Formelsammlung

Universität Dortmund - LS 2
30. Mai 2007
DAP 2 - Formelsammlung
Hallo liebe DAP 2 - Studis,
diese Formelsammlung soll Euch einen Überblick über die in DAP 2 verwendeten und im weiteren Studium
hilfreichen Formeln geben und beim Lernen helfen.
Dabei möchte ich ausdrücklich darauf hinweisen, dass einige Formeln aufgeführt sind, die nicht zum minimalen
Lernpensum für die DAP 2 Klausur gehören. Auf der anderen Seite umfasst die Formelsammlung nicht alle
in DAP 2 verwendeten Formeln. Das bedeutet insbesondere, dass es nicht genügt diese Sammlung vollständig
auswendig zu lernen und auch, dass nicht alle Formeln für die erfolgreiche Bearbeitung der Klausur erforderlich
sind, unabhängig davon welche Themen geprüft werden.
Für einen weiteren Überblick über mathematische Methoden, Formeln und dazugehörige Beweise (auch zu
den hier aufgeführten Formeln) empfehlen wir das Buch “Concrete Mathematics“ von Ronald L. Graham, Donald E. Knuth und Oren Patashnik, erschienen 1994 im Addison-Wesley-Verlag unter der ISBN 0-201-55802-5.
Viel Erfolg beim Lernen für DAP 2 und im weiteren Studium!
Euer DAP 2 - Team
So, und nun zu den Formeln...
DAP 2 - Formelsammlung
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30. Mai 2007
Universität Dortmund - LS 2
Arithmetische Reihen
n
P
i = n(n+1)
2
i=1
n
P
i=
i=m
n
P
i2 =
i=1
n
P
i=1
Summe aller natürlichen Zahlen bis einschließlich n
(n+m)(n−m+1)
2
Summe aller natürlichen Zahlen von m bis n, beides einschließlich
n(n+1)(2n+1)
6
Summe der ersten n Quadratzahlen
i3 = ( n(n+1)
)2
2
Summe der ersten n Kubikzahlen
Geometrische Reihe
n
P
n+1
n+1
q i = q q−1−1 = 1−q
1−q
i=0
∞
P
qi =
i=0
für q 6= 1
1
1−q
für |q| < 1, sonst divergent
Harmonische Reihe
n
P
1
H(n) =
i = ln n + 0, 577 + o(1)
insbesondere: ln(n + 1) ≤ H(n) ≤ ln n + 1
i=1
Potenzgesetze
ax · ay = ax+y
ax
x−y
ay = a
x y
(a ) = ax·y
ax · bx = (a · b)x
ax
a x
bx = (√
b)
1
x
ax = a
analog für Wurzeln
Logarithmengesetze
log(n · m) = log n + log m
n
log( m
) = log n − log m
log(nm ) = m ∗ log n
xn
logb n = log
log b , z.B.: log n =
in der Informatik: log n = log2 n, falls nicht anders angegeben!
x
ln n
ln 2
Mittelwerte
n
P
x̄ = n1 ·
xi
s i=1
n
Q
x̄ = n
xi
Basiswechsel mit beliebiger Basis x (nützlich z.B. für den
Taschenrechner, der nur ln und log10 anbietet.)
arithmetisches Mittel
geometrisches Mittel
i=1
x̃ = x(n+1)/2 , für n ungerade
x̃ = 21 (x n2 + x n2 +1 ), für n gerade
Median einer geordneten Menge (x1 , x2 , . . . , xn )
Kombinatorik
(siehe auch Tabelle auf der nächsten Seite)
n
Q
n! = 1 · 2 · · · · · n =
i, 0! = 1
i=1
√
1
n! ≈ 2πnn+ 2 e−n
n
n!
k = k!(n−k)!
