Formelsammlung (2. Teil

E-Dynamik Teil II
IV Der elektrische Strom
4.1 Stromstärke, Stromdichte, Kontinuitätsgleichung
Definition der Stromstärke:
ist die durch eine Querschnittsfläche pro Zeitintervall ∆ fließende Ladungsmenge ∆
, (4.3)
Bei stationären Strömen ist I durch jeden Gesamtquerschnitt des Leiters gleich.
Konventionelle Stromrichtung: vom Pluspol zum Minuspol
Stromdichte
(4.8)
Strom durch Fläche A
(4.10)
Stationärer Strom bedeutet, dass überall zeitlich konstant ist, d.h. es tritt keine Ladungsakkumulation auf.
0
Aus Ladungserhaltung folgt dann für stationäre Ströme
Kontinuitätsgleichung
$ ! "#
(4.11)
(4.12)
Ladungsfluss durch geschlossene Fläche = zeitliche Änderung der Ladung im Volumen
4.2 Elektrischer Widerstand
%
Definition:
% $
Ω
Differentielle Form:
) ist die elektrische Leitfähigkeit, ! ) +
, !
Ω-
Ωm
+
,
&
'
„elektrischer Widerstand“
)*
(4.14)
(4.15)
heißt spezifischer Widerstand
Berechnung von R für homogene, isotrope ohmsche Leiter mit konstantem Querschnitt:
&
'
/0
0
/, , 10
% 234
4.3 Temperaturabhängigkeit von Widerständen
%567 %8 51 : ;67
;: Temperaturkoeffizient des elektrischen Widerstandes
Supraleitung: Sprunghafte Änderung der %567- bzw. !567-Kurve bei kleinen Temperaturen
(4.16)
(4.17)
4.4 Elektrische Leistung des Stroms in einem Widerstand, Stromwärme
D
&
E
B
C
=
%
F
U
Stromwärme
Elektrische Leistung
E
$ * ) V Volumen mal Zeit
Volumen
< = > und (4.18), (4.19)
4.5 Mikroskopisches Modell für das Ohm’sche Gesetz (Druck-Modell)
\ *
\
]
` ]
\
Beweglichkeit
\* )
E ^
* )*
_
(4.21)
(4.22)
(4.23)
4.6 Gleichstromkreise
Innenwiderstand %a einer Spannungsquelle verursacht Energieverlust im Inneren einer Spannungsquelle bei
Stromfluss.
= b %a : %c B =h0 = b
= =h0
Bei Stromlosigkeit
Bei großer Belastung %c B 0
%a b
=h0 B 0 und &d
Fe
&d
Fe fFg
Fg
=b
Fe fFg
Kurzschlussstrom
(4.24)
(4.24a)
(4.25)
(4.26)
Cc (Leistung im Lastwiderstand) wird maximal bei %a %c
Kirchoffsche Regeln
∑h h 0
Knotenregel folgt aus 0
(4.27)
∑h =h 0
Maschenregel folgt aus * j 0
(4.28)
Ströme und Spannungen in einem Netzwert Lösen eines linearen Gleichungsystems
Reihenschaltung
% ∑h %h
+
F
Parallelschaltung
+
∑h
Fk
4.7 Elektrolytische Leitung
Elektrolytleiter, bei dem bei Stromdurchgang Zersetzung auftritt
a) Ladungstransport
Strom wird durch positive und negative Ionen getragen
(4.33)
(4.34)
+
5lf mnf f : lo mno o 7 mit nf/o ist die Dichte in q
Binärer Elektrolyt
lmn5|\f | : |\o |7V +
) 1 lmn5|\f | : |\o |7
lf lo
&
&
) 0/ F
l, nf no n
Polarisationsspannungen kennzeichnen elektrolytische Leitung
b) Massentransport, Faraday-Konstante, Faraday-Gesetz
Z-wertiges Ion mit Masse _' gibt bei Neutralisation an Elektrode die Ladung > lm ab
s
abgeschiedene Masse
oder _
tb
abgegebene Gesamtladung
x
_' (Molare Masse)
yz
s
tb
Faraday-Konstante: { n m 96,5  10€ 0
1. Faraday-Gesetz:
2. Faraday-Gesetz:
„
_
x+
t‚
†
… ˆ
‡ „
†
… ˆ
‡ Ä
für 234
(4.40)
(4.42)
V Das Magnetfeld
Magnetismus wird durch bewegte elektrische Ladung hervorgerufen.
