B - Fakultät für Informations-, Medien
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Elektrische Netze Vorlesung zum Master-Studium FH-Köln WS 2011/2012 Prof. Dr. Eberhard Waffenschmidt Prof. E. Waffenschmidt Elektrische Netze WS 2011/2012 S. 1 Terminkalender 1. 2. 3. 4. 4.10.2011 11.10.2011 18.10.2011 25.10.2011 1.11.2011 5. 8.11.2011 6. 15.11.2011 Einführung Leitungen berechnen Drehstrom-Systeme anwenden Änderung: Unsymmetrische Drehstromnetze - (wegen Allerheiligen) Referat Gleichstromnetze Netzwerk-Komponenten und Netzformen diskutieren 7. 22.11.2011 Netze berechnen 8. 6.12.2011 (!) Netzsimulationen 9. 6.12.2011 Referat European Supergrid 10.13.12.2011 Referat Smart-Grids 11.20.12.2011 Fehler-Management 12.3.1.2011 Netz-Regelung Netzanschluss 13.10.1.2011 14.17.1.2011 Referat Load-Management 15.24.1.2011 reserve Wiederholung 16.31.1.2011 Prof. E. Waffenschmidt Elektrische Netze WS 2011/2012 S. 2 Inhalt der heutigen Veranstaltung Netzwerk-Spannungen, Ströme und Leistungen „per Hand“ berechnen ● Gleichungssystem mit Last-Impedanzen ● Problematik bei vorgegebenen Leistungen ● Strom-Iterationsverfahren ● Newton-Raphson Verfahren Prof. E. Waffenschmidt Elektrische Netze WS 2011/2012 S. 3 Allgemeines vermaschtes Netz I1 U1 U1 1 Y14 4 Y13 Y12 Y34 Y10 I2 U2 2 3 U4 Y40 I3 Z23 Y20 I4 U3 Strömen an Konten Lastimpedanzen Knoten-Leistungen Y30 Admittanzen sind bekannt als Eigenschaften des Netzes Hier: Einphasig Beispiel mit 4 Knoten Beschreibung mit Admittanzen Y = 1 / Z Ströme und Leistungen ins Netzwerk = positiv (Generator) Ströme und Leistungen aus dem Netzwerk = negativ (Last) Prof. E. Waffenschmidt Elektrische Netze Ziel: Berechnen von Spannungen als Funktion von Weg: Beschreibe Ströme als Funktion von Spannungen Wandle dieses Gleichungssystem um für die Problemstellung WS 2011/2012 S. 4 Aufstellen des Gleichungssystems Hier das Beispiel mit 4 Konten: I 1 = I 10I 12I 13 I 14 I 1 =U 1⋅Y 10U 1 −U 2 ⋅Y 12U 1−U 3 ⋅Y 13U 1−U 4 ⋅Y 14 Sortiert nach Spannungen: I 1 =U 1⋅Y 10Y 12Y 13Y 14U 2⋅−Y 12 U 3⋅−Y 13 U 4⋅−Y 14 Summe aller Admittanzen Zum Knoten I1 a11 a12 a13 a14 I2 a 21 a 22 a 23 a 24 = U1 ⋅ U2 I3 a 31 a32 a33 a 34 I4 a 41 a 42 a 43 a 44 U4 ⋅ U I = A Neg. Admittanzen zum Nachbarknoten Matrix A ist U3 Symmetrisch, da Yik = Yki i.A. schwach besetzt, da real typisch nur 3 Leitungen pro Knoten n aii = ∑ Y ik k =0 aik =−Y ik für i≠k Prof. E. Waffenschmidt Elektrische Netze WS 2011/2012 S. 5 Aufgabe 7.1 Stellen Sie für das Beispielnetz mit 4 Knoten die Matrix A auf Prof. E. Waffenschmidt Elektrische Netze WS 2011/2012 S. 6 Lösung zu Aufgabe 7.1 I1 U1 U1 1 Y14 Y34 Y10 U2 Y13 Y12 I2 A= 4 2 3 U4 Y40 I3 Y23 Y20 I4 U3 Y30 Y 10Y 12Y 13Y 14 −Y 12 −Y 13 −Y 14 −Y 12 Y 20Y 12Y 23 −Y 23 0 −Y 13 −Y 32 Y 30Y 13Y 23Y 34 −Y 34 −Y 14 0 −Y 34 Y 40Y 14Y 34 Prof. E. Waffenschmidt Elektrische Netze WS 2011/2012 S. 7 Reale Problemstellungen -1 Gegeben: Alle Ströme (z.B. als Definition der Lasten) Gesucht: Spannungen an den Knoten Lösung: Gl.