Python I

Modul „Einführung in die Informatik“: Aufgaben zur Großübung 4
Thema: Python I
1)
a)
Berechnung der Fakultät
(von einer ganzen Zahl >=0)
Nichtrekursive Berechnung der Fakultät
(vgl. Aufg.-komplex Struktogramme, Aufg. 5)
Es ist ein Python-Skript zu entwickeln für die nichtrekursive Berechnung der Fakultät
n_fakultaet = n! =1*2*…*(n-1)*n
(n>=0, ganz),
wobei per definitionem gilt:
0! = 1
Die Eingabe und die Resultatausgabe sollen im Hauptprogramm erfolgen. Wenn n<0 eingegeben wird
(Fehler), ist die Eingabe zu wiederholen (mehrfache Fehleingaben sind nicht auszuschließen).
Die Fakultät soll in einer gesonderten Funktion berechnet werden. In der Funktion ist nicht mit
globalen Variablen zu arbeiten (d.h. n ist an die Funktion zu übergeben).
Es ist je ein vollständiges Python-Skript zu schreiben:
a1)
unter Verwendung einer Zählschleife
In diesem Skript ist das Hauptprogramm als Testrahmen zu schreiben, um die
Fakultäts-Funktion in Aufgabe 2 nutzen zu können. Dazu ist das Skript in Z:\Python
unter der Bezeichnung nfak_for_Modul.py zu speichern.
in der Großübung wird die Abarbeitung von a1) anhand des Debuggers erläutert
a2)
unter Verwendung einer Abweisschleife
a3)
unter Verwendung einer nachgeahmten Nichtabweisschleife.
Hinweis zu a3): Es ist zu beachten, dass Python keine Nichtabweisschleife besitzt. Man kann aber eine
Nichtabweisschleife nachbilden mit „while True“ als Kopf, d.h. der Schleifenkörper wird immer
betreten, und einer if-Anweisung als Schleifenfuß, die den Schleifenabbruch regelt.
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b)
Rekursive Berechnung der Fakultät
(vgl. Vorlesungsskript informatik05-Algorithmen.pdf , S.11
sowie Informatik08-Python-2.pdf, S.8)
Bemerkung: In der Vorlesung wurde n>=2 vorausgesetzt, jetzt aber n>=0.
Es ist ein Python-Quelltext zu schreiben für die rekursive Berechnung der Fakultät
n_fakultaet = n*(n-1)!
(n>=0, ganz),
wobei wieder per definitionem gilt:
0! = 1
Die Eingabe und die Resultatausgabe sollen im Hauptprogramm erfolgen. Die Fakultät selbst ist in
einer gesonderten Funktion (ohne globale Variable) zu berechnen. (Auf eine Eingabeprüfung – wie
unter 1.a) - soll hier der Kürze halber verzichtet werden.)
Hinweis: In der folgenden Folie folie_rekursive_fakultaet.doc wird nochmals erläutert, wie die
rekursiven Funktionsaufrufe abgearbeitet werden
(diese Folie ist im Festplattenverzeichnis Lehrfolien_zur_Uebung gespeichert).
in der Großübung wird die Abarbeitung anhand des Debuggers erläutert
1
Zur rekursiven Lösung der Aufgabe nfak = n! ;n>=0, ganz
- Trockentest am Beispiel n = 3 :
Eingabe: 3
nfak = fakrek(3)
Funktionsaufruf vom Hauptprogramm aus:
6
fakrek(3):
return 3 * fakrek(2)
3*2
1. rekursiver Funktionsaufruf:
2
fakrek(2):
return 2 * fakrek(1)
2*1
(1)
(3)
2. rekursiver Funktionsaufruf:
1
fakrek(1):
return 1 * fakrek(0)
1*1
3. rekursiver Funktionsaufruf:
1
(2)
Fortsetzung
nach Rücksprung
ins Hauptprogramm mit:
Rückgabewert 6
fakrek(0):
return 1
Der Ausdruck n*fakrek(n) in der returnAnweisung lässt sich nach dem
„Rekursionsabstieg“ (1) über immer einfachere
Versionen des Ausdrucks hier erstmals lösen, d.h.
die Fakultäts-Funktion wird erstmals bis zum Ende
abgearbeitet.
Von diesem „Rekursionsanfang“ (2) aus wird nun
die Lösung der ursprünglichen Aufgabe aufgebaut.
Beim jetzt beginnenden „Rekursionsaufstieg“ (3)
werden schrittweise rekursiv die erhaltenen
Sublösungen eingesetzt und jeder Funktionsaufruf
bis zum Ende abgearbeitet.
2
2)
Summe dreier Fakultäten:
a! + b! + c!
