Qualität und Zuverlässigkeit - Statistik Master MB

Fachbereich Grundlagenwissenschaften
Prof. Dr. Viola Weiÿ
Sommersemester 2017
Qualität und Zuverlässigkeit - Statistik
Master MB
Aufgaben zur Wiederholung
1. Ein Würfel wurde 500 mal geworfen, die möglichen Augenzahlen X waren wie folgt verteilt:
2 3 4 5 6
Augenzahl xi 1
.
H(xi )
102 88 80 65 90 75
Bestimmen Sie folgende Kenngröÿen für diese Stichprobe: Arithmetisches Mittel, Median,
Standardabweichung und das 0,75-Quartil.
Geben Sie die empirische Verteilungsfunktion an und skizzieren Sie diese.
2. An 10 Testfahrzeugen eines neuen Autotyps wurde der Benzinverbrauch untersucht, man
erhielt dabei folgende Stichprobe (alle Angaben in l/100 km):
10,1
12,4
9,9
10,1
9,3
9,6
10,0
9,9
10,2
9,8 .
Bestimmen Sie das arithmetisches Mittel und den Median für diese Daten. Warum unterscheiden sich beide Gröÿen?
Ermitteln Sie den Quartilsabstand und interpretieren Sie diesen Wert.
Stellen Sie die Daten mit Hilfe eines Boxplots dar.
Gibt es ausreiÿerverdächtige Werte in dieser Stichprobe?
3. Mit einer Stichprobe vom Umfang n = 80 wurde die Lebensdauer X (in h) eines elektronischen Bauelements untersucht mit folgendem Ergebnis:
Klasse Lebensdauer Anzahl Bauelemente
Ki
(in h)
H(Ki )
K1
[400 ; 450)
3
K2
[450 ; 500)
11
[500 ; 550)
20
K3
K4
[550 ; 600)
23
K5
[600 ; 650)
14
K6
[650 ; 700)
7
K7
[700 ; 750)
2
(a) Bestimmen Sie aus diesen Daten die mittlere Lebensdauer, den Median und die
Standardabweichung für X .
(b) Geben Sie die empirische Verteilungsfunktion an.
(c) Bestimmen Sie den prozentualen Anteil an Bauelementen mit einer Lebensdauer von
weniger als 500 Stunden bzw. einer Lebensdauer von mindestens 600 Stunden.
Hinweis: Verwenden Sie für die Aufgabenteile (a) und (b) jeweils die Klassenmitte als
Repräsentanten.
1
4. Die Zufallsgröÿe X sei normalverteilt mit Erwartungswert µ = 2 und Standardabweichung
σ = 0, 5. Bestimmen Sie folgende Gröÿen:
a) P (X ≤ 2, 52),
b) P (X ≤ 0, 84),
c) P (|X| > 2, 13),
d) P (−0, 5 ≤ X ≤ 4, 5) und
e) die beiden Quantile mit α = 0, 1 und α = 0, 75.
5. In einem Weingut werden die Flaschen automatisch abgefüllt. Das Abfüllvolumen X kann
durch eine normalverteilte Zufallsgröÿe beschrieben werden mit Mittelwert µ = 0, 75 l und
σ = 0, 02 l.
(a) Wieviel Prozent der Weinaschen enthalten weniger als 0,73 l?
(b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daÿ das abgefüllte Volumen um maximal 2%
vom Sollwert (Mittelwert) abweicht.
(c) Welche mittlere Füllmenge muÿ man bei der Abfüllanlage einstellen, damit mindestens 80% aller Flaschen wenigstens 0,75 l enthalten.
(d) Bestimmen Sie σ (Genauigkeit der Abfüllanlage) so, daÿ 90% aller Flaschen ein
Abfüllvolumen zwischen 0,74 l und 0,76 l enthalten (bei µ = 0, 75 l).
(e) Wieviel Prozent aller Weinkisten (mit 6 Flaschen) enthalten mehr als 4,6 l Wein?
