III_13 (pdf ca. 155k) - Johann-Michael-Sailer

13.Selbstinduktion; Induktivität
13.1. Selbstinduktion bei Ein- und Ausschaltvorgängen
Versuch 1:
Bei geschlossenem Schalter S wird der Widerstand R1 so groß gewählt, dass die
Glühlämpchen G1 und G2 gleich hell leuchten. Somit sind die Stromstärken in den beiden
Zweigen gleich groß. Nun wird Schalter S wieder geöffnet. Beim Schließen des Schalters S
leuchtet das Glühlämpchen G2 später auf als G1.
Erklärung:
Beim Einschalten einer Spule ändert sich das durch sie erzeugte Magnetfeld. Diese Änderung
bewirkt die Induktion einer Spannung in der Spule selbst, die sogenannte Selbstinduktion.
Bei jeder Stromstärkeänderung durch die Spule kann dieser Effekt beobachtet werden, dabei
ist die induzierte Spannung, die nach der Regel von Lenz seiner Ursache entgegengerichtet
ist, solange vorhanden, bis sich sein Magnetfeld nicht mehr ändert.
Versuch 2:
In der Schaltung von Versuch 1 wird ein Schalter S2 eingefügt und die Glühlämpchen durch
eine Glimmlampe ersetzt. Der Stromkreis kann somit durch beide Schalter unterbrochen
werden. Zunächst seinen S1 und S2 geschlossen, es fließt Dauerstrom. Zusätzlich kann noch
ein Stromstärkemessgerät eingebaut werden. Wir unterscheiden zwei Fälle und ihre Ursachen:
Fall 1: S1 wird geöffnet, was eine Abnahme der Stromstärke I zur Folge hat. Die Glimmlampe
leuchtet hierbei nicht. Der Grund für die allmähliche Stromstärkeabnahme ist der in der Spule
induzierte Spannungsstoß, der so lange vorhanden ist, wie in der Spule der magnetische Fluss
abnimmt.
Fall 2: Bei geschlossenem Schalter S1 wird S2 geöffnet, so dass die Stromstärke I unmittelbar
auf null zurückgeht und eine Elektrode der Glimmlampe kurz aufleuchtet. Die
Induktionsspannung Ui übersteigt die ursprünglich angelegte Spannung U0 wesentlich.
Ursache ist die kurze Abklingdauer, die durch den Schalter bestimmt ist. Trotz gleich großer
induzierter Spannungsstöße (Gleiche Flussänderung!) entsteht nun wegen der kürzeren
Abklingzeit eine größere Spitzenspannung.
13.2 Induktivität einer Spule
(Buch S.108/109)
Herleitung für eine lang gestreckte Spule
Die an einer Spule hervorgerufene Selbstinduktionsspannung lässt sich mithilfe des
Induktionsgesetzes durch die Spulendaten und die zeitliche Stromänderung darstellen.
Wir kennen bereits das Induktionsgesetz in differenzieller Form:
.
Ui = −N Φ
Beachte: Da es sich hier um Selbstinduktion handelt gilt: N = N i
Mit
Φ = B⋅A
B = µ0
N
⋅I
l
sowie
( aus experimentellen Untersuchungen siehe Buch S. 57/58)
Ui = µ 0 A
Den Faktor µ 0 A
N²
l
N²
bezeichnet man als Induktivität L:
l
L = µ0 A
Beachte:
N²
l
Diese Formel gilt nur für „Luftspulen“. Ist nämlich ein weiterer Stoff eingebracht,
so tritt neben µ 0 noch ein materialabhängiger Faktor µ r hinzu.
µ r hat z. B. für Eisen die Größe 5000.
Einheitenüberprüfung:
[L] = 1 V sA −1 m −1 m² m −1 = 1 VsA −1 = 1 H = 1 Henry
Joseph Henry (1797 - 1878)
amerikanischer Physiker
Joseph Henry wurde am 17. Dezember 1797 in
Albany (New ork) geboren.1930 entdeckte er unabhängig
von Michael Faraday die elektromagnetische Induktion.
1832 bekam er einen Ruf an das College of New Jersey,
der heutigen Princton Universität als Professor für
Naturphilosophie. Hier erkannte er die Möglichkeit
einer induktiven Transformation elektrischer Spannungen
und erfand die Induktionsspule.. 1846 wurde Henry vom
Kongreß zum Sekretär und Direktor des neugegründeten
Smithsonian Institus berufen. In dieser Position war er
bis zu seinem Tode tätig. Ihm zu Ehren wurde die Einheit
für die elektromagnetische Induktivität Henry benannt.
1 H (Henry) ist die Induktivität einer geschlossenen
Leiterschleife in der ein elektrischer Strom, der sich mit
einer konstanten Rate von 1 A/s ändert, eine Spannung
von 1 V erzeugt.
