Praktikum Digitaltechnik
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Hochschule Emden/Leer Praktikum Digitaltechnik Praktikum Digitaltechnik 1 Logische Schaltungen Gruppe: Teilnehmer: Vortestat: Testat: Benutzte Geräte: Versuch Nr. 1 Seite: 1 Hochschule Emden/Leer Praktikum Digitaltechnik Logische Schaltungen In der elektrischen Steuerungstechnik wird vorwiegend mit digitalen Signalen gearbeitet, die durch zweiwertige (binäre) Zustände "ein" (Spannung, Strom) oder "aus" (keine bzw. inverse Spannung, kein bzw. inverser Strom) zum Ausdruck kommen. In den oft umfangreichen Steuerschaltungen werden dabei verschiedene Eingänge, z.B. m,n, o, ..., mit zugeordneten Ausgängen, z.B. A, B, C, ..., derart verknüpft, dass der jeweilige Wert "ein" und "aus" der Ausgänge durch den ebenfalls zweiwertigen Signalwerte der Eingänge genau festgelegt ist (statische Verknüpfungen). Diese Verknüpfungen lassen sich vorteilhaft mit Mitteln der Booleschen Algebra beschreiben. Denn für die in dieser Algebra auftretenden Variablen gibt es nur den Wert 1 (oft auch L) oder 0 (entsprechend der Aussage "wahr" und "nicht wahr" in der ursprünglich für logische Untersuchungen von Boole entworfenen Algebra). In Bezug auf ihre Anwendung zum Untersuchen von Schaltungsverknüpfungen spricht man auch von Schaltungsalgebra. In der einfachsten Form ist der Schaltwert eines Ausgangs A abhängig vom Wert eines oder zweier Eingänge: A = f(m,n), wobei die abhängige Variable A sowie die unabhängigen Variablen m,n den Wert 0 oder 1 annehmen können. 1.1. Die Grundverknüpfungen 1.1.1. Gleichheit (Identität) (Bild 1) Die einfachste Verknüpfung besteht darin, dass der Wert des Ausgangs A dem Wert eines zugeordneten Eingangs m entspricht. Dies ist in Bild 1 dargestellt, und es bedeuten dort: 1. Algebraischer Ausdruck: "A ist gleich oder identisch m" 2. Wertetafel: Sie enthält alle vorkommenden Zustände der Variablen m und A. Oft wird sie auch Wahrheitstafel genannt (truthtable), weil dieser Ausdruck in der ursprünglichen Booleschen Algebra verwendet wird. Da es bei Schaltzuständen jedoch nicht um "wahr" oder "unwahr" geht, erscheint der Ausdruck "Wertetafel" sinnvoller. 3. Schaltsymbole: Die Schaltsymbole gelten lediglich für den Signalfluss. Sie sagen nichts darüber aus, wie die Schaltkreise elektrisch beschaffen sein müssen. So ist zum Beispiel die Angabe eines Rückleiters, wie er in allen elektrischen Schaltkreisen vorhanden sein muss, nicht erforderlich. Die einfachste Verwirklichung der Gleichheit ist eine durchgehende Verbindung von m nach A. Oft werden jedoch Verstärker zur Entkopplung (keine Rückwirkung von A nach m), zur Erhöhung der Ausgangsleistung (Treiber) oder zur Änderung des Ausgangspegels (Pegelumsetzer) verwendet. Dann kommen die Schaltsymbole 3b und 3c in Frage. 1.1.2 Nicht - Verknüpfung (Verneinung) (Bild 2) Weist der Ausgang A den entgegengesetzten Signalwert des Eingangs m auf, so spricht man von einer Nicht-Verknüpfung(Negation, Komplementierung, Invertierung, Verneinung). Bild 2 soll dies näher erläutern mit folgenden Erklärungen: 1. Algebraischer Ausdruck: "A ist gleich m-quer, A ist das Komplement zu m, A ist ungleich m, A ist m-nicht. 2. Wertestafel: ´ 3.Schaltsymbole: Für die einfache Verneinung ist es gleichgültig, ob das Negationszeichen (starker ausgefüllter oder unausgefüllter Punkt) am Eingang 3a oder Ausgang 3b des Verknüpfungssymbols steht. Bei zwei Eingängen sind insgesamt 16 verschiedene Verknüpfungsarten möglich. Die wichtigsten, für die es eigene Schaltsymbole gibt und mit deren Hilfe sich auch alle anderen Verknüpfungsarten darstellen lassen, werden im Folgenden behandelt. Versuch Nr. 1 Seite: 2 Hochschule Emden/Leer Praktikum Digitaltechnik 1.1.3. Und-Verknüpfung (Konjunktion) (Bild 3) 1. Algebraischer Ausdruck: "A ist gleich m und n". Es sind drei verschiedene Schreibweisen gebräuchlich. Hier soll die Schreibweise nach 1a Verwendung finden, weil sich dann am einfachsten die gewohnten Rechenregeln der Algebra, die mit wenigen Ausnahmen auch in der Booleschen Algebra gültig sind, übernehmen lassen. Die Schreibweise 1b mit dem mathematischen Zeichen /\ für "und" ist bei den Mathematikern üblich. 