Reihen mit Binomialkoeffizienten
n
P
n n n−k
= (a + b)n
k a b
k=0
n
P
k=0
n
k
= 2n
Anzahl der Permutationen einer n-elementigen Menge (Fakultät)
Stirlingsche Näherungsformel
Anzahl k-elementiger Teilmengen einer n-elementiger Menge
(Binomialkoeffizient)
binomischer Lehrsatz
Anzahl aller Teilmengen einer n-elementigen Menge
Kardinalität der Potenzmenge
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R
P( )
M,
2
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N R
O-Notation (f : 7→ +
0, g :
f (n) = O(g(n)) ⇔ ∃c > 0, n0 ∈
f (n) = o(g(n)) ⇔
lim f (n)
x→∞ g(n)
N 7→ R )
N : ∀n > n
+
0
0
:
f (n)
g(n)
≤c
=0
Interpretation
f wächst asymptotisch nicht schneller als g
f wächst asymptotisch langsamer als g
f (n) = Ω(g(n)) ⇔ g(n) = O(f (n))
f (n) = ω(g(n)) ⇔ g(n) = o(f (n))
f (n) = Θ(g(n)) ⇔ f (n) = O(g(n)) ∧ f (n) = Ω(g(n))
f wächst asymptotisch nicht langsamer als g
f wächst asymptotisch schneller als g
f und g wachsen asymptotisch gleich schnell
Eigenschaften der O-Notation
c · f = O(f )
c · O(f ) = O(f )
O(f1 ) + . . . + O(fk ) = O(f1 + . . . + fk ) = O(max{f1 , . . . , fk })
O(f ) · O(g) = O(f · g)
für eine Konstante c ≥ 0
für eine Konstante c ≥ 0
für konstantes k
(Diskrete) Wahrscheinlichkeitsrechnung
Allgemeines
Ω (Menge aller Elementarereignisse)
A⊆Ω
|A|
P rob(A ∩ B) = P rob(A) · P rob(B)
X : Ω 7→ Ω0
E(X) =
P
xi · P rob(X = xi )
p=Erfolgsw’keit,
ˆ
q = 1 − p=Misserfolgsw’keit
ˆ
Ergebnismenge, z.B.: beim Würfeln Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Ereignis, z.B.: A = {3, 4} =
ˆ “Augenzahl : 3 oder 4“
Kardinalität einer Menge =
ˆ Anzahl ihrer Elemente
falls Ereignisse A und B unabhängig
X ist Zufallsvariable (ZV) und ordnet Elementarereignissen
Werte xi ∈ Ω0 zu, die die ZV mit W’keit pi annimmt
Erwartungswert einer ZV,
i
X : Ω 7→ {x1 , . . . , xn }, n = ∞ möglich
Gleichverteilung
P rob(A) = |A|
|Ω|
z.B.: P rob(“Augenzahl : 3 oder 4“) =
n
P
E(X) = n1
x = n+1
2
2
6
z.B. faire Münze, fairer Würfel, (Ergebnisse gleichwahrscheinlich)
|A| =
ˆ Anzahl günstiger Möglichkeiten für ein Ereignis A
|Ω| =
ˆ Anzahl aller Möglichkeiten
Erwartungswert einer gleichverteilten ZV, X : Ω 7→ {1, . . . , n}
x=1
Geometrische Verteilung
P rob(X = k) = q k−1 · p
k
P
P rob(X ≤ k) =
q i−1 · p
intuitiv: (k − 1)-mal Misserfolg, dann Erfolg
X ist eine ZV, z.B. die Höhe einer Skipliste
i=1
=p·
k
P
q i−1 = 1 − q k
i=1
∞
P
E(X) = p ·
x · q x−1 =
x=1
letzte Umformung: siehe geometrische Reihe
1
p
Binomialverteilung
P rob(X = k) = nk q n−k pk
k
P
n n−i i
P rob(X ≤ k) =
p
i q
E(X) =
n
P
x=0
Erwartungswert einer geometrisch verteilten ZV
intuitiv: bei n Zügen aus einer Urne k Treffer
für k ≤ n
i=0
x
n
x
q n−x px = n · p
Erwartungswert einer binomialverteilten ZV
Urnenmodell: Anzahl der Möglichkeiten beim Ziehen von k Kugeln aus einer Urne mit n Kugeln
Zusatz zur Kombinatorik
mit Zurücklegen ohne Zurücklegen
n!
mit Beachtung der Reihenfolge
nk
(n)k = (n−k)!
n+k−1
n
ohne Beachtung der Reihenfolge
k
k
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