Stetige Funktionen, Grenzwerte und Ableitungen

Prof. Dr. M. Griesemer, Dr. J. Wirth
FB Mathematik, Universität Stuttgart
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Termin: 17.1.2012
Vortragsübung am 17.1.2012
4.1. Beweisen Sie:
(a) Jedes reelle Polynom ungeraden Grades besitzt mindestens eine Nullstelle.
(b) Seien a1 < a2 < · · · < an reelle Zahlen, b1 , b2 , . . . , bn > 0 und c 6= 0. Dann besitzt
die Gleichung
b1
b2
bn
+
+ ··· +
=c
x − a1 x − a2
x − an
genau n verschiedene reelle Lösungen.
4.2. Zu a, b, c ∈ R mit a > 0 bestimme man α, β ∈ R so, dass
√
lim
ax2 + bx + c − αx − β) = 0
x→∞
gilt.
4.3. Untersuchen Sie ob folgende Grenzwerte existieren und bestimmen Sie diese gegebenenfalls:
x3 + x2 − x − 1
x→−1
x+1
3
2
x +x −x−1
(c) lim
x→1
x2 − 1
√
1 − 1 − x2
(e) lim
x→0
x2
(a) lim
x3 + x2 − x − 1
x→1
x−1
log x
x
(d) lim
x→∞ ex
(f ) lim | sin x|1/x
(b) lim
x→∞
4.4. Berechnen Sie die Ableitungen folgender Funktionen:
(b) log(log(x)),
x>1
1+x
(d) arctan
,
x 6= 1
1−x
sin x
(f )
,
x 6= 0
x
Bestimmen Sie jeweils den größtmöglichen Definitionsbereich, auf den die Funktion beziehungsweise deren Ableitung eindeutig stetig fortsetzbar ist.
(a) xx ,
x>0
p √
(c) esin x ,
x>0
1
(e) x2 sin ,
x 6= 0
x
c
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Lösungen
4.1. Beweisen Sie:
(a) Jedes reelle Polynom ungeraden Grades besitzt mindestens eine Nullstelle.
(b) Seien a1 < a2 < · · · < an reelle Zahlen, b1 , b2 , . . . , bn > 0 und c ∈ R. Dann besitzt
die Gleichung
b1
b2
bn
+
+ ··· +
=c
x − a1 x − a2
x − an
genau n verschiedene reelle Lösungen.
Lösung 4.1.
(a) Sei p(x) Polynom vom Grad 2k + 1,
p(x) = a2k+1 x2k+1 + a2k x2k + · · · + a1 x + a0 ,
aj ∈ R.
Sei oBdA a2k+1 > 0. Dann ist p : R → R stetig und es gilt
p(x) > 0,
x≥R
und
p(x) < 0,
x ≤ −R
für R groß genug. Nach den Zwischenwertsatz muss es also ein x ∈ (−R, R) mit p(x) = 0
geben.
(b) Sei für x 6= aj , j = 1, . . . , n,
f (x) =
b2
bn
b1
+
+ ··· +
− c.
x − a1 x − a2
x − an
Die Funktion f ist mit Ausnahme der Punkte aj stetig, weiterhin gilt
lim f (x) = −∞,
x→aj −
lim f (x) = ∞
x→aj +
zusammen mit limx→±∞ f (x) = −c.
Die Existenz von n Nullstellen folgt wiederum mit den Zwischenwertsatz, es sind genau
n da nach Multiplikation mit dem Hauptnenner eine Polynomgleichung n-ter Ordnung
entsteht und diese im Komplexen höchstens n Nullstellen besitzen kann.
c
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4.2. Zu a, b, c ∈ R mit a > 0 bestimme man α, β ∈ R so, dass
√
lim
ax2 + bx + c − αx − β) = 0
x→∞
gilt.
Lösung 4.2.
Es gilt
lim
√
x→∞
ax2 + bx + c − (α2 x2 + 2αβx + β 2 )
√
ax2 + bx + c − αx − β = lim
.
x→∞
ax2 + bx + c + αx + β
Da sich der Nenner wie x verhält, kann der Grenzwert nur dann 0 sein, wenn
a = α2 ,
und damit α =
√
a und β =
b
√
2 a
b = 2αβ
gilt.
Ergänzend zu den Rechenregeln für Grenzwerte von Folgen gelten:
Regel 1 Ist f stetig in x0 , so gilt limx→x0 f (x) = f (x0 ).
Regel 2 Ist g stetig und existiert limx→x0 f (x), so gilt limx→x0 g(f (x)) = g(limx→x0 f (x)).
