Analysis / Zahlentheorie
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Analysis / Zahlentheorie Diese Liste von Begriffen ist als roter Faden “ durch ein Vorlesungsskript gedacht. Begriffe, die gar nicht vorkommen, ” werden in der Prüfung nicht abgefragt. Ansonsten reicht es nicht, nur die Begriffe zu kennen. Auch Aussagen im Umfeld dieser Begriffe gehören zum Prüfungsstoff. Die Begriffe und dazugehörigen Aussagen sollten auf einfache Beispiele angewendet werden können. Zur Bedeutung des Sterns * “ siehe unten. Fett gedruckte Begriffe gehören fast immer zu den Prüfungsfragen. ” Grundlagen Vollständige Induktion, Bernoullische Ungleichung*, Binomischer Lehrsatz, reelle Zahlen (Axiome, Unterschied √ zu rat. und komp. Zahlen), Beweis der Aussage: 2 ist keine rationale Zahl, endliche geometrische Reihe*. Folgen und Reihen Folgen: Konvergenz von Folgen, Eindeutigkeit des Grenzwertes, monotone Folgen, Cauchyfolgen. Reihen: Grenzwert der geom. Reihe*, Quotientenkriterium*, Limesform des Quotienten- und Wurzelkriteriums, Leibnizsches Kriterium, Majoranten- und Minorantenkriterium, Divergenz der harmonischen Reihe, Exponentialreihe (reellw., komplexw., Beweis der Konvergenz für die reellw. Exp.Reihe), b-adische Brüche (siehe Internetseite), Konvergenz im IRn . Funktionen Stetigkeit (Definition über Folgen, -δ-Kriterium, wichtige Sätze über stetige Funktionen (u. a. Zwischenwertsatz, Anwendungen des Zwischenwertsatzes), elementare Funktionen (Exponentialfunktion reell- und komplexwertig, |eix |, trig. Funktionen mit Umkehrfunktionen, sin und cos als Reihen und als Real- bzw. Imaginärteil von eix , Eulersche Formel), Logarithmus und allgemeine Exponentialfunktion, Potenzreihen (Konvergenzradius, rationale Funktionen als Potenzreihen), Stetigkeit im IRn . Differentiation (ein- und mehrdim. Abbildungen) Eindimensional: Definition, Ableitung der Umkehrfunktion, Kettenregel, Satz von Rolle, Mittelwertsätze, Extrema, Taylorpolynome, Taylorreihe, Ableitung von Potenzreihen. Mehrdimensional: Partielle Ableitung, Gradient, Hesse-Matrix, Extrema. Kurven Definition, Länge einer Kurve, Graph einer Funktion f : [a, b] → IR als Kurve h : [a, b] → IR2 beschreiben (besondere Formel für die Länge in diesem Fall). Integration Definition des Riemann-Integrals, Mittelwertsatz der Integralrechnung, unbestimmtes Integral, Stammfunktion, Fundamentalsatz der Integral- und Differentialrechnung, Integrationstechniken (partielle Integration, Substitution). Differentialgleichungen Definition, Richtungsfeld, Existenz- und Eindeutigkeitssatz, elementare Lösungsmethoden (getrennte Variablen, Variation der Konstanten), lineare DGLen (Struktur der Lösungsmenge, DGLen mit konstanten Koeffizienten, charakteristisches Polynom). Zahlentheorie (Literatur: Padberg, Friedhelm: Elementare Zahlentheorie, 3. Auflage, Spektrum Verlag 2008. Exemplare unter 17/SK... und 80/SK... vorhanden.) Gefragt wird als Einstieg immer: Was ist eine Primzahl? Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Ansonsten sind die Stellen genau angegeben, die zum Prüfungsstoff gehören. Kapitel III (Primzahlen): Def. 1,2, Sätze 1,2*,4*,6, Sieb des Eratosthenes. Kapitel IV (Primzahlen - Bausteine ...): Satz 2. Kapitel V (ggT und kgV): Sätze 2,3,5,12,15,17*. Kapitel VI (Kongruenzen/Restklassen): Def. 1,5, Sätze 1,2,19,20*. Kapitel VIII (Teilbarkeitsregeln): Sätze 7*,13. Kapitel IX (Dezimalbrüche): Sätze 2,3,11. Das RSA-Verfahren (siehe Internetseite). Bei den mit * gekennzeichneten Sätzen wird auch nach der Beweisidee gefragt.
