Ringe und Moduln - Universität Rostock

Manuskript zur Vorlesung
Ringe und Moduln
gehalten an der
U n i v e r s i t ä t
Rostock
von
Prof. Dr. Dieter Neßelmann
Rostock, Juli 2005
Fassung vom 13. Oktober 2005
Inhaltsverzeichnis
1 Grundbegriffe
1
2 Ideale in kommutativen Ringen
22
3 Kettenbedingungen
29
4 Halbeinfache Ringe und Moduln
38
5 Struktur halbeinfacher Ringe
46
1
Grundbegriffe
Ringe
Wir geben zunächst eine Reihe von Definitionen an zu den Grundbegriffen Ring, Ideal,
Modul, die später verwendet werden. Diese Begriffe sind zum Teil aus der AlgebraVorlesung bekannt. Die Definitionen beziehen sich durchweg auf den allgemeinen Fall,
bei dem die Kommutativität nicht gefordert wird. Alle Einschränkungen auf die Kommutativität werden explizit benannt.
Definition 1.1: Ein Ring (R, +, · ) ist eine nicht-leere Menge R zusammen mit zwei
binären Operationen
+ : R × R −→ R (Addition)
· : R × R −→ R (Multiplikation)
mit folgenden Eigenschaften:
a) (R, +) ist eine abelsche Gruppe (mit dem ”neutralen Element” 0:
∀ a ∈ R gilt 0 · a = a · 0 = 0)
b) (R, · ) ist assoziativ: a · (b · c) = (a · b) · c
c) · ist links- und rechtsdistributiv über +:
a · (b + c) = a · b + a · c
(b + c) · a = b · a + c · a.
Wir setzen darüber hinaus stets voraus, dass R ein Einselement 1 besitzt:
∀ a ∈ R gilt a · 1 = 1 · a = a.
Ist R 6= {0}, dann ist auch 1 6= 0 (andernfalls wäre ∀ a ∈ R : a = a · 1 = 1 · a = 0).
Bei der Multiplikation lassen wir den Punkt weg, falls kein Missverständnis zu erwarten
ist, also ∀ a, b ∈ R : a · b = ab, und einfach R für (R, +, · ).
Ringe können Nullteiler besitzen:
Definition 1.2: Sei a ∈ R, a 6= 0. Dann heißt a Nullteiler in R, fall ein b ∈ R existiert,
so dass ab = 0 oder ba = 0. Ist ab = 0, dann heißt a Linksnullteiler ; ist ba = 0, dann
heißt a Rechtsnullteiler.
Typische Beispiele von Ringen mit Nullteilern sind Matrizenringe:
1
Ist
(
R=
x y
0 z
!
)
; x, z ∈ Z, y ∈ Z/2 · Z ,
dann sei
a=
2 0
0 1
!
, b=
0 1
!
0 0
⇒ ab =
2 0
0 1
!
0 1
!
=
0 0
0 0
!
0 0
⇒ a ist Linksnullteiler, aber kein Rechtsnullteiler:
!
!
!
!
x y
2 0
2x y
0 0
=
=
⇐⇒ x = y = z = 0.
0 z
0 1
0 z
0 0
Lemma 1.3: Sei a ∈ R und a 6= 0.
(1) Ist a kein Linksnullteiler, dann folgt aus ab = ac auch b = c.
(2) Ist a kein Rechtsnullteiler, dann folgt aus ba = ca auch b = c.
Beweis: (1) ab = ac ⇒ a(b − c) = 0 ⇒ b − c = 0 ⇒ b = c. (2) folgt genauso, qed.
Vergleichbar wie mit Nullteilern verhält es sich mit der Invertierbarkeit.
Definition 1.4:
(1) a ∈ R heißt links-invertierbar :⇔ ∃ b ∈ R : ba = 1 (b heißt Linksinverses zu a).
(2) a ∈ R heißt rechts-invertierbar :⇔ ∃ b ∈ R : ab = 1 (b heißt Rechtsinverses zu
a).
(3) a ∈ R heißt invertierbar, wenn es sowohl links- als auch rechtsinvertierbar ist. In
diesem Fall stimmen Links- und Rechtsinverses überein und sind damit eindeutig
bestimmt: Sei b0 Linksinverses und b Rechtsinverses von a
b0 = b0 · 1 = b0 (ab) = (b0 a)b = b,
=⇒
a−1 := b = b0 .
(4) Elemente a ∈ R, die ein Inverses besitzen, heißen Einheiten von R. Die Menge
der Einheiten von R bezeichnen wir mit U (R) (units).
Definition 1.5:
(1) Ein kommutativer Ring (mit 1) und ohne Nullteiler heißt ein Integritätsbereich.
(2) Ein Ring (mit 1), in dem jedes von 0 verschiedene Element ein Inverses besitzt:
U (R) = R \ {0}, heißt ein Schiefkörper (engl.: division ring).
2
(3) Ein kommutativer Schiefkörper heißt ein Körper.
Beispiel für einen Schiefkörper: Hamiltons reelle Quaternionen
HR = {a + bi + cj + dk; a, b, c, d ∈ R}
mit i2 = −1, j 2 = −1, ij = −ji = k (⇒ k 2 = −1).
ÜA: HR ist ein Ring.
(HR , +, · ) ist nicht kommutativ. Ist α = a + bi + cj + dk, dann sei α = a − bi − cj − dk.
Es gilt
α · α = a2 + b2 + c2 + d2 ∈ R.
Für α 6= 0 existiert daher α−1 = (a2 +b2 +c2 +d2 )−1 ·α. Folglich ist HR ein Schiefkörper.
Entsprechend ist
HQ = {a + bi + cj + dk ∈ HR ; a, b, c, d ∈ Q}
ebenfalls ein Schiefkörper.
ÜA: HR können wir auch als Matrizenring schreiben:
!
)
(
α β HR =
α, β ∈ C .
−β α Ist A =
α
β
!
−β α
α −β
∈ HR , dann sei A =
A·A=
β
αα
0
0
ββ
!
α
=
α
β
−β α
!T
. Wir erhalten
!
∈ R2×2 .
Entsprechend wird
(
HQ =
!
)
α, β ∈ Q[i] .
−β α α
β
Satz 1.6:
(1) Jeder endliche Integritätsbereich ist ein Körper.
(2) Jeder endliche Schiefkörper ist ein Körper (Satz von Wedderburn).
Beweis nur zu (1); (2) siehe Vorlesung zur Algebra: Sei R ein endlicher Integritätsbereich, a ∈ R, a 6= 0 und Φa : R −→ R mit Φa (b) := ab ∀ b ∈ R.
Behauptung: Φa ist injektiv.
3
Sei etwa Φa (b) = Φa (c) ⇒ ab = ac ⇒ (Lemma 1.3) b = c.
Wenn b sämtliche Werte von R durchläuft, so auch Φa (b) ⇒
∃ b∗ : Φa (b∗ ) = 1 = ab∗ = b∗ a
da R kommutativ, qed.
Wichtig für die Charakterisierung von Ringen und Moduln (später) sind die Substrukturen. Bei Ringen haben wir 2 Arten: Unter (Teil-)ringe und Ideale; bei Moduln sind es
die Unter- oder Teilmodule. Ideale in Ringen sind eng mit homomorphen Abbildungen
verbunden.
Definition 1.7: Sei R ein Ring. Eine Teilmenge S ⊆ R heißt Unterring (Teilring) von
R :⇐⇒ S ist mit denselben Verknüpfungen wie R ein Ring.
S ist Teilring von R ⇐⇒ S ist eine (additive) Untergruppe von R, die bezüglich der
Multiplikation abgeschlossen ist, d.h. die Multiplikation in S führt nicht aus S heraus.
Definition 1.8: Seien R und S Ringe. Eine Abbildung von R in S (”eindeutig von ∼
in”) heißt ein Homomorphismus (f : R → S) :⇐⇒ ∀ a, b ∈ R gilt
(1) f (a + b) = f (a) + f (b)
(2) f (a · b) = f (a) · f (b)
Ist f eineindeutig ”von - auf”, dann heißt f ein Isomorphismus und R und S zueinander
isomorph: R ∼
= S.
Kern der Abbildung: Ker f := {a ∈ R; f (a) = 0}
Bild der Abbildung: Im f := {c ∈ S; ∃ a ∈ R : f (a) = c}.
Für die Elemente des Kerns gelten folgende Eigenschaften:
(1) a, b ∈ Ker f ⇒ f (a + b) = f (a) + f (b) = 0 + 0 = 0 ⇒ a + b ∈ Ker f
(2) a ∈ Ker f , r ∈ R beliebig =⇒
f (a · r) = f (a) · f (r) = 0 · f (r) = 0
f (r · a) = f (r) · f (a) = f (r) · 0 = 0
=⇒ a · r ∈ Ker f und r · a ∈ Ker f .
Eine Unterstruktur eines Ringes mit diesen beiden Eigenschaften des Kerns, die im
wesentlichen die charakteristischen Eigenschaften der Null sind, ist das Ideal. Daher
die oben erwähnte enge Verknüpfung des Ideals mit homomorphen Abbildungen.
4
Definition 1.9: Sei R ein Ring und a ⊆ R, a 6= ∅ eine Teilmenge von R. a heißt Ideal
in R
:⇐⇒ (1) a ist eine additive Untergruppe von R
(2) ∀ r ∈ R : r · a ⊆ a
(3) ∀ r ∈ R : a · r ⊆ a.
Sind lediglich (1) und (2) erfüllt, dann heißt a Linksideal in R; sind nur (1) und (3)
erfüllt, dann heißt a Rechtsideal in R. Eine Teilmenge, die sowohl Links- als auch
Rechtsideal ist, ist also ein Ideal in R.
∼
Satz 1.10 (Homomorphiesatz für Ringe): Wenn f : R → S ein Homomorphismus
ist, dann ist Ker f ein Ideal von R und umgekehrt: Zu jedem Ideal a ⊆ R gehört ein
∼
Homomorphismus f : R → S, so dass Ker f = a und S ∼
= R/a.
Beweis siehe Algebra-Vorlesung.
Lemma 1.11: Sei R ein Schiefkörper und a ⊆ R ein Ideal. Dann ist a = R oder
a = {0}.
Beweis: Angenommen, ∃ a ∈ a und a 6= 0 ⇒ ∃ a−1 ∈ R ⇒ a · a−1 = 1 ∈ a ⇒ a =
R, qed.
∼
Folgerung 1.12: Sei R ein Schiefkörper und f : R → S ein Homomorphismus. Dann
ist f injektiv oder f ≡ 0.
Beweis: Angenommen, f sei nicht injektiv, also Ker f 6= {0}, etwa a ∈ Ker f , a 6=
0 ⇒ Ker f = R ⇒ f ≡ 0, qed.
Umgekehrt nennt man Ringe R, die lediglich {0} und R als Ideale besitzen, einfache
Ringe. Es gibt einfache Ringe, die keine Schiefkörper sind. Beispiele ergeben sich aus
den später zu untersuchenden Matrizenringen
Mn (R) = Rn×n
(n ≥ 1, Rn×n sind (n, n)-Matrizen mit Elementen aus R.
Ist R ein Schiefkörper, dann ist Mn (R) ein einfacher Ring und für n > 1 kein Schiefkörper.
!
1 2
Beispiel: R = R, dann ist in M2 (R) etwa a =
6= 0 und nicht invertierbar.
1 2
Module
R sei wieder ein beliebiger Ring mit Einselement 1, der nicht kommutativ sein muss.
Definition 1.13:
(1) Ein Links-R-Modul ist eine (additiv geschriebene) abelsche Gruppe M zusammen
5
mit einer Skalarmultiplikation
· : R × M −→ M
(r, m) 7→ rm ∈ M
mit folgenden Eigenschaften:
(al ) ∀ a ∈ R und ∀ m, n ∈ M gilt a(m + n) = am + an;
(bl ) ∀ a, b ∈ R und ∀ m ∈ M gilt (a + b)m = am + bm;
(cl ) ∀ a, b ∈ R und ∀ m ∈ M gilt (ab)m = a(bm);
(dl ) ∀ m ∈ M gilt 1m = m.
(2) Entsprechend heißt eine abelsche Gruppe M mit einer skalaren Rechtsmultiplikation
· : M × R −→ M
(m, r) 7→ rm ∈ M
mit obigen Eigenschaften, jedoch die Multiplikanden vertauscht, ein Rechts-RModul:
(ar ) ∀ a ∈ R und ∀ m, n ∈ M gilt (m + n)a = ma + na;
(br ) ∀ a, b ∈ R und ∀ m ∈ M gilt m(a + b) = ma + mb;
(cr ) ∀ a, b ∈ R und ∀ m ∈ M gilt m(ab) = (ma)b;
(dr ) ∀ m ∈ M gilt m1 = m.
Man kann formal aus jedem Rechtsmodul einen Linksmodul und umgekehrt machen
durch. Hierzu folgende
Bemerkung 1.14:
(1) Sei R kommutativ. Dann hat jeder Links-R- Modul M auch die Struktur eines
Rechts-R-Moduls (und umgekehrt) durch die Multiplikationsvorschrift
m · r := rm bzw. r · m := mr
∀ r ∈ R und ∀ m ∈ M.
Hierzu haben wir nur (cr ) (bzw. (cl )) nachzuweisen:
m · (ab) = (ab)m = (b · a)m = b(am) = b(m · a) = (m · a) · b
6
(2) Allgemeiner: Wenn R Anti-Isomorphismus Φ : R −→ R besitzt, so dass
Φ(ab) = Φ(b) · Φ(a) ∀ a, b ∈ R,
dann hat jeder Links-R-Modul M auch die Struktur eines Rechts-R-Moduls (und
umgekehrt) durch die Multiplikationsvorschrift
m · r := Φ(r)m ∀ r ∈ R und ∀ m ∈ M :
(cr ) :
(m·a)·b = Φ(b)(m·a) = Φ(b)(Φ(a)m) = (Φ(b)Φ(a))m = Φ(ab)m = m·(ab).
Beispiel später!
(3) Für einen beliebigen Ring R sei Rop der Ring mit gleicher Addition und entgegengesetzter Multiplikation:
∀ a, b ∈ R ist a · b := ba
(ÜA: (Rop , +, ·) ist ein Ring, der isomorph zu R ist: Die Abbildung Φ : R −→
Rop mit Φ(a) = a ∀ a ∈ R und Φ(ab) := b · a ist ein Anti-Isomorphismus.)
Dann ist jeder Links-R-Modul M ein Rechts-Rop -Modul.
Wir haben wieder (cr ) zu prüfen:
m · (a · b) = (a · b)m = (ba)m = b(am) = b(m · a) = (m · a) · b.
Daher ist es für Strukturuntersuchungen unerheblich, ob wir es mit Links- oder Rechtsmoduln zu tun haben. In der Regel wählen wir Linksmoduln. Wenn es unerheblich ist,
ob wir es mit Links- oder Rechtsmoduln zu tun haben, sprechen wir auch einfach von
R-Moduln.
Homomorphismen von R-Moduln sind analog zu Vektorraum-Homomorphismen definiert.
Definition 1.15: Seien M, N R-Moduln und f : M → N eine Abbildung von M in
N . f heißt ein R-Modulhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
(1) ∀ m1 , m2 ∈ M gilt f (m1 + m2 ) = f (m1 ) + f (m2 );
(2) ∀ r ∈ R und ∀ m ∈ M gilt f (rm) = rf (m).
Die Menge aller R-Homomorphismen von M in N bezeichnen wir mit HomR (M, N ).
Ist M = N , dann heißt f ein Endomorphismus und wir schreiben
EndR (M ) := HomR (M, M ).
7
Ein 1-1-Homomorphismus von M auf sich, also ein Endomorphismus, der eine Umkehrabbildung besitzt, heißt ein Automorphismus von M : AutR (M ).
Für f ∈ HomR (M, N ) definieren wir Ker f und Im f wie oben:
Ker f = {m ∈ M ; f (m) = 0};
Im f = {n ∈ N ; ∃ m ∈ M : f (m) = n}.
Ker f und Im f sind abelsche Untergruppen von M bzw. N .
Ist M ein R-Modul und R = k ein Körper, dann ist offenbar M ein Vektorraum über
k; Module sind daher eine direkte Verallgemeinerung von Vektorräumen, wenn wir als
Multiplikatorenbereich Ringe statt Körper zulassen.
Beispiele:
(1) Jede abelsche Gruppe G ist ein Z-Modul:
n ∈ Z, n > 0, g ∈ G ⇒ n · g = g + g + . . . + g
|
{z
}
n−mal
n = 0 ⇒ n · g := 0;
n < 0 ⇒ n · g := −(−n · g)
∼