Phänomene der Magnetostatik werden durch stationäre Ströme in geschlossenen Stromkreisen
hervorgerufen.
5.1 Magnetische Kraft, magnetische Flussdichte und magnetischer Fluss
‹Œ > x Ž
 y
1
„
$
1 1 6m4‘’ 1 6
‹ ‹b : ‹ >5* : x Ž7
“ Ž Magnetischer Fluss durch Fläche:
Es gilt:
Ž 0
Magnetische Feldlinien sind stets geschlossen, es gibt keine magnetischen Ladungen
5.2 Erzeugung von Magnetfeldern durch bewegte Ladungsträger und Stromschleifen
a) Bewegte Ladungsträger
•
Ž5”7 —˜– >
$
\8 4 10ož magnetische Feldkonstante
x”
”q
—˜– >
•
Ÿ ¡¢ £
¤
 —˜– >
•
x 5™o™š 7
|™o™›|q
(5.1)
(5.2)
(5.3)
(5.4)
(5.5)
Feldlinien sind Kreise um die Bewegungsrichtung (Rechte-Hand-Regel)
b) Stromelement "¥
• 5™›7 x ”
"#¦
”q
•– ¥ x 5™o™š 7
|™o™›|q
—˜
"Ž5”7 —˜–
"5§7 für dünnes Stromelement gilt:
c) Stromschleife
Superposition der Anteile "Ž
•
5§7 —˜– $›
x 5™o™š7
"#¦
|™o™›|q
•
—˜– Biot-Savart’sche-Gesetz
5.3 Amperescher Verkettungssatz (Durchflutungsgesetz)
I ist dabei der von K umschlossene Strom
(5.6)
(5.7)
¥ x 5™o™š 7
|™o™›|q
(5.9)
¨ Ž j \8 (5.10)
¨ Ž j \8 (5.11)
5.4 Anwendungsbeispiele
a) B im Zentrum einer kreisförmigen Stromschleife mit Radius R und Strom I
•
Ž507 —˜– 507 '
\8 EF
¥š x ©–™š«
Fq
b) B auf der Achse einer kreisförmigen Stromschleife im Abstand §¬ , magnetischer Dipol
•
0 š
(5.12)
"5§¬ 7 —˜– F f­ , aus Symmetriegründen: ® 5§¬ 7 0
¬
"¬ 5§¬ 7 "5§¬ 7 cos ¯ ¬ 5§¬ 7 \8 F
q
E©F f­¬ «
F
°F f­¬
•
" —˜– %
0 š
q
©F f­¬ «
(Vektor zeigt in Richtung der Flächennormalen)
(5.15)
(5.16)
Das durch einen stationären Kreisstrom hervorgerufene B-Feld ist in weiter Entfernung von der
Stromschleife identisch in der Form mit dem elektrischen Feld eines elektrischen Dipols.
Magnetisches Dipolmoment:
±Œ (5.18)
Magnetisches Moment einer stationären Stromdichteverteilung 5§ › 7 im Volumen #¦
+
±Œ $› ™› x 5™› 7"€ §¦ "¥¦ für dünne Leiter
E
c) Langer, gerader homogener Leiter
• ' ²³ ´´
¤
"5™7 —˜–
'
B 5’7 \8 E˜¤
(5.21)
B hängt nur von Abstand a ab Feldlinien umschließen den Leiter kreisförmig.
