Analysis 1 I. Mengen, Funktionen und Relationen 1 Mengen

Analysis 1
Literatur
1. H. Heuser. Lehrbuch der Analysis-Teil 1, B.G. Teubner, Stuttgart (1980)
2. O. Forster. Analysis 1,
3. W. Walter. Analysis 1, Springer (2001)
4. S. Hildebrandt. Analysis 1, Springer (2002)
I. Mengen, Funktionen und Relationen
1 Mengen
Definition des Begriffs Menge nach Cantor:
”Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m (die Elemente von M ) unserer Anschauung oder unseres
Denkens zu einem Ganzen. ”
Def. 1.1 Menge X, x Element der Menge X; schreibe: x ∈ X.
Bsp. 1.2 N, Z, Q, R, C.
Def. 1.3 ∅= leere Menge.
Def. 1.4 A ⊂ X : A Teilmenge von B
A ∩ B = Durchschnittsmenge, A ∪ B = Vereinigungssmenge.
Def. 1.6 (Ac ) = Komplement von A,
A \ B = Differenzmenge.
Satz 1.7 (De Morgansche Regeln)
Def. 1.8 (X1 × X2 ) = Kartesisches Produkt von X1 und X2 .
Def. 1.9 {Ai }i∈I = Mengensystem über die Indexmenge I.
Def. 1.10 2X = Potenzmenge von X.
1
2 Funktionen
Def. 2.1
1. f : X → Y ; Funktion (oder Abbildung) von X in Y .
2. D(f ) = Definitionsbereich, f (X) = Wertebereich oder Bildmenge
3. (f −1 (A)) = Urbild von A bezüglich f .
4. G(f ) = Graph der Funktion f .
Def. 2.3 f : X → Y injektiv, surjektiv, bijektiv.
Definition 2.5 g ◦ f = Verkettung von f und g.
Satz 2.6 (Assoziativgesetz der Verkettung) h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f = h ◦ g ◦ f .
Satz 2.7 (Existenz der Umkehrfunktion).
3. Relationen
Def. 3.1 Relation R zwischen X und Y als Teilmenge von X × Y .
Def. 3.2 (Eigenschaften einer Relation R) reflexiv, antisymmetrisch, symmetrisch,
transitiv.
Def. 3.3 Halbordnung, totale Ordnung.
Def. 3.5 Äquivalenzrelation, Äquivalenzklasse, Faktormenge.
4. Mächtigkeit, Kardinalität
Def. 4.1 X ∼ Y : X gleichmächtig Y ,
card(X) = Kardinalzahl (Mächtigkeit) der Menge X.
Bsp. 4.2 endlich, abzählbar, Kontinuum, überabzählbar.
5 Auswahlaxiom, Zornsches Lemma
Axiom 5.1 Das Auswahlaxiom
5.2 Zornsches Lemma
2
II. Axiomatik der reellen Zahlen
6 Körperaxiome
6.1 Körperaxiome (R, +, ·) = Körper der reellen Zahlen,
(R, +) = additive Gruppe, (R∗ , ·) = multiplikative Gruppe,
Assoziativgesetz, Kommutativgesetz (Abelsche Gruppe), Distributivgesetz.
Notation: R∗ := R \ {0}.
Satz 6.3 Eindeutigkeit von 0, 1, −x, x−1 .
Satz 6.4 1. Lösbarkeit der Gleichung: a + x = b.
2. Lösungbarkeit der Gleichung: a · x = b (a 6= 0).
Satz 6.5 x · 0 = 0 · x = 0.
Satz 6.6 Rechenregeln −(−x) = x, x(−y) = −xy, (x − y)z = xz − yz, (x−1 )−1 = x, . . ..
Notation: −M = {−x; x ∈ M }.
7 Anordnungsaxiome
7.1 Anordungsaxiome R+ ⊂ R = Die Menge der positiven reellen Zahen.
Notation: R− = −R+ .
Satz 7.3 Trichotomiegesetz, Monotoniegesetz, Transitivgesetz.
Satz 7.4 x2 > 0. Insbesondere ist 1 > 0.
Notation
x ≤ y :⇔ x < y oder x = y,
x ≥ y :⇔ x > y oder x = y.
Satz 7.5 (R, ≤) ist total geordnete Menge.
Bem. 7.6 (K, +, ·, ≤) angeordneter Körper.