Homomorphismen: Ist f : G → G0 ein Gruppenhomomorphismus, dann gilt
f (n · g) := f (g) + . . . + f (g) = n · f (g) für n > 0 und
f (−g) := −f (g) =⇒ f (n · g) = n · f (g) ∀ n ∈ Z.
(2) Sei R ein beliebiger Ring. Dann wird Rn (n > 0) ein R-Modul durch
r · (b1 , . . . , bn ) := (rb1 , . . . , rbn )
| {z }
∈Rn
(3) R sei ein Ring, a ⊆ R sei ein (Links-)Ideal ⇒ R/a wird ein (Links-)R-Modul:
r · a := r · a, a ∈ R/a.
Definition 1.16: Ein R-Modul, der für sich wieder ein Ring ist, heißt eine R-Algebra,
sofern folgende Bedingung für die Multiplikation erfüllt ist:
∀ r ∈ R und ∀ m1 , m2 ∈ M gilt r(m1 · m2 ) = (rm1 )m2 = m1 (r · m2 )
Beispiele:
(1) Jeder Ring ist eine Z-Algebra.
8
(1.A)
(2) Jeder kommutative Ring R ist eine R-Algebra:
Bedingung (1.A) ist offenbar erfüllt, wenn R kommutativ ist. Ist R nicht kommutativ, gilt (1.A) i.a. nicht.
Seien M, N zwei R-Moduln. Dann führen wir in HomR (M, N ) Verknüpfungen ein:
(1) f, g ∈ HomR (M, N ) ⇒ f + g wird wie folgt definiert:
∀ m ∈ M : (f + g)(m) := f (m) + g(m)
Mit dieser Verknüpfung wird HomR (M, N ) eine abelsche Gruppe (ÜA).
(2) r ∈ R, f ∈ HomR (M, N ) ⇒ r · f wird wie folgt definiert:
∀ m ∈ M : (r · f )(m) := r · f (m)
r · f wird damit jedoch noch kein R-Homomorphismus; dafür muss gelten:
∀ a ∈ R : (r · f )(a · m) := a · (r · f )(m),
also
(r · f )(a · m) := r · f (a · m) = r(a · f (m)) = a · rf (m) = a(rf )(m).
Dieses ist erfüllt, wenn R kommutativ ist.
(3) Multiplikation von R-Endomorphismen:
Sei f, g ∈ HomR (M, M ) ⇒ f · g wird wie folgt definiert:
∀ m ∈ M : (f · g)(m) = f (g(m))
Damit wird f · g ein R-Endomorphismus:
(f · g)(r · m) = f (g(r · m)) = f (r · g(m)) = r · f (g(m)) = r(f · g)(m).
a) (EndR (M ), · ) ist assoziativ, d.h.
∀ f, g, h ∈ EndR (M ) gilt f (gh) = (f g)h,
denn für beliebiges m ∈ M gilt
(f (gh))(m) = f ((gh)(m)) = f (g(h(m))) = (f g)(h(m)) = ((f g)h)(m).
9
b) Es gelten die Distributivgesetze
f (g + h) = f g + f h;
und (g + h)f = gf + hf
z.B. haben wir für m ∈ M :
(f (g + h))(m) = f ((g + h)(m)) = f (g(m) + h(m)) =
= f (g(m)) + f (h(m)) = (f g)(m) + (f h)(m) =
= (f g + f h)(m).
c) Einselement: 1M - identische Abbildung
=⇒ EndR (M ) wird ein Ring
(4) Ist R kommutativ ⇒ EndR (M ) ist ein R-Modul und eine R-Algebra.
In diesem Fall wird ∀ r ∈ R durch die Abbildung
Φ : r 7→ r · 1M
(siehe (2))
jedem Element r ∈ R ein R-Homomorphismus (Endomorphismus) zugeordnet,
also die Multiplikation nach (3) definiert.
Zusammenfassend erhalten wir folgenden
Satz 1.17:
(1) Für alle R-Moduln M, N ist HomR (M, N ) eine abelsche Gruppe.
(2) EndR (M ) = HomR (M, M ) ist ein Ring, der Endomorphismenring von M über
R.
(3) Ist R kommutativ, dann ist EndR (M ) ein R-Modul und eine R-Algebra.
Satz 1.18:
(1) Ist G eine abelsche Gruppe, dann ist HomZ (Z, G) ∼
= G.
(2) Ist M ein R-Modul, dann ist HomR (R, M ) ∼
= M als Z-Modul.
Beweis:
(1) Sei Φ : HomZ (Z, G) −→ G definiert durch
Φ(f ) := f (1) ∀ f ∈ HomZ (Z, G).
Behauptung: Φ ist ein Isomorphismus von HomZ (Z, G) auf G (ÜA)
10
(2) Sei Φ : HomR (R, M ) −→ M definiert durch
Φ(f ) := f (1) ∀ f ∈ HomR (R, M ).
Behauptung: Φ ist ein Z-Isomorphismus von HomR (R, M ) auf M
Beweis:
a) Φ ist injektiv:
Angenommen, ∃ f, g ∈ HomR (R, M ) mit f (1) = g(1). Sei r ∈ R beliebig
⇒ r = r · 1 ⇒ f (r) = f (r · 1) = r · f (1) = r · g(1) = g(r · 1) = g(r)
⇒ f = g.
b) Φ ist surjektiv:
Sei m ∈ M beliebig ⇒ fm wird wie folgt definiert:
fm (1) := m;
fm (r) = fm (r · 1) = r · fm (1) = r · m
⇒ fm ∈ HomR (R, M ), qed.
Teilmoduln
Definition 1.19: Sei M ein R-Modul und N ⊆ M eine Teilmenge von M . N heißt ein
Teil - oder Untermodul von M , wenn gilt
a) N ist bzgl. der Addition eine Untergruppe von M und
b) N ist ein R-Modul mit derselben Skalarmultiplikation wie M .
Lemma 1.20:
(1) M sei ein R-Modul und N ⊆ M, N 6= ∅, eine Teilmenge. Dann ist N ein
Teilmodul von M ⇐⇒ ∀ a, b ∈ R und ∀ m1 , m2 ∈ N ist auch a·m1 +b·m2 ∈ N .
(2) Sei {Nα }α∈I eine Familie von R-Teilmoduln von M . Dann ist auch N =
T
α∈I
Nα
ein Teilmodul von M .
Beweis: ÜA
Wie bei Vektorräumen ist die Vereinigung zweier Teilmoduln eines R-Moduls M i.a.
kein Modul, jedoch ist die Summe
N1 + N2 := {n1 + n2 ; n1 ∈ N1 , n2 ∈ N2 }
ein R-Teilmodul von M (Beweis: ÜA).
11
Bezüglich Moduln können wir entsprechend wie bei Gruppen Faktorstrukturen bilden.
Ist N ⊆ M ein R-Teilmodul, dann sei M/N die Faktorgruppe von M bzgl. N . Da
M als Gruppe kommutativ ist, ist N auch gleichzeitig Normalteiler. Die Elemente von
M/N sind genau die Nebenklassen vom M bzgl. N :
m ∈ M 7→ m = m + N.
M/N wird zu einem R-Modul durch
r ∈ R ⇒ r · m := rm + N.
Die Multiplikation ist offenbar repräsentantenunabhängig (Beweis ÜA).
Homomorphie- und Isomorphieaussagen für Moduln sehen wie folgt aus:
Satz 1.21:
(1) Seien M und N R-Moduln und f : M −→ N ein R-Modul-Homomorphismus.
Dann ist M/Ker f ∼
= Im f .
(2) Sei M ein R-Modul und N, P ⊆ M R-Teilmoduln. Dann ist
(N + P )/P ∼
= N/(N ∩ P ).
(3) Sei M ein R-Modul und N, P ⊆ M R-Teilmoduln mit P ⊆ N . Dann ist
M/N ∼
= (M/P )/(N/P ).
Beweis: (1) Wir haben die Isomorphie als abelsche Gruppen: M/Ker f ∼
= Im f und
müssen zeigen, dass der Isomorphismus auch ein R-Isomorphismus ist:
∼
Sei K = Ker f und f : M/K → Im f , gegeben durch m + K 7→ f (m). Dann ist
f (a(m + K)) = f (am + K) = f (am) = a · f (m) = a · f (m + K).
Entsprechend übertragen wir die beiden anderen Aussagen (2) und (3) aus der Gruppentheorie, qed.
Erzeugende eines Moduls
Module besitzen im allgemeinen keine Basis, wie sie bei Vektorräumen bekannt ist,
sondern lediglich Erzeugendensysteme. Die ”lineare Unabhängigkeit” fehlt.
Definition 1.22:
12
(1) Seien M ein R-Moduln und S ⊆ M eine Teilmenge.
hSi :=
\
{N ; S ⊆ N ⊆ M, N ist R-Teilmodul von M }
ist ein R-Teilmodul von M und heißt der von S erzeugte Teilmodul.
Es ist hSi = {0}, falls S = ∅ und
( n
X
hSi =
aji sji ;
)
aji ∈ R, sji ∈ S
(ÜA),
i=1
d.h. hSi besteht aus allen endlichen Linearkombinationen von Elementen aus S
mit Koeffizienten aus R.
(2) M heißt endlich erzeugt, falls es eine endliche Menge S ⊆ M gibt mit M = hSi.
Ist S = {x1 , . . . , xk }, dann schreiben wir M = hSi = hx1 , . . . , xk i.
(3) Ist M ein endlich erzeugter R-Modul, dann sei
µ(M ) := min{|S|; M = hSi};
andernfalls sei µ(M ) := ∞. µ(M ) heißt der Rang von M .
(4) M heißt zyklisch, wenn ∃ m ∈ M : M = hmi.
(M = h0i ⇒ µ(M ) = 0;
M = hmi, m 6= 0 ⇒ µ(M ) = 1)
Bemerkung: Aus N ⊆ M folgt nicht µ(N ) ≤ µ(M ), wie etwa bei Vektorräumen. Es
gilt jedoch
Satz 1.23: Sei M ein R-Modul und N ein R-Teilmodul. Dann gilt
µ(M ) ≤ µ(N ) + µ(M/N ),
falls N und M/N endlich erzeugt.
Beweis: Sei µ(N ) = k und etwa N = hx1 , . . . , xk i. Sei y1 , . . . , y` ∈ M derart, dass ihre
Restklassen mod N den Faktormodul M/N erzeugen: M/N = hy 1 , . . . , y ` i.
Behauptung: M = hx1 , . . . , xk , y1 , . . . , y` i und daher µ(M ) ≤ k + `.
Sei etwa x ∈ M und ϕ : M −→ M/N , dann ist ϕ(x) = a1 y 1 + . . . + a` y ` .
Ist y = a1 y1 + . . . + a` y` ⇒ ϕ(x − y) = 0 ⇒ x − y ∈ N ⇒
∃ b1 , . . . , b k ∈ R : x − y = b1 x 1 + . . . + bk x k
⇒
x = b1 x1 + . . . + bk xk + a1 y1 + . . . + a` y` , qed.
13
Annullator und Torsion
Definition 1.24: Sei R ein Ring und M ein R-Modul. Für eine Teilmenge X ⊆ M
Ann(X) := {a ∈ R; ax = 0 ∀ x ∈ X}
der Annullator von X in R.
Lemma 1.25:
(1) Ann(X) ist ein Linksideal in R.
(2) Ist X ein Teilmodul von M , dann ist Ann(X) ein (2-seitiges) Ideal in R.
Beweis:
(1) Sei a ∈ Ann(X) und r ∈ R ⇒ ∀ x ∈ X : (ra)x = r(ax) = 0.
Ist a, b ∈ Ann(X) ⇒ ∀ x ∈ X : (a − b)x = ax − bx = 0 − 0 = 0.
(2) Ist a ∈ Ann(X), r ∈ R, m ∈ X ⇒ (ar)m = a(rm) = 0, da rm ∈ X, qed.
Ist X = {x} ⇒ Ann(X) = Ann(x) = {a ∈ R : a · x = 0} und Ann(x) heißt das
Ordnungsideal von x.
Lemma 1.26: Sei R ein Ring und M = hmi ein zyklischer R-Modul, dann ist
M∼
= R/Ann(m).
Beweis: f : R −→ M mit f (1) = m, f (r) = r·m ist ein surjektiver R-Homomorphismus
und
Ker f = {r ∈ R; f (r) = r · m = 0} = Ann(m)
⇒
R/Ann(m) = R/Ker f ∼
= Im f = M
wegen Satz 1.21 (1), qed.
Sei M ein R-Modul und a ⊆ R ein Ideal. Dann definieren wir:
nX
o
a · M :=
ai mi ; ai ∈ a, mi ∈ M ,
d.h. alle endlichen Summen. Dann ist a · M ⊆ M ein R-Teilmodul von M .
Lemma 1.27: Ist R kommutativ und a ⊆ Ann(M ) ein Ideal, dann ist M auch ein
R/a -Modul.
Beweis: Sei r := r + a ⇒ r · m = (r + a) · m = r · m und wir können die Verknüpfung
von Elementen aus R/a und M definieren durch
r · m := r · m.
14
Sei nun N = M/a · M . Dann ist a ⊆ Ann(N ) und daher N = M/a · M ein R/a -Modul.
Für Integritätsbereiche R erhalten wir den Begriff des Torsionselementes oder Torsionsmoduls:
Definition 1.28: Sei R ein Integritätsbereich und M ein R-Modul.
(1) x ∈ M heißt Torsionselement, wenn Ann(x) 6= (0), d.h. ∃ a ∈ R, a 6= 0 und
a · x = 0.
(2) Sei Mτ := {x ∈ M ; x ist Torsionselement}. M heißt torsionsfrei, wenn Mτ = h0i
und Torsionsmodul, wenn M = Mτ .
Lemma 1.29: Sei R ein Integritätsbereich und M ein R-Modul.
(1) Mτ ist ein R-Teilmodul von M und heißt Torsionsteilmodul von M .
(2) M/Mτ ist torsionsfrei.
Beweis:
(1) Sei x, y ∈ Mτ ⇒ ∃ a 6= 0, b 6= 0, a, b ∈ R mit ax = 0, bx = 0 aber ab 6= 0. Sei
cx + dy mit c, d ∈ R beliebig.
Behauptung: cx + dy ∈ Mτ
Es ist ab(cx + dy) = bc(ax) + ad(by) = 0 + 0 = 0.
(2) Sei a ∈ R, a 6= 0, und x + Mτ ∈ M/Mτ . Aus a(x + Mτ ) = 0 ∈ M/Mτ folgt
ax ∈ Mτ ⇒ ∃b ∈ R : b(ax) = 0 = (ba)x, da R kommutativ. R ist nullteilerfrei,
also auch ba 6= 0 und daher x ∈ Mτ ⇒ x = 0, qed.
Direkte Summen
Sei M ein R-Modul und M1 , . . . , Mn ⊆ M seien R-Teilmoduln von M . Sei N =
M1 × . . . × Mn das kartesische Produkt. N machen wir wie folgt zu einem R-Modul:
x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) ∈ N ⇒ x + y := (x1 + y1 , . . . , xn + yn )
r ∈ R ⇒ r · x := (rx1 , . . . , rxn )
Definition 1.30:
(1) N heißt direkte Summe von M1 , . . . , Mn :
N = M 1 ⊕ . . . ⊕ Mn =
n
M
i=1
15
Mi .
(2) Sei M ein R-Modul und M1 ⊆ M ein Teilmodul. M1 heißt direkter Summand
von M :⇐⇒ ∃ M2 ⊆ M , so dass M ∼
= M1 ⊕ M2 .
Folgender Homomorphismus bildet die direkte Summe von R-Teilmoduln von M in
einen R-Modul M ∗ bzw. M ab:
Sei fi : Mi −→ M ∗ für i = 1, . . . , n ein R-Homomorphismus. Dann sei
f (x) = f (x1 , . . . , xn ) =
n
X
fi (xi ) ∈ M ∗ .
i=1
f ist offenbar ein R-Homomorphismus von der direkten Summe M1 ⊕ . . . ⊕ Mn =
Ln
∗
i=1 Mi in M (ÜA). Hiermit erhalten wir ein brauchbares Kriterium dafür, wann ein
vorgegebener Modul M isomorph zur direkten Summe von Untermoduln ist bzw. die
Summe von Teilmoduln direkt ist:
Satz 1.31: Sei M ein R-Modul und M1 , . . . , Mn R-Untermoduln von M , so dass
(1) M = M1 + . . . + Mn und
(2) Mi ∩ (M1 + . . . + Mi−1 + Mi+1 + . . . + Mn ) = 0 für i = 1, . . . , n.
Dann ist M ∼
= M1 ⊕ . . . ⊕ M n .
Beweis: Sei fi : Mi −→ M die Einbettung: fi (xi ) = xi ∀ xi ∈ Mi (i = 1, . . . , n) und
f : M1 ⊕ . . . ⊕ Mn −→ M definiert durch
f (x) = f (x1 , . . . , xn ) =
n
X
fi (xi ) ∀ x = (x1 , . . . , xn ) ∈ M1 ⊕ . . . ⊕ Mn .
i=1
Wegen der Voraussetzung (1) ist f surjektiver Homomorphismus.
Wir zeigen: Ker f = 0 und daher f injektiv.
Angenommen, (x1 , . . . , xn ) ∈ Ker f ⇒ x1 + . . . + xn = 0 ⇒
xi = −(x1 + . . . + xi−1 + xi+1 . . . + xn ) ∈ Mi ∩ (M1 + . . . + Mi−1 + Mi+1 + . . . + Mn ) = 0
für i = 1, . . . , n. Daher ist (x1 , . . . , xn ) = 0, qed.
Allgemein zeigt man:
