Gruppen Teil I

C: Algebraische Strukturen
Algebra: Rechnen“. Menge mit Verknüpfungen:
”
Informatik: • Boolsche Algebren
• Relationenalgebra (Datenbanken)
• Computeralgebra
29
29.1
(N0 , +),
(R, +, ·),
(P(X), ∪, ∩),
(Rn×n , +, ·)
Gruppen
Bedeutung für die Informatik
• Mathematik ist die Lehre von den guten Beschreibungen.“ (A. Beutelspa”
cher)
Die Gruppentheorie arbeitet grundlegende Gemeinsamkeiten hinter vielen
Problemen heraus. Ihre Aussagen können dann für all diese Probleme angewandt werden.
• Gruppen sind abstrakte Modelle für Mengen, auf denen eine Verknüpfung
(wie Addition oder Multiplikation) definiert ist.
• Gruppen: einfachste Form sinnvollen Rechnens“
”
29.2
Definition
Sei G eine Menge. Eine Abbildung f : G × G → G heißt Verknüpfung auf G.
Schreibweise: Normalerweise nennen wir Verknüpfungen +, ·, ◦, ⊗, . . .. Statt
+(x, y) schreiben wir x + y. Ein Paar (G, ◦) bestehend aus einer Menge G und
einer Verknüpfung ◦ heißt Gruppe, wenn folgendes gilt:
• Für alle x, y, z ∈ G gilt (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z) .
• Es existiert ein e ∈ G, so daß
1
Assoziativgesetz“
”
(Links-) Neutrales Element“
”
(b) für alle x ∈ G existiert ein y ∈ G mit y ◦ x = e.
Inverses
”
Element“.
(a) für alle x ∈ G gilt: e ◦ x = x;
Gilt weiter x ◦ y = y ◦ x für alle x, y ∈ G, so heißt G kommutative Gruppe oder
abelsche Gruppe.
|G| heißt Ordnung der Gruppe. Ist |G| < ∞, spricht man von einer endlichen
Gruppe. (Vergleiche auch 8.2 in MfI 1.)
29.3
Beispiele
a) Die nichtnegativen ganzen Zahlen IIN0 = {0, 1, 2, . . .} mit der Addition
bilden ein kommutatives Monoid (IIN0 , +) mit 0 als neutralem Element.
(IIN0 , +) ist keine Gruppe, da es kein y ∈ IIN0 existiert mit y + 1 = 0.
b) (Z, +), (Q, +), (IR, +), (IR2 , +) sind abelsche Gruppen.
c) (Q \ {0}, ·), (IR \ {0}, ·) sind kommutative Gruppen, (Q, ·) jedoch nicht.
d) Sei X eine Menge. Sei Sym(x) = {f : X → X | f bijektiv}. Mit der
Hintereinanderausführung ◦ ist Sym(x) eine Gruppe. 1
e) Sei G die Menge der invertierbaren n × n-Matrizen über IR. Dann ist G mit
der normalen Matrixmultiplikation eine Gruppe.
29.4
Satz: Eindeutigkeit von neutralen Elementen und inversen Elementen
Sei G eine Gruppe. Sei e ∈ G ein neutrales Element. Dann gilt:
(a) Sei a ∈ G. Sei b ∈ G mit b ◦ a = e. Dann gilt a ◦ b = e.
(b) Sei a ∈ G. Dann gilt a ◦ e = a.
1
Eine Abbildung (Funktion) zwischen zwei Mengen M, N ist eine Vorschrift f : M → N ,
die jedem Element x ∈ M ein eindeutiges Element f (x) ∈ N zuordnet (vgl. MfI 1, 5.2). Die
Abbildung f heißt bijektiv, falls zu jedem y ∈ N ein x ∈ M mit f (x) = y existiert und für
x1 , x2 ∈ M mit x1 6= x2 stets f (x1 ) 6= f (x2 ) gilt (vgl. MfI 1, 5.6).
2
(c) Seien e, e0 (links-) neutrale Elemente. Dann gilt e = e0 .
(d) Sei a ∈ G. Seien a0 , a00 ∈ G mit a0 ◦ a = e und a00 ◦ a = e. Dann gilt a0 = a00 .