-System invertieren: = A−1⋅I U B= A−1 Lösungsmethoden: Nach Gauß: Matrix in Diagonalform bringen und dann Zeile für Zeile lösen In der Praxis: Computerprogramm verwenden. Achtung! Muss komplex rechnen können. Achtung: Wenn alle Yi0 = 0 sind (also wegfallen) wird die Matrix singulär und das Gleichungssystem ist nicht invertierbar! Prof. E. Waffenschmidt Elektrische Netze WS 2011/2012 S. 8 Reale Problemstellungen -2 Gegeben: ● Eine feste Spannung (z.B. Anschluss starres Netz) ● Lasten werden als Impedanzen beschrieben ● Daher keine Knoten-Ströme Ik von „außen“, außer am Einspeiseknoten Gesucht: ● Einspeisestrom ● Knotenspannungen Lösung: ● Teilinversion von A → H, Ströme I = 0 für i ≥ 2 I1 U1 U 2 = H⋅ 0 ⋮ ⋮ 0 Un Prof. E. Waffenschmidt Elektrische Netze WS 2011/2012 S. 9 Aufgabe 7.2 Gegeben sei die invertierte Matrix B Berechnen Sie für Ik = 0 (k ≥ 2) die teilinvertierte Matrix H Prof. E. Waffenschmidt Elektrische Netze WS 2011/2012 S. 10 Lösung zu Aufgabe 7.2 I1 0 0 0 U1 b11 b12 b13 b14 U2 b21 b 22 b 23 b24 = U3 b31 b32 b33 U4 b41 b 42 b 43 U = I1 U2 = ⋅ 0 b34 0 0 b 44 ⋅ B 1/b11 b31 /b11 U4 b41 /b11 1 ⋅U b11 1 U 2=b21⋅I 1 U 3 =b31⋅I 1 U 4=b41⋅I 1 I 0 0 0 b21 /b11 0 0 0 U3 I1 I 1= U1 ⋅ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 H Prof. E. Waffenschmidt Elektrische Netze WS 2011/2012 S. 11 1 ⋅U b11 1 b21 U 2= ⋅U 1 b11 b31 U 3 = ⋅U 1 b11 b41 U 4= ⋅U 1 b11 I 1= Reale Problemstellungen – 3 Gegeben: ● Eine feste Spannung (z.B. Anschluss starres Netz) ● Ströme der anderen Knoten (als Lasten) Gesucht: ● Einspeisestrom ● Knotenspannungen Lösung: Teilinversion von A → H I1 U1 U 2 = H⋅ I 2 ⋮ ⋮ Un In Prof. E. Waffenschmidt Elektrische Netze WS 2011/2012 S. 12 Aufgabe 7.3 Gegeben sei die invertierte Matrix B für 3 Knoten Berechnen Sie die teilinvertierte Matrix H Prof. E. Waffenschmidt Elektrische Netze WS 2011/2012 S. 13 Lösung zu Aufgabe 7.3 b12 b13 1 I 1 = ⋅U 1 − ⋅I 2 − ⋅I 3 b11 b11 b11 b12 b13 1 U 2=b21⋅ ⋅U 1− ⋅I 2− ⋅I 3 b22⋅I 2b23⋅I 3 b11 b11 b11 ⋅ I U 3 =⋯ U1 b11 b12 b13 U3 b31 b32 b33 I1 U 2 = b21 b22 b23 ⋅ I 2 U = I1 U2 = U3 B 1 b11 b21 b11 b31 b11 I3 −b12 −b13 b11 b11 U1 b12 b13 ⋅ I b22−b21⋅ b23−b 21⋅ 2 b11 b11 I3 b12 b13 b32−b31⋅ b33−b31⋅ b11 b11 H Prof. E. Waffenschmidt Elektrische Netze WS 2011/2012 S. 14 Leistungsquellen- und Senken I1 1 