Satz 1.31∗ :Sei M ein R-Modul und {Mi }i∈I eine Familie von R-Untermoduln von
M , so dass
(1) M =
P
i∈I
S
Mi = h i∈I Mi i und
P
(2) Mk ∩ ( i∈I\{k} Mi ) = 0 ∀ k ∈ I.
16
L
Dann ist M ∼
= i∈I Mi .
L
Q
Hier wird
i∈I Mi wie folgt definiert: Sei
i∈I Mi das kartesische Produkt, so dass
Q
für x, y ∈ i∈I Mi , x = (xi )i∈I , y = (yi )i∈I und r ∈ R die Verknüpfungen wie folgt
erklärt sind:
r · x = (r · xi )i∈I .
x + y = (xi + yi )i∈I ,
Dann ist
M
Mi = {(xi )i∈I ; xi 6= 0 für nur endlich viele i ∈ I}.
i∈I
Wir schließen diesen Abschnitt mit einem interessanten Beispiel für Ringe ab, an dem
zahlreiche Eigenschaften im nicht-kommutativen Fall demonstriert werden können.
Seien R, S zwei (verschiedene) Ringe und M ein Modul, der sowohl R-Links-Modul
als auch S-Rechts-Modul ist und
(rm)s = r(ms) ∀ r ∈ R, ∀ s ∈ S, ∀ m ∈ M,
ein sogenannter (R,S)-Bimodul. Sei A die Menge
)
! (
!
R M
r m A=
=
r ∈ R, m ∈ M, s ∈ S .
0 S
0 s Als Addition und Multiplikation in A wählen wir die gewöhnlichen Matrizenoperationen, die hier offenbar ausführbar sind:
Addition:
a=
r m
0
!
s
a · a0 =
, a0 =
r m
0
s
r 0 m0
0
!
s
!
=⇒
0
r 0 m0
0
!
a + a0 =
s + s0
0
r · r 0 r · m 0 + m · s0
=
s0
r + r 0 m + m0
s · s0
0
!
∈A
!
∈A
(hier: r · r0 ∈ R, r · m0 + m · s0 ∈ M, s · s0 ∈ S).
(A, +, · ) ist sicher nicht kommutativ:
!
!
1 0
r m
=
0 0
0 s
!
!
r m
1 0
=
0 s
0 0
r m
0
!
0
r 0
0 0
!
6=
r m
0
0
!
für m 6= 0.
Man prüfe die Ringeigenschaften unter Beachtung von (rm)s = r(ms) - Bimoduleigenschaft.
17
Wir können A auch auffassen als direkte Summe A = R ⊕ M ⊕ S mit folgendem Multiplikationsschema:
R
M
S
R
R
M
0
M
0
0
M
S
0
0
S
d.h.
(r + m + s)(r0 + m0 + s0 ) = rr0 + rm0 + |{z}
rs0 + |{z}
mr0 +ms0 + |{z}
sr0 + |{z}
sm0 +ss0
=0
=0
=0
=0
= rr0 + (rm0 + ms0 ) + ss0 ∈ R ⊕ M ⊕ S
Es ist r + m + s = 0 ⇐⇒ r = 0, m = 0, s = 0.
Die Addition ist trivial:
(r + m + s) + (r0 + m0 + s0 ) = (r + r0 ) + (m + m0 ) + (s + s0 ) ∈ R ⊕ M ⊕ S
Die Zuordnung bzw. Einbettung von R, M, S in A ergibt sich wie folgt:
!
r 0
R ,→ A : r 7→
0 0
!
0 m
M ,→ A : m 7→
0 0
!
0 0
S ,→ A : s 7→
0 s
Daher gilt
r m
r + m + s 7→
0
!
s
und umgekehrt. Man sieht auch hier:
(r + m + s) · (r0 + m0 + s0 ) 7→
r m
0
s
!
r 0 m0
0
!
s0
7→ rr0 + (rm0 + ms0 ) + ss0
Lemma 1.32: In A = R ⊕ M ⊕ S gilt
18
=
rr0 rm0 + ms0
0
ss0
!
(1) R ist Linksideal ; S ist Rechtsideal ; M ist Ideal ; M 2 = 0;
(2) R ⊕ M und M ⊕ S sind (2-seitige) Ideale;
(3) A/(R ⊕ M ) ∼
= S, A/(M ⊕ S) ∼
= R;
(4) R ⊕ S ist ein Teilring von A.
Beweis:
(1) ∀ r0 ∈ R und ∀ r + m + s ∈ A gilt (r + m + s)r0 = rr0 ∈ R;
∀ s0 ∈ S und ∀ r + m + s ∈ A gilt s0 (r + m + s) = s0 s ∈ S;
∀ m, m0 ∈ M ist mm0 = 0.
!
!
r m
r0 0
Ebenfalls:
=
0 s
0 0
rr0 0
0
0
!
←→ rr0 ;
entsprechendes gilt für S.
Für M erhält man:
r m
0
s
0 m∗
0
!
0
0
!
!
0 m∗
=
0
r m
0
!
s
=
0 rm∗
0
∈M
0
0 m∗ s
0
!
0
!
∈M
(2) ∀ r0 + m0 ∈ R ⊕ M und ∀ r + m + s ∈ A gilt
(r0 + m0 )(r + m + s) = r0 r + r0 m + m0 s ∈ R ⊕ M
(r + m + s)(r0 + m0 ) = rr0 + rm0 ∈ M
Genauso für M ⊕ S. ((2) folgt auch aus (3), da der Kern eines Homomorphismus
ein Ideal ist.)
(3) Sei f : A −→ R mit f (r + m + s) = r (surjektiv). Dann ist
f (r + m + s) = 0 ⇐⇒ r = 0
⇐⇒ r + m + s ∈ M ⊕ S.
⇒ Ker f = M ⊕ S ⇒ (Satz 1.21 (1)): A/M ⊕ S ∼
= R.
Genauso zeigt man A/(R ⊕ M ) ∼
= S.
19
(4) Es ist
(
R ⊕ S = {r + s| r ∈ R, s ∈ S =
⇒
!
)
r ∈ R, s ∈ S
0 s r 0
(r + s)(r0 + s0 ) = rr0 + ss0 ∈ R ⊕ S,
qed.
Wir untersuchen nun, welche Ideale in A auftreten können.
Satz 1.33:
(1) Die Linksideale in A sind von der Art I1 ⊕ I2 , wo I2 ein Linksideal in S und I1
ein Links-R-Teilmodul von R ⊕ M ist, der M I2 enthält.
(2) Ein Rechtsideal von A ist von der Art J1 ⊕ J2 , wobei J1 ein Rechtsideal von R,
J2 ein Rechts-S-Teilmodul von M ⊕ S und J1 M ⊆ J2 .
(3) Die (2-seitigen) Ideale von A sind von der Art K1 ⊕ K0 ⊕ K2 mit K1 - Ideal in R;
K2 - Ideal in S; K0 - (R,S)-Teil-Bimodul von M , so dass K0 ⊇ K1 · M + M · K2 .
Beweis: Man zeigt durch Multiplikation, dass
(1) I1 ⊕ I2 ein A-Linksideal;
(2) J1 ⊕ J2 ein A-Rechtsideal;
(3) K1 ⊕ K0 ⊕ K2 ein A-Ideal ist.
(1) Sei I ein Linksideal und
1 0
!
r m
0 0
0
s
d.h.
r m
0
!
0
=
r m
0
∈ I. Dann ist
s
r m
0
!
0
!
∈I
und
!
∈ I ∩ (R ⊕ M ) = I1
und
0 0
!
0 1
0 0
0 s
r m
0
s
!
=
0 0
!
0 s
!
∈ I ∩ S = I2
also I ⊆ I1 ⊕ I2 und damit die Gleichheit I = I1 ⊕ I2 .
Man prüft durch einfache Multiplikation die entsprechenden Links-Modul bzw.
Links-Ideal Eigenschaft nach (ÜA).
Es ist M I2 = M (I ∩ S) ⊆ I ∩ M ⊆ I ∩ (R ⊕ M ) = I1 .
20
∈I
(2) zeigt man genauso.
!
r m
(3) Sei
∈ K. Dann ist
0 s
r m
0
!
s
!
0 0
und daher
⇒
1 0
0 m
0
0
=
r 0
0 0
!
∈K
und
0 0
0 1
!
r m
0
s
!
=
0 0
!
0 s
!
∈K
K = K1 ⊕ K0 ⊕ K2
mit K1 = K ∩ M, K0 = K ∩ S, K2 = K ∩ S.
Da K und M Ideale sind, ist K1 M + M K2 ⊆ K ∩ M = K0 .
Die weiteren Eigenschaften über K1 , K0 , K2 zeigt man durch entsprechende
Multiplikationen (ÜA). QED.
21
∈K
2
Ideale in kommutativen Ringen
Wir behandeln zunächst Grundzüge der Idealtheorie in kommutativen Ringen, die wesentlich einfacher und übersichtlicher als in nicht-kommutativen Rinden ist. Daher sei
im folgenden R stets ein kommutativer Ring mit Einselement. Einfache Beispiele sind
die Polynomringe in endlich vielen Unbestimmten X1 , . . . , Xn über einem Körper k mit
Xi Xj = Xj Xi ∀ i, j : R = k[X1 , . . . , Xn ].
Lemma 2.1: Seien a, b ⊆ R Ideale. Dann gilt:
(1) a ∩ b ist ein Ideal.
(2) a · b ist ein Ideal.
(3) (a, b) = a + b = {a + b : a ∈ a und b ∈ b} ist ein Ideal.
(4) a + b ∈ a und a ∈ a =⇒ b ∈ a.
(5) a ∪ b ist im allgemeinen kein Ideal,
denn für a ∈ a, a ∈
/ b und b ∈ b, b ∈
/ a =⇒ a + b ∈
/ a ∪ b.
Definition 2.2: R heißt noethersch :⇐⇒ in R gilt der Teilerkettensatz für Ideale,
d.h. jede aufsteigend Kette von Idealen aus R: a1 ⊆ a2 ⊆ . . . wird stationär. Stationär
heißt, ∃ n ≥ 1, so dass ∀ m ≥ 0 gilt: an = an+m .
Ideale a ⊆ R besitzen Erzeugendensysteme {ai ; i ∈ I} ⊆ a derart, dass sich jedes
Element a ∈ a darstellen lässt als endliche Linearkombination
a=
n
X
rij · aij , rij ∈ R.
j=i
Ist solch ein Erzeugendensystem endlich: {a1 , . . . , am }, schreiben wir
a = (a1 , . . . , am ) = (a1 , . . . , am ) · R.
{a1 , . . . , am } heißt auch Idealbasis für a.
Satz 2.3: Folgende Aussagen sind äquivalent:
a) R ist noethersch.
b) Jedes Ideal a ⊆ R besitzt ein endlichen Erzeugendensystem {a1 , . . . , am }.
c) Es gilt die Maximalbedingung für Ideale, d.h. jede nicht-leere Menge von Idealen
aus R enthält ein maximales Element (bezüglich der Inklusion).
22
Beweis: a) ⇒ c) Angenommen, S sei eine Menge von Idealen ohne maximales Element
und S 6= ∅. =⇒ ∀ a1 ∈ S ∃ a2 ∈ S : a1 ⊂ a2 usw. Daher existiert eine nichtstationäre
aufsteigende Kette von Idealen aus R.
c) ⇒ b) Sei a ⊆ R ein Ideal und
S = {b ⊆ R; b ⊆ a, b endlich erzeugt}.
Nach Voraussetzung besitzt S ein maximales Element, etwa a0 . Ist a ∈ a, dann ist
offenbar (a0 , a) endlich erzeugt und damit in S; also (a0 , a) = a0 , da a0 maximal in S
und somit a = a0 , also endlich erzeugt.
∞
S
b) ⇒ a) Sei a1 ⊂ a2 ⊂ . . . und a =
ai
i=1
⇒ a ist ein Ideal und nach Voraussetzung endlich erzeugt; a = (a1 , . . . , am )
⇒ ∃ n : a1 , . . . , am ∈ an ⇒ an = an+1 = . . ..
Qed.
Satz 2.4 (Hilbertscher Basissatz): Ist R noethersch und X eine Unbestimmte über
R, dann ist auch R[X] noethersch. Insbesondere ist k[X1 , . . . , Xn ] noethersch. (David
Hilbert, 1862 - 1943)
Beweis: Wir zeigen: Ist R[X] nicht noethersch, dann ist auch R nicht noethersch.
Sei a ⊆ R[X] ein Ideal, das nicht endlich erzeugbar ist. Sei
f1 ∈ a ein Polynom vom kleinsten Grad n1 und höchstem Koeffizienten a1 ;
..
.
fk+1 ∈ a \ (f1 , . . . , fk ) vom kleinsten Grad nk+1 und höchstem Koeffizienten ak+1 ;
=⇒ n1 5 n2 5 . . . 5 nk 5 . . .
Behauptung: (a1 ) ⊂ (a1 , a2 ) ⊂ . . . ist eine Idealkette in R, die nicht stationär ist.
Angenommen, (a1 , . . . , ak ) = (a1 , . . . , ak+1 )
k
P
=⇒ ak+1 ∈ (a1 , . . . , ak ) =⇒ ak+1 =
bi · ai (bi ∈ R) und
i=1
g := fk+1 −
k
X
bi · X nk+1 −ni · fi ∈ a \ (f1 , . . . , fk ), Grad g < nk+1 = Grad fk+1 .
i=1
Widerspruch, qed.
Satz 2.5: Mit R ist auch jedes homomorphe Bild ϕ(R) noethersch.
Beweis: Sei c = Ker ϕ und a0 ⊆ a1 ⊆ . . . eine aufsteigende Kette von Idealen in ϕ(R).
Dann gibt es eine aufsteigende Kette c ⊆ a0 ⊆ a1 ⊆ . . . in R mit ϕ(ai ) = ai , i =
23
1, 2, . . .. Da R noethersch, gibt es ein n, so dass an = an+m ∀ m ≥ 0. Daher ist
an = ϕ(an ) = ϕ(an+m ) = an+m ,
qed.
Im folgenden wird die Struktur von Idealen näher untersucht.
Definition 2.6:
a) (Primärideal ) Ein Ideal q ⊆ R heißt Primärideal :⇐⇒
∀ a, b ∈ R gilt: wenn a · b ∈ q und a ∈
/ q, dann existiert ein % > 0, so dass b% ∈ q.
b) (Primideal ) Ein Ideal p ⊆ R heißt Primideal :⇐⇒
∀ a, b ∈ R gilt: wenn a · b ∈ p und a ∈
/ p, dann ist b ∈ p (% = 1).
c) (Radikal ) Sei a ⊆ R ein Ideal. Dann heißt die Menge
Rad a := {r ∈ R; ∃ % ≥ 1 : r% ∈ a}
das Radikal von a in R.
d) Ein Ideal a nennen wir Radikalideal, wenn Rad a = a.
Bemerkung: Jedes Primideal ist insbesondere ein Primärideal.
Satz 2.7: a) Ist q ⊆ R ein Primärideal, so ist p := Rad q ein Primideal.
Ist p = Rad q, dann gilt:
b) a · b ∈ q und a ∈
/ p, dann ist b ∈ q.
c) a · b ⊆ q und a " p, dann ist b ⊆ q.
Wir nennen q ein p-primäres Ideal.
Beweis: a) Zu zeigen: ∀ a, b ∈ R gilt: wenn a · b ∈ p und a ∈
/ p, dann ist b ∈ p.
Ist a · b ∈ p, dann gibt es ein r > 0, so dass (a · b)r ∈ q, a ∈
/ p =⇒ ar ∈
/ q =⇒
∃ % > 0 : (br )% = br·% ∈ q =⇒ b ∈ p.
b) Angenommen, b ∈
/ q =⇒ ∃ % > 0 : a% ∈ q =⇒ a ∈ p, Widerspruch!
c) Sei b ∈ b beliebig =⇒ ∀ a ∈ a : a · b ∈ q. Ist a0 ∈ a, a0 ∈
/ p =⇒ a0 · b ∈ q =⇒ b ∈ q,
qed.
In noetherschen Ringen ist p% ⊆ q ⊆ p für ein geeignetes % > 0.
q heißt p-primär und %0 = min{% : p% ⊆ q} heißt der Exponent von q.
24
Beispiele sind durchweg schwer anzugeben außer bei Potenzproduktidealen:
Sei R = k[X1 , X2 , X3 ], p = (X1 , X2 ) ist prim und q = (X12 , X2 ) ist primär.
Definition 2.8: Ein Ideal a ⊂ R heißt irreduzibel :⇐⇒
a ist nicht darstellbar in der Form a = b ∩ c, a $ b, a $ c.
Gibt es für a eine solche Darstellung a = b ∩ c, a 6= b, a 6= c, so heißt a reduzibel.
Satz 2.9: Sei R ein noetherscher Ring. Dann gilt:
a) Jedes irreduzible Ideal ist primär.
b) Jedes Primideal is irreduzibel.
c) Es gibt reduzible Primärideale.
Wir haben folgende Inklusionen als Mengen:
{Primideale} ⊂ {irreduzible Ideale} ⊂ {Primärideale}
und jede Inklusion ist echt!
Bevor wir Satz 2.9 beweisen, benötigen wir den Begriff des Idealquotienten.
Definition 2.10: Seien a, b ⊆ R. Dann ist a : b = {c ∈ R : c · b ⊆ a}.
Idealquotienten haben folgende Eigenschaften, die hier nicht alle bewiesen werden:
Satz 2.11: Seien a, b, c, . . . Ideale in R. Dann gilt:
a) a ⊆ b =⇒ a : c ⊆ b : c und c : b ⊆ c : a
b) c = a : b =⇒ b · c = b · (a : b) ⊆ a
c) a : (b, c) = (a : b) ∩ (a : c)
d) a : (b1 , . . . , bs ) = (a : b1 ) ∩ · · · ∩ (a : bs )
e) (a1 ∩ · · · ∩ as ) : b = (a1 : b) ∩ · · · ∩ (as : b)
f ) (a : b) : c = a : (b · c)
g) a ∩ (b) = (a : (b)) · (b)
Beweis: z.B. c) α · (b, c) ⊆ a ⇔ α · b ⊆ a und α · c ⊆ a
⇔ α ∈ a : b und α ∈ a : c ⇔ α ∈ (a : b) ∩ (a : c)
g) Sei α ∈ a ∩ (b) ⇔ α = r · b ∈ a ⇔ r ∈ a : (b) ⇔ α ∈ (a : (b)) · (b)
25
Beweis zu Satz 2.9: a) Angenommen, a sei nicht primär.
Wir zeigen: a ist reduzibel. Da a nicht primär ist, gibt es b, c ∈ R, so dass
b · c ∈ a, b ∈
/ a und ∀ % = 0 : c% ∈
/ a. Wir erhalten die Kette von Idealen