2. Die Wertetafel zeigt die vier möglichen Kombinationen der Eingangszustände und den zugehörigen Wert des Ausgangs. 3. In Deutschland ist das Schaltsymbol nach 3a gebräuchlich. In der englisch-sprachlichen Literatur findet man vorwiegend das Symbol nach 3b. 1.1.4. Oder-Verknüpfung (Disjunktion, Alternative)(Bild4) 1. Algebraischer Ausdruck: "A ist m oder n". Von den zwei möglichen Schreibweisen soll hier wieder die nach 1a bevorzugt werden. Die nach 1b entspricht der nach 1b von Bild3 und wird von Mathematikern verwendet. 2. Wertetafel 3. Schaltsymbole: In Deutschland nach 3a gebräuchlich. In der englischsprachigen Literatur findet man vorwiegend das Symbol nach 3b. Mit diesen vier Verknüpfungsarten lassen sich alle Schaltungsprobleme lösen. Auch führt man mit ihnen die Rechenoperationen der Schaltungsalgebra aus. Dabei ist die Zahl der Eingänge nicht, wie in den bisherigen Beispielen, auf zwei begrenzt, sondern kann beliebig sein. 1.2. Rechenregeln der Schaltungsalgebra 1.2.1. Assoziativgesetze (Bild 5) 1. A = m*(n*o) = (m*n)*o = m*n*o "A ist gleich m und n und o." 2. A = m+(n+o) = (m+n)+o = m+n+o "A ist gleich m oder n oder o." Merkregel 1: Die Reihenfolge der Variablen in Und- sowie Oder-Verknüpfungen ist beliebig. 1.2.2. Distributivgesetze (Bild 6) 1. A = (m*n)+(m*o) = m*(n+o) "A ist gleich (m und n) oder (m und o); das ist gleich m und (n oder o)." 2. A = (m+n)*(m+o) = m*m + m*o + n*m + n*o = m + m*o + m*n + n*o , denn m*m = m = m * (1+o+n) + n*o A = m + (n*o), denn 1+o+n = 1 und m*1 = m "A ist gleich (m oder n) und (m oder o); das ist gleich m oder (n und o)." Versuch Nr. 1 Seite: 3 Hochschule Emden/Leer Praktikum Digitaltechnik Merkregel 2: Solange nicht Klammern etwas anderes fordern, ist die Und-Verknüpfung stärker bindend als die Oder-Verknüpfung (Punkt-Rechnung geht vor Strich-Rechnung). Beim Ausklammern in der Schaltungsalgebra können Und- sowie Oder-Verknüpfung jedoch in gleicher Weise behandelt werden. Aus den angeführten Beispielen ersieht man, wie sich durch Ausklammern Vereinfachungen ergeben. Ein Sonderfall mag dies weiter verdeutlichen: A = m *(m+n) = (m*m) + (m*n) A = m +(m*n), denn m*m = m A = (m*1) + (m*n) = m * (1+n) A = m, denn 1+n = 1 und m*1 = m Für die Rechnung kann es also sinnvoll sein, sich folgender einfacher Beziehungen zu bedienen, die unmittelbar aus der Definition der einzelnen Verknüpfungen folgen: m ∗ m ∗ m = m; m ∗ 1 = m; m ∗ 0 = 0; m ∗ m = 0 m + m + m = m; m + 0 = m; m + 1 = 1; m + m = 1 (Wenn bisher auch die Und-Verknüpfung durch Klammern eingeschlossen wurden, so geschah dies aus Gründen der Übersichtlichkeit. Grundsätzlich ist dies nicht notwendig. Auch der Punkt als Verknüpfungszeichen für Und kann, wie bei der normalen Algebra, fortgelassen werden. Dem weniger Geübten sei jedoch die ausführliche Schreibweise empfohlen. 1.2.3 De Morgansche Gesetze (Bild 7) Betrachtet man die Wertetafeln für die Und- sowie Oder- Verknüpfung (Bild 3 und 4), so fällt auf, dass die eine in die andere übergeht, wenn man die Eingangs- und Ausgangsvariablen invertiert. Durch entsprechende Verneinungen kann man also Und- sowie Oder-Verknüpfung ineinander überführen. Die Verneinung wird dabei durch einen Querstrich über dem entsprechenden Ausdruck gekennzeichnet. Hierbei gilt: In einer gültigen Gleichung verlangt die Verneinung einer Seite auch die Verneinung der anderen Seite. Eine doppelte Verneinung bedeutet wieder Gleichheit. A = m * n; A = m * n = m + n A − quer = m und n; A = (m und n) − quer = m − quer oder n − quer A = m + n; A = m + n; A = m + n = m * n A − quer = m oder n; A = (m oder n) − quer = m − quer und n − quer Bild 8 zeigt zwei Beispiele für die