Informatik/Jahrgangsstufe Q/004

ARBEITSBLATT ZUM BINÄRBAUM MIT ORDNUNGSRELATION I
Aufgabe 1: Gegeben Sei die folgende Eingabereihenfolge von Knoteninhalten:
47, 20, 15, 94, 98, 35, 30, 25, 22, 40, 45.
Füge nacheinander die Elemente in einen Binärbaum mit Ordnungsrelation
(Suchbaum) ein. Die ersten Zwei Elemente sind schon eingetragen.
Charakterisiere die Mängel des so entstandenen Baumes!
Welche Möglichkeiten fallen dir ein, um diesem Zustand Abhilfe zu
verschaffen?
47
20
ARBEITSBLATT ZUM BINÄRBAUM MIT ORDNUNGSRELATION I
Aufgabe 1: Gegeben Sei die folgende Eingabereihenfolge von Knoteninhalten:
47, 20, 15, 94, 98, 35, 30, 25, 22, 40, 45.
Füge nacheinander die Elemente in einen Binärbaum mit Ordnungsrelation
(Suchbaum) ein. Die ersten Zwei Elemente sind schon eingetragen.
Charakterisiere die Mängel des so entstandenen Baumes!
Welche Möglichkeiten fallen dir ein, um diesem Zustand Abhilfe zu
verschaffen?
47
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ARBEITSBLATT ZUM BINÄRBAUM MIT ORDNUNGSRELATION II
Definition eines AVL-Baumes (nach Adelson-Velskij und Landis):
Ein Binärbaum heißt ausgeglichener Baum oder AVL-Baum, falls
sich für jeden Knoten k die Höhen h der beiden Teilbäume von k um
höchstens 1 unterscheiden.
Die Höhendifferenz wird mit der „Balance“ b bezeichnet und
errechnet sich durch:
b = h(rechter Teilbaum von k) − h(linker Teilbaum von k).
Man spricht deshalb auch von balancierten Bäumen.
Aufgabe 2: Schreibe in jeden Knoten der untenstehenden Binärbäume den Wert der Balance.
Handelt es sich bei diesen Bäumen um AVL-Bäume?
Aufgabe 3: Gegeben sei die folgende Eingabereihenfolge von Knoteninhalten:
50, 80, 90, 30, 10, 70, 60, 65, 75
Füge nacheinander die Elemente in einen Suchbaum ein, so daß stets die AVLEigenschaft b(k) ∈ {−1, 0, 1} für alle Knoten k erfüllt ist.
50
80
Aufgabe 4: a) Erzeuge einen AVL-Baum mit 7 Elementen und einer möglichst großen
Höhe.
b) Wieviel Elemente muß ein AVL-Baum der Höhe 3 (4, 5) mindestens haben?
b) Suche nach einer Formel für die Mindestanzahl von Knoten eines AVLBaumes der Höhe h.
Aufgabe 5: Der Baum aus Aufgabe 3 soll nun schrittweise wieder durch die Funktion
„Löschen“ abgebaut werden. Die Löschreihenfolge ist gegeben durch:
30, 10, 70, 65, 60, 90, 75, 50, 80
Achte bei jeder Löschoperation auf die AVL-Eigenschaft und stelle sie
nötigenfalls wieder her!