Beweis:
(a) Da G eine Gruppe ist, existiert ein b0 ∈ G mit b0 ◦ b = e. Dann gilt:
a ◦ b = e ◦ (a ◦ b)
(Neutrales Element)
= (b0 ◦ b) ◦ (a ◦ b)
= b0 ◦ ((b ◦ a) ◦ b)
(Wahl von b0 )
(Assoziativität)
= b ◦ (e ◦ b)
0
= b0 ◦ b = e .
(b) Es existiert ein a0 ∈ G mit a0 ◦ a = e. Dann gilt:
a ◦ e = a ◦ (a0 ◦ a)
(Wahl von a0 )
= (a ◦ a0 ) ◦ a
(Assoziativität)
=e◦a
(nach (a))
=a
(neutrales Element) .
(c) Es gilt
e
(d) Es gilt
e0 links-neutr.
=
a00 = a00 ◦ e
(nach (b))
= a00 ◦ (a ◦ a0 )
= (a00 ◦ a) ◦ a0
=e◦a
(b)
e0 e = e0 .
0
(nach (a))
(Assoziativität)
(nach (*))
=a .
0
29.5
Definiton: Untergruppe
Sei (G, ◦) eine Gruppe U ⊆ G. Ist U mit der auf U × U eingeschränkten Verknüpfung ◦|U ×U eine Gruppe, so heißt U Untergruppe von G. Wir schreiben
U ≤ G.
3
29.6
Definition: Schreibweise zu Gruppen
Sei G eine Gruppe. Wenn nichts anderes vereinfacht ist, bezeichnen wir die Verknüpfung mit · ( Multiplikation“). Wenn keine Missverständnisse zu befürchten
”
sind, lassen wir den Punkt weg, d.h., wir schreiben ab sofort a · b. Das eindeutig
bestimmte neutrale Element bezeichnen wir mit 1, das Inverse zu a ∈ G bezeichnen wir mit a−1 . Allgemein für z ∈ Z setzen wir


a
. . · a},
z≥1

| · .{z



 z−mal
z
a = 1,
z=0


−1
−1
a · . . . · a , sonst


{z
}
|
|z|−mal
Abelsche Gruppen werden meist additiv geschrieben, d.h. wir bezeichnen mit
+
die Verknüpfungen
0
das neutrale Element
−a das inverse Element zu a
k · a := |a + .{z
. . + a} für k ∈ N
k−mal
0·a=0
(−k) · a = k · (−a)
29.7
Satz: Untergruppenkriterium
Sei G eine Gruppe, U ⊆ G, U 6= ∅. Folgende Aussagen sind äquivalent:
(i) U ≤ G
(ii) ∀a, b ∈ U : ab ∈ U ∧ a−1 ∈ U
(iii) ∀a, b ∈ U : ab−1 ∈ U
Beweis:
(i)⇒ (ii): Da ·|U ×U Verknüpfung auf U , gilt ·|U ×U : U × U → U . Also ist a · b ∈ U für
alle a, b ∈ U . Da U eine Gruppe ist, existiert ein a0 ∈ U mit a0 a = e. Nach
Satz 29.4 (d) ist a0 = a−1 , also a−1 ∈ U .
4
(ii)⇒ (i) Offenbar gilt
∀a, b, c ∈ U : (a · b) · c = a · (b · c),
(1)
da G eine Gruppe ist. Sei a ∈ U . Nach (ii) ist dann a−1 ∈ U , also auch
e = a−1 a ∈ U (wieder nach (ii)).
(i)⇔ (iii) Übung.
29.8
Beispiele
a) (Z, +) und (Q, +) sind Untergruppen von (IR, +).
b) (mZ, +) mit mZ := {mz | z ∈ Z} und m ∈ IIN ist Untergruppe von (Z, +).
c) Ist (G, •) eine Gruppe mit dem neutralen Element e, so sind ({e}, •) und
(G, •) selbst Untergruppen von (G, •).
d) U1 ∩ U2 ≤ G
T
e) Ist: M ⊆ G, so definieren wir hM i := {U | M ≤ U ≤ G} Erzeugnis von
”
M“
Zyklische Gruppen: Sei g ∈ G. Dann heißt
hgi := h{g}i
(2)
die von g erzeugte zyklische Gruppe.
29.9
Beispiel
G = (Z × Z, +). U = Z × {0}.