Anwendungen dieser Gesetze. In Tafel 1 sind die wichtigsten Rechenregeln der Schaltungsalgebra noch einmal zusammengestellt. Man erkennt die Übereinstimmung oder Symmetrie zwischen den Regeln für Und- sowie Oder-Verknüpfung. Versuch Nr. 1 Seite: 4 Hochschule Emden/Leer Praktikum Digitaltechnik 1.3. Positive und negative Logik In der Praxis digitaler Schaltungen sind den Zuständen 0 und 1 ganz bestimmte Spannungs- und Strombereiche zugeordnet. Man spricht von positiver Logik, wenn die 1 einer positiven Spannung entspricht, und von negativer Logik bei negativer oder der Spannung Null für den Wert 1. Da nach den Gesetzen von De Morgan eine Und-Schaltung in eine Oder-Schaltung übergeht und umgekehrt, wenn man sie mit komplementären Signalen betreibt, ist neben der Verküpfungsart stets auch die Angabe erforderlich, ob es sich bei einem Schaltglied um positive oder negative Logik handelt. In der heutigen Technik ist die positive Logik vorherrschend. Sie wird stillschweigend vorausgesetzt, wenn nichts anderes angegeben ist. Merkregel 3: Ein Negierungspunkt kann vom Ausgang eines Schaltsymbols oder Verknüpfungszeichens an alle Eingänge vorgezogen werden und umgekehrt. Dabei wechselt jedesmal die Verknüpfungsart. Eine doppelte Verneinung bedeutet Gleichheit. Die Entfernung eines Punktes von einer nicht negierten Stelle erzeugt daher eine Verneinung. Dies gilt für beliebig viele Eingänge. 1.4. Nand- und Nor- Verknüpfungen Nand-(not and ≡ Nicht Und-) sowie Nor-(not or ≡ Nicht Oder-)Verknüpfungen kommen in der Technik viel häufiger vor als die bisher genannten Verknüpfungen. Diese stellen jedoch die Grundverknüpfungen dar, mit deren Hilfe gerechnet wird. Sie können leicht aus Nandund NorGliedern zusammengesetzt werden. Bild 9 enthält eine Zusammenstellung. Die weiteste Verbreitung haben Nand-Schaltglieder gefunden. 1.5. Weitere wichtige Verknüpfungsarten 1.5.1. Exklusives Oder (Bild 10) Diese Verknüpfung ist beispielsweise in Addierschaltungen für Dualzahlen erforderlich: 0+0 = 0, 0+1 = 1, 1+0 = 1, 1+1 = 0 + Übertrag. 1. Algebraischer Ausdruck: "A ist entweder m (und n-nicht) oder n (und m-nicht)." 2. Wertetafel 3. Schaltsymbol: Deutsch a und amerikanisch b 4. Verwirklichung durch Nand-Schaltglieder: A=m* n +n* m = m* n * n* m Versuch Nr. 1 (De Morgan) Seite: 5 Fachhochschule OOW Praktikum Digitaltechnik 1.5.2 Äquivalenz (Bild 11) Mit dieser Verknüpfung kann die Übereinstimmung von Eingangssignalen festgestellt werden. Die Äquivalenz ergibt sich durch Verneinung der Exklusiv-Oder-Verknüpfung (siehe 1.7.2). 1. Algebraischer Ausdruck: "A ist m und n oder m-quer und n-quer." 2. Wertetafel 3. Schaltsymbol: Deutsch a und amerikanisch b 4. Verwirklichung durch Nand-Schaltglieder: A = m ∗ n + m ∗ n = m ∗ n ∗ m ∗ n ( De Morgan) Und m∗0 = 0 m*m = m m *1 = m m*m = 0 Nicht Oder A=m m+0= m A = A = m m +1 = 1 A= A= m m+m = m m + m =1 Kommutativgesetze m*n=n*m m+n=n+m Assoziativgesetze m * (n * o) = (m * n) * o = m * n * o m + (n + o) = (m + n) + o = m + n + o Distributivgesetze m * (n + o)= m * n + m *o m + (n * o)=(m + n)*(m + o) De Morgansche Gesetze m*n = m + n m + n = m*n Vereinfachungen m * ( m + n) = m m * ( m + n) = m * n m + ( m * n) = m m + ( m * n) = m + n ( m + n) * ( m + n) = n ( m * n) + ( m * n) = n Tafel 1 : Formelsammlung der Schaltungsalgebra Versuch Nr. 1 Seite: 6 Fachhochschule OOW Praktikum Digitaltechnik 1.6. Allgemeine Hinweise Für die sprachliche Formulierung und die theoretische Behandlung eines Schaltproblems verwendet man normalerweise nur den Begriff der Gleichheit (zwischen Ein- und Ausgang), der Verneinung, der Und- sowie der Oder-Verknüpfung). Die einzelnen Eingänge eines Schaltgliedes sind gegeneinander entkoppelt, beeinflussen sich also nicht gegenseitig. Auch der Ausgang ist normalerweise ohne nennenswerte Rückwirkung auf den Eingang. Digitale Schaltkreise haben nur eine einzige Wirkungsrichtung (dies gilt jedoch für eine