Aufgabe 1 Aufgabe 2

Übungen zu Algorithmik I
Wintersemester 2004/05
Prof. Dr. Herbert Stoyan, Dr.-Ing. Bernd Ludwig
Aufgabenblatt 14 (Lösungen) vom 30.01.2005
Aufgabe 1
Graphen
Tafelübung
1. Der Graph schaut aus, wie folgt:
B
E
D
C
A
2. Der Graph ist kein Baum und hat die folgenden Zyklen:
A, B, D, A
A, D, B, A
B, D, A, B
B, A, D, B
D, A, B, D
D, B, A, D
3. Der folgende Graph hat keine Zyklen und ist kein Baum:
Knoten: A, B
Kanten: keine Kanten
Aufgabe 2
Tiefen- und Breitensuche in Graphen
Tafelübung
1. Es ergibt sich die folgende Warteschlange:
Schritt:
1
2
3
4
5
6
Warteschlange:
A
B, C, D
C, D
D, E
E
leer
1
2. Es ergibt sich z.B. folgender Keller:
Schritt:
1
2
3
4
5
6
Keller:
A
B, C, D
C, D
E, D
D
leer
Aufgabe 3
Kürzeste Pfade in Graphen
Tafelübung
1. Im Folgenden sind für jeden Schritt bei der Ausführung des Algorithmus die Kostentabelle und die noch abzuarbeitende Warteschlange angegeben. Die Warteschlange enthält als
Elemente Paare von Positionen der alpabetisch sortierten und durchnumerierten Knoten.
(a) Initialisierung:
Kostentabelle:
Knoten
A B C
Position
1 2 3
Gesamtgewicht 0 10 2
D
4
1000
E
5
6
F
6
1000
G
7
1000
H
8
1000
Warteschlange:
zu besuchende Kante
(1,3)
(1,5)
(1,2)
Gesamtkosten der Kante
2
6
10
Baum der kürzesten Pfade:
A
(b) nächster Schritt:
Kostentabelle:
Knoten
A B C
Position
1 2 3
Gesamtgewicht 0 10 2
D
4
1000
E
5
6
F
6
20
G
7
1000
Warteschlange:
zu besuchende Kante
(1,5)
(1,2)
(3,2)
(3,6)
Baum der kürzesten Pfade:
2
Gesamtkosten der Kante
6
10
17
20
H
8
1000
C
A
(c) nächster Schritt:
Kostentabelle:
Knoten
A B
Position
1 2
Gesamtgewicht 0 10
C
3
2
D
4
1000
E
5
6
F
6
20
G H
7 8
23 1000
Warteschlange:
zu besuchende Kante
(1,2)
(5,2)
(3,2)
(3,6)
(5,7)
Gesamtkosten der Kante
10
11
17
20
23
Baum der kürzesten Pfade:
C
A
E
(d) nächster Schritt:
Kostentabelle:
Knoten
Position
Gesamtgewicht
A B
1 2
0 10
C
3
2
D
4
15
E
5
6
F
6
20
G H
7 8
23 1000
Warteschlange:
zu besuchende Kante
(2,4)
(3,2)
(3,6)
(5,7)
Baum der kürzesten Pfade:
3
Gesamtkosten der Kante
15
17
20
23
C
A
B
E
(e) nächster Schritt:
Kostentabelle:
Knoten
A B
Position
1 2
Gesamtgewicht 0 10
C
3
2
D
4
15
E
5
6
F
6
19
G H
7 8
23 34
Warteschlange:
zu besuchende Kante
(4,6)
(3,6)
(5,7)
(4,8)
Gesamtkosten der Kante
19
20
23
34
Baum der kürzesten Pfade:
C
A
B
D
E
(f) nächster Schritt:
Kostentabelle:
Knoten
A B
Position
1 2
Gesamtgewicht 0 10
C
3
2
D
4
15
E
5
6
F
6
19
G H
7 8
23 29
Warteschlange:
zu besuchende Kante
(3,6)
(5,7)
(6,8)
(4,8)
Baum der kürzesten Pfade:
4
Gesamtkosten der Kante
20
23
29
34
C
A
F
B
D
E
(g) nächster Schritt:
Kostentabelle:
Knoten
A B
Position
1 2
Gesamtgewicht 0 10
C
3
2
D
4
15
E
5
6
F
6
19
G H
7 8
23 29
Warteschlange:
zu besuchende Kante
(6,8)
(7,8)
(4,8)
Gesamtkosten der Kante
29
29
34
Baum der kürzesten Pfade:
C
A
F
B
D
E
G
(h) nächster Schritt: Kostentabelle:
Knoten
A B
Position
1 2
Gesamtgewicht 0 10
C
3
2
D
4
15
E
5
6
F
6
19
G H
7 8
23 29
Warteschlange:
zu besuchende Kante
(4,8)
(4,8)
Baum der kürzesten Pfade:
5
Gesamtkosten der Kante
34
29
C
A
F
B
D
E
H
G
(i) nächster Schritt: Warteschlange ist leer. Ende.
Aufgabe 4
Dijkstras Algorithmus
28 Punkte
1. Siehe Musterlösung! 28
28
28
Aufgabe 5
Endliche Automaten als Graphen
28 Punkte
1. Der Ausdruck führt zu folgendem Automaten: 4
[’0’ .. ’9’]
[’0’ .. ’9’]
[’0’ .. ’9’]
’.’
2. Siehe Musterlösung! 24
[’0’ .. ’9’]
28
28
6