Die Norm alfunktionen und das Problem der

Die Norm alfunktionen und
das Problem der ausgezeichneten Folgen
von Ordnungszahlen
Von
HEINZ BACHMANN (Meilen)
§1 Einleitung
1. In dieser Abhandlung bewegen wir uns immer innerhalb der Theorie der
CANTonschen O r d n u n g s z a h l e n. Wir wollen folgende Bezeichnungsweise annehmen:
1) Subtraktion von Ordnungszahlen: Sind x und y Ordnungszahlen mit y x, so soll x — y die Ordnungszahl sein, die man erhält,
wenn man y von vorne von x abzieht, so dass also
y-f (x—y) =x
Man nennt x — y einen Rest von x (wenn y < x) .
2) Multiplikation von Ordnungszahlen: Für beliebige
Ordnungszahlen x und y soll das Produkt x • y immer die Bedeutung haben,
dass x y-mal als Summand gesetzt wird.
3) Die Anfangszahlen der Zahlklassen: Die natürlichen
Zahlen und die Null bilden die erste Zahlklasse, die abzählbar unendlichen
Wohlordnungstypen die zweite Zahlklasse usw.; für k ? 2 sei co kt_2 die Anfangszahl der k. Zahlklasse. Zudem gebrauchen wir die üblichen Bezeichnungen
coo — co
4) Die Operation der Limesbildung: Hat man. eine Menge
von Ordnungszahlen, so ist die kleinste Ordnungszahl x, für die y x für alle
Ordnungszahlen y dieser Menge gilt, der Limes dieser Menge von Ordnungszahlen. Ist x0 . xl < xL ... eine monotone, nicht fallende Folge (xv}
von Ordnungszahlen x,,, deren Typus eine Limeszahl λ ist (d. h. ν durchläuft
alle Ordnungszahlen kleiner als 1, 0 v <1), so schreiben wir für ihren Limes
x = Lim x,,
v<X
5) Dazu nehmen wir die drei folgenden Definitionen :
a) Gibt es zur Ordnungszahl x eine Ordnungszahl x', so dass x= x' 1, so
heisst x von erster Art.
Ist x / 0 und nicht von erster Art, so ist x eine L i m e s z a h 1. Dann kann
x Limes von aufsteigenden Folgen verschiedener Typen λ sein; jedoch muss
bei x = Lim x„ die Limeszahl λ der Ungleichung w c λ x genügen.
v<X
116
Vierteljahrsschrift der Naturf. Gesellschaft in Zürich
1950
b) x heisst von zweiter Art, wenn es eine aufsteigende Folge vom
Typus w gibt, deren Limes x ist.
Damit ist die folgende andere Definition, die wir oft gebrauchen werden,
äquivalent:
x heisst von zweiter Art, wenn es eine aufsteigende Folge vom Typus
gibt, deren Limes x ist, und wobei λ eine Limeszahl der zweiten Zahlklasse
ist.
c) x heisst von d r i t t e r Art, wenn es eine aufsteigende Folge vom
Typus Ω gibt, deren Limes x ist.
Die beiden letzten Definitionen 5) b) und 5) c) geben eine ausschöpfende
und eindeutige Einteilung der Limeszahlen der dritten Zahlklasse. Denn, ist x
eine solche, so kann nicht
x = Lim xN, = Lim yv, λ< Ω
<
v<a
sein, wobei die beiden Folgen {x,) und v } aufsteigend seien. Wäre dies nämlich der Fall, so könnte man jeder Zahl yv das kleinste x,,, grösser als yv zuordnen, also jeder Zahl v < λ eine Zahl μv < Ω, und {,u) wäre eine monotone,
nicht fallende Folge mit Lim μv = Ω, was aber wegen λ< Ω und Uv < Ω nicht
<a
erfüllt sein kann.
2. Das Problem der ausgezeichneten Folgen, das wir hier
betrachten wollen, ist das folgende Problem: Jeder Limeszahl y der zweiten
Zahlklasse eine eindeutige aufsteigende Folge y o < y1 < y2 < ... vom
Typus w zuzuordnen, so dass y = Lim y,L.
n<m
Dieses Problem ist deshalb von Interesse, weil es mit dem Kontinuumproblem zusammenhängt. Denn, ist das Problem gelöst, so kann man nach dem
Vorgehen von G. H. HARDY') eine effektive Wohlordnung einer
überabzählbaren Teilmenge des Kontinuums angeben, indem man jeder Ordnungszahl y < Ω eindeutig eine zahlentheoretische Funktion f 1, (x) zuordnen kann durch die Festsetzungen:
Es sei f o (x) = 0.
Ist y=y'+1, so sei f1, (x) = fv , (x) + 1.
Ist y eine Limeszahl der zweiten Zahlklasse und {y,,} ihre ausgezeichnete
Folge, so sei f1, (x) = f1,z(x).
Der wichtigste Ansatz zur Lösung des Problems der ausgezeichneten Folgen
ist derjenige von O. VEBLEN 2 ) . VEBLEN löst das Problem für einen grossen Abschnitt der zweiten Zahlklasse, indem er eine Folge vom Typ 0° + 2 von
N o r m a l f u n k t i o n e n 3 ) aufstellt und mit ihrer Hilfe ausgezeichnete Folgen für alle Limeszahlen kleiner als eine gewisse, von VEBLEN mit E (1) be1) G. H. HARDY (1), p. 87-94.
2) O. VEBLEN (2), p. 280-292.
3) Definition siehe in Nr.3 dieses Paragraphen.
Jahrg. 95 H. BACHMANN. Die Normalfunktionen und das Problem der ausgez. Folgen 117
zeichnete Zahl der zweiten Zahlklasse definiert. Dabei erwähnt VEBLEN noch
die Möglichkeit einer weiteren Fortsetzung dieses Verfahrens 4) .
Sodann lösen CHURCH und KLEENE 5) das Problem für einen noch grösseren
Abschnitt der zweiten Zahlklasse, indem sie jeder Ordnungszahl dieses Abschnitts eine f o r male Da r s t e 11 u n g zuordnen. Man kann jedoch zeigen, dass dieses Verfahren deshalb an einer Stelle aufhört, weil man dabei auf
eine Normalfunktion kommt, über deren erste kritische Zahl 3) man mit dieser
Methode nicht gelangen kann. Es muss bemerkt werden, dass man mit einer
solchen formalen Methode prinzipiell nicht ganz zum Ziele kommen kann;
man kann nicht jeder Limeszahl der zweiten Zahlklasse eine Formel zuordnen,
weil jeder Formalismus nur einen höchstens abzählbaren Bereich darstellt.
3. In dieser Arbeit wollen wir nach dem vorbereitenden § 2 vom V e r f a h r en v o n VEBLEN ausgehen und dann (§ 4) dieses weiter fortsetzen (jedoch nicht bis zu einer völligen Lösung des Problems der ausgezeichneten
Folgen). Hierauf (§ 5) wollen wir einige prinzipielle Betrachtungen über die
Möglichkeit der völligen Lösung des Problems der ausgezeichneten Folgen
durch weitere Fortsetzung des Verfahrens von VEBLEN machen und dann (§ 6)
dazu einige Analogien im Bereich der zahlentheoretischen Funktionen aufstellen. Zum Schluss (§ 7) werden wir das Problem der ausgezeichneten Folgen auf äquivalente andere Probleme zurückführen, die mit Normalfunktionen
zusammenhängen.
Wir nehmen mit VEBLEN die beiden folgenden Definitionen:
1) Eine Funktion cp (x) heisst N o r m a l f u n k t i o n, wenn die folgenden
Bedingungen erfüllt sind:
a) Die Argumentmenge besteht aus allen Ordnungszahlen x mit 1 < x < wk,
wobei k > 0 eine feste Ordnungszahl ist; die Wertmenge ist eine Teilmenge
der Argumentmenge.
b) Monotonität: Für beliebige Ordnungszahlen x 1 und x2 der Argumentmenge mit x1 < x 2 ist 99 (x 1 ) < cp (x2).
c) Stetigkeit: Ist x eine Limeszahl < W k, so ist cp (x) = Lim 97 (1 -{- x') . (Wir
x
schreiben nicht Lim 9) (x'), weil cp (0) nicht definiert ist.)
<x
x <x
Für eine so definierte Normalfunktion wollen wir die Bezeichnung N o rm a 1 f unk t i o n k. K l a s s e einführen; in analoger Weise wollen wir die
monoton steigenden zahlentheoretischen Funktionen (die
ebenso definiert sind wie die Normalfunktionen, aber mit k = 0 und unter
Wegfallen der Stetigkeitsbedingung) als Normalfunktionen nullter Klasse bezeichnen.
4) O.VEBLEN (2), p. 292.
5) A. CHURCH und S. C. KLEENE (3), p. 11-21.
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Vierteljahrsschrift der Naturf. Gesellschaft in Zürich
1950
Für jede Normalfunktion cp gilt
m(x) x
für alle x der Argumentmenge (1 < x < w,) ") , ferner
99 ( x2) — (x,) x,— xi
für beliebige Ordnungszahlen x 1, x, mit 1 x 1 < x,< 0)h (denn 99 (x 1 + 5 )
m (x 1 ) ist eine Normalfunktion von ,.; also ist m (x 1 + ) - (x 1 ) > . ; setzt man
= x,— x ,1 so folgt die Behauptung) , ferner
Lim 99(1+x)= (Oh;
< CO,
2) Ist m (x) eine Normalfunktion k. Klasse, so heissen die Ordnungszahlen x,
die der Gleichung m (x) = x genügen, die kritischen Zahlen von 92.
VEBLEN beweist 7 ) , dass es immer kritische Zahlen gibt, und dass die Menge
der kritischen Zahlen wieder die Wertmenge einer Normalfunktion k. Klasse
bildet, der sogenannten Ableitung
von cp.
Zudem setzen wir noch die folgenden Bezeichnungen fest: Hat man eine
Normalfunktion m (x) , so wollen wir unter cp" (x) (wobei 0 < n < w) die nfache I t e r a t i o n von m verstehen, die so definiert sei:
990 (x) = x
971 (x) = m ( x)
99'+1(x) _ m (m".(x) )
Mit Vm werde die Wertmenge von 99 bezeichnet. Die Dur c h s c h n i t t s b i 1 d u n g von Mengen werde mit dem Zeichen D angedeutet; so
deutet z. B. D Vqw den Durchschnitt der Wertmengen einer Folge vom Typus
v<a
λ von Normalfunktionen 99,
§ 2 Drei Sätze über Normalfunktionen
1. Wir setzen im folgenden immer solche Normalfunktionen m (x) von k.
Klasse voraus, deren Wertmengen aus lauter Limeszahlen bestehen. Wir wollen in diesem Paragraphen drei, Sätze zusammenstellen, die wir später zur
Definition von ausgezeichneten Folgen verwenden wer den. Aus der Definition
der Normalfunktion folgt sofort:
Satz 1: Ist x eine Limeszahl < w h, und 0 < x 0 < x,< ... eine aufsteigende
Folge {xv} von einem Typus 2, der eine Limeszahl sei, mit x = Lim xv, so ist
v <a
99 (x) = Lim m (xv), und die unter dem Limesoperator stehende Folge {99 (Xv) }
v<X
ist auch eine aufsteigende.
2. Nun liegt es nahe, ähnliche Sätze für diejenigen Werte gewisser Normal6) O. VEBLEN (2), Theorem 3, p. 283.
7) O. VEBLEN (2), Theorem 4, p. 283.
Jahrg. 95 H. BACHMANN. Die Normalfunktionen und das Problem der ausgez. Folgen 119
funktionen aufzustellen, deren Argument von erster Art ist, d. h. aufsteigende
Folgen für die Werte cp (x + 1) einer Normalfunktion anzugeben.
Wir betrachten zunächst den Fall, dass wir eine Normalfunktion 99' haben,
die die Ableitung einer gegebenen Normalfunktion cp ist. VEBLEN zeigt 8 ), dass
man alle Werte von 99' aus den Ausdrücken Lim 9! (x) erhält, wenn man für x
:<W
alle Argumente einsetzt; für verschiedene x können dabei diese Ausdrücke
gleich ausfallen. Etwas Genaueres darüber sagt ein weiterer, von VEBLEN angegebener Satz") aus, von dem wir aber nur den folgenden Spezialfall verwenden werden:
Satz 2: Es gilt
91(1) = Lim (p"(1);
n<8)
q' (x + 1) = Lim 99' (cp' (x) + 1) für alle x mit 1 < x < w1,;
n<w
die Folgen unter den Limesoperatoren sind aufsteigend.
Beweis: Schreiben wir vorübergehend a = Lim 9! ( 99' (x) + 1), so ist für
n<W
lcx <wh,
99' (x) < q,-' (x) + 1 c 92' (x + 1)
also (wegen der Monotonität von cp, und weil die Werte von 99' kritische Zahlen
von cp sind)
1 ) <9'(99' (x+ 1))= (p'(x+ 1)
9
99' (x) < (9 ' (x)+
9'( (x))
q n (91(x)) _ 9 (x) < <p" (99 ' (x) + 1) 99 " (9 (x + 1)) = m' (x +1)
also
99 '( x ) < a C9! (x+ 1)
Da a zudem kritische Zahl von cp ist, also in Vqp' liegt, ist a = 99' (x + 1) . Die
Folge für a ist aufsteigend; denn, weil V99 nur aus Limeszahlen besteht, ist
99 (91
also
(x)+ 1)>99' (x)+ 1
99 2 ( T' (x) + 1) > 99 (q1 (x) + 1) usw.