Folg. 7.7 Eigenschaften wie xy > 0 ⇔ x > 0, y > 0 oder x < 0, y < 0.
Satz 7.8 (Arithmetisches Mittel)
3
Notation: Intervalle [a, b], (a, b], [a, b), . . .
8 Vollständigkeitsaxiom
Def. 8.1 obere Schranke, untere Schranke einer Menge M , beschränkte Menge.
Notation: a ≥ M : a obere Schranke von M , a ≤ M : a untere Schranke von M .
Lemma. 8.2 a ≤ M
⇔
−a ≥ −M .
Def. 8.3 sup M = Supremum von M , inf M = Infimum von M .
Bem. 8.4 Eindeutigkeit von sup M, inf M .
Satz 8.5 − inf M = sup(−M ), − sup M = inf(−M ).
Vollständigkeitsaxiom
(A9)
Für jede nach oben beschränkte nichtleere Menge M ⊂ R existiert sup M ∈ R.
Folg. 8.6 Für jede nach unten beschränkte Menge M ⊂ R existiert inf M ∈ R.
Def. 8.7 max M = Maximum von M , min M = Minimum von M ).
Satz 8.9 sup M = min{a; a ≥ M }, inf M = max{a; a ≤ M }.
Satz 8.10 (ε-Bedingung) S = sup M ⇔ ∀ ε ∃a ≥ M : x > S − ε, . . .
Satz 8.11 A ≤ B
⇒
sup A ≤ inf A.
Satz 8.12 R ist nach unten und oben unbeschränkt.
9 Das Schnittaxiom
(Schnittaxiom)
(A10) Für je zwei nichtleere Mengen A, B ⊂ R mit A ≤ B und A ∪ B = R existiert
ein t ∈ R mit A ≤ t ≤ B.
Bem. 9.1 Eindeutigkeit der Schnittzahl.
Satz 9.2 (A.9) ⇐⇒ (A.10).
Satz 9.3 sup(A + B) = sup A + sup B.
4
10 Prinzip der vollständigen Induktion
Def. 10.1 Induktive Menge.
Def. 10.2 N = Menge der natürliche Zahlen.
Notation N0 := N ∪ {0}.
Satz 10.3 (Prinzip der vollständigen Induktion) N kleinste induktive Menge.
Folg. 10.4 N ≥ 1 > 0, −N ≤ −1 < 0.
Satz. 10.6 n, m ∈ N ⇒ n + m ∈ N, n < m ⇒ m − n ∈ N.
Satz 10.7 (n, n + 1) ∩ N = ∅.
Satz 10.8 (Wohlordnung von N)
Notation. {1, 2, . . . , n} = {k ∈ N ; 1 ≤ k ≤ n} (n ∈ N), 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, . . ..
Def. 10.9 Endliche Menge, card(M ) = Kardinalzahl.
Notation n = card{1, . . . , n}.
Satz 10.10 M ⊂ N beschränkt, so ist M endlich.
Satz 10.11 (Satz des Archimedes) Für alle x ∈ R ∃n ∈ N mit n > x.
Satz 10.12 (Satz des Eudoxos)
Folg. 10.13 a ≤ b +
c
n
∀n ∈ N
⇒
a≤b
11 Die ganzen Zahlen
Def. 11.1 (Die ganzen Zahlen) Z := −N ∪ {0} ∪ N = Menge der ganzen Zahlen.
Bem. 11.2 Sei n ∈ R eine ganze Zahl. Dann trifft genau eine der folgenden Eigenschaften zu:
−n ∈ N, n = 0, n ∈ N.
Satz 11.3 (Z, +) ist additive Gruppe.
Bem. 11.4 (Z; +, ·) ist ein Ring.
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Satz 11.5 (Haupsatz für Z)
1. n < m =⇒ n + 1 ≤ m
2. (n, n + 1) ∩ Z = ∅.
3. Wohlordnung.
Satz 11.6 (Gaussklammer) bxc: Abrunden, dxe: Aufrunden.
Folg. 11.7 (x, x + 1] ∩ Z = ∅, [x, x + 1) ∩ Z = ∅.
Bem. 11.8 y − x > 1 ⇒ (x, y) ∩ Z 6= ∅.
12 Die rationalen Zahlen
n
Def. 12.1 (Die rationalen Zahlen) Q :=
rationalen Zahlen.
n
m
o
; n, m ∈ Z, m 6= 0 = Menge der
Notation: Q∗ = Q \ {0}.