6. Die Herstellung von Gewindeschrauben erfolge mit einem Ausschuÿanteil von 2%.
(a) Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, daÿ in einer Stichprobe von 30 Schrauben alle
Schrauben brauchbar sind?
(b) Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, daÿ sich unter 50 zufällig ausgewählten Schrauben mindestens 3 nicht brauchbare benden?
(c) Wieviele nicht brauchbare Schrauben benden sich im Mittel in einer Schachtel mit
250 Schrauben?
7. Ein Kernreaktor enthalte zwei Sorten von Brennelementen (Typ 1 und Typ 2), an die
extrem hohe Qualitätsanforderungen gestellt werden. Die Zufallsgröÿen X1 und X2 beschreiben die Anzahl von Brennelementen vom Typ 1 bzw. 2, die nicht den Anforderungen
genügen. Man verwendet die Poisson-Verteilung für X1 und X2 mit Parameter λ1 = 0, 07
bzw. λ2 = 0, 16.
(a) Wie groÿ ist die mittlere Anzahl von Brennelementen jeder Sorte, die nicht den
Anforderungen genügen?
(b) Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, daÿ im Reaktor mehr als ein Brennelement vom
Typ 1 die Qualitätsbedingungen nicht erfüllt?
8. Die Lebensdauer eines Bauteils kann man als Zufallsgröÿe mit folgender Verteilungsfunktion beschreiben (t in 1000 h):
FX (x) =
1 − (1 + 0, 2x) · e−0,2x
0
:
:
x≥0
x<0
Welche durchschnittliche Lebensdauer hat ein solches Bauelement?
Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, daÿ ein solches Bauelement länger als 15000 Stunden
funktioniert?
2
9. Es sei X eine normalverteilte Zufallsgröÿe mit unbekanntem Mittelwert µ und Varianz
σ 2 = 9. Folgende Stichprobe für X sei gegeben:
140 162 128 132 136 148 140 128 135 158 .
(a) Bestimmen Sie ein Kondenzintervall für µ zum Kondenzniveau 0,95 (d.h. Irrtumswahrscheinlichkeit α = 0, 05).
(b) Wie umfangreich muÿ die Stichprobe sein, damit das Kondenzintervall (bei α =
0, 05) eine Länge l ≤ 1 hat?
10. Die Tragfähigkeit eines Balkens kann als normalverteilte Zufallsgröÿe beschrieben werden.
Eine Stichprobe vom Umfang n = 16 ergab die Schätzwerte x̄ = 12, 54 kN und s =
1, 02 kN.
Bestimmen Sie ein Kondenzintervall für den Mittelwert µ mit Irrtumswahrscheinlichkeit
α = 0, 05.
Wichtig sei jetzt, daÿ die mittlere Tragfähigkeit der Balken einen gewissen Wert nicht
unterschreitet. Bestimmen Sie dafür ein einseitiges Kondenzintervall für µ der Form
[Gu ; ∞).
11. Die Leistung (in PS) eines Motors kann als normalverteilte Zufallsgröÿe mit σ = 2, 16 PS
betrachtet werden: Eine Stichprobe von 8 wahllos herausgegrienen Motoren ergab folgende Werte für deren Leistung (in PS):
100, 5 96, 5 99, 0 97, 8 100, 4 103, 5 100, 3 98, 0.
Testen Sie die Angabe des Motorenherstellers, daÿ der Motor eine Leistung von 100,5 PS
hat (mit α = 0, 05).
Geben Sie für diesen Test den entsprechenden p-Wert an. Was sagt dieser Wert aus?
12. Die Reiÿlast eines Seils ist laut Hersteller eine normalverteilte Zufallsgröÿe mit µ =
5, 20 kN. Eine Stichprobe vom Umfang 20 führte zu den Schätzwerten x̄ = 5, 02 kN und s =
0, 12 kN.