Der Beweis für den ersten Teil der Behauptung, Lim
q2" (1) _ 99' (1),
kann
n<w
auf genau dieselbe Weise durchgeführt werden; man hat nur im obigen Beweis überall 0 an Stelle von x, cp (x) und q,' (x) zu setzen.
3. Sodann betrachten wir, ausgehend von einer Normalfunktion 99, k. Klasse,
eine Folge von einem gewissen Typus λ (wobei λ eine Limeszahl < (oha sei) von
Normalfunktionen T1, k. Klasse (/u durchläuft alle Ordnungszahlen kleiner als
λ) mit der Eigenschaft:
I) Für jedes /u mit 1 ^ ,u < ist Vqp ,, Teilmenge aller Wertmengen V91„ der
Ableitungen 99i mit 0 < ν <
8)
8)
0. VEBLEN (2),
0. VEBLEN (2),
Beweis zu Theorem 4, p. 283.
Coroll. 1 zu Theorem 4, p. 284.
Vierteljahrsschrift der Naturf.
120
Gesellschaft
in Zürich
1950
zeigt"), dass dann der Durchschnitt der Wertmengen dieser Normalfunktionen wieder die Wertmenge einer Normalfunktion p derselben
Klasse ist:
D Vgoµ= Vyl
<x
Für diese gilt nun:
Für
jede
aufsteigende
Folge
{1,,}, deren Typus eine Limeszahl ist,
Satz 3:
<
so dass Lim tv = 7, (also ri A), ist
v <7
p(1) =Lim cpx„(1)
VEBLEN
v<7
yI
(x +
1) = Lim yx „ (y) (x) -f 1) für alle x mit 1 < x < wk;
v<7
die Folgen unter den Limesoperatoren sind wieder aufsteigend.
Beweis: Wir nehmen vorübergehend die Abkürzung
av = 99X , (y^
(x) +
1) (für O
c v<
^c)
Dann ist für 1 < x < w k wegen p (x) + 1 ^ 2/' (x + 1) (ferner wegen der Monotonität von ql x und weil die Werte von kritische Zahlen von qpx „ sind)
x) + 1
av (px „ (p (x + 1)) = (x+1)
v(
also
11' (x)
+1
< Lim av
v<7
(x +1)
Ist v fest, aber beliebig < ic, so liegen alle av, für v ^ ν' <7r in Vcpx ,„ also wegen
<w k auch Lim av in 1792x„ • Da dies für beliebige ν<7E gilt, ist Lim av in V1p;
v<7
v<7
also wegen des weiter oben erhaltenen Resultats Lim av = p (x +
1) .
v<7
Die Folge {av} ist aufsteigend: Offensichtlich ist die Folge nicht fallend. Zudem ist av < a v +1 für 0 ü ν < n; denn weil wegen. Voraussetzung I) a„ + 1 eine
kritische Zahl von 19)X , ist, ist
(4+1=c2xv (av +1 );
wäre av = a„+1,
so
wäre
also
92xv (y,
also
(x) + 1) = T X „ (av
+1)
(x) -I-
1= av +
was unmöglich ist, weil a v + 1 eine Limeszahl ist.
Der erste Teil der Behauptung, Lim p, (1) = p (1), wird auf genau dieselbe
P<77”
Weise bewiesen; man hat nur im obigen Beweis die Symbole x und p (x) durch
0 zu ersetzen.
4. Hat man eine Folge vom Typus w k von Normalfunktionen yµ k. Klasse ( c
durchläuft alle Ordnungszahlen kleiner als W k), wobei für alle μ mit 1 ^ µ < wk
folgendes gilt:
II) a) Vcpp, ist Teilmenge aller Vcp'v mit 0 < ν< µ,
b) Ist μ eine Limeszahl < w k, so ist V9912= D Vg9v,
v<A
10)
O. VEBLEN (2), Theorem 5, p. 284.
Jahrg. 95 H. BACHMANN, Die Normalfunktionen und das Problem der ausgez. Folgen 121
so ist die aus den Anfangszahlen gebildete Funktion
x (x) = 92, (1)
wieder eine Normalfunktion k. Klasse. Dies wird von VEBLEN für den Spezialf all der transfiniten Folge der Ableitungen einer Normalfunktion bewiesen11);
es gilt aber unter der Voraussetzung II) allgemein; denn nach Satz 3 ist, wenn
μ eine Limeszahl < wv, Pµ (1) = Lim cov (1).
v < 12
Dagegen ist für festes x > 1 q (x) keine Normalfunktion von
ist q (x) > (p µ (1) kt, also cpµ (x) > μ für 1 ^,μc < wk.
μ;
denn dann
§ 3 Das Verfahren von VEBLEN in einer Darstellung, die eine
Verallgemeinerung ermöglicht
1. VEBLEN stellt eine wohlgeordnete, transfinite Folge vom Typus SZ P + 2 (die
wir mit W o bezeichnen wollen) von Normalfunktionen 9977 erster Klasse auf
(y < Ω° + 1) und definiert mit Hilfe dieser Normalfunktionen und unter Verwendung der in den Sätzen von § 2 beschriebenen Eigenschaften ausgezeichnete Folgen für alle Limeszahlen y <q9.0± i (1) (= E (1) nach der Bezeichnungsweise von VEBLEN) . Dabei stellt VEBLEN jede Limeszahl < E (1) durch
ein Symbol der Form ch (1 1 , 1 2 ..., x« ... xß) dar, teilt diese Symbole in sieben
Klassen ein und definiert für jede Limeszahl < E (1), je nach der Klasse des
zugehörigen Symbols in verschiedener Weise, eine ausgezeichnete Folge 12 ). In
diesen Definitionen sind die Sätze von § 2 enthalten; ihre Anwendung tritt
aber nicht deutlich hervor. Wir wollen nun zunächst das Verfahren von
VEBLEN statt mittels dieser Symbole in einer etwas anderen Darste llung
durchführen, damit die Anwendung der Sätze von § 2 sichtbarer hervortritt
und damit eine Verallgemeinerung des Verfahrens möglich wird. Diese Verallgemeinerung soll dann in § 4 durchgeführt werden.
Um das angekündigte Programm durchzuführen, müssen wir zuerst jeder
Limeszahl y c Ω° eine eindeutige aufsteigende Folge {y ,„} mit einem gewissen
Typus τ 77 zuordnen (wobei immer eine Limeszahl < Ω sei) , so dass y Lim 7p,
x< r^
(der Pfeil über dem Gleichheitszeichen bedeute, dass {y,,) die eindeutig festgelegte, zu y gehörende Folge sein soll) :
Es sei y Lim (1 + y') für jede Limeszahl < Ω, ferner 0° Lim Dl+ x
x< St
n'<
Ist y eine andere Limeszahl des betrachteten Bereichs, so kann man
deutiger Weise als endliche Summe
n
= s S?i
11) 0. VEBLEN (2),
19) 0. VEBLEN (2),
y
in ein-
. y i d- z
Coroll. 1 zu Theorem 6, p. 285.
p. 291/92.
Vierteljahrsschrift d. Naturf.
Ges.
Zürich. Jahrg. 95, 1950.
9
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Vierteljahrsschrift der Naturf. Gesellschaft in Zürich
1950
darstellen") , wobei 0 < n < w, 1 < y i < S2, 0 ^ z < D und S2> x,) > x1 > .. .
> x,, > 1 ist. Hier nehmen wir die folgenden Definitionen:
Ist z zweiter Art, so sei
Lim (TS?' • yi + (1+
z9)
z , <z i = o
(Fall a)
Es sei nun z = 0 vorausgesetzt, also
y=
S2wi• yi
i= 0
Ist dann y,, zweiter Art, so sei
n-1
Lim (X Ω.vi • y i + Ωwn • (1+ y))
Y<Yn i= o
n-1
(Fall ß)
(Ist n = 0, so ist die Summe ... durch 0 zu ersetzen.)
i=0
Ist aber y,t = y t + 1, wobei y'7 >
0,
n-1
.
also
y
i
+
DOM .
i= 0
yti +
(2a17I
so hat man die folgenden Unterfälle zu unterscheiden:
Ist dann x n zweiter Art, so sei
n-1
y = Lim (Σ 2xi • yi + S2wn
• y
+ Di + 5)
(Fall y)
x<x i=0
,n
Ist x= x',+ 1, wobei x a > 0, so sei
n-1
Lim(ΣS21 t • y i -I- D' n. y '',± f2 x;: • ( 1 + y ))
(Fall (3)
y<S2 i= o
(wobei S2° =1 gesetzt ist) .
Wie wir sehen, ist somit das erste Glied %° jeder Folge {• 7w } grösser als 0; wir
werden übrigens immer nur Folgen mit dieser Eigenschaft definieren (cf. Bemerkung 1 von § 4) .
2. Wir können nun die Behauptung aufstellen: Es ist möglich, jeder
Ordnungszahl n . S2t2 + 1 eine Normalfunktion 99,7 erster Klasse zuzuordnen,
d. h. eine Folge W° vom Typus SP + 2 von Normalfunktionen erster Klasse zu
bilden, so dass die folgenden Eigenschaften für alle 'i < S2 0 + 1 erfüllt sind:
1) a) q 0 (x) = w^.
b) Ist n= +1, so ist 9977=
c) Ist y zweiter Art und y Lim n a, (d. h. 'r,i < 52), so ist VT '? = D 99,2,
x<r nx< 72
(Durch die Angabe von V99 77 ist natürlich die Funktion pi aus der
eindeutigen ordnungstreuen Abbildung von V99,i auf die Argumentmenge 1 c x < w ie eindeutig bestimmt.)
d) Ist 17 dritter Art und y E Lim n a, (d. h. 'NI = D), so ist qq,i (x) =pp (1) .
x < S2
13) F. HAUSDORFF (4), p. 67.
Jahrg. 95 H. BACHMANN. Die Normalfunktionen und das Problem der ausgez. Folgen 123
2) Die Folgen {fix } von 1) haben folgende Eigenschaften (für alle x mit
0 x < an, im Fall 1) d) speziell für alle x mit 0 < x < Ω geltend) :
a) Ist x zweiter Art, so ist rix zweiter Art und nx Lim 77 x . (d. h. die zu
x' < x
nw gehörende
Folge ist einfach die entsprechende Teilfolge der zu n
gehörenden Folge, und τn T = x) .
b) Ist 1 eine Limeszahl mit na, < 17' < n„+„ so gilt für das erste Glied
n' o der zu n' gehörenden Folge 'n'„ .= 7^x.
3) Für die Funktionenfolgen { 990 gilt:
7x + I —› 17x+1 für alle x mit 0 < x < n
(Sind a, ß Ordnungszahlen mit a < ß, so soll a - ß immer die Abkürzung sein für: Vcpn ist Teilmenge von Vqn für alle n mit a <17 < ß) .
Bemerkung: VEBLEN wählt als Ausgangsfunktion qu o (x) =1+ x; wir
wählen aber 9/ 0 (x) = co x, weil wir von einer Wertmenge V99 0 ausgehen wollen,
die nur aus Limeszahlen besteht, und damit wir von einer Stelle ab dieselben
Normalfunktionen erhalten, die VEBLEN benutzt. Zudem muss man To so wählen, dass man unter Voraussetzung der Kenntnis von ausgezeichneten Folgen
für alle Zahlen von Vcpo auch für alle andern Limeszahlen der zweiten Zahlklasse ausgezeichnete Folgen definieren kann. Für q o (x) = co w ist diese Eigenschaft erfüllt, wie wir sehen werden (§ 7). Man könnte als Ausgangsfunktion
99 0 eine beliebige andere Normalfunktion erster Klasse nehmen, für die diese
Eigenschaft erfüllt ist.
Beweis der E x i s t e n z von W o : Die Eigenschaften 2) sind erfüllt,
wie aus den Definitionen der Folgen {n x } folgt. Für n < D ist die Aufstellung
der qn möglich, wie aus Nummer 3 und 4 von § 2 (mit c0 k = Ω) hervorgeht. Wir
nehmen jetzt an, die 997) seien aufgestellt für alle n.< n o, wo Ω < Ω + 1,
so dass die Bedingungen 1) 2) 3) für diese Normalfunktionen erfüllt sind, und
zeigen, dass man dann 9p,7 0 bilden kann, so dass diese Bedingungen für alle
n
no erfüllt sind:
a) Ist no =/7 ' 0 + 1, so setze man 99n o = 9/n,,',
b) Ist no eine Limeszahl und no = Lim no ( w ), so beweisen wir zunächst, dass
n
<
x <7
3) auch für die zu no gehörende Funktionenfolge {9977 (4 } erfüllt ist. Dies folgt
gilt:
direkt aus 2) b), das ja bereits auch für die Folge
Wir definieren für ein bestimmtes x < τno eine endlich fallende Folge {C„}:
Es sei o — yJo (x+1)
Ist io (x) + 1 <
und
= + 1, so sei C,i+1 = C,t ; dann ist also yo (x) + 1
- 11+1 < ,ti und
^7t•
+1
Ist n o w + I< C„ und 4'„ eine Limeszahl mit C,/ Lim C„( , so sei „+ =
{no(x>}
—
4-12
0
y>
C„ ( ' ) .