Verwirklichung mit Relais nicht immer). Dadurch können die Eingänge beliebig miteinander verbunden werden. Ausgänge darf man normalerweise jedoch nicht miteinander verbinden. Bei unterschiedlichen Signalzuständen wäre das Ausgangssignal dann unbestimmt, und es könnten hohe Ströme fließen. Es gibt jedoch Schaltkreise, deren Ausgänge parallel geschaltet werden dürfen. Je nach Aufbau dieser Schaltkreise und je nach Art der verwendeten Logik erhält man dadurch eine Und- bzw. Oderverknüpfung. Man spricht dann von einem verdrahtete Und(wired and) sowie von einem verdrahteten Oder(wired or). Die dafür gültigen Schaltsymbole zeigt Bild 12. 1.7. Beispiele Einige Beispiele sollen das bisher Gesagte verdeutlichen: 1.7.1. Schaltungsbeispiele (Bild 13) Für die Schaltung nach Bild 11 muss zuerst einmal der algebraische Ausdruck gefunden werden. Man beginnt beim Ausgang A: "A-quer ist gleich p und [p oder o oder (m und n und o)." _ A = p * [p + o + (m*n*o)] = p + o*p + (m*n*o*p) = p*[1 + o + (m*n*o)] = p, denn 1 + o... = 1 und p*1 = p. 1.7.2 Negierung des exklusiv-Oders führt zu Äquivalenz (siehe 1.5) A = m * n + m * n = m * n * m * n = ( m + n) * ( m + n) = m*m + m*n + n*m + n*n = m * n + m * n, denn : m * m = 0; n * n = 0 1.7.3 Weitere Schaltung zur Verwirklichung des exklusiven Oders A = m * n + n * m = m * ( m + n) + ( m + n) * n = m*m*n + n*m*n = m*m*n*n*m*n Die doppelt auftretende Verknüpfung m * n braucht in der Schaltung nur einmal verwirklicht werden. Auf diese Weise kann gegenüber der Schaltung nach Bild 10 ein NAND-Glied eingespart werden (Bild 14). Dies ist besonders günstig, da Digitalbausteine in integrierter Technik z.B. gerade vier NAND-Glieder mit je zwei Eingängen aufweisen (mit Stromversorgung 14 Anschlüsse). Versuch Nr. 1 Seite: 7 Fachhochschule OOW Praktikum Digitaltechnik Dieses Beispiel soll verdeutlichen, wie man durch eine passende Umformung, die zunächst auf eine Erhöhung der Aufwandes hinauszulaufen scheint, dennoch zu Schaltungsvereinfachungen kommen kann, weil sich bestimmte Glieder mehrfach ausnutzen lassen. Sind in ein und derselben Schaltung verschiedenartige Verknüpfungsglieder zulässig, so kommt man nach Ausklammern im algebraischen Ausdruck zu einer noch einfacheren Lösung (Bild 14,2). 1.8. Umsetzung eines technischen Problems in die Sprache der Schaltungsalgebra Das technische Problem muss einwandfrei erkannt und sprachlich formuliert werden. Dies geschieht normalerweise in einer Reihe von Sätzen unter Verwendung der Ausdrücke "gleich", "nicht", "und", "oder" sowie sinngemäßer Worte. Danach erfolgt die Umsetzung in Formeln der Schaltungsalgebra. Dabei stellt sich dann heraus, ob die aufgestellten Bedingungen ausreichend und ohne Widersprüche sind. Auch lässt sich danach meistens die Zahl der Verknüpfungen verringern. Ein Beispiel möge dies verdeutlichen: Eine Maschine darf eingekuppelt werden, wenn Öldruck vorhanden ist und die Antriebsmaschine läuft und das Schutzgitter geschlossen ist. Die Kupplung darf ebenfalls (oder) betätigt werden, wenn ein (nur beschränkt zugänglicher) Sicherheitsschalter betätigt wurde; aber auch dann nur (und), wenn Öldruck da ist und die Antriebsmaschine läuft. Steht die Antriebsmaschine, so darf ebenfalls (oder) eingekuppelt werden, unabhängig vom Öldruck oder Schutzgitter. Fehlt der Öldruck, so darf bei laufender Antriebsmaschine unter keinen Umständen (nicht) eingekuppelt werden (Gegenbedingung). Wir haben also vier Eingangsbedingungen (die durch besondere Signalwandler erfasst werden müssen): Antriebsmaschine läuft ........................... Öldruck vorhanden ................................ Sicherheitsschalter ein .......................... Schutzgitter geschlossen ......................... m≡1 p≡1 s≡1 g≡1 Kupplung darf betätigt werden (K ≡ 1), wenn K = p*m* g + s* p*m + m ≡1 Kupplung darf nicht betätigt werden, wenn K = p*m ≡ 0 Diese algebraischen Ausdrücke könnte man nun mit den bisher besprochenen Rechenregeln zu vereinfachen suchen. Es ist hier jedoch ein anderes Verfahren günstiger, bei dem man alle auftretenden Kombinationen der Eingangsvariablen in einer geeigneten Tafel darstellt und untersucht. Eine solche Darstellung ist die Karnaugh - Tafel. 