Arbeitsblatt IV: Partielle und totale Ableitung, totales Differential

Mathematische Methoden der Physik I
WS 16/17
Arbeitsblatt IV
Diesmal steht das Thema “Ableitungen” auf dem Progamm.
Aufgabe 11:
Wie in der Vorlesung erläutert, ist für viele Zwecke der Begriff der partiellen Ableitung hilfreich.
Letztere sei an folgenden Beispielen geübt:
(a) Sei f (x1 , x2 ) = 2x31 x2 .
Wie lauten
1
(b) Sei g(x, z) = 2 sin(x) + .
z
(c) Sei h(a, b, c) =
a + c2
.
b
∂f
∂f
und
?
∂x1
∂x2
Wie lauten
Wie lauten
∂g ∂g
∂g
,
und
?
∂x ∂y
∂z
∂h ∂h
∂h
,
und
?
∂a ∂b
∂c
Aufgabe 12:
Die Zustandsgleichung eines idealen Gases lautet pV = nRT , wobei n die (konstante) Zahl
der Mole des Gases, p den Druck, V das Volumen und T die Temperatur bezeichnet. R ist die
∂p ∂V ∂T
.
Gaskonstante. Bestimmen Sie das Produkt
∂V ∂T ∂p
Aufgabe 13:
(a) Berechnen Sie die totale Ableitung der Funktion f (x1 , x2 ) = x21 x32 nach u, wenn x1 = u2 und
x2 = cos u ist, indem Sie zunächst x1 (u) und x2 (u) in die Funktion f einsetzen und anschließend
df
∂f dx1 ∂f dx2
differenzieren. Berechnen Sie die totale Ableitung alternativ gemäß
=
+
.
du
∂x1 du ∂x2 du
(b) Wie lautet das totale Differential der Funktion f (x) = ax2 , a = const.?
(c) Wie lautet das totale Differential der Funktion f (x, a) = ax2 ?
Aufgabe 14:
~ 1 , x2 , x3 ) = (x2 − 1, sin(x2 ) − 2x1 x2 , −x3 cos(x2 )) in kartesischen
Gegeben sei ein Vektorfeld B(x
1
Koordinaten – Sie können sich dieses Feld z.B. als Magnetfeld vorstellen.
3
X
∂Bi
Berechnen Sie für dieses Feld den Ausdruck
.
∂x
i
i=1
Später werden wir sehen, dass dieser Ausdruck für jedes Magnetfeld den selben Wert liefert.
=⇒
b.w.
VA 4:
Herr Preuß möchte, dass die Studierenden frühzeitig das Gelernte an verschiedenartigen Beispielen üben. Dazu lässt er die Studierenden gerne folgendes Problem aus der Elektrodynamik
bearbeiten und weist stets ausdrücklich darauf hin, dass dazu keine Vorkenntnisse zur Elektrodynamik erforderlich sind: Die Bewegung eines Elektrons mit der Masse m werde durch den
zeitabhängigen Ortsvektor


a cos(ω t)
~r(t) = a sin(ω t)
vo t
beschrieben, wo a eine konstante Länge, ω eine konstante Winkelgeschwindigkeit und v0 eine
konstante Geschwindigkeit ist. Nachdem man sich eine Vorstellung von der Bahn des Elektrons
gemacht hat, kann man zeigen, dass diese Bewegung des Elektrons unter Einwirkung der so
~ zustande kommt, wenn B
~ = −B~e3 ein zeitlich und
genannten Lorentz-Kraft F~ (~r˙ ) = q (~r˙ × B)
räumlich konstantes Magnetfeld und q die Ladung des Elektrons ist: Dazu zeigt man, dass
~r(t) der Newtonschen Bewegungsgleichung m ~r¨(t) = F~ (~r˙ (t)) genügt. Was ergibt sich für die
Konstanten a, ω, v0 ? Wie man sieht, werden a und v0 durch die Bewegungsgleichung nicht
festgelegt. Wodurch aber dann? Schließlich kann man sogar die Leistung der Kraft, P = F~ · ~v,
und die kinetische Energie des Elektrons berechnen.
VA 5:
Zur Vorbereitung der Aufgabe 15 hat Herr Preuß das Vektorfeld
~ 1 , x2 , x3 ) = (x3 sin(x2 ), x3 , x2 x2 )
A(x
1
definiert und dann folgenden Ausdruck berechnet:
3
X
i,j,k=1
ijk
∂Aj
~ek (vgl. Abschnitt 1.2.5 im
∂xi
~ und das Vektorfeld B
~
Buch von Korsch). In welchem formalen Zusammenhang stehen also A
aus Aufgabe 15?
Obwohl zwar Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat Condorcet
(1743 - 1794) das Symbol “∂” erstmals verwendete geht die Notation ∂u/∂x für die partielle Ableitung einer Funktion u nach der
Variablen x auf Adrien Marie Legendre zurück, der diese in einer
im Jahre 1786 publizierten Arbeit angab (und sie anschließend
wieder verwarf – erst Carl Gustav Jacob Jacobi führte sie 1841
wieder ein.)
Legendre hat zwar hauptsächlich mathematische Arbeiten
veröffentlicht, aber auch Beiträge zur Physik geleistet. Insbesondere beschäftigte er sich mit der so genannten Himmelsmechanik,
also der Bewegung der Himmelskörper. Seine Arbeit “Recherches
sur la figure des planètes” (1784) enthält übrigens die heute so
bezeichneten Legendre-Polynome.
Adrien-Marie Legendre (1752 - 1833) hat
auch 1806 als Erster
die Methode der kleinsten (Fehler-)Quadrate
publiziert.