1. ,Z
Nach den Induktionsvoraussetzungen ist dann jedenfalls
(x ) + 1 < ^ ,t+ 1
1950
Vierteljahrsschrift der Naturf. Gesellschaft in Zürich
124
< c,, und ^,L + ^,^ (denn C„( 0 ) ? y o ( °), ferner ist V99 7 Teilmenge von Vg9 n(i) für
Sn(1)<71 <^n)•
Nach endlich vielen Regressionen kommt eine natürliche Zahl n° mit 4',L°
y 0 ( 5 ) + 1; somit ist
yo (-)- - 1= Cno->^no_i^...—^^l^^o—^ö(^Fi)
also
yo(x)
+ 1 yo (x+1)
Damit sind die Eigenschaften 2) 3) für die Folge { 7o ( 5 )} und für die Funktionenfolge { 99,7,0 (x) } bewiesen; daraus folgt, dass diese Folge { 97704} vom Typus
i,7o von Normalfunktionen die Eigenschaften I) bzw. II) von § 2 hat. Man darf
also definieren:
Vcp,7o = D V97,70 (x) für y 0 zweiter Art
x <51
99"(x) = 9990(x) (1) für y 0 dritter Art;
wenn y 0 zweiter Art, so folgt 99 77, (1) <a,70.
Damit ist die Existenz von Wo mittels transfiniter Induktion bewiesen (W 0 ist
natürlich auch eindeutig) .
Wir beweisen jetzt noch eine weitere Eigenschaft von Wo:
Hilfssatz: Für alle y < SP gilt: Ist y zweiter Art, 12 ,- Lim y,w und q9,7 (1) = T71
x < T ?I
(wobei τ,7 der Typus der zu y gehörenden Folge ist) so existiert eine Ordnungszahl dritter Art mit y < C t2° und T - Lim FL , so dass
x<12
= y x für
alle x < i,7
7), = ^/
τ,7 ist dann eine kritische Zahl von q, d. h. τ, 7 liegt in Vcp,,)+1•
Beweis: Für y < S2 ist ii = f2. Ist 7i > £2, so ist y zweiter Art in den Fällen
«, [i,
n-1
n
y
.(2'n+ 1
(cf. oben) . Im Falle
a
ist 1) _
i=0
Q^7 •
Σ Ω w' • y i +
y;, + SZ , im Falle
1=0
zu setzen; im Falle y muss man zwei Unterfälle unterscheiden: Ist
x o zweiter
Art, so ist das zugehörige _ n o ; ist SQ w ° < 71 =
t=o
S? i •
y= SlXo,
yc < Ω 12 , so
folgt aus der Eigenschaft 3) der zu n” gehörenden Folge {gg czi + x}
= x o > xn = τ7
99 n ( 1 ) > T ax. (1) > Tax.
also
Sind nun die Prämissen des Hilfssatzes erfüllt, so ist wegen 1) d) q9 (i;7) _
(1) = 99 77 (1) = τ,7 i d. h. x ist kritische Zahl von 99,7.
qn Tn
3. Mit Hilfe der aufgestellten Folge Wo von Normalfunktionen q9n erster
Klasse kann man jeder Limeszahl y < 990+1 (1) =E (1) eine ausgezeichnete
Folge {ym } vom Typus w zuordnen, so dass y Lim y„ (wir wollen für diese
n<ta
Zuordnung zwei Pfeile verwenden) :
Jahrg. 95 H. BACHMANN. Die Normalfunktionen und das Problem der ausgez. Folgen 125
Wir definieren w Lim (1+ n) ; ferner sei angenommen, die Zuordnung der
n<w
ausgezeichneten Folgen sei für alle Limeszahlen y' < y ausgeführt, wobei y
eine Limeszahl sei mit w < y < E (1) . Dann kann man auch für y eine ausgezeichnete Folge definieren:
1) Liegt y nicht in Vcp o , so nehmen wir die eindeutige Darstellung
y = co w . • x1 -1- x2
wobei 1 < xo < Ω, 1 < x 1 < w, 0 x2 < co x ^ 14) Es ist dann w w < y, x1 < y
und x2 < y.
Ist x2 eine Limeszahl und x2 a Lim x2 (n) so sei
n<w
y -4
Lim (w50 • x1 + X2("))/
n<w
Ist x2 = 0 und x1 = x'1 + 1 (x'1 ? 1) , und zudem wa'° a Lim n, so sei
yy Lim (ww.•xi+en)
n<w
n<
2) Liegt y in V990 , so existiert eine letzte Normalfunktion cp i mit 0 c < Ω°,
so dass y in V T ,) liegt, aber nicht in Vcp,,, für alle 17' mit 17 <17' < Ω° + 1. Dies
kann mit denselben Überlegungen bewiesen werden, wie wir sie (mit noch
allgemeineren Voraussetzungen) in § 5 machen werden; um den Gedankengang nicht zu unterbrechen, wollen wir uns mit diesem Hinweis auf § 5 begnügen. — Es gibt somit ein x mit 1 < x < D und
y= cP (x)> x
Ist x eine Limeszahl und x a Lim x,,, so setze man nach Satz 1 von § 2
,7
n<w
y Lim q'i (xn)
n<w
Ist x = x' +1 (x' > 0), so hat man vier Fälle zu unterscheiden:
a) Ist ri = 0, so sei
y Lim (q)a (x') • (1+ n) )
n<w
b) Ist 17 _ + 1, so setze man nach Satz 2 von § 2
y a Lim qp,7 ,"(1) für x'= 0
n<w
y a Lim 92,1 " (q), (x') + 1) für x' -1
n<w
c) Ist n zweiter Art, so ist für x' 1 wegen y = 99n (x' + 1) > q97? (x')
o») (1) > τ, z < y; aber auch für x' = 0 ist τn < y; denn wäre y = 9971 (1) _ •cn,
so würde nach dem Hilfssatz dieses Paragraphen ein dritter Art > y existieren, so dass y inVg9, l+1 liegen würde, was ein Widerspruch ist zur Voraussetzung, dass y nicht in V99,7 , liegt für y' > y.
Ist y Lim und tn Lim a„, so kann man also nach Satz 3 von § 2 setzen:
n<w
x<'rn
14)
Siehe Fussnote 11).
126
Vierteljahrsschrift der Naturf. Gesellschaft in Zürich
1950
y 4 Lim 99n, (1) für x' =0
„
n<w
y 4 Lim cp ^
n<w
rs
"
9
( 9 71 (x')
+
1) für x' ? 1
d) Ist endlich n dritter Art, so ist y = q9n (x'± 1) _ T v +, (1), und y liegt
für riy•+, < n° < 7j und n' > n. Nun kann ny , +, wieder dritter Art
nicht in
sein usw. Jedenfalls gibt es aber eine endliche Folge {c,} mit n = ^ o > ^1 > .. .
> C„ > 1, 1 n < co, so dass S v für 0 c v < n von dritter Art, aber C„ nicht von
dritter Art ist, und y = qqc v (1) für 0 < ν ^ n, y = 7” cu (x' + 1) . y liegt nicht in
für cv+1<zJ '«v(0 v< n).
Ist nun ^,L = `' a + 1, so lässt sich Satz 2 von § 2 anwenden: Es sei
y Lim 99 K •, m (1)
m<w
Ist C„ zweiter Art, so lässt sich Satz 3 von § 2 anwenden. Dieser gibt dann
wirklich eine Definition für eine ausgezeichnete Folge von y; denn es folgt
y =P4-„(1)>vs„.
Zunächst ist nämlich y > τ, n (siehe Ende des Existenzbeweises von Wo ) .
Wäre nun y = 99 (1) = τ^• , so würde nach dem Hilfssatz dieses Paragraphen
ein ,u dritter Art mit ,L <. < SP existieren, so dass y in Vq p+, liegen würde.
Weil aber y nicht in Vip,) , liegt für „ +1 < y' < yv (0 < v < n) und für < 7i'
0° + 1, so hätte man einen Widerspruch.
Ist nun C„ = Lim „( y ) und τcn Lim O„y, so kann man also setzen:
V9)72'
Vq,,7,
)
m<w
x<i
y 4
Liin 9lC„tam) (1)
m<w
4. Wir wollen nun diese Theorie mit der Theorie der CANToRschen - Z ah1 e n 15 ) vergleichen. Nach CANTOR bezeichnet man die kritischen Zahlen von
o (x) = ce als ε-Zahlen. Man bezeichnet gewöhn li ch die erste 8-Zahl q,, (1)
mit ε selbst. Diese ε-Zahlen spielen beim Problem der ausgezeichneten Folgen
eine grosse Rolle:
Legt man nur die Verwendung der drei Operationen Addition, Multiplikation und Potenzierung von Ordnungszahlen und endlich vielfachen Gebrauch
der Zeichen 1 und cu zugrunde, so lassen sich damit alle Ordnungszahlen kleiner als ε darstellen und auch sehr leicht (in bekannter Weise) ausgezeichnete
Folgen für alle Limeszahlen dieses Bereichs definieren. Für ε benötigt man
ein neues Zeichen, wenn man keine neuen Operationen einführen will, und
Lim W W W • • 11+ n. Durch Hinzunahme dieses
eine neue Definition, z. B.
ε =
n<w
neuen Zeichens lassen sich dann weiterhin alle Ordnungszahlen kleiner als
die erste kritische Zahl der Normalfunktion Ex , die wir mit ε, bezeichnen wollen, darstellen und für die betreffenden Limeszahlen ausgezeichnete Folgen
definieren; ferner definiert man z. B.
Lim
1+ n. Weiterhin kommt
εi =
ε EE • • • }
n<w
15) G. CANTOR (5), p. 347-356, und G. CANTOR (6), p. 242-246.
Jahrg. 95 H. BACHMANN. Die Normalfunktionen und das Problem der ausgez. Folgen 127
man bis zur ersten kritischen Zahl ε , von εl w usw. Wir wollen noch verabreden,
dass wir nur einfache Indizes (also nicht Indizes von Indizes) gebrauchen
wollen.
Wir erhalten somit ein ähnliches Verfahren wie dasjenige von VEBLEN, indem aus Normalfunktionen durch Verdünnung ihrer Wertmengen neue Normalfunktionen gebildet werden: Wir definieren für 1 < v < S2 ε„ +1 als die
erste kritische Zahl von ε„^, für ν = Lim (1+ ν') εv= Lim εi+ „•; damit erhalten
v'< v
<,-
wir eine Normalfunktion εv (als Funktion vom Index v) . Bei der Darstellung
der Ordnungszahlen durch die drei Operationen braucht man für die erste
kritische Zahl dieser Normalfunktion er, die wir mit 7/ bezeichnen wollen,
wieder ein neues Zeichen; dann gelingt die Darstellung (und auch die Definition der ausgezeichneten Folgen) bis zur ersten kritischen Zahl X71 von
Definiert man für 1 • v < n v+i als erste kritische Zahl von nv'v, und für
ν = Lim (1 + ν') v/v = Lim 11+„ •, so erhält man wieder eine Normalfunktion 92v
<v
v' <v
(als Funktion von ν) ; man braucht erst für ihre erste kritische Zahl ein neues
Zeichen (z. B. C) usw. Wir wollen dieses Verfahren so weit fortsetzen, bis wir
eine Folge vom Typus w von Zeichen 1, w, ε, ^, g ... haben. Wir bezeichnen den
Limes dieser Folge mit λ. Bei Zugrundelegung der drei Operationen Addition,
Multiplikation und Potenzierung, bei Verwendung nur einfacher Indizes und
bei endlicher Verwendung der Zeichen aus der obigen Folge vorn Typ w von
Zeichen lassen sich alle Ordnungszahlen der zweiten Zahlklasse, die kleiner
als λ sind, darstellen, und zudem mit Hilfe der drei Operationen ausgezeichnete Folgen für die Limeszahlen kleiner als λ definieren.
Wir wollen nun diese neue Folge von Normalfunktionen mit der von VEBLEN
aufgestellten Folge W o vergleichen: Die Ableitung der Normalfunktion «3' (wobei w < a < Q) ist die Funktion p (ß -i- (x —1)) , wobei o, (ß) die erste e-Zahl
> a ist lc) . Also ist ε l die erste ε-Zahl nach e, d. h. e,= cp, (2) , ferner ε „ + i die
erste ε-Zahl nach εv, also allgemein
εv = gp i (1+v) für 1cν< SZ
17 ist die kleinste Zahl, die der Relation n = E, = ql (1 + 17) = qq, (n) genügt; somit wird n = q2 (1). Analog wird ^ die erste ε-Zahl nach j, also
q9, (17 + 1),
T1=
ferner /)„+1 die erste e-Zahl nach ?iv, also allgemein
nv= g9 1 (n +ν) für 1cν< Ω
ist die kleinste Zahl > n, die der Relation c= n,=
+ c) = <p 1 (C) genügt (es ist n + _ c Y7 ) ) , also ist C= p2 (2) . Nun wird ^ v = 99 1 (C v) usw. Es
wird somit
λ
=q22(w)
10) 0. VEBLEN (2), Coroll. 5 zu Theorem 4, p. 284; G. CANTOR (5), p. 350, und G. CANTOR (6),
Sätze G und H, p. 245.