1.9. Karnaugh - Tafel Sie lässt sich am besten anhand von Beispielen erläutern. In Bild 15 ist unter 1 der algebraische Ausdruck für ein Schaltproblem A = f(m,n) angegeben. Dabei ist auch eine Bedingung für Ä zu berücksichtigen. Diese Bedingungen wurden nebenstehend in eine Tafel eingetragen, die die Variation aller Schaltzustände zeigt. Unter 2 wird diese Tafel wiederholt, nur ist die Beschriftung ein wenig anders. Für A wurde 1, für Ä ≡ 0, für m ≡ 1 usw. Aus dieser Tafel ersieht man folgendes: Wenn m≡1 ist, kann n≡0 oder n≡1 sein, A ist dann immer 1. Dies soll durch die Umkreisung der beiden senkrechten 1-Felder angedeutet werden. Das gleiche gilt für n≡1. Solange n≡1 ist, wird auch A≡1 sein, unabhängig vom Wert der Variablen m (Umkreisung zweier waagerechter 1-Felder). Damit sind alle 1-Zustände für A erfasst, und es ergibt sich: 1 ≡ A ≡ m+n. "A ist eins, wenn m oder n eins ist". Kurz: "A ist m oder n". Man kann auch die erforderlichen Zustände der Eingangsvariablen für A = 0 untersuchen. In der Tafel befindet sich nur eine Null. Sie tritt auf, wenn m und n Null sind: Ä≡ m*n. Durch Anwendung des Gesetzes von de Morgan ergibt sich A = m * n . Man kann darin den Beweis für die Gültigkeit des DE Morganschen Gesetzes sehen. Auch lassen sich die gegebenen Bedingungen für A und A in einem Ausdruck zusammenfassen A = m * n + m * n + m * n . Für das letzte Glied m * n muss man dann in das entsprechende Feld der Tafel eine Null eintragen, da dieses Glied negiert Versuch Nr. 1 Seite: 8 Fachhochschule OOW Praktikum Digitaltechnik ist. 1.9.1 Karnaugh - Tafeln mit drei Eingangsvariablen Bild 16 zeigt die Tafel für eine Funktion A = f(m,n,o). Man erleichtert sich die Auswertung, wenn man darauf achtet, dass sich die Bezifferung von Spalte zu Spalte oder von Reihe zu Reihe der Schaltwert immer nur für eine Eingangsvariable ändert. Vor Anwendung der Karnaugh-Tafel muss der algebraischer Ausdruck in einer solchen Form vorliegen, dass er aus einer Summe verschiedener Produkte besteht, wie das die beiden gegebenen Funktionen A und /A zeigen. Das erste UND in der gegebenen Funktion A bedeutet eine Eins in der 1. Spalte, 2. Reihe der Tafel. Beim zweiten UND ist der Wert von o ohne Bedeutung das ergibt zwei Einsen in der zweiten Spalte. Beim dritten Glied brauchen m und n nicht berücksichtigt werden, dies führt zu 4 Einsen in der ersten Reihe. In gleicher Weise werden auch die Nullen eingetragen. Dann versucht man möglichst große Blöcke aus 2i Einsen oder Nullen zu bilden (i=0,1,2,3,..). Bei jedem Block können i Variable unberücksichtigt bleiben, da diese die beiden Zustände 0 und 1 annehmen dürfen. Die Blöcke müssen alle Einsen oder Nullen umfassen, können sich aber überlappen. Die Zahl der Blöcke ist identisch mit der Zahl der benötigten Oder Verknüpfungen. Das Beispiel von Bild 16 zeigt dies. Das Ergebnis wurde für A und Ä dargestellt. Ä lässt sich aus A auch nach De Morgan ableiten. 1.9.2 Karnaugh - Tafeln mit vier Eingangsvariablen Hier kann nun das Beispiel von 1.8. behandelt werden. Bild 17 zeigt die eingegebene Funktion K = f(g,m,p,s), die Tafel und das Ergebnis. Füllt man die Tafel aus, so bleibt zunächst das Feld von Spalte 4, Zeile 2 frei. Dies kann zwei Gründe haben. Entweder ist der Wert an dieser Stelle ohne Bedeutung man wird dann eine Null oder eine Eins einsetzen, und zwar so, dass sich möglichst große Blöcke ergeben (hier wäre eine Eins günstiger gewesen), oder die aufgestellten algebraischen Gleichungen beschreiben das Problem noch nicht ausreichend. Bei einem leeren Feld muss auf jeden Fall geprüft werden, ob der durch dieses Feld gegebene Signalwert beachtet werden