(1, 3) + U = Z × {3}.
(7, 4) + U = Z × {4}.
(a, b) + U = Z × {b}
29.10
Definition: Links- und Rechtsnebenklassen
Es sei G eine Gruppe mit Untergruppe U. Ferner sei g ∈ G. Dann nennen wir
gU := {gu | u ∈ U } Linksnebenklasse von g,
U g := {ug | u ∈ U } Rechtsnebenklasse von g.
5
Bemerkung: Häufig betrachtet man nur Linksnebenklassen und nennt diese Nebenklassen.
29.11
Definition: Index
Es sei U eine Untergruppe von (G, •). Dann bezeichnen wir die Menge aller
Linksnebenklassen mit G/U (gesprochen: G modulo U“), und G : U := |G/U |
”
nennt man den Index von U in G.
29.12
Satz: Nebenklassenzerlegung einer Gruppe
Sei G eine Gruppe, g, h ∈ G und U ≤ G.
a) Ist g ∈ U , so gilt gU = U .
b) Es gilt gU = hU oder gU ∩ hU = ∅.
c) Die Menge der Nebenklassen von U sind in einer Partition von G.
d) |gU | = |U |
für alle g ∈ G .
Bemerkung: Für Rechtsnebenklassen gelten analoge Aussagen.
Beweis:
a) Sei h ∈ gU. Dann existiert u ∈ U mit h = gu. Da U ≤ G und g, u ∈ U ,
folgt h = gu ∈ U . Also ist gU ≤ U .
Sei h ∈ U . Da g −1 ∈ U ist g −1 h ∈ U und es gilt gU 3 g(g −1 h) = (gg −1 )h =
h. Also gilt U ⊆ gU .
b) Sei gU ∩ hU 6∈ ∅. Dann gibt es a, b ∈ U mit ga = hb (∗). Es folgt
(a)
(∗)
gU = g(aU ) = (ga)U = (hb)U
(a)
= h(bU ) = hU .
c) Sei g ∈ G. Dann ist g = ge ∈ gU . Also G ⊆
folgt aus (b).
6
S
g∈G
gU . Die Disjunktheit
d) f : U → gU, u 7→ gu ist bijektiv, da f˜ : gU → U ; x 7→ g −1 die inverse
Funktion zu f ist (d.h., f˜ ◦ f = idU und f ◦ f˜ = idgU ).
Damit folgt |gU | = |U |.
29.13
Beispiel
(5Z, +) ist eine Untergruppe von (Z, +). Wir können Z in 5 (Links-) Nebenklassen
zerlegen:
0 + 5Z =: [0]
1 + 5Z =: [1]
2 + 5Z =: [2]
3 + 5Z =: [3]
4 + 5Z =: [4]
Dies sind gerade die Kongruenzklassen (Restklassen) modulo 5 (vgl. MfI 1, Kap.
7).
29.14
Satz von Lagrange
Es sei G eine endliche Gruppe und U ≤ G. Dann ist die Untergruppenordnung
|U | ein Teiler der Gruppenordnung |G|, und für die Anzahl der Linksnebenklassen
gilt
|G|
G:U =
.
|U |
Beweis: Nach Satz 29.12 sind alle Nebenklassen von G bezüglich U gleich
mächtig und bilden eine Partition von G. Also gilt (G : U ) · |U | = |G|. Daraus folgen die Behauptungen des Satzes.
29.15
Korollar
Ist die Ordnung einer Gruppe G eine Primzahl, so hat G nur die trivialen Untergruppen {1} und G. Ferner ist G zyklisch.
7
29.16
Beispiel
Eine Gruppe mit 30 Elementen kann nur Untergruppen mit 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 oder
30 Elementen besitzen.
29.17
Definition (Normalteiler)
Sei G Gruppe und U ≤ G. U heißt Normalteiler von G, geschrieben U E G, falls
für alle g ∈ G gilt gN = N g.
29.18
Satz (Faktorgruppen)
Sei G Gruppe, N E G. Für gN, hN ∈ G/N setze
(gN ) ◦ (hN ) := (gh)N.
Dann ist (G/N, ◦) eine Gruppe, die sogenannte Faktorgruppe von G nach N .
Beweis: Achtung: Ist ◦ wohldefiniert?