Satz 12.2 (Q; +, ·, ≤) ist ein angeordneter Körper.
Satz 12.3 (Dichtheit von Q in R)
Bem. 12.4 x2 = 2 in Q nicht lösbbar.
Notation: R \ Q Menge der irrationalen Zahlen.
Lemma 12.5 ∃!a ∈ R+ \ Q mit a2 = 2.
13 Rekursion, Kombinatorik
Def. 13.1 Φ = Rekursionsvorschrift. f : rekursiv definierte Funktion bezüglich der
Rekursionsvorschrift Φ.
Bsp. 13.2 Fakultät n! = (n − 1)!n.
1. Problem: Verteilung n Kugeln auf m Behälter.
2. Problem: Verteilung k rote und (n − k) weiße Kugeln in n Behälter.
α
k
Def 13.3 (Binominialkoeffizienten)
Satz 13.4 (Pascalsche Dreieck)
n
n
Y
P
Notation
ai und
ai .
i=1
n+1
k
= Binominialkoeffizient.
=
i=1
6
n
k
+
n
k−1
.
Def. 13.5 (m-te Potenz) x0 = 0, xm , x−m .
Potenzgesetze xm+n = xm xn , . . ..
Satz 13.6 (Binomischer Lehrsatz) (a + b)n =
n
P
k=0
n
k
n−k k
a b .
14 Bernoullische Ungleichung und Wurzeln
Satz 14.1 (Bernoullische Ungleichung) (1 + x)m ≥ 1 + mx.
Folg. 14.2 am − bm ≤ mam−1 (a − b).
Satz 14.3 (Die m-te Wurzel)
Notation b1/m :=
√
m
b.
Def. 14.4 (Rationale Potenzen)
Potenzgesetze ar+s = ar as , a−r = 1/ar .
Folg. 14.5 r > 0, ar < br ⇔ a < b ∀ a, b ∈ R+ .
Folg. 14.6 (Konvexitätsungleichung) a
1
1− n
1
n
b ≤ 1−
1
n
a + n1 b.
15 Arithmetisches, geometrisches, harmonisches Mittel
Def. 15.1 (Arithmetisches, geometrisches und harmonisches Mittel)
A(x1 , . . . , xn ) = arithmetisches Mittel der Zahlen x1 , . . . , xn ,
G(x1 , . . . , xn ) = geometrisches Mittel der Zahlen x1 , . . . , xn ,
H(x1 , . . . , xn ) = harmonisches Mittel der Zahlen x1 , . . . , xn .
Satz 15.2 (H ≤ G ≤ A)
Folg. 15.4 (Konvexitätsungleichung) a1−r br ≤ (1 − r)a + rb.
Folg. 15.5 a > 1, 0 < s − r < 1 :
0 < as − ar < (s − r)ar (a − 1).
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16 Komplexe Zahlen
Def. 16.1 (Komplexe Zahlen) C ∼
= R2 = komplexe Zahlenebene.
z = a + ib ∈ C, a = Re(z) = Realteilteil von z, a = Im(z) = Imaginärteil von z
i = imaginäre Einheit, i2 = −1.
Satz 16.2 (C; +, ·) Körper der komplexen Zahlen.
Def. 16.3
p 1. z = konjungiert komplexe Zahl zu z.
2. |z| = x2 + y 2 = Betrag von z.
Satz 16.4 (Rechenregeln konjugiert komplex, Betrag)
Satz 16.5 Re(z1 z 2 ) ≤ |z1 | |z2 |.
Satz 16.6 (Dreiecksungleichung) |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |.
Bem. 16.7 1. C ist kein angeordneter Körper
2. R ist in C eingebettet
R⊂C
√
2
|x| := |x + i0| = x = Betrag von x ∈ R.
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III. Abstand, Konvergenz von Folgen
17 Abstand, Folgen
Def. 17.1 (Abstandsfunktion, Euklidischer Abstand) d(x, y) := |x − y|.
Satz. 17.2 Abstand d erfüllt Eigenschaften einer Metrik ((M1), (M2), (M3)).
Def. 17.3 (an ) = (an )n∈N = Folge in R oder C, an = das n-te Folgenglied.
Bem. 17.4 (an )n≥n0 ebenfalls Folge, wobei an0 (n0 ∈ Z) erstes Folgenglied ist.