a : (c) ⊆ a : (c2 ) ⊆ · · · ⊆ a : (ck ) ⊆ a : (ck+1 ) ⊆ · · ·
Da R noethersch ist, ∃ k : a : (ck ) = a : (ck+1 ) = · · ·
Behauptung: a = (a, (b)) ∩ (a, (ck ))
a ⊆ (a, (b)) ∩ (a, (ck )) ist trivial.
Sei u ∈ (a, (b)) ∩ (a, (ck )), u = a1 + b · r1 = a2 + ck · r2 , a1 , a2 ∈ a, r1 , r2 ∈ R
⇒ u · c = a1 · c + b · c · r1 = a2 · c + ck+1 · r2 ∈ a ⇒ ck+1 · r2 ∈ a
⇒ r2 ∈ a : (ck+1 ) = a : (ck ) ⇒ r2 · ck ∈ a ⇒ u ∈ a.
b) Angenommen, p = a ∩ b ⊇ a · b, a * p ⇒ b ⊆ p ⇒ Widerspruch!
c) Beispiel: R = k[X1 , X2 ], a = (X12 , X1 X2 , X22 ) = (X12 , X2 ) ∩ (X1 , X22 ).
Satz 2.12: Seien q1 , q2 Primärideale zum selben Primideal p als Radikal. Dann ist
q1 ∩ q2 ein p-primäres Ideal, ebenso q1 · q2 .
Beweis: Wir beweisen den Satz nur für q1 ∩ q2 .
1. Rad(q1 ∩ q2 ) = Rad q1 ∩ Rad q2 = p ∩ p = p,
denn: α ∈ Rad q1 ∩ Rad q2 ⇔ ∃ %i : α%i ∈ qi (i = 1, 2) ⇔ mit % = max{%1 , %2 } ist
α% ∈ q1 ∩ q2 ⇔ α ∈ Rad(q1 ∩ q2 ).
0
2. Sei a · b ∈ q1 ∩ q2 , a ∈
/ q1 ∩ q2 ⇒ (z.B.) a ∈
/ q1 ⇒ b % ∈ q 1 ⇒ b ∈ p ⇒
00
b% ∈ q2 ⇒ mit % = max{%0 , %00 } ist b% ∈ q1 ∩ q2 . Qed.
Damit stehen alle Elemente für die Struktur- bzw. Zerlegungssätze zur Verfügung.
Satz 2.13 (1. Zerlegungssatz von E. Lasker (1868 - 1941)): Sei R ein noetherscher,
kommutativer Ring. Dann lässt sich jedes Ideal a ⊂ R als Durchschnitt endlich vieler
irreduzibler Ideale darstellen:
a = c1 ∩ · · · ∩ c` , ci − irreduzibel.
Beweis: Falls der Satz nicht gilt, gibt es Ideale, für die das nicht zutrifft. Unter diesen
Idealen gibt es ein maximales Ideal, etwa a, das sicher reduzibel ist. Daher gibt es
Ideale b, c, die beide a echt enthalten, so dass a = b ∩ c. b und c sind Durchschnitt
endlich vieler irreduzibler Ideale und damit auch a - Widerspruch! Qed.
Insbesondere sind c1 , . . . , c` primär. Fassen wir alle irreduziblen Komponenten mit demselben Radikal zu einem Primärideal zusammen und lassen ”überflüssige” Komponenten fort, dann erhalten wir
26
Satz 2.14 (2. Zerlegungssatz von E. Noether (1882 - 1935)): Sei R ein noetherscher,
kommutativer Ring. Dann gibt es zu jedem Ideal a ⊂ R eine unverkürzbare Darstellung
durch ”größte” Primärkomponenten
a = q1 ∩ · · · ∩ qr , Rad qk = pk und pi 6= pj , f alls i 6= j.
Für Eindeutigkeitsaussagen benötigen wir den Begriff der isolierten und eingebetteten
Komponenten.
Definition 2.15: Sei a = q1 ∩ · · · ∩ qr eine unverkürzbare Darstellung durch größte
Primärkomponenten. Eine Primärkomponente qi0 heißt eingebettet bezüglich a, wenn
eine Komponente qj0 existiert, so dass
pi0 = Rad qi0 ⊃ Rad qj0 = pj0 .
Die nicht-eingebetteten Primärkomponenten heißen isoliert.
Wir werden nun zeigen, dass in obigen Darstellungen
a) die Menge der zugehörigen (isolierten und eingebetteten) Primideale und
b) die Menge der isolierten Primärideale
eindeutig bestimmt sind.
Satz 2.16: Sei a = q1 ∩· · ·∩qr eine unverkürzbare Darstellung durch größte Primärkomponenten und pi = Rad qi (i = 1, . . . , r). Dann gilt:
a) {p1 , . . . , pr } sind eindeutig bestimmt.
b) Sind q1 , . . . , qr0 isolierte Komponenten und qr0 +1 , . . . , qr eingebettet (1 5 r0 5 r),
so sind q1 , . . . , qr0 eindeutig bestimmt (nicht aber qr0 +1 , . . . , qr ).
Zum Beweis benötigen wir zwei technische Resultate über Idealquotienten.
Hilfssatz 2.17: Sei q ein Primärideal p = Rad q und % der Exponent von q, d.h.
p% ⊆ q, aber p%−1 * q, und a ein Ideal. Dann gilt:
a) q : a = q, falls a * p;
b) q : a = q, falls a ⊆ p, a * q.
q ist ein Primärideal zum Radikal p mit einem Exponenten % < %.
Beweis a) Es gilt q : a ⊇ q.
Sei b ∈ q : a ⇒ (b) · a ⊆ q, a * p ⇒ (Satz 2.7 b)) b ∈ q.
b) Sei a ⊆ p, a * q, p% ⊆ q, p%−1 * q.
Sei p ∈ p%−1 ⇒ p · a ⊆ p% ⊆ q ⇒ p ∈ q : a = q ⇒ p%−1 ⊆ q.
27
Ist a ∈ q = q : a ⇒ a · a ⊆ q ⊆ p, a * q ⇒ a ∈ p ⇒
q ⊆ p ⇒ p%−1 ⊆ q ⊆ p ⇒ Rad q = p = Rad q.
Wir zeigen: q ist primär.
/ q ⇒ b · c · a ⊆ q, b · a * q ⇒ c ∈ p bzw. c% ∈ p% ⊆ q ⊂ q.
Sei b · c ∈ q, b ∈
Qed.
Beweis zu 2.16 a) Angenommen, a = q1 ∩ · · · ∩ qr = q1 ∩ · · · ∩ qt seien jeweils
unverkürzbare Darstellungen mit pi = Rad qi , pi = Rad qi und etwa p1 maximal in
{p1 , . . . , pr , p1 , . . . , pt }.
Wir zeigen: p1 tritt unter {p1 , . . . , pt } auf.
Angenommen, p1 ∈
/ {p1 , . . . , pt }. Dann ist wegen q1 * pi (i > 1) und q1 * pj (j = 1)
a : q1 = (q1 : q1 ) ∩ (q2 : q1 ) ∩ · · · ∩ (qs : q1 ) = q2 ∩ · · · ∩ qr
= q1 ∩ · · · ∩ q t = a = q1 ∩ · · · ∩ qr
im Widerspruch zu ”a = q1 ∩ · · · ∩ qr nicht verkürzbar”.
Sei etwa p1 = p1
⇒ a : q 1 · q 1 = q 2 ∩ · · · ∩ qr = q2 ∩ · · · ∩ q t = a 1 .
Wiederholung mit a1 statt a führt schließlich zu s = t und pi = pi für i = 1, . . . , s.
b) Sei p1 minimal in {p1 , . . . , pr }. Wir zeigen: q1 = q1 .
Sei hierzu b = q2 ∩ · · · ∩ qr und b = q2 ∩ · · · ∩ qr . Dann ist b * p1 und b * p1 , denn für
i = 2, . . . , r ist qi * p1 ⇒ ∃ qi ∈ qi , qi ∈
/ p1 ⇒ q2 · · · qr ∈ b, aber q2 · · · qr ∈
/ p1 .
Genauso zeigt man b * p1 . Hieraus folgt
a : b = (q1 ∩ b) : b = (q1 : b) ∩ (b : b) = q1 : b = q1
= (q1 ∩ b) : b = (q1 : b) ∩ (b : b) ⊆ q1
Genauso zeigt man q1 ⊆ q1 woraus dann q1 = q1 folgt. Qed.
28
3
Kettenbedingungen
Wir definieren zunächst allgemeine Kettenbedingungen und kommen dann auf die Eigenschaften ”noethersch” und ”artinsch” zurück.
Definition 3.1: Sei {Ci }i∈I eine Familie von Teilmengen einer Menge C.
(1) {Ci }i∈I genügt der aussteigenden Kettebedingung (ACC - Ascending Chain Condition), wenn jede aufsteigende Kette Ci1 ⊆ Ci2 ⊆ . . . stationär ist, d.h. ∃ n, so
dass ∀ im ≥ in gilt Cim = Cin .
(2) {Ci }i∈I genügt der absteigenden Kettebedingung (DCC - Descending Chain Condition), wenn jede fallende Kette Ci1 ⊇ Ci2 ⊇ . . . stationär ist, d.h. ∃ n, so dass
∀ im ≥ in gilt Cim = Cin .
Es gelten folgende Äquivalenzen:
Lemma 3.2:
(1) {Ci }i∈I genügt der aussteigenden Kettebedingung (ACC) ⇐⇒ jede nichtleere Teilfamilie von {Ci }i∈I besitzt ein maximales Element.
(2) {Ci }i∈I genügt der absteigenden Kettebedingung (DCC) ⇐⇒ jede nichtleere Teilfamilie von {Ci }i∈I besitzt ein minimales Element.
Beweis: nur (1): ”=⇒” Angenommen {Ci }i∈I besitze kein maximales Element und
C1 ∈ {Ci }i∈I ⇒ ∃C2 ∈ {Ci }i∈I mit C1 ⊂ C2 usw. Letztlich entsteht auf diese Weise
eine ∞ lange aufsteigende Kette - Widerspruch!
”⇐=” Angenommen, es gibt eine ∞ lange aufsteigende Kette C1 ⊂ C2 ⊂ . . .. Die
Menge {Ci }i∈N besitzt nach Voraussetzung ein maximales Element, etwa Cm . Dann ist
aber Cn = Cm ∀ n ≥ m - Widerspruch!
(2) beweist man entsprechend. Qed.
Definition 3.3: Sei R ein Ring und M ein Links- oder Rechts-R-Modul.
(1) M heißt noethersch, wenn die Familie aller Teilmoduln von M der (ACC) genügt.
(2) M heißt artinsch, wenn die Familie aller Teilmoduln von M der (DCC) genügt.
(Emmy Noether 1882 - 1935; Emil Artin 1898 - 1962)
Lemma 3.4: Sei M ein R-Modul und N ein Teilmodul von M . Dann gilt:
29
(1) M ist noethersch ⇐⇒ jeder Teilmodul N ⊆ M ist endlich erzeugt (µ(N ) < ∞).
(2) M ist noethersch ⇐⇒ N und M/N sind noethersch.
(3) M ist artinsch ⇐⇒ N und M/N sind artinsch.
Insbesondere ist die direkte Summe zweier noetherscher Moduln wieder noethersch und
die direkte Summe zweier artinscher Moduln wieder artinsch.
Beweis: (1) ”=⇒” Wegen Lemma 3.2 (1) können wir annehmen, dass jede nichtleere
Familie {Ni }i∈I von Teilmoduln von M ein maximales Element besitzt.
Sei N ⊆ M ein Teilmodul und
S = {T ⊆ M ; T ⊆ N, T endlich erzeugt}.
Nach Voraussetzung besitzt S ein maximales Element, etwa N0 und N0 ist endlich
erzeugt. Ist a ∈ N , dann ist offenbar auch hN0 , ai endlich erzeugt und damit in S; also
hN0 , ai = N0 , da N0 maximal in S und somit N = N0 , also endlich erzeugt.
”⇐=” Sei {Ni }i∈N eine Familie von Teilmoduln von M , so dass N1 ⊂ N2 ⊂ . . . und
S
N = ∞
i=1 Ni . Dann ist N ebenfalls ein Teilmodul vom M und nach Voraussetzung
endliche erzeugt: M = hm1 , . . . , ms i. Daher gibt es ein n, so dass m1 , . . . , ms ∈ Nn ,
also Nn = Nn+1 = . . .
(2) folgt aus (1) und Satz 1.23.
(3) ”=⇒” Angenommen, M sei artinsch. Da jeder Teilmodul von N auch ein Teilmodul
von M ist, ist jede absteigende Kette, in der N vorkommt, stationär, also N artinsch.
Da jeder Teilmodul von M/N von der Art K/N ist mit N ⊂ K ⊂ M und jede
absteigende Kette von M , in der N vorkommt, stationär ist, ist auch M/N artinsch.
”⇐=” Seien N und M/N artinsch und N1 ⊃ N2 ⊃ . . . eine absteigende Kette von
Teilmoduln von M . Dann erhalten wir eine absteigende Kette von Teilmoduln von
M/N :
(N1 + N )/N ⊃ (N2 + N )/N ⊃ . . .
sowie von Teilmoduln von N :
N1 ∩ N ⊃ N2 ∩ N ⊃ . . .
Nach Voraussetzung gibt es ein n, so dass
Nn ∩ N = Nn+1 ∩ N = . . .
und
(Nn + N )/N = (Nn+1 + N )/N = . . .
30
und daher
Nn + N = Nn+1 + N = . . .
Hieraus ergibt sich
Nn = Nn ∩ (Nn + N ) = Nn ∩ (Nn+1 + N )
= Nn+1 + (Nn ∩ N ) = Nn+1 + (Nn+1 ∩ N ) = Nn+1 ,
qed.
Für vergleichbare Aussagen bezüglich (DCC) benötigen wir den Begriff der Kompositionsreihe von Moduln.
Definition 3.5: Sei R ein Ring und M ein R-Modul.
(1) Eine endliche Kette von Teilmoduln von M ist eine Folge {Mi }ni=0 von Teilmoduln
Mi ⊆ M (0 = 1, . . . , n) mit
{0} = M0 $ M1 $ . . . $ Mn = M.
n heißt die Länge dieser Kette.
n
(2) Eine Kette {Nj }m
j=0 heißt eine Verfeinerung von {Mi }i=0 , wenn jeder Modul Mi
unter den Nj vorkommt ({Mi } < {Nj }). Ist C die Menge aller solcher Ketten von
M , dann wird durch die Verfeinerung eine Halbordnung in C definiert.
(3) Ein maximales Element von C, wenn ein solches existiert, heißt Kompositionsreihe
von M .
(4) Wenn M eine Kompositionsreihe besitzt, sei `(M ) das Minimum aller Längen
aller Kompositionsreihen von M . Besitzt M keine Kompositionsreihe, sei `(M ) =
∞. Ist `(M ) < ∞, heißt M ein Modul endlicher Länge und `(M ) die Länge von
M.
(5) M 6= h0i heißt einfach oder irreduzibel, wenn h0i und M die einzigen Untermoduln
sind, d.h. `(M ) = 1.
Einfache Moduln treten insbesondere als Faktormoduln zweier aufeinander folgender
Teilmoduln in einer Kompositionsreihe auf: sind Mi−1 ⊂ Mi zwei solche Moduln, dann
ist Mi /Mi−1 einfach und umgekehrt.
Wir zeigen nun, dass `(M ) eine Invariante für Moduln ist.
Satz 3.6: Sei M ein Modul endlicher Länge. Dann gilt:
(1) Ist N ⊂ M, N 6= M , ein eigentlicher Teilmodul von M , dann gilt `(N ) < `(M ).
31
(2) Jede Kompositionsreihe von M hat dieselbe Länge `(M ).
(3) Jede Kette von Teilmoduln von M kann zu einer Kompositionsreihe verfeinert
werden, hat also insbesondere eine Länge ≤ `(M ).
Beweis: Wenn {0} = M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mn = M eine Kompositionsreihe ist, liegt
zwischen Mi−1 und Mi kein weiterer Teilmodul von M . Daher hat Mi /Mi−1 nur {0}
und sich selbst als Teilmoduln.
(1) Sei {0} = M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mn = M eine Kompositionsreihe und Ni = N ∩ Mi ⊆
N (i = 1, . . . , n). Wir betrachten folgende Abbildung für ein festes i (1 ≤ i ≤ n):
Φ : Ni
Inklusion
,→
Mi −→ Mi /Mi−1
⇒
Ker Φ = Mi−1 ∩ Ni = Mi−1 ∩ Mi ∩ N = Mi−1 ∩ N = Ni−1
⇒
(Satz 1.21) Ni /Ni−1 ∼
= Im Φ.
Ist Im Φ = {0} ⇒ Ni−1 = Ni ; im anderen Fall ist Im Φ = Mi /Mi−1 ∼
= Ni /Ni−1 . Daher
wird
{0} = N0 ⊆ N1 ⊆ . . . ⊆ Nn = N
durch Streichen eventuell überflüssiger Terme zu einer Kompositionsreihe. Also ist
`(N ) ≤ `(M ).
Falls alle Inklusionen echt sind, ergibt sich Ni /Ni−1 = Mi /Mi−1 für i = 1, . . . , n und
daher
N1 = M 1 , N 2 = M 2 , . . . , N = Nn = M n = M