Regel 3 Gilt limy→y0 g(y) = x0 , so folgt limx→x0 f (x) = limy→y0 f (g(y)).
4.3. Untersuchen Sie ob folgende Grenzwerte existieren und bestimmen Sie diese gegebenenfalls:
x3 + x2 − x − 1
x→−1
x+1
3
2
x +x −x−1
(c) lim
x→1
x2 − 1
√
1 − 1 − x2
(e) lim
x→0
x2
(a) lim
x3 + x2 − x − 1
x→1
x−1
log x
x
(d) lim
x→∞ ex
(f ) lim | sin x|1/x
(b) lim
x→∞
Lösung 4.3.
(a) Es gilt
x3 + x2 − x − 1 = (x + 1)(x2 − 1) = (x + 1)2 (x − 1)
und damit
x3 + x2 − x − 1
= lim (x2 − 1) = 0.
x→−1
x→−1
x+1
lim
(b)
x3 + x 2 − x − 1
= lim (x + 1)2 = 4.
x→1
x→1
x−1
lim
c
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(c)
x3 + x2 − x − 1
= lim (x + 1) = 2.
x→1
x→1
x2 − 1
lim
(d)
xlog x
2
2
= lim e(log x) −x = elimx→∞ ((log x) −x) = 0,
x
x→∞ e
x→∞
2
da lim ((log x) − x) = −∞.
lim
x→∞
(e)
lim
x→0
1−
√
1
1
1 − x2
1 − (1 − x2 )
√
√
= lim
=
=
lim
2
x→0 1 +
x→0 x2 1 +
x
2
1 − x2
1 − x2
(f ) Der Grenzwert existent nicht, alle Punkte im Intervall [0, 1] sind Häufungspunkte der
Funktion | sin x|1/x für x → ∞. Da die Menge der Häufungspunkte ein Intervall bilden
muss (warum?), folgt dies aus | sin xk |1/xk = 0 für xk = kπ → ∞ und | sin xk |1/xk = 1 für
xk = kπ + π2 → ∞.
4.4. Berechnen Sie die Ableitungen folgender Funktionen:
(b) log(log(x)),
x>1
1+x
(d) arctan
,
x 6= 1
1−x
sin x
(f )
,
x 6= 0
x
Bestimmen Sie jeweils den größtmöglichen Definitionsbereich, auf den die Funktion beziehungsweise deren Ableitung eindeutig stetig fortsetzbar ist.
(a) xx ,
x>0
p √
(c) esin x ,
x>0
1
(e) x2 sin ,
x 6= 0
x
Regeln zum Berechnen von Ableitungen:
Regel 1 (f (x) + g(x))0 = f 0 (x) + g 0 (x)
Regel 2 (f (x)g(x))0 = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x) und
f (x)
g(x)
0
=
f 0 (x)g(x)−f (x)g 0 (x)
(g(x))2
Regel 3 f (g(x))0 = f 0 (g(x))g 0 (x)
Regel 4 Ist f 0 (x) 6= 0 und y = f (x), so gilt (f −1 (y))0 =
c
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1
.
f 0 (x)
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Wichtige Ableitungen:
Versuchen Sie diese alle zu beweisen!
(a) (xn )0 = nxn−1 für alle n ∈ Z
(b) (ex )0 = ex
(c) (sin x)0 = cos x und (cos x)0 = − sin x
(d) (sinh x)0 = cosh x und (cosh x)0 = sinh x
(e) (log x)0 =
1
x
(f ) (arctan x)0 =
1
1+x2
(g) (arcsin x)0 = (− arccos x)0 =
(h) (arsinh x)0 =
√ 1
x2 +1
√ 1
1−x2
und (arcosh x)0 =
√ 1
x2 −1
Lösung 4.4.
(a)
d x
d x log x
x =
e
= ex log x (1 + log x)
dx
dx
(b)
d
1 d
1
log log x =
log x =
dx
log x dx
x log x
(c)
√
√
√
1
esin x d
d p sin √x
d sin √x
1 p sin √x cos x
√
= √ √
= √ √
e
e
sin x =
e
dx
2
2 x
2 esin x dx
2 esin x dx
(d)
d
arctan
dx
1+x
1−x
=
1
1+x 2
1 + 1−x
1
= 2
x +1
1
2
d 1+x
2
=
=
2
2
2
dx 1 − x
(1 − x)
(1 − x) + (1 + x)2
1 + 1+x
1−x
(e)
d 2
1
1
1
x sin = 2x sin − cos
dx
x
x
x
(f )
d sin x
x cos x − sin x
=
dx x
x2
c
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