17) Cf. Hilfssatz 2 von § 4; oder G. CANTOR (5), p. 350, und G. CANTOR (6), Satz G, p. 245.
Vierteljahrsschrift der Naturf. Gesellschaft in Zürich
128
1950
das Verfahren von VEBLEN gibt also schon in seinem Anfang ausgezeichnete
Folgen für alle Limeszahlen < λ; es liefert sofort viel stärkere Verdünnungen
der Wertmengen als das oben beschriebene Verfahren mit den &-Zahlen.
§ 4 Fortsetzung des Verfahrens von
VEBLEN
1. Im letzten Paragraphen haben wir zuerst jeder Limeszahl <Ω eine
eindeutige aufsteigende Folge { 7a; } von einem gewissen Typus 7) zugeordnet
mit 27 —= Lim n ». Um die Folge W o von Normalfunktionen q erster Klasse weiter
x<Tn
fortzusetzen, muss man weiteren Limeszahlen der dritten Zahlklasse solche
Folgen zuordnen. Es liegt nun nahe, diese Aufgabe mit Hilfe von N o r m a 1funktionen,zweiter Klasse zu lösen, in analoger Weise, wie VEBLEN
mit Hilfe von Normalfunktionen erster Klasse die ausgezeichneten Folgen von
Limeszahlen der zweiten Zahlklasse definiert.
Wir stellen zuerst eine Folge vom Typ (0 2 +2 von Normalfunktionen F t ($)
zweiter Klasse auf (g durchläuft alle Ordnungszahlen < w » +1) , indem wir
die folgenden Definitionen setzen:
τ
Fo
F t+1 = F'
VFt = D VFB.,
1, < l
()=
für
5^l
0 c C w2
wenn eine Limeszahl < w2
Fo„ ( ) = F
(1)
2. Mit Hilfe dieser Folge von Normalfunktionen F t zweiter Klasse wollen wir
nun jeder Limeszahl yi C F,„+1 (1) eine eindeutige aufsteigende Folge { T »},
deren Typus eine gewisse Limeszahl -cn < Ω ist, zuordnen, so dass
Lim nom.
x <T ,'
Dabei müssen wir in drei Schritten vorgehen:
1) Zuerst geben wir a priori die Definition:
Lim (1+ 0, wenn ri eine Limeszahl < Ω ist
n'<v
2) In einem zweiten Schritt ordnen wir sodann jeder weiteren Limeszahl
<F,,+1 (1) einen Abschnitt Φ7, ( e ) einer Normalfunktion zweiter Klasse zu,
so dass
n_
(67)
$ 7) eine bestimmte Limeszahl < w2
und
e >e für alle mit 1 <<,^
( )
(wobei mit dem Ausdruck «Abschnitt» gemeint sein soll, dass die Normalfunktion Ji 7
nur für 1 < < definiert sein soll, nicht für 1 < (0 2f wie
dies bei einer Normalfunktion zweiter Klasse sein müsste) :
a) Ist S2 < F.,+ 1 (1) und liegt n nicht in VF», so hat man für 17 eine eindeutige Darstellung von der Form
7
($)
Jahrg. 95 H. BACHMANN. Die Normalfunktionen und das Problem der ausgez. Folgen 129
17 =Ωlo
wobei 1 C $0 < (0 2, 1 .
Ist $2 Limeszahl, so sei
se n =
.
4 +
0 C $2 < O 18 ) .
nn
<
$2, On (e) =
Ω lo • e1 +
(Fall A)
e für 1
Ist , 2 = 0 und e1=1' +1(e 1 ' > 1 ) , so sei
(Fall B)
= Silo, /i ($) = SQ fo • ei e für 1:5_
$n
Ist $2 = 0 und e1 Limeszahl, so sei
(Fall C)
$n= e 1, On () = Ω lo • für 1 <
$n
b) Liegt o in VFo , Ω <11 F (1), so existiert eine bestimmte letzte Normalfunktion Fc () mit 0 < < co2 + 1, so dass n in VFc liegt, aber nicht in VFB,
für alle C' mit <
w2 -I- 1. Dies ist durch analoge Überlegungen einzusehen,
wie wir sie in § 5 machen werden. Man hat also ein en mit 1 < w2 und
= F ('n)
Vn ="n+
1, so ist bei < w 3 1' ? 1, denn sonst wäre n in VF,; man hat
also folgende Fälle:
= 0, Vn ? 1: Dann sei
(Fall D)
= S2, On () =
• für 1 <
$n
>
1, < W 2,
1: Dann sei
_
= w, On (e) = Ff, (F ( ") + 1) für 1 e < $,, Φ 71 (67 ) = 77 (Fall E)
Dabei kommt Satz 2 von § 2 zur Anwendung.
= Limeszahl der dritten Zahlklasse, e", ? 1: Dann sei
= F ( F c ("n) + 1) für 1 < ä < $e n, On ($77) -= 17 (Fall F)
= C, On
Hier ist O n () wirklich eine Normalfunktion; denn ist g' eine Limeszahl <
so ist (nach Satz 3 von § 2, und weil Fc WO eine kritische Zahl von F t / ist)
n) + 1) = Lim F 1 (F (F (" n)) + 1)
n (c') = F (F
",^
= Lim F 1+ c,, (Fc WO
+1) =
Lim 17 (1+ ")
ferner ist
Φ71() >Fg(1) ?s$ für l e ^s^n
Bei Fall F wird Satz 3 von § 2 angewendet.
= w2, "n > 0: Dann ist n = Fg;; +1 (1), und es sei
= Fg, (1) für 1<$< en,
CO , On
Hier wird auch Satz 2 von § 2 angewendet.
C= w 2 + 1, $^; 0, = FW,+1 (1) : Dann sei
=
On
($77)
$n = co, On () = F) (1) für 1 $ < 67, O n (67) _
Dieser Fall werde auch unter F a 11 E' genommen.
18) Siehe Fussnote 13).
(Fall E')
130
Vierteljahrsschrift der Naturf. Gesellschaft in Zürich
1950
Ist en Limeszahl, = Fc ('n ) > $',7i so gibt es, wenn n grösser als die erste
kritische Zahl von Fc ist, eine letzte kritische Zahl O von Ft, so dass v=
Ft (ρe) =F+ 1 (), μ. 1, F t+1 ( ,u) < 77 < F t+1( 4u + 1) . Dies folgt daraus, dass
n keine kritische Zahl von Fc ist, und dass die kritischen Zahlen von Fc die
Wertmenge einer Normalfunktion bilden. Ist n kleiner als die erste kritische
Zahl von F t, so setzen wir P = 0. Nun setze man
o, On () = Fc (o +) für 1 < $ < $71
(Fall G)
$n =
Die so definierten Normalfunktionen ^ () erfüllen in allen Fällen A bis G
die geforderten Bedingungen.
3) In einem dritten Schritt können wir nun die Folgen {77 o für alle Limeszahlen r7 c F W , +1 (1) definieren: Im ersten Schritt wurde dies für n < Ω ausgeführt. Die Definitionen seien gegeben für alle Limeszahlen <77 , wobei 77
eine Limeszahl mit < +1 (1) ist. Dann kann man auch für 77 eine
solche Folge definieren; denn nach dem zweiten Schritt hat man eine eindeutig festgelegte Normalfunktion
($) mit den oben beschriebenen Eigenschaften, so dass
7y= ci (n), Limeszahl <11
Ist 67 Lim
^ cw ),
so setze man 77 = Lim On ($n( w )). Die Aufgabe der Bestimmung
.r<z e
x< zt
der Folgen {77 o ist damit also mittels des Prinzips der transfiniten Induktion
gelöst. Es ist τn = -cc für alle 77 mit < < FW + 1 (1) .
3. Nach den obigen Ausführungen is t. es nun möglich, eine Folge W 1 vom
Typus F c,„ +1 (1) + 1 von Normalfunktionen 9» 17 (x) erster Klasse aufzustellen,
so dass für alle 77 < F W , +1 (1) gilt:
1 ) a)
9) 0 (x) = w'.
b) Ist 77 =77 ' + 1, so ist 99,7 = 99,,1
c) Ist 77 zweiter Art und 17 Lim 77 ,,, so ist Vg977 = D V99,7,w.
x<
d) Ist 77 dritter Art und 77
.n
x<
r^
Lim 77 w, so ist 99n (x) = 99,7 ,, (1) .
r«
2) a) Ist 77
-
Lim 17 „ und μ eine Limeszahl von < 2 77 , so ist 77µ Lim 77y.
x<'r ,^
x<µ
b) Ist 77 u Lim 77x, so ist 77 y. + 1. 77w+1 für alle x mit 0 < x < τ,7.
x <T
n
(Dabei verwenden wir wieder die Abkürzung a--> ,3 für: V9977 ist Teilmenge von V(pa für alle 77 mit a< 77 < /.3.)
Wir gehen nun daran, diese Behauptung zu beweisen. Für den Beginn der
Folge il sind die obigen Eigenschaften offensichtlich erfüllt, denn W. o ist ein
Abschnitt von 1f weil die Folgen { 77a,} für 77 _< Ω im letzten und in diesem
Paragraphen dieselben sind.
Zum Beweis der Existenz der ganzen Folge W1 nehmen wir an, wir hätten
FW, +1 (1), so dass die
bereits alle 99n aufgestellt für alle 77 < 77 o , wobei <
Jahrg. 95 H. BACHMANN, Die Normalfunktionen und das Problem der ausgez. Folgen 131
obigen Bedingungen 1) 2) erfüllt sind. Dann zeigen wir, dass man auch 99,1 ,o
definieren kann, so dass die Bedingungen für alle n < io gelten.
Ist no = n'o + 1, so ist natürlich cp, ^ o = ry'nn zu setzen.
Ist no eine Limeszahl, und gilt die Bedingung 2) auch für die Folge {no(-)}
Lim n o ( w> ), so kann man, da dann die Folge { 99,( x)) von Norvon n,, (es sei no x
malfunktionen die Eigenschaft I) bzw. II) von § 2 hat, für io zweiter Art
Vcp,go = D Vq»q('), für no dritter Art qon o (x) = cp,i ( x) (1) definieren. Wir müssen
<T
7h)
also nur noch die Bedingung 2) für die Folge {no w } beweisen.
Dass 2) a) gilt, ist sehr leicht zu zeigen: Ist n eine Limeszahl mit sz <1r7
F „,+l (1) , so hat man nach Nr. 2 dieses Paragraphen eine Limeszahl ,;,/, so
so dass ,,1 _
dass n = I (n) > 5n, somit (wenn 67 > Ω) eine Limeszahl
0 (ln
) > usw. Nach endlich vielen Schritten erhält man die Form
= Φco (IJi (... Φ c, ( N 0) ...)
μ
wobei ,1 eine Limeszahl < D ist; Cv (0 < r < n) sind Limeszahlen > D. Wir
haben also eine zusammengesetzte Funktion
yi,c (x) _ (I'co cl ... Ißt„
(x)
(wobei wir die überflüssigen Klammern weggelassen haben) mit
0c n< w
ry7 = Co> > ,,. > >
Ist ein Abschnitt einer Normal1P,c (x) (definiert mindestens für 1 < x <
funktion; denn eine Normalfunktion einer Normalfunktion ist wieder eine
Normalfunktion. Aus den Definitionen der Folgen ( 7),,} folgt nun, wie man
sich leicht überlegt,
ist μ eine Limeszahl
,an,
Lim Pc n (1 +µ'), c^^,
Gµ
^
so ist (wegen μ = Lim (1 -I u'), hca (p)
µ' <µ
(j) Lim ^ ^,^
^ ^n (1--ff-µ') usw.)
µ'<µ
Ψn (u) y Lim ¶ (1+ x)
x<µ
Ferner folgt /μc,c = τn, wobei 7. 97 der Typus der zu n gehörenden Folge {n 5 } ist. —
Damit ist 2) a) bewiesen.
Um 2) b) zu beweisen, brauchen wir die folgenden drei Hilfssätze:
Hilfssatz 1: Es sei vorausgesetzt, dass ein Abschnitt von gemäss den Vorschriften aufgestellt ist (für n <). Es sei F () eine Normalfunktion zweiter
Klasse mit den Eigenschaften:
F() + 1 - > F( + 1) für alle ? 1 mit F + 1)
(ii ) Lim F (77,) , wenn 17 Lim ^ für alle Limeszahlen 17 mit F ( ii ) <no
x <r
x <Tr/
Es seien a, ß Ordnungszahlen mit 1 a < ß, a-> ß und F (ß) < ^. — Dann gilt
F (a) --->F
0).
Vierteljahrsschrift der Naturf. Gesellschaft in Zürich
132
1950
Beweis: a) Zunächst zeigen wir mit Hilfe transfiniter Induktion, dass
V 9)F(c) Teilmenge von Vq9F(a) ist für a < c fl: Dies ist wegen F (a) +1-->
F (a +1) für = a + 1 erfüllt. Es sei nun a + 1 < ^ /3 und V qq F ( ) Teilmenge
von V<pF ( «) für alle g' mit a< C' < 5; wir zeigen, dass dann VrpF(c) Teilmenge
von Vcp F(0 ist:
Ist C= C' + 1(c' > a) , so ist wegen F (c') +1—> F + 1) die Behauptung
bewiesen.