im Widerspruch zu N $ M .
(2) Sei {0} = M0 $ M1 $ . . . $ Mk = M eine beliebige Kette von Teilmoduln. Dann
gilt nach (1):
0 = `(M0 ) < `(M1 ) < . . . < `(Mk−1 ) < `(Mk ) = `(M )
⇒ k ≤ `(M ).
Da `(M ) das Minimum der Längen aller Kompositionsreihen ist, muss für eine beliebige
Kompositionsreihe k ≥ `(M ) gelten, also k = `(M ).
(3) Da jede Kette von Teilmoduln eine Länge ≤ `(M ) und eine Kompositionsreihe die
Länge `(M ) hat, lässt sich jede Kette der Länge < `(M ) verfeinern, qed.
Satz 3.7: Ein (Links- oder Rechts)-R-Modul M ist noethersch und artinsch ⇐⇒ M
besitzt eine (endliche) Kompositionsreihe.
32
Beweis: ”=⇒” h0i besitzt eine Kompositionsreihe. Sei X ⊆ M maximal mit einer
Kompositionsreihe und angenommen, X & M . Dann gibt es Y ⊆ M , das minimal mit
der Eigenschaft Y ⊃ X ist, also ist Y /X einfach und daher besitzt Y eine Kompositionsreihe im Widerspruch zur Maximaleigenschaft von X, also ist X = M und besitzt
eine Kompositionsreihe.
”⇐=” M besitze eine endliche Kompositionsreihe. Nach Satz 3.6 (3) hat jede Kette
von Teilmoduln von M eine Länge ≤ `(M ) und ist damit endlich. Daher sind (ACC)
und (DCC) erfüllt, qed.
In kommutativen Ringen wurde der Begriff ”noethersch” über aufsteigende Ketten von
Idealen eingeführt. Da Ideale spezielle Moduln sind, können wir für nicht-kommutative
Ringe R über die Betrachtung von R als R-Modul den Begriff noethersch einführen.
Definition 3.8a: Sei R ein beliebiger Ring.
(1) R heißt links-noethersch, wenn R als Links-R-Modul noethersch ist.
R heißt rechts-noethersch, wenn R als Rechts-R-Modul noethersch ist.
(2) R heißt noethersch, wenn R sowohl links- als auch rechts-noethersch ist.
Da die R-Teilmoduln von R genau die Ideale in R sind, bzw. die Links- oder RechtsTeilmoduln die Links- oder Rechts-Ideale von R sind, ist R links-noethersch oder
rechts-noethersch, je nachdem ob jede aufsteigende Kette von Links- oder Rechtsidealen
stationär ist. Entsprechendes gilt für ”noethersch”.
Gleichermaßen werden die Begriffe links-artinsch, rechts-artinsch und artinsch definiert.
Definition 3.8b: Sei R ein beliebiger Ring.
(1) R heißt links-artinsch, wenn R als Links-R-Modul artinsch ist.
R heißt rechts-artinsch, wenn R als Rechts-R-Modul artinsch ist.
(2) R heißt artinsch, wenn R sowohl links- als auch rechts-artinsch ist.
Es gilt folgender
Satz 3.9: Sei M ein endlich erzeugter Links-Modul über einem links-noetherschen
(bzw. links-artinschen) Ring. Dann ist M ein noetherscher (bzw. artinscher) Modul.
Beweis: Wir beweisen den Satz durch Induktion bezüglich der (minimalen) Anzahl
von Erzeugenden für M . Sei M = hx1 , . . . , xn i. Für n = 1 ist M = hx1 i und M ∼
=
R/Ann(x1 ) nach Lemma 1.26, wobei der Isomorphismus als R-Modul-Homomorphismus
33
zu verstehen ist. Damit ist jeder Teilmodul von M isomorph zu einem Linksideal von
R, woraus die Aussagen des Satzes folgen.
Ist n > 1, dann sei N = hxn i. M/N ist ein R-Modul, der durch weniger als n Elemente
erzeugt werden kann. Nach Induktionsvoraussetzung ist M/N links-noethersch (bzw.
links-artinsch) und nach Induktionsanfang entsprechend N . Der Satz folgt nun aus
Lemma 3.4 (1) bzw. (2), qed.
Wir betrachten wieder als Beispiel den Matrizenring
! (
!
)
R M
r m A=
=
r ∈ R, m ∈ M, s ∈ S
0 S
0 s mit einem (R, S)-Bimodul M (siehe Ende des Abschnitts 1).
Satz 3.10:
(1) A ist links- (bzw. rechts-) noethersch ⇐⇒ R und S sind links- (bzw. rechts-)
noethersch und M als Links-R-Modul (bzw. Rechts-S-Modul) ist noethersch.
(2) A ist links- (bzw. rechts-) artinsch ⇐⇒ R und S sind links- (bzw. rechts-) artinsch
und M als Links-R-Modul (bzw. Rechts-S-Modul) ist artinsch.
Beweis: Wir beweisen nur den Fall ”links-noethersch”. Die anderen Fälle sind entsprechend zu beweisen.
”=⇒” Sei A links-noethersch. Da die Links-Ideale von A von der Art I1 ⊕ I2 , I2 ist
Linksideal in S und I1 ist Links-R-Teilmodul von R ⊕ M mit M I2 ⊆ I1 , sind R
und S ebenfalls
links-noethersch. Jeder Teilmodul Mi ⊆ M erzeugt ein Links-Ideal in
!
0 Mi
in A. Also ist auch M als R-Modul noethersch, da jede aufsteigende Kette
0 0
von M -Teilmoduln eine solche von Links-Idealen in A erzeugt.
”⇐=” Sei I (1) ⊆ I (2) ⊆ . . . eine aufsteigende Kette von A-Links-Idealen. Nach Satz
(j)
(j)
1.33 (1) ist I (j) die direkte Summe I (j) = I1 ⊕ I2 und offenbar
(j)
I1 = I (j) ∩ S,
(j)
I2 = I (j) ∩ (R ⊕ M ).
Da S, R, M links-noethersch und damit wegen Lemma 3.4 (2) auch R ⊕ M ), sind die
(1)
(2)
aufsteigenden Ketten Ik ⊆ Ik ⊆ . . . (k = 1, 2) stationär, qed.
Folgerung 3.11: Sei S ein (kommutativer) noetherscher Integritätsbereich,
der kein
!
R R
Körper ist, und R sein Quotientenkörper. Dann ist A =
links-noethersch
0 S
und nicht rechts-noethersch und weder links- noch rechts-artinsch.
Beweis: Wir zeigen
34
(1) S ist nicht artinsch;
(2) R ist als (Rechts-) S-Modul nicht noethersch.
(1) ist trivial: Sei s ∈ S, s 6= 0 und keine Einheit. Dann ist
(s) ⊃ (s2 ) ⊃ (s3 ) ⊃ . . .
eine nicht-stationäre fallende Kette.
(2) Angenommen, R wäre ein noetherscher S-Modul. Nach Lemma 3.4 (1) ist R endlich
erzeugt über S : R = hr1 , . . . , rn i. Sei s ∈ S der Hauptnenner der r1 , . . . , rn als Elemente
des Quotientenkörpers von S. Dann ist s keine Einheit in S. Insbesondere gibt es dann
1
s0
ein s0 ∈ S, so dass 2 = , also 1 = s0 · s ⇒ s wäre eine Einheit ⇒ Widerspruch,
s
s
qed.
Ein Spezialfall von Lemma 3.4 ist
Lemma 3.4∗ : Ein Ring R ist links-noethersch ⇐⇒ jedes Links-Ideal von R ist endlich
erzeugt.
Entsprechend wie im kommutativen Fall ergibt sich
Satz 3.12: Ein Ring R ist links-noethersch ⇐⇒ jeder Teilmodul eines endlich erzeugten R-Moduls ist ebenfalls endlich erzeugt.
Beweis: ”=⇒” Sei M = hm1 , . . . , mt i (t > 0) ein endlich erzeugter R-Modul und N
ein Teilmodul von M . Dann erhalten wir einen Epimorphismus
Φ : R ⊕ . . . ⊕ R −→ M
t
X
(r1 , . . . , rt ) 7→
ri m i
i=1
Nach Satz 1.21 (1) ist M ∼
= R ⊕ . . . ⊕ R/Ker Φ und daher wegen Lemma 3.4 (2) auch
noethersch. Wegen Lemma 3.4 (1) ist N endlich erzeugt.
”⇐=” Für M = R ergibt sich, dass jedes Linksideal von a nach Voraussetzung endlich
erzeugt ist, also ist R links-noethersch nach Lemma 3.4∗ , qed.
Hieraus ergibt sich
Folgerung 3.13: Ist R links-noethersch und M ein endlich erzeugter R-Links-Modul,
dann ist auch M noethersch.
Beweis: Nach Satz 3.12 ist jeder Teilmodul von M ebenfalls endlich erzeugt und daher
wegen Lemma 3.4 (1) auch noethersch, qed.
Satz 3.14: Ein Ring R sei links-artinsch und M ein endlich erzeugter R-Links-Modul.
Dann ist M ein artinscher Modul.
35
Beweis: Sei M = hm1 , . . . , mt i (t > 0) ein endlich erzeugter R-Modul. Wie im Beweis
zu Satz 3.12 ist M ∼
= R ⊕ . . . ⊕ R/Ker Φ. Da R ⊕ . . . ⊕ R artinsch ist, ist nach Lemma
3.4 (3) auch M artinsch, qed.
Ein nicht-triviales Problem ist, ob jeder artinsche Ring (mit 1) auch noethersch ist.
Antwort: ja (Satz von Hopkins-Levitzki).
Wir beenden diesen Abschnitt mit einigen Ausführungen zu einfachen Moduln und
Moduln über Schiefkörper.
Satz 3.15:
(1) Jeder einfache Modul M ist zyklisch.
(2) Sei R ein Ring und M ein zyklischer R-Modul, etwa M = hxi. Dann ist M
einfach ⇐⇒ Ann(x) ist ein maximales Links-Ideal in R.
Beweis: (1) Sei x ∈ M, x 6= 0, und N = hxi ⊆ M . Da M einfach ist, muss N = M
sein.
(2) Nach Lemma 1.26 ist M ∼
= R/Ann(x). Daher hat M keine von h0i und M verschiedenen Teilmoduln genau dann, wenn R keine Links-Ideale zwischen R und Ann(x)
besitzt. Hieraus folgt die Aussage, qed.
Der Endomorphismenring von einfachen Moduln ist daher auch von besonders einfacher
Struktur:
Satz 3.16 (Lemma von Schur): Sei R ein Ring und M und N einfache R-LinksModuln. Dann gilt:
(1) EndR (M ) ist ein Schiefkörper ;
(2) HomR (M, N ) 6= 0 ⇐⇒ M ∼
= N.
Beweis: (1) Sei f ∈ EndR (M ), f 6= 0, ⇒ Im f 6= h0i und Ker f 6= M .
Daher ist f ein Isomorphismus und ∃ f −1 ∈ EndR (M ).
(2) Genauso folgt: f ∈ HomR (M, N ), f 6= 0, ⇒ f ist ein Isomorphismus, qed.
Bemerkung 3.17: Sei M ein endlich erzeugter (Links-) Modul über einem Schiefkörper
D mit einem unverkürzbaren Erzeugendensystem {x1 , . . . , xn }:
M = hx1 , . . . , xn i und Mi = hx1 , . . . , xi i (i = 0, 1, . . . , n; M0 = h0i).
Dann ist
Mi /Mi−1 = hx1 , . . . , xi i/hx1 , . . . , xi−1 i ∼
= Dxi
36
und Dxi ∼
= D/Ann(xi ). Da D ein Schiefkörper ist, ist Ann(xi ) = (0), also
Mi /Mi−1 ∼
= D
(3.B)
und daher einfach. Folglich ist M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mn = M eine Kompositionsreihe
und `(M ) = n. Da `(M ) eine Invariante für Moduln ist (Satz 3.6), besitzt M eine
”Basis”. Entsprechend wie für Vektorräume hat jede Basis von M dieselbe Mächtigkeit
Ln
und besteht aus linear unabhängigen Elementen, also M ∼
= i=1 Dxi .
(3.B) gilt auch allgemein. Sind Mi ⊃ Mi−1 zwei aufeinander folgende D-Links-Moduln,
dann ist Mi /Mi−1 einfach und folglich zyklisch
⇒
∃ x ∈ D : Mi /Mi−1 ∼
= Dx ∼
= D/Ann(x) ∼
= D,
da Ann(x) = (0).
37
4
Halbeinfache Ringe und Moduln
Nach Definition 3.5 (5) heißt ein R-Modul M 6= h0i einfach oder irreduzibel, wenn M
nur die trivialen Untermoduln h0i und M besitzt.
Definition 4.1: Sei R ein Ring und M ein R-Modul.
(1) M heißt halbeinfach oder vollständig reduzibel, wenn jeder Teilmodul M1 ⊆ M
direkter Summand von M ist, d.h. ∀ M1 ⊆ M ∃ M2 ⊆ M mit M = M1 ⊕ M2 .
(2) M heißt unzerlegbar, wenn er keine nicht-triviale Zerlegung M = M1 ⊕M2 besitzt,
d.h. wenn M = M1 ⊕ M2 , dann ist M1 = h0i oder M2 = h0i.
Bemerkung 4.2: Jeder einfache Modul ist unzerlegbar, aber nicht umgekehrt.
Beispiel: Z ist ein unzerlegbarer Z-Modul, aber nicht einfach: 2Z ⊂ Z
Falls Z = M1 ⊕ M2 , M1 , M2 $ Z ⇒ M1 = a · Z, M2 = b · Z und
a · b ∈ M1 ∩ M2 6= h0i.
Der 0-Modul h0i ist halbeinfach, aber nicht einfach, da es nur einen (trivialen) Teilmodul h0i gibt!
Satz 4.3: Sei M ein halbeinfacher R-Moduln. Dann gilt:
(1) Jeder Teilmodul N ⊆ M ist halbeinfach;
(2) Jeder Faktormodul M = M/N ist halbeinfach.
Beweis: (1) Sei M1 ⊆ N ein Teilmodul. Dann ist M1 auch Teilmodul von M und nach
Voraussetzung ∃ M2 ⊆ M : M = M1 ⊕ M2 .
Behauptung: N = M1 ⊕ (M2 ∩ N )
a) Es ist N = M1 + (M2 ∩ N )
Sei etwa n ∈ N ⊆ M1 ⊕ M2 ⇒ ∃ m1 ∈ M1 , m2 ∈ M2 mit n = m1 + m2 .
Wegen m1 ∈ M1 ⊆ N ist auch n + (−m1 ) = m2 ∈ N , also m2 ∈ M2 ∩ N .
b) Falls m1 + m2 = 0 ∈ M1 ⊕ M2 ⇒ m1 = m2 = 0 ⇒ N = M1 ⊕ (M2 ∩ N ).
(2) wird entsprechend bewiesen: Sei M 1 ⊆ M = M/N ein Teilmodul und etwa M1 ⊆
M sein vollständiges Urbild f −1 (M 1 ), wenn f die Abbildung f : M −→ M/N ist.
Insbesondere ist dann N ⊆ M1
⇒
∃ M2 ⊆ M : M = M1 ⊕ M2 und h0i = M2 ∩ M1 ⊇ M2 ∩ N
38
also M2 ∩ N = h0i ⇒ M = M 1 + M 2 mit M 2 = f (M2 ).
Behauptung: M 1 ∩ M 2 = h0i
Angenommen, ∃ m ∈ M 1 ∩ M 2 und m 6= 0. Sei m ∈ f −1 (m) ⇒ m ∈ M1 ∩ M2∗ mit
M2∗ = M2 + N , also m ∈ M1 ∩ (M2 + N ).
Wir zeigen: m ∈ N bzw. M1 ∩ (M2 + N ) = M1 ∩ M2 + M1 ∩ N = N
Sei etwa α ∈ M1 ∩ (M2 + N ) ⇒ α = m1 = m2 + n mit mi ∈ Mi (i = 1, 2) und n ∈ N
⇒ m2 ∈ M1 ∩ M2 = h0i ⇒ α = m1 = n und alles ist gezeigt. Qed.
Lemma 4.4: Jeder halbeinfache Links-R-Modul M 6= h0i enthält einen einfachen
Teilmodul.
Beweis: Sei m ∈ M, m 6= 0, fest ausgewählt.
Wir zeigen: Rm enthält einen einfachen Teilmodul, also o.B.d.A. M = Rm.
Ist M einfach, sind wir fertig. Andernfalls sei M = {N ⊆ M ; m ∈
/ N }.
Behauptung: M besitzt ein maximales Element N ∗ .