muss oder nicht. Hier ist das Schutzgitter geöffnet (g≡0), die Maschine läuft (m≡1), der Öldruck ist vorhanden (p≡1), der Sicherheitsschalter wurde jedoch nicht betätigt (s≡0). Die Maschine darf daher nicht eingekuppelt werden (K≡0). Wenn der Ausdruck für A gegeben ist, dann ist damit normalerweise ein Schaltproblem vollständig beschrieben, weil alle übrigen Bedingungen für Ä Null sein sollen. Es ist jedoch stets günstig, bei einem Schaltproblem auch die Gegenbedingungen mit anzugeben und auszuwerten. Man übersieht dann viel leichter, ob man wirklich auch an alles gedacht hat oder ob Widersprüche vorhanden sind. Denn so, wie sich leere Felder ergeben können, besteht auch die Möglichkeit einer doppelten Besetzung eines Feldes. Wenn eine Null und eine Eins zugleich auftauchen, ist in den Aussagen über das Problem und in den beschreibenden Gleichungen ein Widerspruch. Die Aussagen müssen dann noch einmal überprüft werden. Bild 17 zeigt anhand der Nullen in den letzten beiden Reihen, wie für die Zusammenfassung nicht nur nebeneinanderliegende Felder benachbart sind. Auch die gegenüberliegenden Felder am Rande der Tafel sind als benachbart aufzufassen. Auf jeden Fall ist es günstiger, wenn der Benutzer sich der Bedeutung der Karnaugh-Tafeln als geordnete Darstellung von Signalzuständen in jedem Augenblick voll bewusst ist. Dann braucht er nicht schematisch mit ihr zu arbeiten und sich keine Regeln zu merken. Dies ist besonders wichtig für die Benutzung der Tafel zur Lösung von Problemen mit mehr als vier Eingangsvariablen. Versuch Nr. 1 Seite: 9 Fachhochschule OOW Praktikum Digitaltechnik Das Ergebnis von Bild 17 kann noch etwas verändert werden: K = p * ( g + s) + m = p * ( g * s) + m = p + g *s + m = p* g + s*m K = m * ( p + g * s) k = m+ p + g *s = p + g + s + m Man sieht, wie man durch Ausklammern und Anwendung des Gesetzes von De Morgan den Ausdruck für K in den für /K überführen kann. Nach welchen dieser verschiedenen algebraischen Ausdrücke man die Schaltung ausführt, hängt von den zur Verfügung stehenden Digitalbausteinen ab. Bild 18 zeigt das Schaltbild für die Verwirklichung in der verbreiteten Nand-Technik. Dieses Schaltbild enthält zusätzlich noch die Signalleitung vom eigentlichen Kupplungsschalter k (gestrichelt). Man sieht ohne Rechnung, dass K≡1 nur gelten kann, wenn k≡1 ist. Die anderen Eingangsgröβen dienen lediglich zur Sperrung oder Freigabe der Kupplung. Bestätigt wird sie allein mit dem Kupplungsschalter. Ob die Eingangssignale so, wie sie definiert wurden, zur Verfügung stehen oder ob sie, wie in Bild 18, teilweise invertiert sind, hängt von den eingesetzten Signalwandlern ab. Sind deren Ausgangssignale anders als in Bild 18 angegeben, so müssen die Signalwandler geändert oder zusätzliche Umkehrstufen eingesetzt werden. 1.9.3 Karnaugh - Tafeln für mehr als vier Eingangsvariablen Bei mehr als vier Eingangsvariablen wird ein solches Verfahren schnell unübersichtlich. Man muss dann quadratische Tafeln für jeweils vier Variablen nebeneinander anordnen, um auch die Variation der übrigen Variablen noch durchführen zu können. Bild 19 zeigt eine Anordnung für 6 Variablen. Bis zu dieser Variablenzahl lässt sich mit einiger Übung nach diesem Verfahren noch sinnvoll arbeiten. Auch in Bild 19 gilt es, solche Gruppen von Feldern zu finden, für die sich möglichst viele Variablen ändern. Die nach diesen Merkmalen gewählten Gruppen wurden umrandet und mit Querstrichen gekennzeichnet. In der Reihenfolge des Ergebnisses: 1. Glied -- 1 Querstrich, 2. Glied -- 2 Querstrich, 3. Glied -- 3 Querstriche, 4. Glied -kein Querstrich. Mann kann sich die vier Tafeln auch übereinander angeordnet denken. Dann erhält man einen Kubus. Während man in der Ebene die einzelnen Felder zu möglichst großen Flächen zusammenfasst, wird man im Kubus danach trachten, möglichst große Quader zu erhalten. Es gibt auch noch andere Verfahren zur Schaltungsvereinfachung. Sie