Beispiel Strom-Spannungsmessung (1) - Fakultät für Physik

Vorlesung:
Computergestützte Datenauswertung
Meßdaten und Zufall: statistische Datenauswertung
Günter Quast
Fakultät für Physik
Institut für Experimentelle Kernphysik
KIT – Die Forschungsuniversität in der Helmholtz-Gemeinschaft
SS '17
www.kit.edu
Zufall in den Naturwissenschaften
Schon in der klassischen Physik:
– Einfluss unkontrollierbarer Größen (Ablesegenauigkeit, Fertigungsgenauigkeit von
wird als „Messfehler“ statistisch behandelt
– in Vielteilchensystemen: statistische Mechanik betrachtet Eigenschaften von
Verteilungen statt aller Phasenraumkoordinaten von Teilchen
Messgeräten, „Rauschen“ usw.)
In der Quantenphysik:
- Vorhergesagt werden Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Observablen
→ nur statistische Aussagen, z.B. „ mittlere Lebensdauer eines Zustands“ oder
„ Erwartungswert des Aufenthaltsortes“
sehr häufig:
Mischung aus vorhersagbarer Komponente und Zufallskomponente.
→ Wahrscheinlichkeitsaussage, Statistik.
Ziel: Extraktion der vorhersagbaren Komponente(n)
Wozu Statistische Datenanalyse ?
der Job des Wissenschaftlers:
Vergleich von Modellen mit der Wirklichkeit
Frage:
Passt das (theoretische) Modell zu den Beobachtungen (Messungen) ?
- wenn nein: Modell verwerfen oder verbessern
- wenn ja: freie Modellparameter bestimmen
– Messungen sind immer mit
statistischen Ungenauigkeiten behaftet
(Rauschen, Ablese- oder Digitalisierungsgenauigkeit, Eichung, ...)
– in der Quantenphysik sind die relevanten
Modellvorhersagen und -Größen selbst
Parameter von Zufallsverteilungen
(mittlere Lebensdauer eines Zustands,
Erwartungswert eines Operators, ...)
–– gutes Modell
–– schlechteres Modell
Modell einer Messung
gemessener Wert
m = w +
wahrer Wert
z
zufälliger
Beitrag
z kann mehrere Ursachen haben:
- zufälliger Beitrag zum Messwert („Rauschen“)
→ „statistische Unsicherheit“
- Genauigkeit des verwendeten Messinstruments
→ „systematische Unsicherheit“
- mitunter gibt es auch eine Unsicherheit auf den
„wahren“ Wert, den man oft z zuschlägt
→ „theoretische Unsicherheit“
- Fehler im Messprozess – sollten nicht passieren !