Lim F (CO; es gibt eine erste
Lim Ca„, so ist F
Ist zweiter Art und
x<r^
<7
g
dass F (4',»0 ) >F (a); also ist nach Induktionsvoraussetzung V97 F(x0)
Teilmenge von V99 F( a ) , und wegen Eigenschaft 2) b) der Folge {9 F( ^r) } und
nach der Definition von 99F(c) ist Vtpp O Teilmenge von V9'F(xo), also ist
V 99F ( c ) Teilmenge von VTF («) .
Lim C», so ist wegen Eigenschaft 2) b) der Folge
Ist dritter Art und
x«
{cpF(c,o } und nach der Definition von 99F (c) V92p(c) Teilmenge von V(p F(1) . Nun
; denn wäre a > C1, so wäre wegen Eigenschaft 2) b) der Folge
ist zudem a '
frp + 1-> a, also cpc (1) = To_ (1) < q)« (1) . Wegen der Voraussetzung a –>I3
ist aber a– ^, also p« (1) <9)e (1), was einen Widerspruch zum Vorhergehenden ergibt. Also ist a < C 1f und somit VcpF() Teilmenge von V(pF(«o•
nicht in VF, sondern ist F (y) <
b) Ist F (a) < < F (0), liegt aber
<F (y + 1), a < y < fl, so ist wegen der Voraussetzung F (y) - > F (y +1) Vq,c
Teilmenge von Vg9F(, ) , also von Vg9F(a).
Der erste Hilfssatz ist auch «anschaulich» klar; denn man kann die Bildung
aller Normalfunktionen cpe, für ' < als -fache Iteration der Bildung der Ableitung betrachten, die Bildung aller q9 g für ' < F () als e-fache Iteration der
Operation, die jeweils von 97F(e) über alle 99,7 (F (') < j < F (' + 1)) auf
rpF(t'+i) führt. Diese beiden transfiniten Iterationen sind in einem gewissen
Sinne gleichartig, da, wenn n eine Limeszahl, die 17-fachen Iterationen in beiden Fällen genau entsprechend definiert sind (wegen der Voraussetzung
F (n) Lim F (0 für n Lim 17,z.) .
x<7
x<7 ,n
n
Hilfssatz 2: Jede Ordnungszahl von VF o (übrigens auch von Vg7 o ) hat die
Eigenschaft, dass sie allen ihren Resten gleich ist, d. h. liegt a in VF 0 oder Vgp0
und ist ß < a, so ist a — /3 = a, oder 13+ a = a.
Beweis: Wir beweisen mit einer leichten Verallgemeinerung eines von
jede Potenz & A einer
HAUSDORFF 19 ) angegebenen Verfahrens, dass für e
Ordnungszahl O, die allen ihren Resten gleich ist, ebenfalls diese Eigenschaft
hat:
Es sei /3 < ρ1, also f = ρn • C+ μ, wobei
<0 < , OC μ< ^p^
0
Zahl
Zahl
x o , so
19 ) F. HAUSDORFF (4), p. 68.
Jahrg. 95 H. BACHMANN. Die Normalfunktionen und das Problem der ausgez. Folgen 133
Definiert man a durch O c _ 0 + 1 + a, so ist wegen 17 + 1 < $ a > 0, ferner wird
für ρ / 1
ß-Y = 0 • C+1,1+o t <o f• (C+1)+0+1+a=
=ρn • (g+1+o) +a' = 0 +1 +a = ^O
Nimmt man für o die Zahlen w und Ω, so erhält man die Behauptung des zweiten Hilfssatzes.
Hilf ssatz 3 : Unter der Voraussetzung, dass alle q9n für n < n° nach den Vorschriften 1) 2) (Nr. 3 von § 4) aufgestellt sind, gilt
On ()+ 1 - a $n( + 1)
für jede beliebige in Nr. 2 dieses Paragraphen definierte Funktion On, wenn
1 .$< 61 und l ($+ 1) < j
B e w eis: Für On () kommen die Fälle A bis G in Betracht (cf. Nr. 2
von § 4) .
Für die Fälle A und B ist die Behauptung trivial.
In den Fällen C und D ist O n ($$) = SP) • ; wegen 1--j S2 . ist nach dem
ersten Hilfssatz (wobei für die dort auftretende Funktion F F (C) = Ωf° • $ +
gesetzt wird)
1 (e)+1= p c°•
On (4: + 1)
wenn On 0 + 1) <170.
Fall G: Man hat l (e) = Fc (ρ + ) , O > O. Wir beweisen, dass Fc ($) + 1->
Fc ($ + 1) gilt für alle c mit 0 c C <_ co 2 + 1, sofern Fc ($ +1) <n0:
Diese Behauptung gilt für c= 0, denn wie unter den Fällen C und D folgt
ferner folgt
F'()+ 1= +1—jSQt• 2
• 2—> D e •
F°($+
1)
aus der Eigenschaft 2) b) der Folge {qqc . x } und aus der Definition von cp f) . ^.
Man hat also Fo () + 1---> F Q ( + 1) .
Wir nehmen nun an, die Behauptung gelte für alle F e mit c' < c, wo
. (0 2 + 1 und zeigen, dass sie dann für Fc gilt:
0<C
Ist _ '+ 1, so ist Fc ($ + 1) - Lim Fr" (Fc ( ) + 1) . Wegen der Eigenschaft
n<W
2) b) der Folge {a9F ±'t (FS (g)-4- 1) } und nach der Induktionsvoraussetzung ist
dann
F^. (Fc (c)) + 1 = Fc ($) + 1-->
(Fc ($) + 1) - Fc ($ + 1)
Ist ' eine Limeszahl < ca 2 mit
Lim cw , so ist
ti
<r
Fc($+1)- Lim F . (F;( ) +
S<Tc
1)
Aus analogen Gründen wie oben folgt
+ 1—> F (F c () + 1) - Fc ( + 1)
Fc0 (F c (s)) + 1= F
Ist = c/2, so ist Fc ($ + 1) = Ft+1 (1) - Lim Ft+'t (1), also wegen der Eigen.<
Vierteljahrsschrift der Naturf. Gesellschaft in Zürich
134
1950
schaft 2) b) der Folge {99I%11+ " (1) }
F'x()+ 1=Fg(1)+1->Fc( +1)
Fall E: Dann ist On (n) = Fg n (a), wobei n < co, I > 1 und
a= F't (C,1”)+1
Ist Fc /2 (a) <
no,
so hat man wegen des unter Fall G erhaltenen Resultats
Fc, (a) +1-->Fc'(a+1)
(Fc (in" ) +0 20 )) und Hilfssatz 2,
verwendet man Hilfssatz 1 (mit F () =
(a)
so ist wegen 2 --j Fc.
(cf. die Bemerkung am Schluss dieses Beweises)
und F t ( ",1 ) < Fe ' (ö)
Fe (a + 1) = Fc/ (Fc (C:1) + 2) = F (2) ->F (Fe (a)) _
(Fc ( ,^) + F e (a)) = F (F
( a ))
= Fe' (a)
also
Fe (a) +1—> Fe' (a)
In analoger Weise wird für 1 n < co und F, + 2 (a) < n o aus
(a) + 1—> F / + 1 (6) wegen Hilfssatz 1 (mit F ( ) = Fc. (Fc (,;) + )) und
Hilfssatz 2:
F
F c' ( F's
+1
(a)+ 1= Fc'r,(6))+ 1 —> Ft, (F , (ö)+ 1) _
F (F ,+ 1 (6)) _
(6) + 1)
( ) i F' , ( S ) + 1 ) = F
>
1 (6))
+1
F, + 2 (6)
(E, ) -{- F ,+
= F, (r,+
( 6 )) =
F^, (Fz
also
F1, +
Somit ist allgemein
Fz, (6) +1 —> Fi', +
1
(d) +
1 (6)
Fr`,+
2
(6)
für 1C n<co und F', +1 (6) <no.
Im F a 11 e E'
= 0) verfahre man genau wie im Fall E, nur ersetze man a
durch 1 und Fc ) durch 0; dann wird
r, (1)
F', + 1 (1) für 1 ^ n < u, und Fz, + 1 (1) < lno
Fall F: Man hat On (+ 1) = Fg +1 (a) - Lim F": 4- 1 (Fg +1 (Fc (,;)) + 1)
n<w
Lim Fl + " (6)
n< 0
also ist wegen Eigenschaft 2) b) der Folge (q).F ^ + n (SO
(>
^ 77()+ 1=Fg (6)+1 - o i,7 (g+1)
Bemerkung 1: Wir haben in diesem Beweis die Eigenschaft 2 - a (für
2 < a < n o ) verwendet. Diese ist erfüllt; denn ist n eine Limeszahl < n o und
ly Lim n(y), so ist cp, (1) > 99,> (1) (1), n(° > i, ,i (') >_ 2; daraus folgt 2 -> a.
x < i-
26 ) Die Anwendung des ersten Hilfssatzes ist deshalb gestattet, weil die erste kritische
Zahl F
nach F. (r ) die Zahl Fc (e" + 1) ist, also die Bedingung F O Lim F (,.)
x7
<
für die in Frage kommenden e stets erfüllt ist.
Jahrg. 95 H. BACHMANN. Die
Normalfunktionen und das
Problem der ausgez.
Folgen
135
Nachdem nun diese Hilfssätze bewiesen sind, ist es sehr einfach, die Eigenschaft 2) b) für die Folge (no (a) } von no zu beweisen:
Man hat eine zugehörige Normalfunktion qin o () und eine Limeszahl
so dass
no = 2 (e1o) > /o
und O,]o () > für alle e mit 1 < ^ $770.
Ist en. Lim ;,o ) , so ist y (x) _ On o (,(,o ) ) und nach Voraussetzung
x <T,7o
+ 1> e
1l für O cx<a n o
r
Nach Hilfssatz 3 ist Ono ( e ) -I- 1-> Ono ($ +1); durch Anwendung des ersten
Hilfssatzes (mit F ( e ) _ Ono (c)) ergibt sich somit
(x)
1_ ono (4.0-))
1
( (-e) + 1) — r Qt), o (40c0 +1))
ii(x+1)
was zu beweisen war.
4. Mit Hilfe der Folge 1W1 von Normalfunktionen 99,E erster Klasse, deren
Existenz nun bewiesen ist, lässt sich nun zu jeder Limeszahl y < 99 F0(i)+1 (1)
eine ausgezeichnete Folge {y„} vom Typus co definieren, so dass y Lim
n< co
Dazu brauchen wir aber noch einen weiteren Hilfssatz:
Hilfssatz 4: Für alle n < F 0 (1) gilt: Ist ri zweiter Art, n Lim ,7 „ und cpn (1) _
x <77)
a,,, so existiert eine Ordnungszahl dritter Art mit i) Lim i und y < ^1
x< S2
.F1 (1 (1),
so dass 1–/x _ für alle x <r,, und r/rn = 27.
Beweis: Der Satz gilt für y < 9°, wie wir in § 3 gezeigt haben. Wir nehmen nun an, der Satz gelte für alle n' < 71 , wobei y eine Limeszahl mit
S^ <1 7 < F R (1) ist, und zeigen, dass dann der Satz auch für y gilt:
Man hat 11 = O n (,) > e n , wobei e,, zweiter Art sein muss. Man kann mittels
transfiniter Induktion leicht zeigen, dass cpo,n ( e ) (1) > 99e (1) für 1 < $ < 67,
also insbesondere
99777 ( 1)
Ten (1)
Ist 9 g, (1) > i. ,1 , so ist also cpn (1) > 'CA = τ,) ; dieser Fall kommt also nicht in
Betracht.
Wir betrachten nun den Fall, dass co (1) = τ gil ; dann existiert gemäss Induktionsvoraussetzung ein E 77 dritter Art mit den oben geforderten Eigenschaften.
Für 17 existieren dann die folgenden Möglichkeiten (cf. Nr. 2 von § 4) :
Fall A: n = Ωlo • , -f .2, $77 = 2 zweiter Art < 91°. Ist dann
Of., so setze
man i? _ Ω1° • 1 + . Ist t",, > .SX°, so ist wegen en < Cif) <
und der Eigenschaft 2) b) der zu 77 gehörenden Folge
P p&(1)>Pg,,(1);
Vierteljahrsschrift der Naturf. Gesellschaft in Zürich
136
da ferner 997t (1) > 92QgO.g (1) > 4vog° (1), ist cp,) (1) > 99gn
(1),
1950
also
99 n ( 1 ) >
Fall B: y
= S2 l ° • (e,+ 1), $', ? 1, $7) = S2 l °, u zweiter Art. Dann ist
So n ( 1 ) > 92n4 ( 1 ) = T,7
Fall C:
910+1.
n=91 . • 1f en= e 1 zweiter Art < 9. Setze
Fall D:
+ 1 ist dritter Art.
Fall E und E': n Lim FV g (Fc ($") + 1) oder Lim Fig-+ g (1), also an = w,
also sicher cp,i (1) > τn.