Def. 17.5 (konvergente Folgen) a = lim an = Grenzwert der Folge (an ).
n→∞
Bem. 17.6 Eindeutigkeit des Grenzwertes einer Folge.
Def. 17.7 (an ) beschränkt.
Satz 17.8 Konvergente Folgen sind beschränkt.
Satz 17.9 an → a für n → +∞
⇐⇒
(an − a) Nullfolge.
Satz 17.10 (Grenzwertsätze für Nullfolgen)
Satz 17.11 (Grenzwertsätze)
Satz 17.13 (zn ) = (an + ibn ) in C konvergent ⇔ (an ), (bn ) in R konvergent.
18 Konvergenzprinzipien
Def. 18.1 (monotone Folgen) nichtfallend, nichtwachsend.
Satz 18.2 (Monotone Konvergenz)
Def. 18.3 (ank ) = Teilfolge einer Folge, Häufungspunkt einer Folge.
Satz 18.5 (Bolzano-Weierstraß) Jede in R oder C beschränkte Folge besitzt einen
Häufungspunkt.
Satz 18.7 (Teilfolgenkriterium) Hinreichende Bedingung für Konvergenz.
Def. 18.8 (Cauchy-Folge).
9
Satz 18.9 Cauchy-Folge ⇔ konvergente Folge.
Def. 18.10 (Intervallschachtelung)
Satz 18.11 Durchschnitt einer Intervallschachtelung.
Def. 18.13 lim inf an = Limes inferior, lim sup an = Limes superior.
n→∞
n→∞
Bem. 18.14 lim sup = lim sup{ak ; k ≥ n}.
n→∞
n→∞
Satz 18.16 Eigenschaften von lim sup, lim inf.
Bem. 18.17 Folgen ohne Häufungspunkte.
Satz 18.18 Rechenregeln, Ungleichungen für lim sup, lim inf.
19 Die Eulersche Zahl e
n
n
Lemma 19.1 Konvergenz von 1 + nx , e = 1 + n1 .
Def. 19.2 (Exponentialfunktion) exp(x) = lim
n→∞
x n
1+
.
n
Satz 19.3 Eigenschaften von exp.
Def. 19.4 Exonentialfunktion ax mit Basis a > 0.
Satz 19.5 Potenzgestze
Satz 19.6 exp(x) = ex .
20 Reihen
Def. 20.1
n
P
ak = die n-te Partialsumme,
k=1
∞
P
an = Folge der Partialsummen: Reihe.
n=1
Def. 20.2 konvergente Reihen, absolut konvergente Reihen.
Bem. 20.3 Beliebiger Startwert n0 ∈ Z möglich, z.B.
∞
P
n=0
Satz 20.4 (Cauchy-Kriterium)
10
an .
Satz 20.5 (Majoranten-Kriterium)
Satz 20.6 (Minoranten-Kriterium)
Satz 20.7 (notwendiges Kriterium) lim an = 0.
n→∞
Bsp 20.8 1. Geometrische Reihe
2. Sandwich-Reihe
∞
P
n=1
∞
P
qn.
n=1
1
.
n(n+1)
Satz 20.9 (Quotienten-Kriterium)
Satz 20.10 Verallgemeinertes Quotienten-Kriterium.
Satz 20.11 (Wurzel-Kriterium)
Satz 20.12 (Verdichtungs-Kriterium)
Bsp. 20.13 (Zeta-Funktion) ζ(s) =
∞
P
n=1
1
,
ns
harmonische Reihe.
Satz 20.14 (Leibniz-Kriterium)
Def 20.15 (Umordnung)
Def 20.16 unbedingt konvergent, bedingt konvergent.
Satz 20.17 Satz von der unbedingten Konvergenz und absoluten Konvergenz.
Satz 20.18 Eindeutigkeit des Grenzwertes bei unbedingter Konvergenz.
Satz 20.19 (Riemannscher Umordnungssatz)
Def. 20.20 (Cauchy-Produkt).
Satz 20.21 Konvergenz gegen das Cauchy-Produkt.
Lemma 20.22 Abelsche Summation
Satz 20.23 Abelsches Kriterium für Konvergenz von
∞
P
an b n .
n=1
Satz 20.24 Dirichlet-Kriterium für Konvergenz von
∞
P
n=1
11
an b n .