z = zstat + zsyst + ztheo
Beispiel
Betrachten Sie folgendes Skript:
import numpy as np
def w(): return 10.
def z(): return np.random.randn()
for i in range(10):
print 'w = %.3f
+z())
m = w + z = %.3f' %(w(), w()
m_is_w_plus_z.py
Es produziert diese Ausgabe:
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
10.000
10.000
10.000
10.000
10.000
10.000
10.000
10.000
10.000
10.000
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
9.915
9.352
8.930
8.571
10.348
10.655
9.298
10.714
9.912
10.644
Modellierung einer wiederholten Messung
Grundsätzliches zur Datenauswertung
Eine Datenerhebung (oder Messreihe) ist
eine „Stichprobe“ aus einer „Grundgesamtheit“
Grundgesamtheit: die Menge aller Möglichen Ergebnisse
(engl.: basic population)
Stichprobe:
eine (endliche) Untermenge davon
(engl.: sample)
Die Datenanalyse verwendet statistische Methoden, um
– Stichprobe durch Kennzahlen oder grafische Darstellung zu beschreiben
deskriptiv Bsp.:
- Verteilung eines Notendurchschnitts einer Klausur
Kenngrößen:
Mittelwert, Streuung (Varianz)
– auf die Eigenschaften der Grundgesamtheit zu schließen
inferenziell Bsp.:
- Lebensdauerverteilung eines Radionuklids, Kennzahl Halbwertszeit
– Aufdecken von Zusammenhängen zwischen verschiedenen Variablen
explorativ: Bsp:
- der Zusammenhang zwischen Ernährung und Körpergewicht
- die Abhängigkeit des Stromes durch ein el. Bauteil von der Spannung
Beispiel: Längenmessung
bitte die Höhe der vorderen Oberkante Ihrer Tischplatte über dem Boden
messen und mir mitteilen ...
Daten in Text-Editor eingeben:
# Messung 28. Apr. 2016
# h[cm]
xx.xx
yy.yy
….
liveData.dat
Beispiel: Längenmessung
bitte die Höhe der vorderen Oberkante Ihrer Tischplatte über dem Boden
messen und mir mitteilen ...
import numpy as np
Daten in Text-Editor eingeben:
import matplotlib.pyplot as plt
#read columns from file:
infile="Data.dat"
A=np.loadtxt(infile,unpack=True)
# Messung 28. Apr. 2016
# h[cm]
xx.xx
yy.yy
….
print A # check input
# visualize as histogram (with matplotlib)
fig=plt.figure(figsize=(10,10))
plt.hist(A,100)
plt.title('Distribution of Data')
liveData.dat
Mit kleinem Python-script
darstellen und auswerten
s. auch liveDisplay.py
(in der Vorlesung verwendet)
→
print "Mittelwert:
%.3f" % np.mean(A)
print "Standardabweichung: %.3f" % np.std(A)
print "Unsicherheit auf Mittelwert: %.3f" \
% (np.std(A)/np.sqrt(len(A)))
plt.show()
read_array.py
Ergebnis Beispiel 1:
Visualisierung der Messreihe
(typisch wie z.B. mit MS Excel)
Darstellung als
„Häufigkeitsverteilung“
oder „Histogramm“
(engl. frequency distribution“, „histogram“)
Statistische Information:
Mittelwert:
79.954
Standardabweichung: 0.522
Unsicherheit auf Mittelwert: 0.074
Anm.: Standardabweichung beschreibt „Breite der Verteilung“
Beispiel Strom-Spannungsmessung (1)
?
Messreihe:
I
+
–
Draht
U
Grafische Darstellung mit
(Millimeter -) Papier und Bleistift
oder Tabellenkalkulation beherrschen Sie alle
mit ein wenig Python-Code wird es komfortabler ...
Beispiel Strom-Spannungsmessung (2)
Messreihe:
import numpy as np
Python Code
import matplotlib.pyplot as plt
#read columns from file
infile="DataOhmsLaw.dat"
U, I = np.loadtxt(infile,unpack=True)
# plot the results
fig, ax=plt.subplots(1,1)
ax.errorbar(U, I, fmt='o')
ax.set_xlabel('U')
ax.set_ylabel('I(U)')
plt.show()
# Measurements: Ohm's Law
# Prec.: U: +\-0.015V, I: +\-0.015A
# U[V] I[A]
0.15 0.14
0.25 0.22
0.40 0.36
0.50 0.48
0.60 0.53
0.70 0.64
0.75 0.65
Text-Datei
0.80 0.74
0.90 0.81
DataOhmsLaw.dat
Frage:
Gilt das Ohm'sche Gesetz ?
Grafik
I=U/R = G R für
R bzw. G = const
?
Beispiel Strom-Spannungsmessung (3)
Frage:
Gilt das Ohm'sche Gesetz ?
d.h. ist der Zusammenhang
zwischen Strom und Spannung
unter Berücksichtigung der
Messunsicherheiten linear ?
Wie kann man vorgehen ?
1.) deskritptive Analyse
– Für jedes ( I, U )-Paar den Leitwert berechnen
– Mittelwert über alle Messungen bilden
– Messunsicherheit empirisch aus „Streuung“
der Gi bestimmen
Mittelwert:
G=0.907 S
Standaradabweichung
σ=0.028 S
Sieht doch gut aus:
Linearer Zusammenhang, also
Leitwert G bzw. Widerstand R
bestimmen.
Unsicherheit des
Mittelwerts:
ΔG= σ /√n =0.009 S
Beispiel Strom-Spannungsmessung (4)
Mit Berücksichtigung der bekannten Messunsicherheiten:
Unsicherheiten der Strombzw. Spannungsmessung
aus
- Herstellerangaben
- eigener Erfahrung
- eigenen Studien zur „Kalibration“
2.)
– Für jedes (I , U) – Paar den Leitwert I/U berechnen
– Messunsicherheiten für jeden Wert bestimmen
Stichwort: Fehlerfortpflanzung
– die Werte für G unter Berücksichtigung
der Unsicherheiten kombinieren *)
(„Mittelung“ über alle Messungen)
* mit Unsicherheiten geeignet gewichteter Mittelwert,
Stichwort: 1/σ ² - Wichtung
– Unsicherheit des gemittelten Werts bestimmen
Ergebnis: G= 0.903 ± 0.011 S
Beispiel Strom-Spannungsmessung (5)
Berücksichtigung der bekannten Messunsicherheiten (2)
3.) Der Leitwert G ist die Steigung der Geraden
– „Anpassung“ (engl. “Fit“) einer Ursprungsgeraden
an die Messpunkte durchführen
– Qualität der Übereinstimmung überprüfen
Probability
pχ²=74%
Wenn ok: Wert für G aus der Anpassung
incl. Unsicherheit als Ergebnis festhalten
Beispiel Strom-Spannungsmessung (6)
4.) Der Leitwert G ist die Steigung der Geraden,
evlt. gibt es aber „systematische“ Probleme mit der Messung?
Als Test Anpassung
– einer allgemeinen Geraden oder
– einer quadratischen Funktion
an die Messpunkte durchführen
Probability
linear
pχ²=64%
quadratic pχ²=52%
• Mit mehr freien Parametern wird
– die Unsicherheit auf den linearen Term größer
– die „Qualität der Anpassung“ aber eher schlechter
• die zusätzlichen Parameter sind (innerhalb ihrer Unsicherheiten)
mit Null verträglich

Strom-Spannungsmessung (7)
Die im Beispiel verwendeten statistischen Methoden
und Programmpakete bzw. Software-Implementierungen
werden Sie in diesem Kurs kennen lernen bzw. selbst entwickeln.
- Motivation der wichtigsten Formeln und Zusammenhänge
(keine stringenten Herleitungen - dazu bitte Literatur konsultieren)
- Monte-Carlo-Methode zur Simulation von Messungen,
d.h. zur Überprüfung der statistischen Verfahren
- Programmbeispiele in python mit numpy-Funktionen
- Funktionsanpassung und Software
Konzept: Learning by Doing !
Bitte machen Sie mit, der Lohn ist eine eigene Arbeitsumgebung
zur Auswertung von Praktikumsversuchen, und noch viel mehr …