Fall F: y
= Fen (4+ 1) , ,ir > 1. Da n< Fa (1) vorausgesetzt ist, ist , < S2,
also 91 = D. Wegen Fa n (1) < y <F0 (1) ist
92Fgn (1) (1) > egn = in
9977 (1) >
n= Fc (ρ + 677), 0 < < S2 oder = w 2 9 entweder ist ρ = Fg+1 (μ),
Fg+,_ (μ) < y <F, +1 (it + 1) , kt> 0; oder dann ist 0 < y <F± 1 (1), und es sei
ρ =μ=0.
Ist nun C n < F c+1 (,u + 1), so setze man 7) = Fc ( O -}- 4" 71 ). Dann ist wegen Hilfssatz 2
(,u+ 1 )) = F c+1(;u + 1)
< Fc (ρ + F c+1 (μ + 1 )) = Fc
also erfüllt die geforderten Bedingungen.
Ist aber En > Ft+ (μ + 1) , so ist Fc (ρ+ n) ? F t+ , (,u +-- 1) . Dann ist wegen
Fall G:
,_
7<y
<
99,7 ( 1 )
> 92 gn ( 1 ) = rn
In jedem der obigen Fälle ist das definierte i) kleiner als F0 (1), ausser im
Falle G mit = w 2 ; dann ist y = Fgn (1) , =F0(1).
Bemerkung 2: Indem wir bei Hilfssatz 4 die Bedingung n< F 0 (1)
stellen, benützen wir nur einen Abschnitt der Folge w 1 ; denn wir können vorderhand nicht entscheiden, ob im Falle F der Hilfssatz 4 auch noch für
n> F0 (1) gilt; dies dürfte vielleicht ein schwieriges Problem sein. Wenn
man sich aber nur auf die in Nr. 3 dieses Paragraphen aufgestellten Forderungen 1) 2) beschränkt, kann man sogar die Folge W 1 noch zu einer grösseren
Folge ausdehnen mit Hilfe weiterer Normalfunktionen zweiter Klasse, wie
man leicht zeigen kann; von einer gewissen Stelle an fehlen uns jedoch wieder
die dazu erforderlichen Beweise. Wir wollen dies aber nicht ausführen, weil
wir ja nur einen Abschnitt von t)1 benützen werden. Mit Hilfe dieses Abschnitts erhalten wir aber (wie wir sogleich sehen werden) ausgezeichnete
Folgen für einen erheblich grösseren Abschnitt der zweiten Zahlklasse als
VEBLEN.
Wir definieren nun, genau wie in § 3, ausgezeichnete Folgen für alle Limeszahlen y < H(1) = 99F0 (,) + 1 (1) (die Grenze H (1) könnte natürlich noch etwas
weiter vorgeschoben werden) :
Jahrg. 95 H. BACHMANN, Die Normalfunktionen und das Problem der ausgez. Folgen 137
Wir definieren co y Lim (1+ n) und nehmen an, wir hätten für jede Limesn<w
zahl y' < y eine ausgezeichnete Folge definiert, wobei w < y < H(1), und zeigen, dass man dann auch für y eine ausgezeichnete Folge definieren kann.
Man kann zwei Fälle unterscheiden:
1) Liegt y nicht inVg2,,, so ist die Definition der ausgezeichneten Folgen sehr
einfach und genau wie in Nr. 3 von § 3 auszuführen.
2) Liegt y in V99 0 , so existiert eine letzte Zahl n mit 0 y < Fa (1), so dass
y in Vq‚n liegt, aber nicht in Vcp,' für n < < Fa (1) + 1. Dies lässt sich wiederum leicht einsehen mit denselben Schlüssen, wie wir sie in § 5 ausführen werden. Man hat also y = 99,7 (x) > x. y kann in VFo liegen oder nicht. Da aber in
beiden Fällen Hilfssatz 4 gilt, kann man genau so vorgehen wie in Nr. 3 von § 3:
Ist x zweiter Art, so verwendet man Satz 1 von § 2.
Es sei nun x erster Art. Ist dann n = 0, so liegt die Definition der ausgezeichneten Folge für y auf der Hand. Ist n erster Art, so verwendet man Satz 2
von § 2. Ist n zweiter Art, so verwendet man Satz 3 von § 2. Dies ist wegen
cp,) (1) > n statthaft; denn wäre q9,7 (1) = n , so wiirde nach dem vierten Hilfssatz ein ii dritter Art existieren mit y <1") < Fa (1), so dass y in Vq>, ) + 1 liegen
würde; das wäre ein Widerspruch zur Annahme, dass y nicht in Vq,,n, liegt für
> y. Ist n dritter Art, so kann man ebenfalls genau wie in § 3 vorgehen (Zurückführung des Falles auf die andern Fälle durch endlich viele Regressionen) .
Zum Schluss dieses Paragraphen wollen wir noch unsere Grenze H (1) mit
der Grenze E (1) des Verfahrens von VEBLEN vergleichen:
Es ist
E (1) = cpp. + 1 ( 1 ) = q'Fo(Q)+1 (1)
H ( 1 ) = TF 0 (1)+1 ( 1 ) = q'r0z( 12 )+1
E (1)
ist die erste kritische Zahl von 99 F0(Q) ,
H (1) .
(1)
die erste kritische Zahl von
99F,,,z(0)• Es ist
H (1) > (p Fna)
(1) = 9 m1 ) ( 1 ) > q'F, (1) ( 1 ) > Pro(1)+1 ( 1 ) =
E (1).
§ 5 Bedingungen für die Möglichkeit der völligen Lösung des Problems
der ausgezeichneten Folgen mittels des Verfahrens von VEBLEN
1. Das Problem wäre nun, das Verfahren von VEBLEN noch weiter fortzusetzen und dabei die Folge W x von Normalfunktionen erster Klasse zu einer
umfassenderen Folge zu erweitern, bis man allen Limeszahlen der zweiten
Zahlklasse ausgezeichnete Folgen zugeordnet hat. Wir wollen in diesem Paragraphen sehen, was für Eigenschaften eine solche Folge haben müsste.
Wir nehmen an, wir hätten eine Folge _ {q9n } von einem gewissen Typus A
(wobei A eine Limeszahl < w 2 sei) von Normalfunktionen qp,7 erster Klasse
fertig vorliegend, mit den Eigenschaften (für alle 7j < A) :
Vierteljahrsschrift d. Naturf. Ges. Zürich. Jahrg. 95, 1950.
10
Vierteljahrsschrift der Naturf.
138
Gesellschaft
in Zürich
1950
1) a) qo (x) = w°'•
b) Ist ' _ n' + 1, so sei 9971 = cp^,.
c) Ist n zweiter Art, so sei zu n eine Limeszahl xn der zweiten Zahlklasse
gegeben und dazu eine aufsteigende Folge { T 5 } vom Typus r.q, so dass
Lim 'IJx ; V9971 = D Vq)71..
x <T V
x <T
d) Ist n dritter Art, so sei zu 77 eine aufsteigende Folge {n vom Typus
Ω gegeben, so dass 17 - Lim na,; g9n (x) = cp no, (1) .
o
x<S2
2) Für die Folgen {n x } bzw.{qn;c } in 1), d. h. für alle x mit 1 < x < Tn (bei
1) d) speziell für alle x mit 1 < x < SQ), gelte:
a) Ist x eine Limeszahl, so ist ny ,t Lim
x' < x
wobei der Pfeil wieder die in § 3, Nr. 2, definierte Bea
deutung hat.
Lim nx und 997) (1) =7-n, so existiert eine bestimmte
3) Ist n zweiter Art,
b)
n,+ 1
—> ei ,+„
x <T,
Ordnungszahl i dritter Art mit
=
Lim „und sy < ii < A (d. h. 99,7+ 1 in W) ,
x<S2
so dass 4-7 ti = r für x < in,
4) Ist {n„} eine Folge (deren Typ eine Limeszahl 2, sei) mit Lim = A, so
v<x
leer.
ist D V
v<X
In Nr. 2 dieses Paragraphen werden wir beweisen, dass man mit Hilfe einer
solchen Folge das Problem der ausgezeichneten Folgen wirklich für die
ganze zweite Zahlklasse lösen könnte.
Die Bedingungen 1) und 2) gelten für die Folgen W o (§ 3, Nr. 2) und W1
(§ 4, Nr. 3) . Bedingung 2) muss gestellt werden, damit für die Folgen { 997 }
die Eigenschaften I) und II) von § 2 erfüllt sind, so dass die Definitionen von
q*•n (wenn i eine Limeszahl) in 1) gestattet sind, und man die Sätze von § 2 anwenden kann. Auch die weiteren Bedingungen müssen gestellt werden, wie
wir sehen werden.
2. Wir wollen jetzt aus der Annahme der Existenz einer Folge
mit den obigen Eigenschaften Folgerungen ziehen.
Satz 1: Ist {27',x } eine beliebige, aufsteigende Folge vom Typus Ω von Ordnungszahlen, so dass alle q977 ' . (für alle x < SQ) zu gehören (d. h. T7 x < A für
alle x < Ω), so ist D Vcp leer.
x<S2
Beweis: Es sei = Lim n x ; also ist n dritter Art. Ist = A, so ist D
17.9797'x
x«x<S2
wegen Eigenschaft 4) leer.
Ist n< A, so ist nach Voraussetzung 1) d)
weil Lim pp, (1) = D. Wir untersuchen jetzt D
x<S2
x<S2
Lim no, ferner D Vcp . leer,
x<0
x<52
Jahrg. 95 H. BACHMANN.
Die Normalfunktionen und das Problem der ausgez. Folgen 139
Liegt a in D Vwx so liegt a in allen V99,7 c. Nehmen wir nun ein beliebiges
x<S2
xo < 0,
so gibt es ein x,< Ω, so dass y xo 7).",, < y. Da a inV99,7 ,x, liegt, liegt a
auch in V99,1x0 (denn V(p,ac, ist wegen den Eigenschaften 2) der Folge {T,aw}
eine Teilmenge von Vcp,)xo ) . Da dies für beliebiges xo < gilt, liegt a in D
x<Sa
also ist D V99,7 /w Teilmenge von D Vcp,aC , also ist auch D
x«
x«
x<
V97 7y ,
die Nullmenge.
^a
Bemerkung: Lässt man die Voraussetzung 4) fallen (nimmt man also
z. B. einen beliebigen Abschnitt von W o oder W1), so gilt Satz 1 nur noch, wenn
die Beschränkung Lim r ,, A zur Voraussetzung hinzugenommen wird.
<
x<0
Satz 2:
Der Typus A von ist eine Limeszahl der dritten Zahlklasse.
Beweis: Annahme: A= co,. Es liege a in Vcp o . Wir nehmen in alle 99,a,
für die a in Vqcn liegt. So erhalten wir eine Folge {q9 ,0 von einem bestimmten
Typus t (v durchläuft alle Zahlen < s) . Entweder hat diese Folge ein letztes
Element (wenn von erster Art) , oder dann ist Lim r < A, weil sonst = co,
wäre, man also einen Abschnitt der Folge {n r,, } hätte, dessen Typus = 0 und
dessen Limes < A wäre; also wäre nach Satz 1 D V997 , leer, was der Definiv<sa
tion der Folge {q9,0 widerspricht. Da der ganze Schluss für jede beliebige
Ordnungszahl a aus V990 gilt, existiert zu jedem solchen a eine Zahl n„‹,,,, so
dass a nicht in Vcpn liegt für alle n mit i < y < A. Der Limes aller n« sei H.
Dann liegt keine Zahl von Vgvo in V99,7 für n> H. Da aber H< A, wäre dies ein
Widerspruch dazu, dass alle Vg9,7 für ri < A aus Zahlen von V To bestehen. —
Also ist A< w .
Satz 2': A ist von dritter Art.
Beweis: Zum Beweise nehmen wir an, A sei von zweiter Art; dann existiert eine Folge {y m } vom Typ co mit Lim n.= A. Wir nehmen nun ein festes
m<3
m < co und definieren dazu eine endliche Folge {g„}:
Es sei Co
Ist yl m + 1 < C„ und C„ = + 1, so sei C„ +1 = t;;, . Dann ist Vpt,„ Teilmenge
von Vqv +i.
Ist nm -I- 1 < C„ und C„ eine Limeszahl mit C„ n Lim ax, so sei awo das erste Glied
x<
der Folge {ow } mit a^ > n„L und es sei C,L+1 = awo . Dann gibt es eine Zahl y = ,Q,
so dass der durch 99c„ (x) > y definierte Rest von Vpc,, eine Teilmenge von dem
durch 99 c„ + 1 (x) > y definierten Rest von Vcpcn + ist.
Nach endlich vielen Schritten kommt ein C„ o = rim + 1; somit gibt es eine
Zahl y om), so dass der durch pi,,,+i (x) > y definierte Rest von Vq ,,,+1 eine
Teilmenge von dem durch cp,at,l+i (x) > y definierten Rest von V9776+1 ist; der
betrachtete Rest von V99nr+1 besteht nur aus kritischen Zahlen von Vcm ,,,.