d) Magnetfeld einer Spule(N Windungen auf der Gesamtlänge l)
y
"µ¦
0
Spulenwindungen auf Länge "µ¦
"¬ 5µ7 ¶\8 ¬ 5µ7 •–
E
y
0
¶
F
q
E5F f5· š o·7 7
0o·
„
5F f50o·7 7
:
VI Bewegung geladener Teilchen im Magnetfeld
y
¸ 0 "µ¦
·
„
5F f· 7
¸
Kräfte auf Ladungsträger = Kräfte auf den Leiter
"‹Œ "> x Ž x Ž " € §
‹Œ $ 5™7x Ž5™7" §
€
(6.1)
(6.2)
¹Œ $ ™ x ©5™7x Ž5™7«"€ §
Drehmoment:
(5.22)
a) Kraft "‹Œ auf Stromelement "¥
(6.3)
"‹Œ "¥5™7 x 5™7
(6.4)
b) Spezialfall: homogener gerader Leiter mit konstantem Querschnitt im homogenen Feld B, Länge l
‹Œ ¥ x Ž
(6.5)
c) Kraft auf starre Stromschleife
‹Œ ºb»¼0.¿»¼0baÀb "¥5™7 x 5™7 ºb»¼0.$0¾b` 5™7x Ž5™7"€ §
Im homogenen Magnetfeld wird Kraft Null.
d) Drehmoment auf eine ebene, starre Stromschleife im homogenen Feld
Kräfte die am Schwerpunkt angreifen sind Null.
¹Œ Á x ‹ Œ
 à ‘ sin Ä  sin Ä (Winkel zwischen Flächennormale und B)
¹Œ x Ž ±Œ x Ž
n-Windungen Drehmoment vergrößert sich um Faktor n
(6.7) gilt für beliebig geformte ebene Stromschleifen
e) Halleffekt
Im Gleichgewicht gilt:
f)
VÅ {b {
%Å  m VÅ ÆÇ
yÈ
(6.6)
(6.7)
m 5 x 7
+
%Å yÈ Hall-Konstante
=Å VÅ Ã %Å
'É

(6.8)
Kraft zwischen parallelen, stromdurchflossenen Leitern im Abstand a
'
‹ŒÊ + ¥Ê x ŽË mit E \8 E˜¤
•
0
–
{+ E˜¤
+ E ¤„
‹ŒÊ ‹ŒË
(6.10)
6.2 Bewegung geladener Teilchen im Magnetfeld
a) Bewegung im homogenen Magnetfeld mit Ì Ž
{ > _ÍE § _
Í·Îh0 ÈÇ
Ÿ
­
(6.12)
(Zyklotronfrequenz)
(6.13)
b) nicht senkrecht zu B
Wegen ‹Œ > x Ž erfährt die Geschwindigkeitskomponente parallel zu B keine (Ablenkungs)Kraft
spiralförmige Bahn (Bsp.: Polarlichter)
c) Allgemeiner Fall
{ {b : { > 5V : x 7
(6.14)
Wienfilter * Ì Ž: nur Teilchen mit /
Ç
gelangen durch beide Spalten
Bsp.: Massenspektrometer
VII Induktion, elektrischer Schwingkreis
_
ÈÇǚ ­
/
7.1 Bewegter Leiter im Magnetfeld
{ m 5 x 7 =a` ‘ 
(7.1)
Stab gleitet auf leitender Schleife mit "Ï ", Messgerät zeigt Strom an, der durch =a` hervorgerufen
wird.
Zusammenhang zwischen =a` und Änderung des magn. Flusses: "“  "  ‘ "Ï
(7.2)
ÐÑ
7.2 Faradysches Induktionsgesetz
Ò
ÐÑ
 ‘  ‘ B =a` ÐÑ
=a` ¨ * "j …
‘
(7.3)
Ž "ˆ
Feld ist nicht an Materie gebunden, es entsteht auf im Vakuum!
Das durch einen veränderten magnetischen Fluss erzeugte elektrische Feld ist nicht konservativ:
Kein skalares elektrisches Potential
Feldlinien sind geschlossen
¨ * "j verschwindet nicht
Lenz’sche Regel:
Die in Folge induzierter Spannungen auftretenden Ströme sind so gerichtet, dass das Magnetfeld des
induzierten Stroms die Änderung des ursprünglichen Feldes zu hindern bestrebt ist.