Prüfen Sie mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von α = 5%, ob die auf Grund dieser
Stichprobe geäuÿerten Zweifel an der Richtigkeit der Angabe des Herstellers zur mittleren Reiÿlast berechtigt sind.
Geben Sie einen einseitigen Test für die Nullhypothese H0 : µ ≥ 5, 20 kN.
13. Eine Urne enthält eine sehr groÿe Anzahl von Kugel mit vier verschiedenen Farben:
schwarz, weiÿ, rot, grün. Eine Stichprobe bestehend aus 40 Kugeln, die zufällig aus der
Urne gezogen wurden, zeigt 10 schwarze, 12 weiÿe, 8 rote und 10 grüne Kugeln. Testen
Sie an Hand dieser Stichprobe die Hypothese, daÿ die Urne gleiche Anteile der farbigen
Kugeln enthält (zum Signikanzniveau α = 0, 05).
14. In einer Stichprobe wurde folgende Verteilung beobachtet:
Klasse Ki x < 10 10 ≤ x < 20 20 ≤ x < 30 30 ≤ x < 40 40 ≤ x
H(Ki )
46
129
331
347
147
Testen Sie mit einem Signikanzniveau von α = 0, 01 die Hypothese, daÿ die Grundgesamtheit N (30; 100) verteilt ist.
3
Lösungen:
1. x̄ = 3, 356
,
F (x) =


















x̄Z = 3 ,
0 :
0, 204 :
0, 38 :
0, 54 :
0, 67 :
0, 85 :
1 :
s = 1, 7525 ,
x<1
1≤x<2
2≤x<3
3≤x<4 .
4≤x<5
5≤x<6
6≤x
x0,75 = 5
2. x̄ = 10, 13 , x̄Z = 9, 95 , QA = x0,75 − x0,25 = 10, 1 − 9, 8 = 0, 3
maximale Armlänge 0,45 linker Arm Boxplot bis 9,6 rechter Arm Boxplot bis 10,2
Ausreiÿer: 9,3 und 12,4
(alle Angaben in l/100 km)
3. (a) x̄ = 564, 375 , x̄Z = 575 ,
(c) 17,5% bzw. 28,75%
s = 68, 295 ,
4. a) Φ0,1 (1, 04) = 0, 85083
b) 1−Φ0,1 (2, 32) = 0, 01017
d) 1 e) x0,1 = 1, 359224 x0,75 = 2, 337245
5. a)
b)
c)
d)
e)
c) 1−Φ0,1 (0, 26) = 0, 39743
1 − Φ0,1 (1) = 0, 1587 =⇒ 15, 87%
2Φ0,1 (0, 75) − 1 = 0, 5468
µ = 0, 7668 l
σ = 0, 00608 l
etwa 2% aller Weinkisten
(Volumen in einer Kiste ist normalverteilt mit µ = 4, 5 l und σ = 0, 04899 l)
6. (a) X - Anzahl unbrauchbare Schrauben, d.h. X ∼ B(30; 0, 02)
(b) jetzt X ∼ B(50; 0, 02)
P (X = 0) = 0, 545
P (X ≥ 3) = 1 − (P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)) = 0, 07843
(c) 250 · 0, 02 = 5
7. (a) Typ 1: 0,07 und Typ 2: 0,16
(b) P (X1 > 1) = 1 − (P (X1 = 0) + P (X1 = 1)) = 2, 33 · 10−3
8. zugehörige Dichte fX (x) = 0, 04 x e−0,2x für x > 0
mittlere Lebensdauer: 10 000 h
P (X > 15) = 1 − P (X ≤ 15) = 0, 199
9. (a) Kondenzintervall für µ: [138, 84 ; 142, 56] (σ 2 bekannt)
Hilfsgröÿen: x̄ = 140, 7, z0,975 = 1, 96
(b) Stichprobenumfang mindestens n = 139
10. Kondenzintervall für µ: [11, 997 kN ; 13, 083 kN] (σ 2 unbekannt)
Hilfsgröÿen: x̄ = 12, 54 kN , s = 1, 02 kN , t15;0,975 = 2, 13
11. Gauÿ-Test
H0 : µ = 100, 5 PS
H1 : µ 6= 100, 5 PS
α = 0,
√
√05
0
=⇒ t̂ = 8 · 99,5−100,5
= −1, 31
T = n · x̄−µ
σ
2,16
Kritischer Bereich: K = (−∞ ; −1, 96) ∪ (1, 96 ; ∞) mit z0,975 = 1, 96
4
Testentscheidung: t̂ 6∈ K =⇒ Gegen die Angabe des Motorenherstellers, daÿ der Motor
eine Leistung von 100,5 PS hat, ist auf Grund dieser Stichprobe nichts einzuwenden (mit
α = 0, 05).