IV Stetigkeit, Differenzierbarkeit
21 Topologie
Def. 21.1 innerer Punkt, Berührungspunkt, Häufungspunkt, isolierter Punkt.
offene Menge, abgeschlossene Menge, kompakte Menge.
Satz 21.3 a Berührungspunkt von M ⇔ ∃ Folge (an ) in M : a = lim an .
n→∞
Satz 21.4 M offen ⇔ M c abgeschlossen.
Bsp. 21.5 (a, b) ist offen, [a, b] ist abgeschlossen und kompakt.
Satz 21.6 (Topologie) System der offenen Mengen = Topologie.
Lemma 21.7 M abgeschlossen ⇔ für jede konvergente Folge (an ) in M gilt: lim an ∈ M .
n→∞
Satz 21.8 (Weierstraß) M ⊂ R kompakt ⇔ M beschränkt und abgeschlossen.
22 Stetige Funktionen
Def. 22.1 f : M → R stetig in x0 ∈ M , f in M stetig.
Bsp. 22.2 Polynom, Exponentialfunktion.
Def. 22.3 folgenstetig.
Satz 22.4 stetig ⇔ folgenstetig.
Satz 22.5 Stetigkeit von f + g, f · g.
Satz 22.6 Stetigkeit von g ◦ f .
Satz 22.7 f : K → R stetig, K kompakt. Dann ist f (K) kompakt.
Lemma 22.8 sup K = max K, inf K = min K für kompakte Mengen K.
Satz 22.9 max f, min f für kompakte Mengen K.
K
K
Lemma 22.10 Intervallschachtelung.
Satz 22.11 (Zwischenwertsatz I) Existenz einer Nullstelle.
12
Satz 22.12 (Zwischenwertsatz II) f ([a, b]) = [c, d], c = min f, d = max f .
Def. 22.13 f : M → R (strikt) monton wachsend, (strikt) monoton fallend
Satz 22.14 f : I → R: f injektiv ⇔ f strikt monoton.
Satz 22.15 f : [a, b] → [c, d]. Umkehrabbildung f −1 : [c, d] → [a, b].
Satz 22.16 (Strikte Monontonie der Umkehrfunktion)
Satz 22.17 (Logarithmus naturalis) log, loga : R+ → R.
Logarithmusgesetze.
Def. 22.18 gleichmäßig stetig.
Satz 22.19 f : K → R stetig, K kompakt. Dann f gleichmäßig stetig.
23 Polynome, Potenzreihen
Def. 23.1 Polynom.
Def. 23.3 Potenzreihe, Konvergenzradius.
Satz 23.4 Konvergenz von Potenzreihen.
Bsp. 23.5 ex =
∞
P
n=0
xn
.
n!
Def. 23.6 ez , sin z, cos z : C → C.
Satz 23.7 Eigenschaften von cos, sin, Additionstheoreme.
24 Differenzierbarkeit
Def. 24.1 (Differenzierbarkeit) f : U → R differenzierbar in x0 , f 0 (x0 ) = Ableitung
von f im Punkt x0 , f 0 : U → R: erste Ableitung von f .
Bem. 24.2 f differenzierbar ⇒ f stetig.
Satz 24.3 (Linearität der Ableitung) Differenziebarkeit von αf + βg.
Satz 24.4 (Produktregel, Quotientenregel)
Bsp. 24.5 c0 = 0, x0 = 1, (xn )0 = nxn−1 , (ex )0 = ex .
13
Satz 24.6 (Kettenregel)
Satz 24.8 (Umkehrregel)
Bsp. 24.9 (log x)0 = x1 .
Satz 24.10 (Notwendige Bedingung für ein Extremum)
Satz 24.11 (Satz von Rolle)
Satz 24.12 (Mittelwertsatz)
Bem. 24.13 (Spezieller Mittelwertsatz)
f (b)−f (a)
b−a
= f 0 (ξ) für ein ξ ∈ (a, b).
Satz 24.14 (de l’Hospital 1).
Satz 24.15 (de l’Hospital 2).
Satz 24.16 Die Zahl π.
25 Höhere Ableitungen, Taylor-Approximation
Def. 25.1 f zweimal differenzierbar, f 00 : U → R: die zweite Ableitung von f .
f n-mal differenzierbar, f (n) : U → R: die n-te Ableitung von f .
Def. 25.3 Tn (f )(x) =
n
P
k=0
f (k) (x0 )
(x
k!