Wir wenden das Lemma von Zorn an: Sei Ω ein induktives System, d.h. ein halbgeordnetes Mengensystem, in dem jede Kette eine obere Schranke besitzt. Dann hat Ω ein
maximales Element.
Sei hierzu {Nα }α∈A eine Kette von Teilmoduln aus M : ∀ α, β ∈ A gilt Nα ⊆ Nβ oder
e
e
e =S
Nβ ⊆ Nα . Sei N
α∈A Nα ⇒ N ist Teilmodul und N ∈ M:
e ⇒ ∃ α : n1 , n2 ∈ Nα ⇒ ∀ r1 , r2 ∈ R ist r1 n1 + r2 n2 ∈ Nα ⊆ N
e.
Ist etwa n1 , n2 ∈ N
e , denn andernfalls gäbe es ebenfalls ein Nα mit m ∈ Nα - Widerspruch!
Es ist m ∈
/N
e ⊆ M und N
e ist eine obere Schranke für die Kette {Nα }α∈A .
⇒N
Nach dem Lemma von Zorn besitzt nun M ein maximales Element, etwa N ∗ ⊆ M
sowie N ∗ 6= M wegen m ∈
/ N ∗ ⇒ ∃ N 0 ⊆ M : M = N ∗ ⊕ N 0.
Behauptung: N 0 ist einfach.
Andernfalls ∃ N 00 $ N 0 , N 00 6= h0i ⇒ N ∗ ⊕ N 00 ⊃ N ∗ ⇒ m ∈ N ∗ ⊕ N 00 ⇒ N ∗ ⊕ N 00 =
M = N ∗ ⊕ N 0 ⇒ N 00 = N 0 - Widerspruch!, qed.
Hiermit können wir nun halbeinfache Moduln charakterisieren.
Satz 4.5: Für einen R-Modul M sind folgende Bedingungen äquivalent:
(1) M ist halbeinfach;
(2) M ist direkte Summe einer Familie einfacher Moduln;
39
(3) M ist die Summe einer Familie einfacher Moduln.
Bemerkung: Unter der Summe oder direkten Summe einer leeren Familie von Teilmoduln verstehen wir den Nullmodul.
Beweis: (1) ⇒ (3) Sei M1 die Summe aller einfachen Teilmoduln von M . Falls M1 6=
M, ∃ M2 , so dass M = M1 ⊕ M2 . Nach Satz 4.3 (1) ist M2 halbeinfach und enthält
wegen Lemma 4.4 einen einfachen Teilmodul - Widerspruch!
P
(3) ⇒ (1) Sei M = i∈I Mi mit einfachen Teilmoduln Mi von M und N ⊆ M ein
Teilmodul.
Wir zeigen: ∃ N ∗ ⊆ M : M = N ⊕ N ∗
Sei J ⊆ I solch eine Teilmenge der Indexmenge I, so dass
a)
P
j∈J
Mj - direkte Summe:
P
j∈J
Mj =
L
j∈J
Mj
P
P
P
b) N ∩ ( j∈J Mj ) = h0i, also N + ( j∈J Mj ) = N ⊕ ( j∈J Mj ) ebenfalls direkte
Summe.
Diese Indexmengen J bilden ebenfalls ein induktives System ⇒ ∃ maximale Indexmenge J ∗ .
L
L
Behauptung: N + ( j∈J ∗ Mj ) = N ⊕ ( j∈J ∗ Mj ) = M
L
L
Sei etwa M 0 = N + ( j∈J ∗ Mj ) = N ⊕ ( j∈J ∗ Mj ). Um zu zeigen, dass M 0 = M ,
müssen wir Mi ⊆ M 0 ∀ i ∈ I nachweisen.
Angenommen, ∃ i0 mit Mi0 * M 0 . Da Mi0 einfach ist, gilt Mi0 ∩ M 0 = h0i und daher
M 0 + Mi0 = M 0 ⊕ Mi0 = N ⊕ (
M
Mj ) ⊕ Mi0 = N ⊕ (
j∈J ∗
M
Mj )
j∈J ∗ ∪{i0 }
im Widerspruch zur Maximalität von J ∗ .
(2) ⇒ (3) ist trivial.
(3) ⇒ (2) Wir wählen N = h0i in obigem Beweis ⇒ M =
L
j∈J ∗
Mj , qed.
Wir untersuchen die Summendarstellung eines halbeinfachen Moduls M genauer.
L
Sei M = i∈I Mi . Dann fassen wir alle zueinander isomorphen Teilmoduln zusammen:
Γα Mα ,
wobei Γα Mα =
M
Mγ ,
Mγ ∼
= Mα .
γ∈Γα
Dann ist
M∼
=
M
Γα Mα
mit Mα Mβ , falls α 6= β.
α∈A
40
Diese Darstellung heißt eine einfache Faktorisierung von M . Einfache Faktorisierungen
sind bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Wir beweisen hierzu folgenden
Satz 4.6: Seien M und N halbeinfache R-Moduln mit einfachen Faktorisierungen M ∼
=
L
L
∼
∼
α∈A Γα Mα und N =
β∈B Λβ Nβ . Wenn M = N , gibt es eine bijektive Abbildung
ψ : A −→ B, so dass ∀ α ∈ A : Mα ∼
= Nψ(α) . Es ist Γα endlich genau dann, wenn Λβ
endlich ist; in diesem Fall ist |Γα | = |Λβ |.
Wir benötigen den Satz nur für jeweils endlich viele Summanden und beschränken
uns daher im Beweis auf diesen Fall. Die Isomorphie von einfachen Moduln ergibt
sich nach dem Lemma von Schur (Satz 3.16 (2)) aus der Aussage: M ∼
= N ⇐⇒
HomR (M, N ) 6= 0. Um die Aussage verwenden zu können, beweisen wir zunächst, dass
Hom und ⊕ vertauschbar sind, was allerdings eine eingehendere Beschäftigung mit dem
Hom-Funktor erfordert. Hierzu
Lemma 4.7: Seien M, M1 , M2 und N, N1 , N2 jeweils R-Moduln. Dann gilt:
(1) HomR (M1 ⊕ M2 , N ) ∼
= HomR (M1 , N ) ⊕ HomR (M2 , N );
(2) HomR (M, N1 ⊕ N2 ) ∼
= HomR (M, N1 ) ⊕ HomR (M, N2 ).
Die Isomorphien sind jeweils Z-Isomorphien.
Beweis: Wir zeigen nur (1). Der Beweis zu (2) folgt analog.
Sei ϕ : M1 ⊕M2 −→ N , also ϕ ∈ HomR (M1 ⊕ M2 , N ) sowie ϕ1 = ϕ|M1 und ϕ2 = ϕ|M2 .
Damit haben wir
ϕ1 : M1 −→ N ; ϕ1 ∈ HomR (M1 , N ) und ϕ2 : M2 −→ N ; ϕ2 ∈ HomR (M2 , N ).
Dann definieren wir die Abbildung
ω : HomR (M1 ⊕ M2 , N ) −→ HomR (M1 , N ) ⊕ HomR (M2 , N )
durch ω(ϕ) := ϕ1 + ϕ2 .
Behauptung: ω ist ein Isomorphismus
Wir wählen für die direkte Summe die Darstellung
fi
gi
Mi −→ M1 ⊕ M2 −→ Mi
(i = 1, 2),
d.h.
mi ∈ Mi −→ fi (mi ) ∈ M1 ⊕ M2 ;
m ∈ M1 ⊕ M2 −→ gi (m) ∈ Mi
41
(i = 1, 2)
(i = 1, 2)
−
−
Einbettung
Projektion.
ω(ϕ) können wir dann schreiben: ω(ϕ) = ϕf1 + ϕf2
(Ist etwa m = m1 + m2 ∈ M1 ⊕ M2 und ϕ(m) ∈ N , dann wird ω(ϕ)(m1 + m2 ) =
ϕ(f1 (m1 )) + ϕ(f2 (m2 )).)
ω ist injektiv: Sei Φ ∈ HomR (M1 ⊕ M2 , N ) und Φ 6= 0 ⇒ ∃ m ∈ M1 ⊕ M2 : Φ(m) 6= 0
m = f1 (m1 ) + f2 (m2 ) ⇒ Φ(m) = (Φf1 )(m1 ) + (Φf2 )(m2 ) 6= 0
⇒ (Φf1 )(m1 ) 6= 0 ∨ (Φf2 )(m2 ) 6= 0 ⇒ Φf1 6= 0 ∨ Φf2 6= 0 ⇒ ω(ϕ) 6= 0.
ω ist surjektiv: Sei [Φ1 , Φ2 ] ∈ HomR (M1 , N ) ⊕ HomR (M2 , N ).
Dann definieren wir Φ ∈ HomR (M1 ⊕ M2 , N ) wie folgt:
∀ b ∈ M1 ⊕ M2
sei Φ(b) = (Φ1 g1 )(b) + (Φ2 g2 )(b)
bzw. mit bi = gi (b) ∈ Mi (i = 1, 2) :
Φ(b) := Φ1 (b1 ) + Φ2 (b2 ).
Dann ist offenbar ω(Φ) = [Φ1 , Φ2 ], qed.
Bemerkung: Die Aussagen lassen sich auf jeweils endlich viele Summanden ausdehnen. Bei unendlichen Summen erhält man bei den Hom-Moduln unendliche Produkte.
Es gilt
M=
m
M
Mi ,
N=
i=1
n
M
Nj
⇒
HomR (M, N ) ∼
=
j=1
m M
n
M
HomR (Mi , Nj )
i=1 j=1
Beweis von Satz 4.6: Sei ϕ : M −→ N ein Isomorphismus, α ∈ A und M = Mα ⊕M 0
mit
M0 =
M
(Γγ Mγ ) ⊕ Γ0α Mα
und |Γ0α | = |Γα | − 1.
γ∈A\{α}
Wegen Lemma 4.7 ist
HomR (M, N ) = HomR (Mα ⊕ M 0 , N )
∼
= HomR (Mα , N ) ⊕ HomR (M 0 , N )
L
= HomR (Mα , β∈B Λβ Nβ ) ⊕ HomR (M 0 , N )
!
M
∼
Λβ HomR (Mα , Nβ ) ⊕ HomR (M 0 , N )
=
β∈B
Nach dem Lemma von Schur (Satz 3.16 (2)) ist HomR (Mα , Nβ ) = h0i oder Mα ∼
= Nβ .
Da alle zueinander isomorphen Moduln von N zu Λβ Nβ zusammengefasst sind, gibt es
höchstens ein β mit Mα ∼
= Nβ .
42
Angenommen, @ β : Mα ∼
= Nβ ⇒ HomR (Mα , N ) = h0i; jedoch ist obiger Isomorphismus ϕ : M −→ N definiert durch
ϕ ◦ ι : Mα ⊕ M 0 ,→ M −→ N,
und ι durch die injektiven Homomorphismen
ι1 : Mα ,→ M
und ι2 : M 0 ,→ M,
d.h. ϕ ◦ ι = (ϕ ◦ ι1 , ϕ ◦ ι2 ).
Falls HomR (Mα , N ) = h0i ⇒ ϕ ◦ ι1 = 0, also ϕ|Mα = 0 - Widerspruch, da ϕ nach
Voraussetzung ein Isomorphismus ist.
Wir setzen ψ(α) := β, falls HomR (Mα , Nβ ) 6= h0i. Dann ist ψ offenbar injektiv.
Behauptung: ψ ist auch surjektiv
Hierzu teilen wir N wie oben auf: Sei β ∈ B beliebig und N = Nβ ⊕ N 0 ⇒
HomR (M, N ) ∼
= HomR (M, Nβ ) ⊕ HomR (M, N 0 )
und
HomR (M, Nβ ) ∼
=
M
Γα HomR (Mα , Nβ ) 6= h0i,
α∈A
da ϕ surjektiv ist. Daher ∃ α : HomR (Mα , Nβ ) 6= h0i ⇒ ψ(α) = β ⇒
HomR (M, N ) ∼
=
M
HomR (Γα Mα , Λψ(α) Nψ(α) ).
α∈A
Nun ist ϕ : M −→ N ein Isomorphismus ⇐⇒ ϕ|Γα Mα : Γα Mα −→ Λψ(α) Nψ(α) ist ein
Isomorphismus; daher ist Mα ∼
= Nψ(α) und somit |Γα | = |Λψ(α) |, qed.
Als nächstes definieren wir den Begriff des halbeinfachen Ringes und geben gleichzeitig
äquivalente Bedingungen an.
Satz und Definition 4.8: Für einen Ring R sind folgende Bedingungen gleichwertig:
(1) Alle Links-R-Moduln sind halbeinfach;
(2) alle endlich erzeugten Links-R-Moduln sind halbeinfach;
(3) alle zyklischen Links-R-Moduln sind halbeinfach;
(4) R als Links-R-Modul
RR
ist halbeinfach.
Ein Ring R, der die Bedingungen (1)-(4) erfüllt, heißt halbeinfach.
Genauso definieren wir die Eigenschaft ”rechts-halbeinfach”, wenn wir in (4.8) ”links”
durch ”rechts” ersetzen.
43
Beweis: Die Schlußfolge (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ist trivial. Wir müssen nur (4) ⇒ (1)
zeigen. Hierzu betrachten wir die Darstellung eines Moduls durch einen ”freien” Modul.
Definition 4.9: Sei R ein Ring und M ein R-Modul.
(1) Eine Teilmenge S ⊆ M heißt linear unabhängig :⇐⇒ ∀ endlichen Teilmengen
{x1 , . . . , xn } ⊆ S folgt aus einer Gleichung a1 x1 + . . . + an xn = 0 stets a1 =
. . . = an = 0.
(2) S ⊆ M heißt Basis für M :⇐⇒ S ist linear unabhängig und M = hSi.
(3) M heißt frei :⇐⇒ M besitzt eine Basis.
Beispiel: Sei R = D ein Schiefkörper, M ein R-Modul und S ein Erzeugendensystem
P
für M : M = hSi. Ist dann ni=1 ai xi = 0 mit x1 , . . . , xn ∈ S und etwa a1 6= 0 ⇒
a1 ∈ U (D) - Nichteinheit ⇒ ∃ Linksinverses a∗1 von a1 und es ist
a∗1 a1 x1 = x1 = −a∗1 (a2 x2 + . . . + an xn )
⇒ x1 ist überflüssig in einem Erzeugendensystem ⇒ M ist freier R-Modul und damit
ein Vektorraum.
Lemma 4.10: Jeder R-Modul M ist Faktormodul eines freien Moduls.
L
Beweis: Sei S = {xj }j∈J eine Erzeugendenmenge für M und F = j∈J Rj mit Rj = R
ein freier Modul. Sei Φ : F −→ M wie folgt definiert:
(aj )j∈J ∈ F
=⇒
Φ((aj )j∈J ) =
X
aj x j .
j∈J
Φ ist surjektiv, Im Φ = M und nach Satz 1.21 (1) gilt M ∼
= F/Ker Φ, qed.
Fortsetzung Beweis zu 4.8: Sei M ein R-Modul und M ∼
= F/Ker Φ, wobei F =
L
j∈J Rj mit Rj = R. Dann ist F direkte Summe halbeinfacher und damit einfacher
Moduln. Nach Satz 4.5 ist F halbeinfach. Wegen Lemma 4.3 (2) ist M als Faktormodul
von F halbeinfach, qed.
Folgerung 4.11: Jeder links-halbeinfache Ring R ist links-noethersch und links-artinsch.
Beweis: Da R halbeinfach ist, muss R als Links-R-Modul halbeinfach, also direkte
Summe von R-Teilmoduln von R, d.h. Links-Idealen von R sein:
R=
M
ai ,
ai - minimal.
i∈I
Wir zeigen zunächst
44
Lemma 4.12: Ist R halbeinfach und etwa R =
L
i∈I
ai , dann ist I endlich.
Beweis: Angenommen, |I| = ∞. Da 1 ∈ R, gibt es eine Darstellung
1=
X
ai ,
ai ∈ ai (∀ i ∈ I)
i∈I
und nur endlich viele der ai sind 6= 0; ist etwa ai0 = 0 und a ∈ ai0 , a 6= 0, dann haben
wir
a·1=a=a·
X
X
ai =
i∈I
a · ai ,
i∈I\{i0 }
also
!
a ∈ ai0 ∩
X
6= h0i
ai
i6=i0
im Widerspruch zu R =
L
i∈I
ai .
Fortsetzung Beweis zu 4.11: Da jeder Modul ai eine (endliche) Kompositionsreihe
L
besitzt, hat auch R = ni=1 ai eine solche und ist damit wegen Satz 3.7 links-noethersch
und links-artinsch, qed.
Die etwas überraschende Eigenschaft, dass jeder Modul über einem halbeinfachen Ring
wieder halbeinfach ist, wird mit folgendem Ergebnis klarer:
Satz 4.13: Sei R ein halbeinfacher Ring. Dann ist jeder einfache R-Modul isomorph
zu einem Teilmodul von R.
Beweis: Nach Lemma 4.12 ist R eine endliche direkte Summe R =
Ln
i=1
Mi von
R-Teilmoduln Mi . Sei N ein einfacher R-Modul.
Behauptung: ∃ i0 : N ∼
= Mi0 als Modul-Isomorphismus.
Wegen Lemma 4.7 ist
n
M
Ln
∼
∼
HomR (R, N ) = HomR ( i=1 Mi , N ) =
HomR (Mi , N ).
i=1
Nach Satz 1.18 ist HomR (R, N ) ∼
= N 6= h0i. Daher ∃ i0 : HomR (Mi0 , N ) 6= h0i, was
nach dem Lemma von Schur (Satz 3.16 (2)) Mi ∼
= N zur Folge hat, qed.
0
45
5
Struktur halbeinfacher Ringe
Die Struktur halbeinfacher Ringe wird mit Hilfe von Endomorphismenringen bzw. entsprechenden Matrizenringen beschrieben. Die Kernaussage dieses Abschnitts ist der
Satz von Wedderburn-Artin. Zunächst sind jedoch einige Vorbereitungen erforderlich.
Satz 5.1: Sei R ein Ring und Mn (R) der Ring der n × n-Matrizen mit Elementen aus
R (n × n-Matrizen über R). Dann hat jedes Ideal I ⊆ Mn (R) die Gestalt Mn (a) mit
einem eindeutig bestimmten Ideal a ⊆ R.
Insbesondere gilt: Wenn R einfach ist, dann ist auch Mn (R) einfach.
Hinweis: Ideal (ohne Zusatz ”links” oder ”rechts”) bedeutet stets 2-seitiges Ideal!
Beweis: a) Wenn a ⊆ R ein Ideal ist, dann ist offenbar auch Mn (a) ein Ideal (ÜA).
b) Sind a, b ⊆ R Ideale, dann ist a = b ⇐⇒ Mn (a) = Mn (b).
”=⇒” ist trivial.
”⇐=” Falls a 6= b, etwa b ∈ b, b ∈
/ a, dann ist


