12. Übungsblatt - Zentrum für Angewandte Informatik der Universität

Universität zu Köln
Institut für Informatik
Dr. O. Schaudt
A. van der Grinten
Übung zu Parallele Algorithmen
Blatt Nr. 12
Dieses Übungsblatt muss bis zum 15.07.2016, 13:00 abgegeben werden. Schreiben Sie Ihren Namen
und Ihre Übungsgruppe oben auf die Abgabe!
Beachten Sie, dass Sie sich rechtzeitig bei Ihrem Prüfungsamt zur Klausur angemelden
müssen. Das Anmeldeverfahren (KLIPS/KLIPS2 etc.) bzw. die Anmeldefrist variieren
je nach Studiengang! Schreiben Sie mir (Alexander van der Grinten) bitte zusätzlich eine
E-Mail, dass Sie an der Klausur teilnehmen möchten.
Aufgabe 1: Erzeugbarkeit (10 Punkte)
Zeigen Sie Lemma 4.2 aus der Vorlesung: 3-Erzeugbarkeit lässt sich durch eine NC-Reduktion auf (2)Erzeugbarkeit reduzieren. Betrachten Sie dazu die Grundmenge X ∪ X 2 , wobei X die Grundmenge
des 3-Erzeugbarkeitproblems ist.
Aufgabe 2: Lexicographically First Maximal Indepedent Set (30 Punkte)
(a) Gegeben sei ein DAG G. Für v ∈ G sei d(v) die Länge eines längsten Weges, der bei v endet.
Zeigen Sie: Sortieren von V (G) nach d(v) liefert eine topologische Sortierung (d.h. ein Ordnungsrelation auf den Knoten, so dass Kanten nur von kleinen zu großen Knoten verlaufen) von
G.
Geben Sie einen NC-Algorithmus an, der eine topolgoische Sortierung von G findet. Hinweis:
Gehen Sie analog zu dem apsp-Problem vor. (10 Punkte)
(b) Sei G ein Graph. Ein Indepedent Set ist eine Menge S ⊂ V (G), so dass es keine Kante u − v ∈
E(G) mit u, v ∈ S gibt. Ein solches Independent Set heißt maximal, falls es bzgl. der Inklusion
maximal ist.
Zeigen Sie, dass das Problem, das lexikographisch kleinste, maximale Independent Set (LFMIS)
zu berechnen, in P liegt. (5 Punkte)
(c) Eine CVP Instanz C heißt monoton, falls sie nur ∧ bzw. ∨ Gatter, nicht aber z.B. Negationen
benutzt. Es gilt: Monotones CVP ist bereits P -vollständig (der P -Vollständigkeitsbeweis aus
der Vorlesung nutzt keine Negation). Mittels (a) folgt sofort, dass auch monotones CVP mit
topologisch sortierten Knoten (TMCVP) P -vollständig ist.
Zeigen Sie durch eine Reduktion von TMCVP, dass auch LFMIS P -vollständig ist. Konstruieren
Sie dazu einen Graphen G mit V (G) = {x0 , x1 : x ∈ V (C)}, so dass x1 Teil des LF M IS ist,
genau dann, wenn x im TMCVP den Wert 1 bekommt. (15 Punkte)
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