1) ◦ ist wohldefiniert, d.h. aus gN = g 0 N und hN = h0 N folgt (gN ) ◦ (hN ) =
(g 0 N ) ◦ (h0 N ):
(gN ) ◦ (hN ) = (gh)N = g(hN ) = g(h0 N ) = g(N h0 )
= (gN )h0 = (g 0 N )h0 = g 0 (N h0 ) = g 0 (h0 N ) = (g 0 h0 )N
= (g 0 N )(h0 N )
a) Die Gruppenaxiome folgen aus folgender Überlegung: Für alle g, h ∈ G gilt
(gN ) ◦ (hN ) := (gh)N = ghN N = gN hN = (gN ) · (hN ).
Wir können also mit ◦ rechnen wie mit ·.
29.19
Beispiel
Die Untergruppe (5Z, +) (vgl. 29.13) ist Normalteiler in (Z, +), da (Z, +) eine
kommutative Gruppe ist. Die Elemente von Z5 := Z/5Z sind die Kongruenzklassen [0], . . . , [4].
8
Auf Z5 wird damit die Gruppenoperation durch
(a + 5Z) + (b + 5Z) := (a + b) + 5Z
eingeführt, das heißt durch
[a] + [b] := [a + b] .
Dies ist gerade die Addition von Kongruenzklassen modulo 5 (modulare Addition,
vgl. MfI 1, Kap. 7).
29.20
Definition: Abbildungen zwischen Gruppen
Es seien (G1 , ◦), (G2 , •) Gruppen.
a) Ein Homomorphismus von G1 nach G2 ist eine Abbildung f : G1 → G2
mit
f (a ◦ b)
=
f (a) • f (b)
∀a, b ∈ G1 .
↑
↑
Verknüpfung
Verknüpfung
in G1
in G2
b) Ein injektiver Homomorphismus heißt Monomorphismus.
(Eine Abbildung f : M → N heißt injektiv, wenn für x1 , x2 ∈ M , x1 6= x2
stets f (x1 ) 6= f (x2 ) ist, vgl. MfI 1, 5.6.)
c) Ein surjektiver Homomorphismus heißt Epimorphismus.
(Eine Abbildung f : M → N heißt surjektiv, wenn für jedes y ∈ N ein
x ∈ M existiert mit f (x) = y, vgl. MfI 1, 5.6.)
d) Ein bijektiver Homomorphismus heißt Isomorphismus. Man schreibt dann
G1 ∼
= G2 .
e) Ein Homomorphismus von G1 in sich selbst heißt Endomorphismus.
f) Ein Isomorphismus von G1 in sich selbst heißt Automorphismus.
9
29.21
Beispiele:
a) f : Z → 2Z; z 7→ 2z ist Isomorphismus.
b) f : Z → Z; z 7→ −z ist Automorphismus.
c) (Z, +) ∼
6= (Q \ {0}, ·), da es so etwas wie (−1) · (−1) = 1 in Z nicht gibt.
29.22
Definition: Bild und Kern
Es sei f : G1 → G2 ein Homomorphismus der Gruppen G1 , G2 . Dann heißt
Im(f ) := {f (g1 ) | g1 ∈ G1 }
das Bild von f .
Sei ferner e2 das neutrale Element von (G2 , •). Dann bezeichnet man
Ker(f ) := {g1 ∈ G1 | f (g1 ) = e2 }
als Kern von f .
Warum ist der Kern eines Homomorphismus wichtig? Man kann zeigen:
29.23
Satz: Homomorphiesatz für Gruppen
Sei f : G1 → G2 ein Homomorphismus der Gruppen G1 und G2 . Dann ist Ker(f )
Normalteiler von G1 , und die Faktorgruppe G1 / Ker(f ) ist isomorph zum Bild
von f :
G1 / Ker(f ) ∼
= Im(f ) .
Bemerkung: Man kann also eine nicht bijektive Abbildung zwischen Gruppen
bijektiv machen, indem man zum Faktorraum übergeht, also Elemente ignoriert,
die auf das neutrale Element von G2 abgebildet werden.
10
29.24
Bemerkung:
3 zentrale Prinzipien:
• Unterstrukturen
– Schnitt
– Erzeugnis
• Faktorstrukturen
– Homomorphiesatz
11