p-Wert: 0,19
12. t-Test
H0 : µ = 5, 20 kN
H1 : µ 6= 5, 20 kN
α = 0,
05
√
√
0
=⇒
t̂
=
= −6, 708
20 · 5,02−5,2
T = n · x̄−µ
s
0,12
Kritischer Bereich: K = (−∞ ; −2, 09) ∪ (2, 09 ; ∞) mit t19;0,975 = 2, 09
Testentscheidung: t̂ ∈ K =⇒ Die Nullhypothese ist auf Grund dieser Stichprobe
abzulehnen, die Zweifel an der Angabe des Herstellers sind berechtigt (mit α = 0, 05).
Jetzt: einseitiger Test, d.h. H0 : µ ≥ 5, 20 kN
H1 : µ < 5, 20 kN.
Dabei ändert sich nur der kritische Bereich: K = (−∞ ; −1, 729) mit t19;0,95 = 1, 729.
Auch beim einseitigen Test wird H0 auf Grund dieser Stichprobe abgelehnt.
13. Stichprobenumfang: n = 40,
Nullhypothese H0 : Gleichverteilung, d.h. P (schwarz) = P (weiÿ) = P (rot) = P (grün) =
pi = 0, 25
Farbe
schwarz
weiÿ
rot
grün
Ei = npi (Oi − Ei )2
10
0
10
4
10
4
10
0
4
X (Oi − Ei )2
Testgröÿe: T =
=⇒ t̂ = 0, 8
Ei
i=1
Kritischer Bereich: K = (χ23 ; 0,95 ; ∞) = (7, 81 ; ∞) mit α = 0, 05, k = 4, l = 0
t̂ 6∈ K =⇒ mit dieser Stichprobe ist gegen die Aussage, daÿ die farbigen Anteile in der
Oi
10
12
8
10
Urne gleich sind, nichts einzuwenden
14. Stichprobenumfang: n = 1000,
Nullhypothese H0 : Grundgesamtheit ist normalverteilt mit bekanntem µ = 30 und
σ 2 = 100
Klasse Ki
(−∞ , 10)
[10 ; 20)
[20 ; 30)
[30 ; 40)
[40 ; ∞)
Oi
46
129
331
347
147
pi
Ei = npi
0, 02275
22, 75
0, 13591 135, 91
0, 34134 341, 34
0, 34134 341, 34
0, 15866 158, 66
Berechnung derIntervallwahrscheinlichkeiten pi :
10−30
10 20−30
10
= 1 − Φ0,1 (2) = 0, 02275
− p1 = 0, 15866 − 0, 02275 = 0, 13591 usw.
5
X
(Oi − Ei )2
Testgröÿe: T =
=⇒ t̂ = 25, 376
E
i
i=1
Kritischer Bereich: K = (χ24 ; 0,99 ; ∞) = (13, 28 ; ∞) mit α = 0, 01, k = 5, l = 0
t̂ ∈ K =⇒ die Annahme, daÿ diese Stichprobe einer N (30; 100)-verteilten Grundgep1 = Φ0,1
p2 = Φ0,1
samtheit entstammt ist abzulehnen.
5