sind jedoch nicht mehr so übersichtlich. Auch besteht das Ziel einer optimalen Schaltungsauslegung keinesfalls immer darin, mit einer möglichst kleinen Zahl von Verknüpfungsgliedern auszukommen, sondern es gilt, die geforderten logischen Funktionen mit vorhandenen Digitalbausteinen möglichst kostensparend zu verwirklichen. Dabei müssen noch eine Reihe anderer Gesichtspunkte berücksichtigt werden, die in der technischen Ausführung der Digitalbausteine begründet liegen (Zahl der Eingänge je Verknüpfungsglied, Zahl der Verknüpfungsglieder je Baustein, Nand- oder Nor-Technik, Belastbarkeit der Ausgänge usw.). Versuch Nr. 1 Seite: 10 Fachhochschule OOW Praktikum Digitaltechnik 1.10. Verknüpfung zwischen mehreren Aus- und Eingängen Bisher wurde die Wirkung verschiedener Eingänge auf nur einen Ausgang untersucht. Im allgemeinen Fall wirken jedoch mehrere Eingänge auf mehrere Ausgänge, zum Beispiel in Kodier- und Dekodierschaltungen. Dieses Problem untersucht man zuerst einmal derart, dass man jeden Ausgang für sich betrachtet und seine Verknüpfungen mit den einzelnen Eingängen feststellt, sowie eine passende Schaltung entwirft. Man gelangt dann zu Anordnungen wie in Bild 20, 1. Dort werden drei Ausgänge A,B,C von vier Eingängen m,n,o,p den angegebenen Gleichungen entsprechend beeinflusst. Bei genauer Betrachtung findet man, dass die Und-Schaltungen zum Teil doppelt vorhanden sind. Man kann dadurch einige von ihnen einsparen und erhält eine vermaschte Schaltung. 2. Dafür ist es aber nun nicht mehr möglich, verdrahtete Oder zu benutzen, denn die Ausgänge der Und - Glieder müssen auf mehrerer Oder - Glieder einwirken. Eine solche Auffächerung ist aber nicht möglich, ohne dass die verdrahteten Oder ihre Wirkung verlieren: Die Ausgänge der verschiedenen Und - Schaltungen wären über die verdrahteten Oder miteinander gekoppelt, während über die Eingänge der gesonderten Oder- Schaltungen eine Entkopplung erreicht wird. Versuch Nr. 1 Seite: 11 Fachhochschule OOW Praktikum Digitaltechnik VersuchsvorbereitungundVersuchsdurchführung Die folgenden Aufgaben sind handschriftlich vorzubereiten und im Praktikum mit den Logikbaukästen zu realisieren. Aufgabe 1: Vergleich zweier zweistelliger Dualzahlen In dieser Übung sollen zweistellige Dualzahlen miteinander verglichen werden. Es sind die Zahlen z1 und z2. Der Vergleich soll mit einem Schaltnetz durchgeführt werden. In der unten aufgeführten Funktionstabelle sind die 16 Eingangswerte in zweistellige Dualzahlen aufgeteilt worden. z1 wird durch die Signale a, b und z2 durch die Signale c, d dargestellt. Anforderungen an den Vergleicher (Schaltnetz) 1) Der Ausgang A soll eine 1 ergeben, wenn z1 = z2 ist. 2) Der Ausgang B soll eine 1 ergeben, wenn z1 > z2 ist. 3) Der Ausgang C soll eine 1 ergeben, wenn z1 < z2 ist. Aufgabenstellung: 1. In der unten aufgeführten Funktionstabelle sind die Ausgangswerte für die Variablen A, B und C einzutragen. 2. Unter Verwendung der Karnaugh - Tafel sollen die minimierten Schaltfunktionen A=f(a,b,c,d) sowie B=f(a,b,c,d) gefunden werden. Die minimierte Schaltfunktion C=f(a,b,c,d) soll mit dem Quine-McCluskey-Verfahren gefunden werden. Überlegen Sie sich – nachdem Sie die 3 Funktionen getrennt minimiert haben, ob Sie eine der drei Funktionen aus den Ergebnissen der anderen beiden Funktionen realisieren können! 3. Die Schaltfunktion für eine der drei Teilfunktionen ist so umzuformen, dass in ihnen nur NAND - Funktionen vorkommen. Die restlichen Funktionen sind so zu realisieren, dass Sie mit den zur Verfügung stehenden Gattern auskommen (siehe letzte Seite)! 4. Entwurf des Schaltnetzes wie in Aufgabe 3 bestimmt. 