(a, b, c>=0 und ganz)
Es ist ein Python-Skript zur Berechnung der Summe dreier Fakultäten: a! + b! + c!
(Dieses Skript ist in Z:\Python zu speichern.)
zu entwickeln.
Im Hauptprogramm sind die drei ganzen Zahlen a, b, c (>=0) einzulesen sowie die berechnete Summe
auszugeben. Dabei ist die Eingabe zu wiederholen, wenn eine oder mehrere negative Zahlen
eingegeben wurden (mehrfache Fehleingaben sind nicht auszuschließen).
Zur Berechnung der Summe der drei Fakultäten ist die in Aufgabe 1.a1) geschriebene Funktion zur
Berechnung von n! zu nutzen, die mit Testrahmen unter der Bezeichnung nfak_for_Modul.py in
Z:\Python gespeichert wurde. (Durch mehrfachen Aufruf kann die Summe der drei Fakultäten
berechnet werden.)
Bemerkung:
Das Modul wird gefunden, da beide Quelltexte in Z:\Python gespeichert wurden.
Andernfalls ist der Systempfad entsprechend einzustellen.
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3)
Summe von n reellen Zahlen mit Liste als Datenmodell
(vgl. Aufgabenkomplex Struktogramme, Aufg. 8.b)
Gesucht ist die Summe von n reellen Zahlen. Die Anzahl n (n>=1) der Zahlen sei dem Nutzer bekannt
und kann somit eingelesen werden. Die Zahlen sollen in eine Liste eingelesen werden.
Benutzen Sie nur die Zählschleife.
Die Eingabe der n reellen Zahlen soll in einer gesonderten Funktion und die Berechnung der Summe in
einer weiteren gesonderten Funktion erfolgen (d.h. zwei Funktionen). In den Funktionen ist nicht mit
globalen Variablen zu arbeiten.
Im Hauptprogramm sollen die Anzahl n eingelesen, die beiden Funktionen aufgerufen und die Summe
als Resultat ausgegeben werden.
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3
4)
Normalisieren von Sound
(auf 95% des max. möglichen Lautstärkewertes für 16 bit-Sound)
Im Vorlesungsskript informatik10-Sound.pdf wurde Sound normalisiert, d.h. die Samplewerte
(Soundamplituden) so skaliert (verstärkt), dass der max. Samplewert den max. möglichen Wert (für
Sound mit 16 bit Sampling-Tiefe) von 32767 erreicht.
Allerdings normalisieren nicht alle Soundeditoren (z.B. Audacity) auf 100% des max. möglichen
Wertes, sondern lassen oft etwas „Headroom“ frei. Deshalb soll in dieser Aufgabe auf 95% des max.
möglichen Wertes, also auf 0.95*32767, normalisiert werden.
Bedeutung der Normalisierung von Sound:
Das Normalisieren von Sound hat z.B. bei mehreren für eine CD/DVD vorgesehenen Soundfiles den
Vorteil, dass die verschiedenen Audiodateien danach als gleich laut empfunden werden und beim
Anhören der CD/DVD kein Nachsteuern notwendig ist. Außerdem ist Normalisieren generell nach
pegelverändernden Operationen bei der digitalen Soundeditierung sehr sinnvoll, da Rundungsfehler bei
Rechenoperationen mit größeren Werten weniger ins Gewicht fallen.
Schritte beim Normalisieren von Sound auf 95% des max. Wertes (vgl. Vorlesung):
1. Maximalen Sample-Wert loudest im Soundobjekt ermitteln
2. Ermittlung des Normalisierungsfaktors normFactor, so dass gilt:
normFactor * loudest = 0.95*32767 ,
d.h.
normFactor = 0.95*32767/loudest
Da hier auf 95% normalisiert wird, muss der Normalisierungsfaktor nicht immer >=1 sein, also nicht
immer - wie in der Vorlesung bei 100% - ein Verstärkungsfaktor.
3. Normalisierung aller Samplewerte durch Multiplikation mit normFactor
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Aufgabe:
- Es ist ein Python-Skript zur Normalisierung eines wav-Soundfile’s auf 95% des maximal möglichen
Samplewerts, d.h. auf 0.95*32767, zu entwickeln.
Dazu sollen im Hauptprogramm die Dateibezeichnung eines WAV-Soundfiles eingelesen und ein
internes Soundobjekt gebildet werden.
In einer gesonderten Funktion ist dann das Soundobjekt auf 95% des maximal möglichen
Samplewerts zu normalisieren.
Das normalisierte Soundobjekt ist schließlich im Hauptprogramm abzuspielen und in das PythonArbeitsverzeichnis unter einer veränderten Filebezeichnung zu speichern.