− x0 ) = n-tes Taylor-Polynom, x0 = Entwick-
lungspunkt.
Satz 25.5 (Verallgemeinerung des Satzes von Rolle).
Satz 25.6 (Verallgemeinerter Mittelwertsatz)
Satz 25.7 (Satz von Taylor) Lagranges Restglied.
Satz 25.9 (Leibniz-Regel) Verallgemeinerung der Produktregel
26 Extremwertaufgaben
Def. 26.1 (striktes) lokales Maximum, (striktes) lokales Minimum (Extremum).
Satz 26.3 Notwendiges und hinreichendes Kriterium für lokales Maximum (Minimum).
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Satz 26.5 Globales Maximum (Minimum).
15
V Integralrechnung
27 Das Riemann-Integral
Def. 27.1
Z = {t0 , . . . , tm } = Zerlegung von [a, b],
∆(Z) =
max (tj+1 − tj ) = Feinheit der Zerlegung Z.
j=0,...,m−1
S(f, Z) = Obersumme, s(f, Z) = Untersumme.
Lemma 27.2
1. S(f, Z 0 ) ≤ S(f, Z) + 3m sup |f |∆(Z 0 ).
2. s(f, Z 0 ) ≥ s(f, Z) − 3m sup |f |∆(Z 0 ).
Def. 27.3
S(f ) = S(f ; a, b) = inf S(f, Z) = Oberintegral,
Z
s(f ) = s(f ; a, b) = sup s(f, Z) = Unterintegral.
Z
Bem. 27.4 s(f ) ≤ S(f ).
Def. 27.5 f : [a, b] → R Riemann-integrierbar, falls S(f ) = s(f ). Wir setzen
Zb
f (x)dx := S(f ) = s(f ) ( bestimmtes Integral).
a
Folg. 27.6 S(f ) = lim∆(Z)→0 S(f, Z).
Folg. 27.7 (Dreiecksungleichung) S(f + g) ≤ S(f ) + S(g), s(f + g) ≥ s(f ) + s(g).
Satz 27.9 Äquivalente Charakterisierung der Riemann-Integrierbarkeit.
Satz 27.10 Linearität des Riemann-Integrals.
Satz 27.11 Additivität des Riemann-Integrals.
Satz 27.12 Die Dreiecksungleichung für das Riemann-Integral.
Satz 27.13 Riemann-Integrierbarkeit stetiger Funktionen.
Folg. 27.14 Approximation von Innen.
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Folg. 27.15 Riemann-Integrierbarkeit stückweise stetiger Funktionen.
28 Stammfunktion, Integrationstechniken
Def. 28.1 (Stammfunktion)
Bsp. 28.2
R
xn+1
+ C.
1. xn dx =
n+1
R
2. ex dx = ex + C.
R
3. log(x)dx = x(log(x) − 1) + C.
Satz 28.3 Existenz Stammfunktion F (x) =
Rx
f (ξ)dξ.
a
Satz 28.4 (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI)=(HID)).
Lemma 28.5 (Riemann-Integrierbarkeit von f · g)
Satz 28.7 (Partielle Integration)
Satz 28.9 (Substitutionsregel)
Bsp. 28.10 Flächeninhalt des Einheitskreises = π.
Bsp. 28.11 Rationale Funktionen, Partialbruchzerlegung.
29 Uneigentliches Riemann-Integral
Def. 29.1
Z∞
Zb
f (x)dx = lim
f (x)dx
b→+∞
a
a
Zb
Zb
f (x)dx = lim
f (x)dx
a→−∞
−∞
Z∞
a
Zb
f (x)dx = lim
a→−∞
b→+∞ a
−∞
f (x)dx
Zb0
Z∞
Def. 29.2
f (x)dx = 0lim+
a
f (x)dx.
a →a
b0 →b− a0
17
Z∞
Bsp. 29.3
0
e−x dx = 1,
Z1
dx
√ dx = 1.
x
0
30 Ergänzung: ∞ =
6 ∞
Def. 30.1 card(N) = ℵ0 : abzählbar unendlich, card(X) > ℵ0 überabzählbar.
Satz 30.2 (Cantor) Sei f : X → Y injektiv. Dann card(X) ≤ card(Y ).
Satz 30.3 Menge aller Folgen (an ) mit an ∈ {1, 2} ist überabzählbar.
Satz 30.4 R ist überabzählbar.
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