie diese.
Wie verläuft wohl die Gütefunktion des in Teil a) durchgeführten Tests?