1950
Vierteljahrsschrift der Naturf. Gesellschaft in Zürich
140
Für jedes m < w existiert ein solches y("n); der Limes aller y("0 sei y o . Dann
ist y o < Ω, und der Durchschnitt der durch 99,7 „Z (x) > y o definierten Reste der
Vgr* ,n ist nicht leer (cf. die Voraussetzung I) von § 2), also ist D Vcpn,/, nicht
m<co
leer, was der Voraussetzung 4) dieses Paragraphen widerspricht.
Satz 3: Hat man eine Folge von einem Typus A dritter Art < w 2 eindeutig
konstruiert, so ist das Problem der ausgezeichneten Folgen für die ganze
zweite Zahlklasse lösbar.
Beweis: a) Wir setzen w Lim (1+ n) und nehmen an, wir hätten für
n<W
alle Limeszahlen y' < y ausgezeichnete Folgen definiert, wobei y eine Limeszahl mit w < y < Q, und zeigen, dass man dann auch für y eine ausgezeichnete
Folge definieren kann.
b) Liegt y nicht in Vcp o , so ist in eindeutiger Weise y = co wO x1 + x2 , wobei
1 < xo < Ω, 1 < x,< w, 0 < x 2 < cox °. Man kann also die ausgezeichneten Folgen von y genau so definieren wie in Nr. 3 von § 3.
c) Liegt y in Vopo , so existiert eine letzte Normalfunktion 99,2 von W, so dass y
in Vcpn liegt, aber nicht in V 99,7 , für alle n' mit n < < A. Das kann man
folgendermassen zeigen:
Es sei {nv } die Folge vom Typus λ, so dass y in allen Vcpn„ und nur in diesen
Wertmengen liegt (wobei ν alle Zahlen < λ durchläuft) . Wir nehmen an, diese
Folge habe kein letztes Element, d. h. λ sei eine Limeszahl. Setzt man
= Lim yv, so folgt aus 4) sofort 27 ' < A. Wäre nun n' dritter Art, so könnte
v<X
man genau wie im Beweis von Satz 1 zeigen, dass D V 99,4 leer wäre; man
•
v<X
zweiter Art, n' Lim 7 7 :, so könnte man
x<
n'
ebenso wie im Beweis von Satz 1 zeigen, dass D Vcpnv eine Teilmenge von
hätte also einen Widerspruch. Wäre
y'
v<X
D 99n, = Vcp,7 , wäre, d. h. dass y auch in Vq/n , liegen würde, was der Vorausx< V,n,
setzung widerspricht. Also hat die Folge {} ein letztes Element, das wir
mit bezeichnen. — Man hat also y = g9n (x) > x.
d) Man kann nun für y eine ausgezeichnete Folge definieren wie in den vorangehenden Paragraphen (cf. § 3, Nr. 3) . Wir fassen nur kurz zusammen:
Es sei x erster Art. Ist dann 77 = 0, so liegt die Definition der Folge von y auf
der Hand. Ist n erster Art, so verwende man Satz 2 von § 2. Ist n zweiter Art,
ay = Lim y,,, so verwende man Satz 3 von § 2 bezüglich der Folge {qqn,” }. Diese
x<
97
letzte Definition versagt, wenn y = q927 (1) = x n . Das kann aber nicht eintreten,
weil sonst nach Voraussetzung 3) eine Zahl i) > n existieren würde, so dass y
in VT 1, 4_, liegen würde. Ist 77 dritter Art, so kann man den Fall durch endlich
viele Regressionen auf die restlichen Fälle zurückführen. Wie in § 3 zeigt man,
Jahrg. 95 H. BACHMANN. Die Normalfunktionen und das Problem der ausgez. Folgen 141
dass dabei im Falle der Anwendung von Satz 3 von § 2 kein Versagen der Definition eintreten kann.
Ist x zweiter Art, so verwende man Satz 1 von § 2.
Bei den Beweisen des eingeschränkten Satzes 1 und des Satzes 2 haben wir
nur die Bedingungen 1) und 2) benutzt; die Bedingungen 3) und 4) sind erst
bei Satz 2' und 3 wesentlich. Satz 2 besagt, dass man die Folge W 1 bei Erhaltung ihrer Eigenschaften 1) und 2) nicht durch die ganze dritte Zahlklasse
hindurch fortsetzen kann, wie es zuerst scheinen mag. Mit Satz 3 ist das Problem der ausgezeichneten Folgen auf das (allerdings wohl nicht weniger
schwierige) Problem der Existenz (oder der Konstruktion) von
zurückgeführt. Wir können damit klar definieren, was wir unter Fortsetzung
des Verfahrens von VEBLEN bis zur völligen Lösung des Problems der ausgezeichneten Folgen verstehen wollen: darunter soll die Bildung einer Folge
von Normalfunktionen mit den obigen Bedingungen gemeint sein. Existiert
keine Folge von Normalfunktionen mit diesen Eigenschaften (was sehr wohl
möglich ist) , so kann man das Problem der ausgezeichneten Folgen mit der Methode von VEBLEN nicht lösen.
Bemerkung: Die Gedankengänge von §§ 3 bis 5 lassen sich übrigens
leicht verallgemeinern auf höhere Zahlklassen bzw. Normalfunktionen höherer Klassen. Das Problem der ausgezeichneten Folgen würde dann in verallgemeinerter Form lauten: Jeder Limeszahl < wk+, (wobei k eine beliebige
feste Ordnungszahl) eine eindeutige aufsteigende Folge {ny}, deren Typus λ
eine Limeszahl mit w < < cok ist, zuzuordnen, so dass n = Lim nx.
x<X
§ 6 Das Analogon für zahlentheoretische Funktionen
1. Für die monoton steigenden zahlentheoretischen Funktionen f (x) (als
Normalfunktionen 0. Klasse) lassen sich analoge Betrachtungen anstellen.
Hier durchläuft das Argument alle natürlichen Zahlen und es ist Lim f (1+ x)
xGw
= w. Da eine solche Funktion keine kritischen Zahlen zu haben braucht,
wollen wir an Stelle der Bildung der Ableitung eine andere Operation einführen, aus der eine Verdünnung der Wertmenge der Funktion resultiert, z. B.
die Bildung der Iteration g (x) = f2 (x) = f (f (x)) aus f (x) . Benutzt man nur
solche zahlentheoretische Funktionen f (x), die die Bedingung f (1) > 1 erfüllen (was wir ja auch bei den Normalfunktionen erster Klasse vorausgesetzt haben) , so ist g (1) > f (1) _ und Vg Teilmenge von Vf.. Ähnlich wie beim
Verfahren von VEBLEN kann man dann von einer bestimmten Ausgangsfunktion, z. B. 2w, ausgehen, sodann ihre Iteration bilden, von der neuen Funktion
wieder die Iteration usw., dann die Anfangszahlen der erhaltenen Funktionenfolge vom Typ w nehmen usw.
142
Vierteljahrsschrift der Naturf. Gesellschaft in Zürich
1950
Der Folge von Normalfunktionen erster Klasse in § 5 würde somit eine
Folge ' _ { fn} von einem gewissen Typus λ (wobei λ eine Limeszahl c Ω sei)
von zahlentheoretischen Funktionen fn entsprechen, mit den Eigenschaften
(für alle r < λ geltend) :
1) fo (x) = 2') (z. B.).
2) Ist r = r' +1, so ist f,? = f 2, .
3) Ist r zweiter Art, so ist zu r eine aufsteigende Folge {r w } vom Typus w
zugeordnet, so dass r - Lim r x , ,p+ 1 –> ra,+1 für alle x < w, und
x< w
(x) = fn,, (1) . Dabei führen wir die Abkürzung a -> /3 ein für: V f,7 ist
Teilmenge von V f,, für alle r mit a < n . 13.
Die weiteren Bedingungen, die wir bei aufgestellt haben, sind hier hinfällig
oder nicht von Interesse.
2. Aus der Annahme der Existenz einer solchen Folge W' von zahlentheoretischen Funktionen folgert man entsprechend § 5 die Sätze:
Satz 1: Für jede Folge {f, 1 ;, } vom Typ w von zahlentheoretischen Funktionen
aus W' ist D Vf77;, leer, sofern Lim rin / λ ist21).
n<17
n<w
Beweis: Es sei n= Lim r':t. Wegen r < λ, existiert fn, und man hat eine
n<w
Folge r Lim r om. Genau wie im Beweis von Satz 1 von § 5 zeigt man, dass
x< w
D V fn' eine Teilmenge von der leeren Menge D V f 7a. ist, also selbst leer ist.
n<w
n
x<w
Satz 2: Es ist λ < Ω.
Beweis: Annahme: λ = Ω. Es sei a eine Zahl von V f o . Wir nehmen aus y
alle fn, für die a in V fn liegt; so erhalten wir eine aufsteigende Folge {r, } bzw.
eine Folge { A v } von zahlentheoretischen Funktionen von einem gewissen
Typus . Entweder hat diese Folge ein letztes Element (wenn erster Art),
oder dann ist Lim rv < λ, (weil sonst _ ,SZ wäre, also ein Abschnitt vom Typ w
der Folge {rv} existieren würde, dessen Limes kleiner als λ ist, was wegen
Satz 1 sofort zu einem Widerspruch führen würde) .
Somit existiert zu jedem a aus V f o eine Zahl re, < Ω, so dass a nicht in V f,7
liegt für alle r mit n.< r < λ. Ist H der Limes aller n n , so ist H< Ω und kein a
aus V f o liegt in V f n für n> H, was unmöglich ist. Also ist die Annahme λ = S^
zu verwerfen.
Eine Folge mit den Eigenschaften von W' kann also nicht vom Typ SZ sein
(durch eine solche Zuordnung von zahlentheoretischen Funktionen zu den
Ordnungszahlen wäre also zum vornherein keine überabzählbare Wohlordnung im Kontinuum erreichbar; cf. Nr. 2 von § 1) .
3. A n w e n d u n g. Es ist nicht möglich, allen Limeszahlen r der dritten
Zahlklasse Folgen {r,,} von Typen τn < Ω zuzuordnen, so dass die Bedin21) Ob der Satz auch im Fall Lim , '„
n<w
= X allgemein gilt, ist fraglic.
Jahrg. 95 H. BACHMANN. Die Normalfunktionen und das Problem der ausgez. Folgen 143
gungen 2) a) und 2) b) von Nr. 2 von § 3 erfüllt sind. Denn sonst könnte man
die Existenz einer Folge vom Typus w2 von Normalfunktionen erster Klasse
mit den Bedingungen 1) 2) von Nr. 1 von § 5 folgern, was nach § 5 unmöglich
ist (denn genau wie in Nr. 2 von § 3 würde man aus 2) b) von § 3 die Bedingung 3) von § 3, d. h. die Bedingung 2) b) von § 5 und somit auch 1) von
§ 5 beweisen können für alle n < (0z)•
Den Bedingungen 2) a) und 2) b) von § 3 entspricht in der zweiten Zahlklasse das folgende Problem der ausgezeichneten Folgen
mit einer Nebenbedingung: Jeder Limeszahl n der zweiten Zahlklasse eine eindeutige aufsteigende Folge {n,ti } vom Typus w zuzuordnen, so
Lim ßt die Relation
dass n - Lim n,zj und aus 0 ^ n < w, ^, < ß ^
^
n„ folgt.
ßo
_
/6.-=-.
n<cu
n<cu
Man erkennt sehr leicht, dass Lösungen dieses Problems existieren, wenn
man sich auf einen beliebigen Abschnitt der zweiten Zahlklasse beschränkt
(eine eindeutige Lösung kann man aber nur dann auswählen, wenn man das
Problem der ausgezeichneten Folgen ohne Nebenbedingung eindeutig gelöst
hat)
Man setze w =Lim (1+ n) . Wir nehmen an, allen Limeszahlen n, die kleiner
n<W
als eine bestimmte Limeszahl x > w der zweiten Zahlklasse sind, seien Folgen
{12 ,L } mit der obigen Nebenbedingung zugeordnet und zeigen, dass man dann
allen Limeszahlen < x solche Folgen zuordnen kann:
Es sei {x„} eine beliebige aufsteigende Folge für x; ist n eine Limeszahl mit
x,l < 17 c x,L +, (0 <n < w) und der zugehörigen Folge {n, L }, so ersetze man
die Folge {' } durch einen solchen Rest, dessen erstes Glied x„ ist; ist n < xo,
so lasse man die Folge {n,L } ungeändert. Die neuen Folgen mit der Folge {x„}
erfüllen die Nebenbedingung.
Da bei diesem Induktionsbeweis aber bei jedem Schritt die schon vorhandenen Folgen verändert werden, kann man nicht darauf schliessen, dass das
Problem für die ganze zweite Zahlklasse lösbar ist. Es gilt sogar der
Satz: Mit der obigen Nebenbedingung ist das Problem der ausgezeichneten
Folgen nicht für alle Limeszahlen der zweiten Zahlklasse lösbar.
B e w eis: Wir zeigen, dass wir bei Annahme des Gegenteils eine Folge
von zahlentheoretischen Funktionen mit den Eigenschaften 1) bis 3) von y
(wobei die Folge {n,} in Bedingung 3) gerade die nach Voraussetzung gegebene Folge von n mit der obigen Nebenbedingung ist) , die vom Typ SZ wäre,
konstruieren könnten, was nach den Ausführungen dieses Paragraphen unmöglich ist:
Man setze f o (x) = 2w. Sind alle fn/ für I?' < n (wobei 1 < < S2) aufgestellt
unter Beobachtung der geforderten Bedingungen, so kann man auch fn bilden:
Ist n= + 1, so sei fn
= f,^ 2.
