Probeklausur zur Elementargeometrie

Freie Universität Berlin
SS 2013
Fachbereich Mathematik
29.06.2013
StR.i.H. Albrecht Gündel-vom Hofe
Probeklausur zur LV
„Elementargeometrie“
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Name: ............................................Vorname: ...............................Matr.-Nr.: ......................
Studiengang (Master/Bachelor Lehramt): ............................................................................
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Es sind keine Taschenrechner zugelassen. Abzugeben sind die Lösungen in Reinschrift
samt zeichnerischen Skizzen sowie sämtliche Nebenrechnungen auf DIN A4-Blättern. Mit
Bleistift oder in Rot geschriebene Klausuren werden nicht gewertet. Es ist ein handbeschriebenes DIN A4-Blatt mit Notizen zulässig.
Mit 20 von insgesamt 40 erreichbaren Punkten ist die Klausur bestanden. Zu bearbeiten sind 4 der 6 gegebenen Aufgaben. Die beiden nicht bearbeiteten Aufgaben sind
entsprechend zu markieren.
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Unterschrift des Korrektors: .............................................Punktzahl: ............. (von 40 Pkten)
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1. Aufgabe:
Gegeben sei eine Geometrie (E,G) mit G   durch die folgenden Axiome:
(I)
(II)
(III)
(IV)
Auf jeder Geraden liegen mindestens zwei verschiedene Punkte.
Durch jeden Punkt gehen mindestens zwei verschiedene Geraden.
Außerhalb jeder Geraden liegt mindestens ein Punkt der Ebene.
Durch je zwei verschiedene Punkte geht genau eine Gerade.
Zeigen Sie:
a) Das Axiom (III) ist von den übrigen Axiomen abhängig.
b) Das Axiomensystem (I), (II), (IV) ist relativ unabhängig.
10,0
2. Aufgabe:
Sei gG eine Gerade in einer Geometrie (E,G) . Auf der Menge M  E \ g sei eine zweistellige Relation „ ~g “ M  M eingeführt mittels
 P,QM :
P ~g Q : PQ  g   .
Zeigen Sie unter Verwendung des Satzes von Pasch (Satz 2.5 im Skript):
a) ~g stellt eine Äquivalenzrelation auf M  E \ g dar.
b) Die Äquivalenzklassen zu ~g sind gerade die beiden Halbebenen
H1
und
H2
zur
Geraden g .
10,0
bitte wenden!!
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3. Aufgabe:
Zeigen Sie folgende Aussagen in Bezug auf Winkelfelder unter Verwendung geeigneter
Skizzen:
a) Für die gemäß Axiom VII eingeführte Winkelmaßfunktion  :   0, 180 und für ein
beliebiges Winkelfeld W   gilt:
(W)  0  W ist ein Nullwinkelfeld
b) Für zwei beliebige Geraden g,hG mit g  h  S  gilt: g  h  h  g .
c) Sind
W
und
W0
zwei Scheitelwinkelfelder, so gilt: (W)  (W0) .
10,0
4. Aufgabe:
a) Beweisen Sie, dass in jeder Geometrie (E,G) , welche die Axiome (I) bis (VIII) erfüllt, für
alle Geraden g,h,kG gilt: g  h und h  k  g  k .
b) Geben Sie für die Poincarésche Halbebene (EN ,GN) unter Verwendung der Konstruktionsvorschrift für die nichteuklidische Achsenspiegelung  gN eine euklidische Konstruktionsbeschreibung für das doppelte Lot in einem Punkt PEN zu einer gegebenen Geraden gN GN mit PgN und fügen Sie ergänzend für den skizzierten Fall eines euklidischen Halbkreises gN eine entsprechende Konstruktionsskizze mit Zirkel und Lineal für
das doppelte Lot kN GN , PEN bei.
Skizze zu (b) :
10,0
5. Aufgabe:
Man löse im Folgenden das sogenannte Heronsche Lichtstrahl-Problem aus der Physik:
Ein Lichtstrahl wird von A nach B gesendet, wobei er an einer gegebenen Geraden gG
„gespiegelt“ wird (siehe Skizze). Gesucht wird der kürzeste Weg für den Lichtstrahl.
a) Bestimmen Sie konstruktiv zunächst den Punkt Cg , für welchen s  d(A,C) + d(C,B)
minimal wird, und zeigen Sie dabei zugleich, dass für jeden Punkt C’g mit C’  C gilt:
d(A,C’) + d(C’,B) > s .
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b) Beweisen Sie zusätzlich, dass für die Winkelfelder W 1 und W 2 gemäß Skizze mit dem
aus Teil (a) ermittelten Scheitelpunkt C gilt: (W 1 )  (W 2 ) , d.h.: der Einfallswinkel
ist gleich dem Ausfallswinkel im Punkt C.
Hinweis: Man verwende die Dreiecksungleichung sowie die Tatsache, dass Achsenspiegelungen spezielle Kongruenzabbildungen darstellen.
10,0
6. Aufgabe:
Seien im (nicht entarteten) Dreieck  ABC der B gegenüber liegende Mittelpunkt der Seite
AC mit MB und der C gegenüber liegende Mittelpunkt der Seite AB mit MC bezeichnet. Zeigen Sie unter Anwendung der beiden Strahlensätze und gültiger Umkehrungen (siehe Skript):
Die beiden Seitenhalbierendenabschnitte B M B und C M C im Dreieck  ABC schneiden sich in einem Schnittpunkt S , der die beiden Seitenhalbierenden jeweils im Verhältnis
d (B,S )
d (C,S )
2


2 :1 zerlegt, d.h. es gilt:
.
d (S, M B ) d (S, MC ) 1
Hinweis: Man fertige zunächst eine Skizze an und weise nach: M A M B || AB sowie
1
d (M A , M B ) =  d ( A, B) .
2
10,0