7.3 Maxwell’sche Gleichungen in Integralform
Für allgemeine zeitabhängige Ströme gilt:
/
¨  "4 \8 … : Ó8 ˆ "
(7.6)
Bei Vorhandensein einer elektrischen Ladungsdichte !À­ba von freien Ladungen und elektrischen Strömen der
Stromdichte durch bewegte freie Ladungen gelten im Vakuum in jedem Raumpunkt §, zu jeder Zeit , bei
beliebiger Wahl der Integrationsflächen und der sie berandenden Kurven Ô die 4 Maxwell’schen
Gleichungen:

5¨7
¨ V "4 Induktionsgesetz
"
/
¨  "4 \8 5¨7 … : Ó8 ˆ "
Ampere’scher Verkettungssatz
+
Gauß’sches Gesetz für “b0
V " Õ $57 !À­ba "#
–
Gauß’sches Gesetz für “
 " 0
7.4 Selbstinduktion
Stromänderung in Leitersystem Änderung des B-Feldes induzierte Spannung
Ö ist die Induktivität mit Ö 1
$
1 ×m§Ø
=a` '
Ö (7.7)
y E
0
Ö¿Ù¾0b \8 ‘ … ˆ
Induktivität einer langen Spule:
(7.8)
7.5 Anwendungen
a) Ein- und Ausschaltvorgang im Kreis mit Induktivität L und ohmschen Widerstand R
% : Ö
% : Ö
'
'
=8
0
ba` 57 8 Ú1
¤¾ 57 8 m
m
Û
g
o… ˆ
Û
g
o… ˆ
Leistung beim Ausschaltvorgang: (7.11)*I(t) <¿Uo/x¨ +
E
DÑ
$
7.6 Der elektrische Schwingkreis
'
BGL
Lösung
Mit
Þ â Í8 :
Þ
F
Ec
'
8
'
' Ö " –
(7.15)
+ Ç
(7.16)
+
(7.18)
–
F '
: c : c 0
Dämpfungskonstante
oÝ
sin5Í8 ¦7
Í8› áÍ8E
ÞE
+
+
Í8E = 8 5 › 7"¦ 8 ä sin Í8 Periodischer Austausch zwischen elektrischer Enerige
7.7 Erzwungene elektrische Schwingung
'
Wechselspannung anschließen
F '
–
+
c
und magnetischer Energie E Ö E
+
+
57 8 sin5Í : æ7
+
]
ä– oä
F
c
8 E
Í­b
ÍE
Resonanz bei
Zwischen Strom und Spannung besteht Phasenverschiebung æ
8-éê &–
F
+
E]
&–
(7.25)
ç
g
(7.26)
°©ä– oä « fç
è
bei Í­b
ë–
ð–
m a5ìí oìs7 l m añ
l
Reeller Wechselstromwiderstand
Ohmsches Gesetz
7.9 Impedanz einfacher Wechselstromkreise
a) Kreis mit ohm’schen Widerstand
&–
'–
&–
'–
|ï|
ë ïð
ïF ë–
ð–
ë
ð
% lF
òF 0 (da ïF reell) Spannung und Strom sind in einer Phase
b) Kreis mit Kapazität
ï ë–
ð–
ë
ð
+
+
+
ä
ä
˜
um E voraus.
aä Der Strom in der Kapazität eilt der Spannung
ó
(7.27)-(7.29)
(7.31)
7.8 Komplexe Darstellung von Wechselströmen und Spannungen
Summe zweier Ströme (Spannungen) Summe ihrer komplexen Darstellung
aä
ë ë8 m
=8 m aìí m aä
=~ _ 5ë7 =8 sin5 Í : æ& 7
Impedanz von Wechselstromkreisen
ï
(7.19)
+
+
å= E
E
: c : c c =8 Í sin Í
ç
è
tan æ +
Ö 8E (nimmt auf)(7.13)
E
+
Ö 8E (gibt ab)
(7.14)
E
E•
57 8 m
+
(7.11) (7.12)
8– Ö " Ö E
c) Energiedichte des magnetischen Feldes im Vakuum
&–
F
'
Leistung beim Einschaltvorgang: (7.9)*I(t) <¿Uo/x¨ < (7.9) (7.10)
mit 8 b) Gespeicherte Energie in einer stromdurchflossenen Spule
Ü
ô
m oa l m añõ
c) Kreis mit Induktivität
ïc ë
ð
ô
ó ÍÖ ÍÖ m a lc m añg
˜
Die Spannung der Induktivität eilt dem Strom um E voraus.