144
Vierteljahrsschrift der Naturf. Gesellschaft in Zürich
1950
Ist y zweiter Art und {n } die nach Voraussetzung gegebene Folge für y, so
definieren wir für festes m < co eine endliche Folge {C„} durch die Festsetzungen: Es sei co = j,„+,• Ist y m + 1 < g„ und g„ _ n + 1, so setze man
;
also ist y,„ +
C„ und „+1--> Z.„. Ist Yi,n + 1 < C„, C„ zweiter Art und
{g„(w) } die nach Voraussetzung gegebene Folge für C„, so sei C„+1= C„(i ); dann
C„ und „+ 1 -^ c„. Nach endlich vielen Regressionen kommt
ist n.+1'
ein Cno = y,„ + 1; daraus folgt n,„ + 1-> y,„+1, und man kann fn (x) = f,i„ (1)
setzen.
§ 7 Zurückführung des Problems der ausgezeichneten Folgen
auf andere mit Normalfunktionen zusammenhängende Probleme
1. Wie man sehr leicht zeigen kann (cf. Bemerkung 2 dieses Paragraphen),
kann man für alle Limeszahlen der zweiten Zahlklasse ausgezeichnete Folgen
bestimmen, wenn man solche bereits zur Verfügung hat für alle Zahlen von
V 99 0, d. h. für alle Zahlen co° (1 < x < D). Wir wollen uns deshalb in diesem
Anhang auf die Menge Vppo beschränken. Ferner führen wir folgende Abkürzung ein: Ist {y„} eine aufsteigende Folge vom Typ co von Ordnungszahlen, so
(definiert für 1 c n < co) die zugehörige Differenzenfolge.
sei dy„ = y,,—
Wir beweisen nun die Aquivalenz der vier folgenden Probleme:
1) Das Problem der ausgezeichneten Folgen für die Menge Vop o ; d. h. jeder
Zahl y von Vp o eine ausgezeichnete Folge 0 < y o < yi < y2 < ... vom
Typus co zuzuordnen mit Lim y„ = y.
n<W
2) Das obige Problem mit folgenden Nebenbedingungen:
a) yo C dyi;
b) Δyn < dy„+, für 1 < n < ov.
3) Jeder Zahl y von Vgg o eindeutig eine Normalfunktion 'p„ erster Klasse zuzuordnen, so dass y die erste kritische Zahl von v v ist (y = y^^ (1)) .
4) Zu einer beliebigen gegebenen Normalfunktion f (x) erster Klasse, deren
Werte nur Zahlen von V990 sind, eindeutig eine Normalfunktion F (x)
zuzuordnen, so dass F' (x) = f(x).
Unter der Äquivalenz der Probleme ist die folgende Eigenschaft zu verstehen: Hat man eine eindeutige Lösung eines solchen Problems, so
kann man daraus auch für die andern obigen Probleme eindeutige Lösungen
konstruieren.
Beweis der Äquivalenz:
1) Wir beweisen zuerst die Äquivalenz der beiden ersten Probleme. Wir
müssen nur zeigen, dass man aus einer eindeutigen Lösung des ersten Problems eine eindeutige Lösung des zweiten Problems konstruieren kann (denn
die Umkehrung ist trivial) :
Es sei y = cow und x = x' + 1. Dann setze man y„ = cox' (1+ n) , somit hat
man eine Folge {y,t }, die die Nebenbedingungen des zweiten Problems erfüllt.
Jahrg. 95 H. BACHMANN. Die Normalfunktionen und das Problem der ausgez. Folgen 145
Ist aber y = wa', x eine Limeszahl und (yn ) die nach Voraussetzung eindeutig
gegebene ausgezeichnete Folge, die zu y gehört, so kann man zu jedem n < w
eindeutig die kleinste Zahl xn > 0 fixieren, so dass yt C (o en. Dann ist
Lim W..= y. Kommen in dieser Folge Glieder mehrfach vor, so nehme man
n<W
sie nur einmal. Die so entstehende aufsteigende Teilfolge (z n ) erfüllt die Bedingungen a) und b) ; denn, weil alle zn Zahlen von V p0 sind, ist nach dem
zweiten Hilfssatz von § 4
dzn =z, für 1cn<w
2) Sodann beweisen wir die Äquivalenz des zweiten und dritten Problems:
a) Man habe eine eindeutige Lösung des zweiten Problems. Dann kann man
das dritte Problem eindeutig lösen: Es sei y eine beliebige Zahl aus V 990. Nach
Voraussetzung ist dann zu y eine Folge {y„} mit den Nebenbedingungen a)
und b) gegeben. Wir definieren nun die Normalfunktion vy wie folgt:
Es sei epy (x) = yo + x für 1 c x < yo, ferner
/
Für zunächst festes n sei
lVy( y n+
iVY ( y o) = y o • 2
x ) = yn+1+x für 1cx<zlyn
2Vv (Yn+1)=yn.+1+ dyn+1 ;
dies gelte dann für 0 n < w.
Schliesslich sei ipy (x) = x für alle x mit y < x < D.
'y y (x) ist eine Normalfunktion; denn erstens ist sie monoton steigend (wegen
dyn C dy n+1) und zweitens ist sie stetig: wenn yti+1 eine Limeszahl, so ist
Lim 2Vy (yn + x) = yn+1 +dyn+1 =1Vv (yt+1) = 1Vy (Lim (y„± x)) für 0 n < w,
x < 4 Jn+1
x<11)n+1
und wenn y o eine Limeszahl ist, so ist Lim Py (x) = yo + y o = tp,( y o) _
x <yo
(Lim (1 x)) ; ferner ist wegen y n G y ‘ ,22/ C yn + A yn + 1 = yn + 1 Lim 1/y (y„)
<y an<n
= Lim vy (1+ x) = y. Zudem ist y die erste kritische Zahl; denn ist
?P
x<y
1- y'< y, so hat man drei Fälle: y' < yo, y' = y (für ein bestimmtes n) oder
y' = y,,. + x (für ein bestimmtes n und 1 x < dyn+ 1) . Im ersten Fall ist
'y (y') > y' wegen y o > 0; im zweiten Fall ist 2Vy (y') = yn + dyn > y= y', weil
dyn. > 0; wäre im dritten Fall vy (y') = y', also y n+1 + x = y n + x, so wäre
dyn+1 + x — x; weil aber die erste kritische Zahl der Normalfunktion x (x)
dy n+1 + x die Zahl d yn+1 • w ist, wäre x > d y„+1 • w, was ein Widerspruch zur
Voraussetzung x < dyt+1 ist.
b) Umkehrung: Es sei das dritte Problem eindeutig gelöst, und y sei eine
Zahl aus Vcpo ; man hat nach Voraussetzung die Normalfunktion tp y (x). Dann
ist nach Satz 2 von § 2 y = Lim y,y'ti (1). (vy'L (1) ) ist eine aufsteigende Folge,
n<
weil 1 keine kritische Zahl von
ist. Ferner ist (cf. Nr. 3 von § 1)
146
Vierteljahrsschrift der Naturf. Gesellschaft in Zürich
vv ( 1) =1
vv( 1 )- 1
1950
2Vv 2 (1)
(1) ^
v3 (1) -vv2(1)<•••
d. h. unsere Folge für y genügt den Nebenbedingungen a) und b) .
3) Schliesslich beweisen wir die Äquivalenz des dritten und vierten Problems:
a) Aus einer eindeutigen Lösung des dritten folgt eine eindeutige Lösung
des vierten Problems: Es sei f (x) eine gegebene Normalfunktion, deren Wertmenge Teilmenge von V92 0 sei. Man setze nun
F (y) _ 'Vf(i) (y) für 1<y<f(1)
(wobei lpf(,) die nach Voraussetzung eindeutig bestimmte Normalfunktion ist,
deren erste kritische Zahl f (1) ist) und für zunächst festes x
F (f (x)) = f (x)
F (f (x) + y) = f (x) + 2VPC„+ n (y) für 1 < y < f (x +1)
dies gelte dann für 1 < x < D.
Unsere Funktion F ist eine Normalfunktion, wie man unter Anwendung von
Hilfssatz 2 von § 4 zeigen kann; ferner ist F (f (x)) = f (x), F (y) > y für
y
/ f(x)•
b) Umkehrung: Man habe das vierte Problem eindeutig gelöst, und y sei
eine beliebige Zahl aus Vq9 0 ; dann definieren wir die Normalfunktion f (x)
durch die Angabe: Vf bestehe genau aus allen Zahlen von Vq o, die .>_ y sind.
Nach Voraussetzung existiert eine eindeutig definierte Normalfunktion F (x),
so dass F' (x) = f (x) , also y = F' (1) . Setzt man -y,,, (x) = F (x) , so hat man eine
Lösung des dritten Problems.
2. Bemerkungen:
1) Das zweite Problem ist ein Problem der ausgezeichneten
Folgen mit einer Nebenbedingung. Wenn man sich, wie vorausgesetzt, auf V 920 beschränkt, so besitzt es Lösungen. Es ist aber nicht lösbar
für alle Limeszahlen der zweiten Zahlklasse; denn es sei z. B. y = ε + CO und
y = Lim y,,, wobei f yn ) eine beliebige aufsteigende Folge für y sei. Dann sei
n<W
yno das erste Glied der Folge mit y„ 0 > ε. Ist no = 0, so hat man yo > Δy1 ; ist
no > 0, so ist Δyno > ε, U y n e +1 < ε, also Δyno > 4y „ 0 +i• In beiden Fällen sind also
die Nebenbedingungen des zweiten Problems nicht erfüllt.
Lässt man dagegen die Nebenbedingung a) fallen, so hat man das Problem
der ausgezeichneten Folgen mit einer nur noch unwesentlichen Nebenbedingung b) ; dieses ist lösbar für die ganze zweite Zahlklasse; denn man
kann sehr leicht die Äquivalenz dieses Problems mit dem Problem der ausgezeichneten Folgen ohne Nebenbedingung beweisen:
Man muss nur zeigen, dass man aus einer eindeutigen Lösung des letzteren
eine eindeutige Lösung des ersteren konstruieren kann (die Umkehrung ist
Jahrg. 95 H.
BACHMANN.
Die Normalfunktionen und das Problem der ausgez. Folgen 147
trivial) : Für co ist co = Lim (1 + n) zu setzen. Es sei y > w eine Limeszahl der
>=<W
zweiten Zahlklasse mit einer nach Voraussetzung gegebenen ausgezeichneten
Folge, und man habe für alle Limeszahlen y' < y Folgen konstruiert, die b)
erfüllen. Dann kann man auch für y eine solche Folge konstruieren: Liegt y
in Vcp0, so kann man sogar eine Folge konstruieren, die a) und b) erfüllt (nach
dem obigen Beweis in Nr. 1 dieses Paragraphen) . Liegt y nicht in V pof so
schreiben wir y = cua)° • x1 -1- x2 mit 1 < x0 < Ω, 1 < x1 < o), 0 x2 < cw°.
Ist dann x, zweiter Art und (g„} die zugehörige Folge mit der Eigenschaft
b) , so ist w""° • x1 + C,,, eine solche Folge für y. Ist x 2 = 0, x1 = x'1 -1- 1 (x'1 ? 1)
und {g„} die Folge mit der, Eigenschaft b), die zu cow° gehört, so ist {cvw°•x'i+^n}
eine solche Folge für y.
2) Das wesentliche Resultat dieses Paragraphen ist aber die Z u r ü c k führung des Problems der ausgezeichneten Folgen auf
das dritte oder vierte Problem; diese Probleme (für Vgp0 ) sind
äquivalent zum Problem der ausgezeichneten Folgen für a 11 e Limeszahlen
der zweiten Zahlklasse, wie man leicht zeigen kann; man muss wegen der oben
bewiesenen Äquivalenz der vier Probleme nur zeigen, dass das erste Problem
zum Problem der ausgezeichneten Folgen (für alle Limeszahlen der zweiten
Zahlklasse) äquivalent ist: Wir nehmen an, das Problem der ausgezeichneten
Folgen sei gelöst für alle Zahlen aus Vcp0 und für alle Limeszahlen < y, wobei
y eine Limeszahl mit cu <y < Ω, die nicht in Vpp0 liege. Dann kann man eine
ausgezeichnete Folge für y definieren, indem man y = co"° • x 1 + x2 schreibt
und dieselben Definitionen nimmt wie in Nr. 3 von § 3.
Literaturverzeichnis
(1) G. H. HARDY, Quarterly Journal of Mathematics, vol. 35 (1903).
(2)
0. VEBLEN, Transactions of the American Mathematical Society, vol. 9 (1908).
(3) A. CHURCH und S. C.
KLEENE,
Fundamenta Mathematicae, Bd. 28 (1937).
(4) F. HAUSDORFF, Mengenlehre, Dover Publications, 3rd Revised Edition (New York 1944).
(5) G. CANTOR, Gesammelte Abhandlungen (Berlin 1932).
(6) G. CANTOR, Mathematische Annalen, Bd. 49 (1897).