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4
5)
Konvertieren einer ganzen Zahl eines Zahlensystems zur Basis B; 2<=B<=36
in eine Dezimalzahl (gemäß Hornerschema)
Vorbemerkungen:
Gemäß Großübung 1, S. 12 sowie Vorlesung 2 gilt:
Konvertieren von beliebigen Systemen ins Dezimalsystem mittels Hornerschema
Eine in einem Positionssystem mit der Basis B dargestellte natürliche Zahl n mit N Stellen
N −1
n = ∑ bi * B i
i =0
lässt sich mittels Hornerschema wie folgt ins Dezimalsystem konvertieren:
n = (...(( bN −1 * B + bN − 2 ) * B + bN −3 ) * B + ... + b1 ) * B + b0
Aus dieser Hornerschema-Formel ergibt sich zunächst folgendes Struktogramm:
E(basis)
E(ganzzahl)
n = ziffernanzahl (ganzzahl)
dezzahl = b[n-1]
i = 2,n,1
dezzahl = dezzahl*basis+b[n-i]
A(ganzzahl, "entspricht der Dezimalzahl", dezzahl)
Aufgabe:
Es ist ein Python-Skript zur Konvertierung einer natürlichen Zahl (d.h. ganz und >=0) eines
Zahlensystems zur Basis B; 2<=B<=36; in eine Dezimalzahl (gemäß Hornerschema) zu entwickeln.
Dabei soll die Eingabe (hier der Kürze halber ohne Eingabeüberprüfung) und Ausgabe in einem
Testrahmen erfolgen. Statt Großbuchstaben A, ... , Z sollen auch Kleinbuchstaben a, ... , z möglich sein.
Die Konvertierung ist in einer gesonderten Funktion vorzunehmen. In der Funktion ist nicht mit
globalen Variablen zu arbeiten.
Hinweise zur Lösung:
a) Die 26 „Zeichenziffern“ A, ... , Z reichen für die „Ziffern“ 10 bis 35;
deshalb 2<=B<=36. Beispiel:
Die Zahl 2Z zur Basis 36 besteht also aus den Ziffern
2 und 35 (im Dezimalsystem: 107).
b) Da hier aber ein Python-Programm zu schreiben ist, können die Indizes der Hornerschema-Formel
nicht einfach übernommen werden:
- Da die Zahlen zur Basis B auch „Zeichenziffern“ wie z.B. A, B, ..., Z enthalten können, muss die Zahl
zunächst in eine Zeichenkette eingelesen werden.
Beispiel:
B=16,
ganzzahl=2AB9
entsprechende Zeichenkette:
zahlstring="2AB9"
5
Die höchstwertige Ziffer ist
zahlstring[0]= "2" und hat folglich nicht den Index n-1
wie in der Hornerschema-Formel, sondern den Index 0.
Entsprechend hat die niedrigstwertige Ziffer nicht den Index 0, sondern n-1.
- Die einzelnen Zeichen des zahlstring müssen getestet werden, ob sie Buchstaben ("A", ..., "Z")
oder Zifffernzeichen ("0", "1", ..., "9") sind.
Schließlich ist das entsprechende Zeichen in eine int-Zahl zu konvertieren
(z.B. "B" in die int-Zahl 11, "4" in die int-Zahl 4).
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6)
Näherungsweise Berechnung der Exponentialfunktion ex
(vgl. Aufgabenkomplex Struktogramme, Aufg. 10*)
Bemerkung: Hier ist nicht die Funktion exp( ) aus dem Modul math zu nutzen, sondern es soll eine
entsprechende Funktion selbst geschrieben werden.
Es ist ein Python-Skript zur näherungsweisen Berechnung von ex = exp(x) mit Hilfe der bekannten
TAYLOR-Reihe
x x2 x3
xn
e = 1+ +
+
+ ... +
+ ...
1! 2! 3!
n!
x
( konvergiert für | x | < ∞ )
in folgender Weise zu entwickeln:
- Eingabe von x
- Die näherungsweise Berechnung ist abzubrechen, wenn das nächste Glied der Reihe betragsmäßig
kleiner als eine einzulesende Genauigkeitsschranke epsilon ist ( 0 < epsilon < 1 ).
- Bei der Berechnung der einzelnen Reihenglieder kann man ausnutzen, dass mit g0 = 1
(erstes Glied der Reihe) für die nächsten Reihenglieder gilt:
g i = g i −1 *
x
i
für i = 1, 2, ...
Die Ein- und Ausgabe soll im Hauptprogramm erfolgen. Die Berechnung von ex ist in einer
gesonderten Funktion vorzunehmen, in der nicht mit globalen Variablen zu arbeiten ist.
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