b 0 ··· 0


 0

0


 .
 ∈ Mn (b), aber
.
.
.
 .
. 


0
··· 0

b 0 ··· 0







0
..
.
0
..
.
0
··· 0



/ Mn (a)
∈


Sei I ⊆ Mn (R) ein Ideal, dann sei
(
a :=
a11 · · ·
..
.
a11 ; ∃ α =
!
)
∈I
.
a ⊆ R ist ein Ideal:
(1) a11 , a011 ∈ a ⇒ ∃ α, α0 ∈ I, die a11 , a011 jeweils an der ersten Position enthalten
⇒ α + α0 ∈ I.

(2) Sei a11



∈ a, r ∈ R und e(r) = 


Dann ist e(r) · α =
r · a11 · · ·
..
.
r 0 ··· 0

0
..
.



 ∈ Mn (R).


0
..
.
··· 0
0
!
∈ I und α · e(r) =
Behauptung: I = Mn (a)
46
a11 · r · · ·
..
.
!
∈ I.
Sei Eij die Matrix, die an der Position (i, j) eine 1 besitzt und sonst nur mit 0 besetzt
ist. Sei α = (aij ) ∈ Mn (R) eine beliebige Matrix. Dann ist
Eij α Ekl
0
BB
BB
BB
BB
= i→B
BB 0 · · ·
BB
BB
B@
0
BB
BB
BB
B
= i→B
BB
BB
BB
@
0
BB
BB
BB
BB
= i→B
BB
BB
BB
B@
10
10
C
a11 · · · · · · a1n CB
C
B
B
0
C
B
C
B
C
B
C
B
.
.
C
B
C
B
.
.
..
.
.
C
B
C
B
.
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
a
·
·
·
·
·
·
a
C
B
C
B
j1
jn
0 ···
1 ··· 0 C
B
C
B
C
B
C
B
.
.
C
B
C
B
.
.
..
C
B
B
.
. C
C
B
C
B
.
C
@
A
A an1 · · · · · · ann B
@
0
1
`
10
↓
C
B
0 · · · · · · 0 CB
C
0
C
B
C
B
C
..
.. C
C
B
C
.
.
. C
B
C
.
.
C
B
C
C
B
C
B
C
←k
aj1 · · · · · · ajn C
C
B
C
0
·
·
·
1
·
·
·
0
C
B
C
B
C
..
.. C
B
C
..
C
B
C
.
. C
C
B
C
.
C
AB
@
A
0 ··· ··· 0
0
1
`
↓
C
C
0
C
C
C
..
C
.
C
C
C = αjk · Ei`
0 · · · ajk · · · 0 C
C
C
C
..
C
C
.
C
A
j
↓
`
↓
0
..
.
1
..
.
0
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C←k
··· 0 C
C
C
C
C
C
C
A
0
Ist nun α ∈ I, dann wählen wir i = ` = 1 ⇒ E1j α Ek1 = ajk E11 hat ajk an der
Position (1, 1) und liegt damit in a ⇒ I ⊆ Mn (a).
Sei umgekehrt α = (aij ) ∈ Mn (a). α können wir als Summe schreiben:
α=
n X
n
X
ai` Ei`
i=1 `=1
und es ist α ∈ I, falls ai` Ei` ∈ I (i, ` = 1, . . . , n). Hierzu müssen wir eine Matrix
(i,`)
(i,`)
βi` = (mjk ) ∈ I finden, so dass ai` = m11 .
Nach Konstruktion von a gibt es stets solch eine Matrix (wie oben)
⇒
(i,`)
ai` Ei` = m11 Ei` = Ei1 βi` E1` ∈ I,
qed.
Beispiel:
Als nächstes untersuchen wir den Matrizenring über einem Schiefkörper D.
Satz 5.2: Sei D ein Schiefkörper und R = Mn (D). Dann gilt:
(1) R ist einfach, links-halbeinfach, links-artinsch und links-noethersch;
47
(2) R besitzt bis auf Isomorphie genau einen links-einfachen Modul V und es ist
∼ ⊕ ... ⊕ V =
RR = V
|
{z
}
n
M
n−mal
V = n · V.
i=1
(3) Der Endomorphismenring End(R V ), betrachtet als Ring von Rechtsoperatoren
auf V , ist isomorph zu D.
Beweis: (1) Wegen Satz 5.1 hat mit D auch R = Mn (D) nur die trivialen Ideale (0)
und R, also ist R einfach.
R betrachten wir als Links-Vektorraum über D der Dimension n2 und den Basiselementen Eij (i, j = 1, . . . , n). R ist ein endlichdimensionaler Vektorraum über D und
besitzt damit eine Kompositionsreihe; daher ist R links-noethersch und links-artinsch.
(2) Sei VD der Vektorraum Dn , der



 a1
..
VD = 
.



 a
n
aus den Spalten von R besteht:






; ai ∈ D, i = 1, . . . , n ,




betrachtet als Rechts-D-Vektorraum. Dann wird VD über die Matrizenmultiplikation
ein Links-R-Modul:
Sei
dann ist


a11 . . . a1n
v1

 .
 .
.
.
..  ∈ R, v =  ..
α=


 .
an1 . . . ann
vn



a11 . . . a1n
v1
 .
 .
.
.
..  ..
α·v =
 .

an1 . . . ann
vn


 ∈ VD ,


 P
n
i=1 a1i vi
 
..
=
.
 