Somit ist die in einer Spule induzierte Selbstinduktionsspannung:
.
U i = −L ⋅ I
L=
Ui
.
Selbstinduktionsspannung
Definition der
Induktivität
I
Dies ist die allgemeine Definition der Induktivität; d.h. sie gilt nicht nur für Spulen, sondern
alles, wodurch Strom fließt
R- Aufgabe
Zeigen Sie, dass -
Ui
.
stets positiv ist .
I
Betrachtet man nur den Quotienten
Ui
.
.
, so weiß man, dass dieser stets negativ ist, da U i und I
I
entgegengesetzt sind. Mithilfe des Minuszeichens ist das Ergebnis von -
Ui
.
I
also stets positiv.
Spule als Schaltelement
Befindet sich eine Spule als Schaltelement in einem Stromkreis
wie in Darstellung 1, so kann sie als Spannungsquelle
.
mit U i = − L ⋅ I auffassen, die der Spannung U 0 entgegenwirkt,
.
.
falls I > 0, jedoch im gleichen Sinn wie U 0 , falls 0 > I .
Für die resultierende Spannung am Widerstand R gilt dann :
Darstellung 1
Spule als Schaltelement
.
UR = U0 − L ⋅ I
Mit U R = R ⋅ I folgt somit für U 0 :
.
U 0 = RI + L I
Die am Stromkreis angelegt Spannung U 0 teilt sich somit in die Spannung am Widerstand
und die Spannung an der Spule auf.
In dem hier dargestellten Stromkreis kann die Spule mit der Induktivität L auch als
Schaltelement aufgefasst werden, welches mit dem Leitungswiderstand R in Reihe geschaltet
.
ist und an dem eine Teilspannung U L = R ⋅ I anliegt.
Die Spule hat stets auch einen Ohm´schen Widerstand und jeder Leiter eine Induktivität.
Betrachtet man aber einen Stromkreis, so denkt man sich jedoch die ganze Induktivität L und
den ganzen Ohm´schen Widerstand im Leistungswiderstand R vereinigt.
Aufgaben ; Buch S.109 oben
.
1. a) U i = − L ⋅ I
L ist ein konstanter Faktor. Die Ableitung von I nach der Zeit ergibt sozusagen U i .
.
Steigt I , so steigt auch U i , denn die Ableitung an einem Punkt ist stets die Steigung .
Steigt der parabelförmige Graph I(t) beim Einschaltvorgang nach t 1 in B3b rapide an, so
.
fällt in B4b die Spannung U i (t) aber wegen dem Minuszeichen in der Formel U i = − L ⋅ I
gemäß rapide ab.
Liegt wie vor dem Zeitpunkt t 1 die Stromstärke beim Wert 0, so ist somit die
Steigung 0 und U i auch 0. Beim Ausschaltvorgang nimmt die Stromstärke
allmählich den Wert 0 an, was dazu führt, dass auch U i Richtung 0 abfällt.
b) Aufgrund der kürzeren Abklingdauer beim Ausschaltvorgang ergibt sich eine höhere
Spitzenspannung als beim Einschaltvorgang .
2.
l = 60 cm = 0,60 m
N = 240
d = 11 cm = 0,11 m
→ r = 0,055m
a)
L = µ 0 ⋅ r² ⋅ Π ⋅
b)
I = 1,5 A
1
t=
s
100
N²
(240)²
= 4Π ⋅ 10 −7 VsA −1 m −1 ⋅ (0,055m)² ⋅ Π ⋅
= 1,1 ⋅ 10 −3 VsA −1 = 1,1 mH
l
0,60m
.
→ I = 1,5 ⋅ 10² A s −1
.
U i = − L ⋅ I = −1,1 ⋅ 10 −3 VsA −1 ⋅ 1,5 ⋅ 10² As −1 = 0,17 V
Aufgaben ; Buch S.109 unten
1.
l = 60 cm = 0,60 m
N = 120
A = 32 cm² = 0,00032 m²
U 0 = 24 V
R = 9,6 Ω
U
24V
I= 0 =
= 2,5 A
R 9,6Ω
t = 2,0 ⋅ 10 −2 s
.
→ I = 125 As −1
N² .
(120)²
⋅ I = 4Π ⋅ 10 −7 VsA −1 m −1 ⋅ 0,00032m² ⋅
⋅ 125 As −1
l
0,60m
= 1,2 ⋅ 10 −3 V = 12mV
.
U i = - L⋅ I = µ 0 ⋅ A⋅
2.
Eine Spule wie die neben Gezeigte besitzt
keine Induktivität, weil in beide Richtungen
der bifilaren Wicklung je eine Induktionsspannung induziert wird. Diese beiden Spannungen heben sich aber auf, so das man eine
Spule ohne Induktivität erhält.
Spulenkörper mit aufgebrachter bifilarer Wicklung