U1 U1 Z12 U2 2 I 2 S2 In Netzen häufig Leistung vorgegeben Bei zwei Knoten ist die Spannung analytisch berechenbar Ergebnis: Nichtlineare Gleichung Prof. E. Waffenschmidt Elektrische Netze WS 2011/2012 S. 15 1 I1 U1 U1 R12 U2 2 I 2 P2 Aufgabe 7.4 Gegeben sind Z12 = R12= 2Ohm, S2 = P2 = -3kW, U1 = 230V Berechnen sie U2 und I1 ! Prof. E. Waffenschmidt Elektrische Netze WS 2011/2012 S. 16 Lösung Aufgabe 7.4 I 2= P2 I = U2 , 2 U 2−U 1 R12 U 22−U 1⋅U 2− R12⋅P 2=0 U 2= U1 2 ± U 12 4 R12⋅P 2 Ausgangsspannung U2 = 200V oder 30V Eingangsstrom I1 = 15A oder 100A Prof. E. Waffenschmidt Elektrische Netze WS 2011/2012 S. 17 Leistungsquellen- und Senken 3 Z13 I3 I1 1 Z12 U1 U1 Z10 U3 Z23 S3 2 I 2 U2 S2 Prof. E. Waffenschmidt Elektrische Netze Mehr als zwei Knoten: Nichtlineares Gleichungssystem Nur iterativ lösbar Strom-Iterations-Verfahren: Leistungen vorgeben Startwerte für Knotenströme aus Nennspannung Spannungen berechnen Verbesserte Werte für Ströme aus berechneten Spannungen usw.... WS 2011/2012 S. 18 Aufgabe 7.5 Gegeben ist ein Netzwerk mit drei Knoten (siehe Skizze) mit nebenstehenden Werten Z12 = 2Ohm Z23 = 3Ohm Z13 = 1Ohm Z10 = 1kOhm 3 Z13 I1 1 Prof. E. Waffenschmidt Elektrische Netze U1 Z10 2 I 2 U2 WS 2011/2012 S. 19 U3 Z23 Z12 S2 = -3 kW Berechnen Sie näherungsweise U S3 = +1kW 1 U2 , U3 und I1 ! U1 = 230V Verwenden Sie das StromIterationsverfahren mit einem Iterationsschritt und verwenden Sie zur Inversion der Matrix A ein Computerprogramm Ihrer Wahl. I3 S2 S3 Lösung zu Aufgabe 7.5 Lösung durch folgende Schritte: Matrix A aufstellen Mit Computer invertieren Teilinvertierte Matrix H wie in Aufg. 7.3 berechnen Spannungen und Quellenstrom berechnen Nach erster Iteration: I1 = 8.9A U2 = 214V U3 = 229.3V Prof. E. Waffenschmidt Elektrische Netze WS 2011/2012 S. 20 Iteration nach Newton-Raphson 1-dimensional: Newtonsches Näherungsverfahren Eindimensional: U 2=U 1−U 1 1 ⋅ P 1− P 0 U − = 1 P1 ' P P(U) Ta ng en te Mehrdimensional: P1 Zielwert P0 2.Näherung 1.Näherung dP = P ' Startwert dU U1 ∆U1 U2 U 1,1 P 1,1 U 1 U 2,1 ⋮ U n ,1 P 1 P 2,1 ⋮ P n ,1 P1 ' J 1 J −1 P1 ' Jakobi-Matrix U U2=U1−J −1⋅ P1− P0 Prof. E. Waffenschmidt Elektrische Netze WS 2011/2012 S. 21 Kontakt Prof. Dr. Eberhard Waffenschmidt Professur Elektrische Netze (Chair Electrical Grids) Institut für Elektrische Energietechnik, Fakultät für Informations-, Medien- und Elektrotechnik (F07) Betzdorferstraße 2, Raum ZO 9-19 50679 Köln, Deutschland Tel. +49 221 8275 2020 [email protected] http://www.f07.fh-koeln.de/fakultaet/personen/professoren/ eberhard.waffenschmidt/index.html
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