Bäume

Abstrakte Datentypen II
Prof. Dr. Markus Gross
Informatik I für D-MAVT (FS 2014)
 Bäume
 Binäre Bäume
 Binäre Suchbäume
Bäume

Bäume sind verallgemeinerte Listenstrukturen: Ein
Element (node) hat eine endliche, begrenzte Anzahl
von Nachfolgern

Bäume sind eine Struktur zur Speicherung von
Schlüsseln

Bäume bestehen aus einer Menge von Knoten, die
hierarchisch organisiert sind
2
Bäume





Jeder Knoten ausser dem Wurzelknoten (root) hat
genau einen Vorgängerknoten (parent)
Eine Kante drückt die Beziehung zwischen
unmittelbarem Vorgänger und Nachfolger aus
Der Grad eines Knoten ist die Zahl seiner unmittelbarer
Nachfolger
Ein Blattknoten (leaf) ist ein Knoten ohne Nachfolger,
also mit Grad 0.
Höhe eines Baumes: Maximaler Abstand (Anzahl
Kanten) eines Blattes von der Wurzel
3
Bäume
root
parent
Knoten mit
Grad 3
Höhe des
Baums = 2
leaves
4
Binärbäume


Spezialfall: Grad = 2, das heisst, jeder Knoten hat
maximal 2 Nachfolger
Vollständiger Binärbaum: Alle Blätter haben die
gleiche Tiefe
5
Binäre Suchbäume


Schlüssel sind geordnet gespeichert
Für jeden Knoten p gilt:
 Schlüssel im linken Teilbaum von p sind kleiner als der
Schlüssel von p
 Schlüssel im rechten Teilbaum von p sind grösser als der
Schlüssel von p
27
10
3
32
12
28
6
34
Binäre Suchbäume: Implementierung


Implementierung mit einem Array: Knoten werden
ebenenweise eingefüllt
Positionen von Vorgängern und Nachfolgern
müssen berechnet werden
27
10
3
32
12
28
27 10 32
34
7
3
12 28 34
Binäre Suchbäume: Implementierung
i - 1
 2 

parent(i) =

leftson(i) = 2*i + 1

rightson(i) = 2*i + 2
Parent von 12: (4-1)/2 = 1.5 -> 1
Linker Sohn von 10: 2*1 + 1 = 3
Rechter Sohn von 10: 2*1+2 = 4
27
10
32
27 10 32
0
3
12
28
34
8
1
2
3
12 28 34
3
4
5
6
Binäre Suchbäume: Implementierung

Implementierung durch Pointer: Ähnlich wie
verkettete Liste, jedoch hat nun jeder Knoten zwei
Nachfolger
struct element
{
int value; // The value of the element
struct element *left; // Pointer to the left son
Struct element *right; // Pointer to the right son
};
typedef struct element Node;
Node *root = NULL; //Pointer to root element
9
Binäre Suchbäume - Operationen

Durchlaufen aller Knoten

Wörterbuchoperationen:
 Suchen
 Einfügen
 Entfernen
10
Durchlaufordnungen I

Hauptreihenfolge (preorder): Wurzel, linker
Teilbaum, rechter Teilbaum
27, 10, 3, 12, 32, 28, 34
27
10
3
32
12
28
11
34
Durchlaufordnungen II

Nebenreihenfolge (postorder): linker Teilbaum,
rechter Teilbaum, Wurzel
3, 12, 10, 28, 34, 32, 27
27
10
3
32
12
28
12
34
Durchlaufordnungen II

Symmetrische Reihenfolge (inorder): linker
Teilbaum, Wurzel, rechter Teilbaum
3, 10, 12, 27, 28, 32, 34
27
10
3
32
12
28
13
34
Beispiel: Symmetrische Reihenfolge
#include <iostream>
using namespace std;
Deklaration eines Knotens
struct element
{
int value; // The value of the element
struct element *left; // Pointer to the left son
struct element *right; // Pointer to the right son
};
typedef struct element Node;
Node *root = NULL; //Pointer to root element
14
Beispiel: Symmetrische Reihenfolge
//Traverse a binary tree in symmetric order
void traverse(Node *p)
Rekursive Traversierung
{
if(p != NULL)
{ //Leaf reached?
traverse(p->left); //traverse left sub-tree
cout << p->value << " "; //print root
traverse(p->right); //traverse right sub-tree
}
}
15
Binärer Suchbaum: Suchen



Suche durch Vergleichen von Schlüsseln
Start bei der Wurzel
Bespiel: Suche nach Schlüssel 29
27
10
3
32
12
28
16
34
Binärer Suchbaum: Suchen



Suche durch Vergleichen von Schlüsseln
Start bei der Wurzel
Bespiel: Suche nach Schlüssel 29
27
29 > 27
10
3
32
12
28
17
34
Binärer Suchbaum: Suchen



Suche durch Vergleichen von Schlüsseln
Start bei der Wurzel
Bespiel: Suche nach Schlüssel 29
27
29 > 27
10
3
32
12
28
18
29 < 32
34
Binärer Suchbaum: Suchen



Suche durch Vergleichen von Schlüsseln
Start bei der Wurzel, kann rekursiv oder iterativ
implementiert werden
Bespiel: Suche nach Schlüssel 29
29 > 27
27
10
3
32
12
29 > 28
28
Blatt erreicht
19
29 < 32
34
Binärer Suchbaum: Einfügen
4 < 27
4 < 10
3
null
10
4>3
null
27
32
12
null
28
null
null
20
34
null null
null
Binärer Suchbaum: Einfügen
4 < 27
4 < 10
3
10
4>3
null
null
27
32
12
null
28
null
null
4
21
34
null null
null
Binärer Suchbaum: Einfügen


Höhe des Baumes ist abhängig von der
Reihenfolge, in der die Schlüssel eingefügt werden
Beispiel: 15, 39, 3, 27, 1, 14, 42
15
3
1
39
14
27
22
42
Binärer Suchbaum: Einfügen


Vollständiger Binärbaum: Höhe = log2(n)
Aufwand beim Suchen:
 Best case: 1
 Worst case: log2(n)
15
3
1
39
14
27
h=2
42
23
Binärer Suchbaum: Einfügen


Iteratives Einfügen kann zu einem entarteten Baum
führen (abhängig von der Reihenfolge der
Schlüssel)
Beispiel: 1, 3, 14, 15, 27, 39, 42
1
3
14
15
27
39
42
24
Binärer Suchbaum: Einfügen


Lineare Struktur: Höhe = n-1
Aufwand beim Suchen:
 Best case: 1
 Worst case: n-1
1
3
14
h=6
15
27
39
42
25
Binärer Suchbaum: Entfernen

Fall 1: Der zu entfernende Knoten p hat keine
Nachfolger
27
10
32
3
2
12
8
11
29
21
28
26
38
31
34
41
Binärer Suchbaum: Entfernen


Fall 2: Der zu entfernende Knoten p hat Nachfolger
Ersetze p durch Nachfolger q mit kleinstem
Schlüssel, der grösser als p ist
27
10
p
3
2
32
12
8
11
29
21
28
27
38
31
34
41
Binärer Suchbaum: Entfernen

q ist der Knoten mit kleinstem Schlüssel im rechten
Teilbaum von p
Suche nach q: Einmal nach rechts “abbiegen”, dann
immer nach links, bis Blatt erreicht

27
10
p
3
2
32
12
8
11
q
29
21
28
28
38
31
34
41