Pn
i=1 ani vi


 ∈ VD ,

d.h. α definiert einen Endomorphismus fα auf VD : fα ∈ End(VD ) und umgekehrt wird
jeder Endomorphismus fα ∈ End(VD ) durch eine Matrix α ∈ Mn (D) gegeben. Daher
ist
R∼
= End(VD ).
Ist v ∈ VD , v 6= 0 - fest und w ∈ VD beliebig, dann folgt aus der linearen Algebra
∃ αw ∈ R : αw · v = w
Daher ist VD ein einfacher R-Modul.
48
⇒
R · v = VD .
Sei ai das Links-Ideal von R, das in allen Spalten =
6 i-ter Spalte nur Nullen hat:





0
·
·
·
a
·
·
·
0


1i



..
..
.. 

a
∈
D
= R ai
ai =  .
.
. 
ji





 0 ··· a
ni · · · 0
⇒
R = a1 ⊕ . . . ⊕ an
⇒
RR
und ai ∼
= VD (i = 1, . . . , n)
∼
= VD ⊕ . . . ⊕ VD = n · VD − halbeinfach.
Behauptung: VD ist bis auf Isomorphie der einzige einfache Links-R-Modul.
Angenommen, V 0 sei ein weiterer einfacher Links-R-Modul ⇒ (Lemma 1.26) V 0 ∼
= R/m
mit einem maximalen Linksideal m. Da
RR
ein halbeinfacher Links-R-Modul ist, ist
V direkter Summand von R. Wegen R R ∼
= VD .
= n · VD und Satz 4.6 ist V 0 ∼
0
(3) Sei E = End(R VD ) E ist der Endomorphismenring eines einfachen R-Moduls und
daher nach dem Lemma von Schur (Satz 3.16) ein Schiefkörper.
Behauptung: D ∼
=E
Die Endomorphismen einfacher R-Moduln sind Isomorphismen (Lemma von Schur) ⇒
von einfacher Gestalt. Sei
∆ : D −→
d
7→
E
definiert durch
∆(d)
∆(d) wirkt wie folgt: v ∈ VD ⇒ v · ∆(d) := v · d ∈ VD .
zu zeigen: ∆ ist injektiv und surjektiv
injektiv : Angenommen, ∃ d 6= d0 , so dass ∆(d) = ∆(d0 ), d.h. ∀ v ∈ VD : v · d = v · d0
⇒ ∀ v ∈ VD ist v · (d − d0 ) = 0 und d − d0 6= 0 - Widerspruch!
 
 

1
d
 
 
a1
 0 
 ∗ 
 .
 
 
.
surjektiv : Sei f ∈ E beliebig und etwa  .  f =  . ; ist v = 
 .
 .. 
 .. 
 
 
an
0
∗
beliebig =⇒
v
}|  
a ... 0
 1


 0
0


=  .

.. 
 ..

. 


an . . . 0
|
{z
}
z


a1
 . 
. 
vf = 
 . f
an
∈R
49
1
0
..
.
0
{



 f




 ∈ VD


a1 . . . 0
 
1

0
..
.
 

 
 
 
 
0
..
.


 


f = 







= 


0
..
.
an . . . 0
 
a1 d
 .  
.  
= 
 . =
an d

0

a1 . . . 0

d

0
..
.






∗
..
.






0
..
.
an . . . 0
∗

a1
.. 
. 
d = vd
an
Daher ist f = ∆(d) und ∆ surjektiv, qed.
Satz 5.3 (Wedderburn-Artin): Sei R ein links-halbeinfacher Ring. Dann ist
R∼
= Mn1 (D1 ) × . . . × Mnr (Dr ) ∼
=
r
M
EndDi (Dini ),
i=1
wobei D1 , . . . , Dr Schiefkörper und n1 , . . . , nr positive natürliche Zahlen sind. r und die
Paare (n1 , D1 ), . . . , (nr , Dr ) sind (bis auf Permutationen und Isomorphie) eindeutig
bestimmt. r ist die Anzahl der verschiedenen, nicht-isomorphen links-einfachen Moduln
über Rund ni = dimDi Mi (i = 1, . . . , r).
Beweis: Nach Satz 4.6 und Lemma 4.12 ist
r
M
R=
n i Mi ,
i=1
wobei Mi paarweise nicht-isomorphe einfache R-Moduln sind, und jeder Modul Mi
genau ni -mal auftritt. Diese Darstellung ist bis auf Isomorphie eindeutig.
Wir beweisen zunächst
Lemma 5.4: Es gibt einen Ringisomorphismus zwischen R und EndR (R) :
R∼
= EndR (R),
wobei R als R-Rechts-Modul aufgefasst wird und dem entsprechend die Elemente von
EndR (R) Modulhomomorphismen des R-Rechtsmoduls R sind.
Wir sprechen auch von einem ”Anti-Isomorphismus” zwischen R und EndR (R).
Alternativ kann man gemäß Bemerkung 1.14 statt R den Ring Rop verwenden, denn
jeder R-Linksmodul ist ein Rop -Rechtsmodul. Lemma 5.4 erhält dann die Fassung
Lemma 5.4∗ : Es gibt einen Ringisomorphismus zwischen Rop und EndR (R) :
Rop ∼
= EndR (R).
Beweis: Sei
Φ : R −→
r
7→
EndR (R)
Φ(r) := Φr definiert durch Φr (a) := r · a ∀ a ∈ R.
50
Wir zeigen:
(1) Φr ist ein Rechts-R-Modul Homomorphismus;
(2) Φ ist eine 1-1-Abbildung von R auf EndR (R), also a) injektiv und b) surjektiv;
(3) Φ ist ein Z-Isomorphismus;
(4) Φ ist ein Ring-Isomorphismus.
Die additiven Eigenschaften sind jeweils trivial. Daher betrachten wir nur die multiplikativen Eigenschaften.
(1) Sei a, b ∈ R
⇒
Φr (a · b) = r · (ab) = (r · a)b = Φr (a) · b
(2a) (Injektivität von Φ) Angenommen, ∃ r 6= 0 und Φr = 0
⇒
Φr (1) = 0 = r · 1 = r - Widerspruch!
(2b) (Surjektivität von Φ) Sei ψ ∈ EndR (R) und etwa ψ(1) = r
⇒
∀ a ∈ R ist ψ(a) = ψ(1 · a) = ψ(1) · a = r · a = Φr (a)
⇒
ψ = Φr
(3) Sei r ∈ R und n ∈ Z beliebig, o.B.d.A. n > 0 ⇒ Φ(n · r) = Φ(n·r) und
∀ a ∈ R ist Φn·r (a) = (n · r) · a = n · (ra) = n · Φr (a)
(4) Zur Erinnerung: Es ist das
Produkt von Homomorphismen = Hintereinanderausführung
zu zeigen: ∀ r1 , r2 ∈ R gilt Φ(r1 · r2 ) = Φ(r1 ) · Φ(r2 ) bzw. Φr1 ·r2 = Φr1 · Φr2
Sei a ∈ R beliebig =⇒
Φr1 ·r2 (a) = (r1 · r2 )a = r1 · (r2 a) = r1 · Φr2 (a) = Φr1 (Φr2 (a))
= (Φr1 · Φr2 )(a)
qed.
Fortsetzung Beweis von Satz 5.3: Nach Lemma 5.4 haben wir
Lr
Lr
R∼
= EndR (R) ∼
= HomR ( i=1 ni Mi , i=1 ni Mi ).
Nach dem Lemma von Schur (Satz 3.16 (2)) ist HomR (Mi , Mj ) = 0 für i 6= j; daher
ergibt sich wegen Lemma 4.7
R∼
=
r
M
HomR (ni Mi , ni Mi ) ∼
=
i=1
r
M
i=1
51
EndR (ni Mi ).
Ist nun D = EndR (M ) und ϕ ∈ D, ϕ 6= 0, so ist ϕ(M ) = M . Entsprechend wird
Φ ∈ EndR (nM ) = EndR (M
. . ⊕ M})
| ⊕ .{z
n−mal


m1
 . 
. 
ein Endomorphismus, der auf ein n-Tupel v = 
 .  anzuwenden ist, was durch
mn
eine Matrix



ϕ11 . . . ϕ1n
m1
 .
 . 
.. 
 ..
 . 
. 

 .  ∈ M ⊕ . . . ⊕ M = n · M
ϕn1 . . . ϕnn
mn
realisiert wird und umgekehrt. Es ist Φ = 0 ⇐⇒ ϕij = 0 für i, j = 1, . . . , n. Daher ist
EndR (nM ) ∼
= Mn (D)
Nun ist aber Dn = D ⊕ . . . ⊕ D ein Vektorraum über D und daher seine Endomorphismen die linearen Abbildungen in sich. Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass
diese genau den n × n-Matrizen Mn (D) entsprechen. Daher also
EndR (ni Mi ) ∼
= Mni (Di ) ∼
= EndDi (Dini ) für i = 1, . . . , r,
qed.
Folgerung 5.5: Jeder links-halbeinfache Ring ist auch rechts-halbeinfach.
Beweis: Mn1 (D1 ) × . . . × Mnr (Dr ) ist sowohl links- als auch rechts-halbeinfach, da
wir Mni (Di ) sowohl als Links- als auch Rechts-Di -Moduln auffassen können und daher
nach Satz 5.2 (Beweis) auch rechts-halbeinfach ist, qed.
Wir zeigen noch, dass für einfache Ringe r = 1 ist.
Satz 5.6: Sei R ein einfacher Ring. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
(1) R ist links-artinsch;
(2) R ist (links-) halbeinfach;
(3) R hat ein minimales Linksideal ;
(4) R ∼
= Mn (D) für eine gewisse natürliche Zahl n > 0 und einen Schiefkörper D.
Wir stellen dem Beweis eine Aussage zu (Links-)idealen in einem beliebigen Ring voran.
Lemma 5.7: Sei R beliebig, a ⊆ R (a 6= (0)) ein minimales Linksideal und
M
Ba =
a0 {a0 ∼
= a als Links-R-Modul}.
Dann gilt:
52
(1) Ba ist ein (2-seitiges) Ideal in R;
(2) sind a, a0 ⊆ R beliebige minimale Linksideale in R und a a0 , dann ist Ba ·Ba0 =
h0i.
Beweis: Wir beweisen nur (1), da die Aussage (2) hier nicht benötigt wird.
zu zeigen: Ist a0 ∼
= a ein minimales Linksideal in R und r ∈ R, dann ist a0 · r ⊆ Ba
a0 · r ist homomorphes Bild von a0 : ϕ(a0 ) = a0 · r und daher Linksideal in R
(Sei hierzu a ∈ a0 ⇒ ϕ(a) = a · r; c ∈ R ⇒ ϕ(c · a) = (ca) · r = c(a · r) = cϕ(a))
Ker ϕ ist ein Linksideal, Ker ϕ ⊆ a0
(
=⇒
Ker ϕ =
a0
⇒ a0 · r = h0i
(0) ⇒ a0 · r ∼
=a
= a0 ∼
In beiden Fällen ist a0 · r ⊆ Ba , qed.
Beweis zu Satz 5.6: Da R einfach ist, muss Ba = R sein. Daher ergibt sich
(2) ⇔ (4) aus dem Satz von Wedderburn-Artin (”=⇒”) und Satz 4.5 (”⇐=”);
(1) ⇒ (3) ist trivial;
(2) ⇒ (1) ist Folgerung 4.11;
(3) ⇒ (2) wegen R = Ba ist R halbeinfach,
qed.
53
Beispiel für einen halbeinfachen Ring - die Gruppenalgebra
Definition 5.8: Sei R ein Ring und G eine (multiplikative) Gruppe. Dann heißt
M
A = RG :=
R·σ
σ∈G
ein Gruppenring (Gruppenalgebra).
P
P
Multiplikation in A: Sei a = σ∈G aσ · σ, b = τ ∈G bτ · τ ∈ A, dann sei
X
X
a·b=
cµ · µ, cµ =
aσ · b τ .
σ·τ =µ
µ∈G
Ist R = K ein Körper, dann ist A = KG ein Vektorraum über K:
M
A=
K · σ, dimK A = |G|,
σ∈G
mit einer Basis {bg | g ∈ G} und der Multiplikation bg · bh := bg·h und entsprechender
linearer Fortsetzung (wie oben).
Satz 5.9: Wenn G eine endliche Gruppe ist und K ein Körper mit char K - |G|, etwa
char K = 0, dann ist A = KG halbeinfach.
Beweis: Wir müssen zeigen, dass jedes Linksideal von A ein direkter Summand von
A ist.
Sei a ⊂ A ein Linksideal. Dann ist a, als Vektorraum aufgefasst, ein Teilraum von
A. Durch Basisergänzung finden wir einen Teilraum b ⊂ A, so dass A = a ⊕ b als
K-Vektorraum.
zu zeigen: A = a ⊕ b auch als Ring (Algebra).
Sei p : A −→ a, p(a + b) = a mit a ∈ a, b ∈ b die Vektorraum-Projektion von A
auf a. Insbesondere ist p|a = id - Identität. Wir definieren die Projektion als RingHomomorphismus wie folgt:
X
ϕ(x) := |G|−1
σ −1 p(σx) ∀ x ∈ A.
σ∈G
Dann gilt:
1. ϕ(A) ⊆ a, denn ∀ x ∈ A ist σx ∈ A und p(σx) ∈ a, also
X
ϕ(x) ∈ |G|−1
σ −1 a ⊆ a.
σ∈G
2. x ∈ a ⇒ σx ∈ a ⇒ p(σx) = σx und daher
X
X
ϕ(x) = |G|−1
σ −1 (σx) = |G|−1
x = x,
σ∈G
σ∈G
also ϕ|a = id - Identität.
54
3. ϕ ist ein A-Homomorphismus; sei etwa τ ∈ G, dann ist
ϕ(τ x) = |G|−1
X
σ −1 p(στ · x).
σ∈G
Ist etwa στ = σ 0 , dann haben wir σ −1 = τ · σ 0−1 und folglich
ϕ(τ x) = |G|−1
X
σ 0−1 p(σ 0 x) = τ · ϕ(x).
σ∈G
4. ker ϕ = b wegen p(x) = 0 ∀ x ∈ b
Da ker ϕ ein Linksideal in A ist, erhalten wir die gesuchte Darstellung A = a ⊕ ker ϕ,
qed.
Aus dem Satz von Wedderburn-Artin ergibt sich nun für K = C
Folgerung 5.10: Sei G eine endliche Gruppe. Dann gibt es bis auf Isomorphie nur
endlich viele einfache CG-Moduln, etwa S1 , . . . , Sk . Ist di = dimCG Si , dann ist
CG =
k
M
Mdi (Si ).
i=1
Insbesondere ist
Pk
i=1
d2i = |G| und jedes Si erscheint mit der Vielfachheit di als direk-
ter Summand in CG.
55
Literatur
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GTM 136, Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg 1999
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[3] T.Y. Lam; Lectures on Moduls and Rings, GTM 189, Springer-Verlag, New York,
Berlin, Heidelberg 1999
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56