5. Das entworfene Schaltnetz ist mit dem Digitalbaukasten aufzubauen und mit Hilfe der Funktionstabelle zu testen. Funktionstabelle: z1 z2 a b c d │A B C ────────────── 0 0 0 0 │ 0 0 0 1 │ 0 0 1 0 │ 0 0 1 1 │ 0 1 0 0 │ 0 1 0 1 │ 0 1 1 0 │ 0 1 1 1 │ 1 0 0 0 │ 1 0 0 1 │ 1 0 1 0 │ 1 0 1 1 │ 1 1 0 0 │ 1 1 0 1 │ 1 1 1 0 │ 1 1 1 1 │ Versuch Nr. 1 Seite: 12 Fachhochschule OOW Praktikum Digitaltechnik Aufgabe 2: Kreuzschaltung Die von der Installationstechnik bekannte Kreuzschaltung soll durch ein digitales Schaltnetz verwirklicht werden. Gegeben sind die drei mit S1, S2, S3 bezeichneten Schalter. Immer wenn ein Schalter geschaltet wird, soll sich der Ausgangswert P des Schaltnetzes ändern. Der Ausgang P des Schaltnetzes ist logisch 1, wenn alle Schalter S1, S2, S3 geöffnet sind, also den Wert logisch 0 haben. Aufgabenstellung: 1. Ausfüllen der unten aufgeführten Funktionstabelle. 2. Ermitteln der minimierten Schaltfunktion P=f(S1,S2,S3) mit der Karnaugh - Tafel. 3. Die Schaltfunktion ist so umzuformen, dass in ihr nur a. AND und OR-Funktionen, b. nur NAND- Funktionen und c. nur NOR-Funktionen vorkommen. Sämtliche Eingänge liegen negiert und nicht negiert vor. 4. Das Schaltnetz ist aus den Ergebnissen der Aufgabe 3 zu entwerfen – oder durch eine alternative Realisierung, die nur XORGatter verwendet. 5. Das entworfene Schaltnetz ist mit dem Digitalbaukasten aufzubauen und zu testen. Funktionstabelle (Wahrheitstabelle): S1 S2 S3 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 P 0 1 0 1 0 1 0 1 Versuch Nr. 1 Seite: 13 Fachhochschule OOW Praktikum Digitaltechnik Aufgabe 3: Volladdierer Der 1-Bit-Volladdierer ist ein Grundelement eines jeden Rechenwerkes. Er ist in der Lage, zwei einstellige Dualzahlen und einen eventuell vorhandenen Übertrag zu addieren. Die Systemdarstellung des 1-Bit-Volladdierers zeigt Bild 1. A1,A2 = einstellige duale Zahlen Ce,Ca = Überträge (Ein- und Ausgang), S = Summe Aufgabenstellung: 1. Vervollständigung der Funktionstabelle in Bild 2. 2. Ermittlung der Schaltfunktionen S = f(A1,A2,Ce) Ca = f(A1,A2,Ce) Möglichkeiten, die sich durch Vermaschung der Schaltnetze S und Ca ergeben, sollen ausgenutzt werden. 3. Die Schaltfunktionen S und Ca können beliebige Funktionen des Digitalbaukastens enthalten. 4. Entwurf des Schaltnetzes nach Aufgabe 3. 5. Das entworfene Schaltnetz ist mit dem Digitalbaukasten aufzubauen und zu verifizieren. Bild 1: 1-Bit-Volladdierer Bild 2: Funktionstabelle A1 0 0 0 0 1 1 1 1 Versuch Nr. 1 A2 0 0 1 1 0 0 1 1 Ce S Ca 0 1 0 1 0 1 0 1 Seite: 14 Fachhochschule OOW Praktikum Digitaltechnik Aufgabe 4: Automat Es soll folgender Automat realisiert werden: Eingänge Ausgang data_i 1-Bit breiter synchroner Eingang data_i clk_i 1-Bit breiter Takt-Eingang res_n_i 1-Bit breiter asynchroner LOW-aktiver Reset-Eingang vierx1erk_o 1-bit breiter Ausgang (verbal ausgedrückt: 4 Mal 1 erkannt) • Verhalten: - der Eingangsdatenstrom vom Automaten wird beobachtet - sobald zu 4 aufeinander folgenden steigenden Taktflanken am Dateneingang data_i eine 1 erkannt wurde, wird dies dauerhaft am Ausgang vierx1erk_o durch eine 1 signalisiert. • Realisierung: - es sollen die Zustände IDLE, ZS1, ZS2, ZS3, ZS4 verwendet werden. - das zeitliche Verhalten ist dem folgenden Diagramm zu entnehmen: Aufgaben: a) Durch welchen Automatentyp (Mealy oder Moore) lässt sich dieser Automat mit dem angegebenen zeitlichen Verhalten realisieren? Hinweis: Begründung nicht vergessen! Beziehen Sie sich hierbei auf obiges Zeitdiagramm! b) Erstellen Sie das Zustandsfolgediagramm! c) Vervollständigen Sie das Zustand-Signal in obigem Zeitdiagramm! d) Wie viel Flipflops benötigen Sie, um den Zustand zu kodieren? Versuch Nr. 1 Seite: 15 Fachhochschule OOW Praktikum Digitaltechnik Vervollständigen Sie die Zustandsfolgetabelle! Zust. Z2 Z1 Z0 IDLE 0 0 0 data_i Folgezust. Z2* Z1* Z0* vierx1erk_o 0 IDLE 0 0 0 0 1 ZS1 0 0 1 0 1 ZS2 0 1 0 0 1 ZS3 0 1 1 0 1 ZS4 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 f) Erstellen Sie eine Hardware-Realisierung für den Automaten. Versuch Nr. 1 Seite: 16 Fachhochschule OOW Praktikum Digitaltechnik Übersicht der zur Verfügung stehenden Gatter/FlipFlops: Versuch Nr. 1 Seite: 17
