Wurzeln einer Lie-Algebra und deren Quantisierung 1 Cartan

Mohammad Sayad (Teil 1) und Christoph Piefke (Teil 2)
Proseminar QMII, Universität Hamburg
Wurzeln einer Lie-Algebra und deren Quantisierung
Das Ziel unsere Arbeit ist, zu zeigen, dass die Idee der SU2 in jeder Lie-Algebra zu finden
ist. Zur Erinnerung:
SU 2 := {A ∈ C 2×2 ; detA = 1 ∧ A† = A−1 }
(1)
Betrachten wir die folgende Strukturrelation:
[Ji , Jj ] = iijk Jk
(2)
Mit Hilfe von J3 und den Step-Operatoren J± = J1 ±J2 können wir (0.1) umschreiben:
[J+ , J− ] = 2J3
[J3 , J± ] = ±J±
(3)
Die Darstellung der Kommutatorrelation in der Cartan-Sprache ist eine Verallgemeinerung von der Darstellung (0.2).Ausserdem möchten wir die Wurzeln in einer Lie-Algebra
quantisieren. Dies führt uns zu einer geometrischen Darstellung der Lie-Algebra.
1 Cartan Basis und Wurzeln in einer Lie-Algebra
Eine kurze Wiederholung der letzten Sitzung (Liegruppen und Liealgebren):
(i) Wir haben zunächst die folgende Strukturrelation kennengelernt: [Tα , Tβ ] = ifαβγ Tγ .
Anschließend wurde gezeigt, dass allein die Strukturkonstanten ausreichen, um eine
Lie-Algebra zu bestimmen.
(ii) Die Adjungierte Darstellung (DA (Tα ))γβ wurde vorgestellt. In der adjungierten Darstellung DA bilden die Strukturkonstanten die Matrixdarstellung der Generatoren
und die Dimension der adjungierten Darstellung DA ist gerade die Anzahl der
linarunabhängigen Generatoren.
Da in der adjungierten Darstellung DA die Strukturkonstanten und die Generatoren
zusammenfallen, können wir allein mit Hilfe der Generatoren eine Lie-Algebra klassifizieren. Daher untersuchen wir im folgenden die Generatoren: Zuerst untersuchen wir die
Generatoren, die untereinander kommutieren:
Definition 1. Die größte Menge von miteinander kommutierenden Generatoren in einer bestimmten Darstellung bilden die CARTAN-UNTERALGEBRA {H}. Die CartanUnteralgebra ist ein Vektorraum und es gilt die Kommutativität bezgl. der Lie-Klammern,
1
daher können wir nach einem Satz aus der linearen Algebra alle Elemente aus der CartanUnteralgebra gleichzeitig diagonalisieren und eine normierte Basis wählen, die hermitesch
ist, oder mathematisch ausgedrückt:
Hi ∈ H, i ∈ {1, · · · , r}
Cartan-Basis
[Hi , Hj ] = 0
Hi =
(4)
Hi† T r(Hi† , Hj )
= δij
Nun untersuchen wir die d − r Generatoren, die nicht miteinander kommutieren. Die
Menge von nicht miteinander kommutierenden Generatoren bezeichnen wir mit E: Wir
betrachten Linearkombinatinen aus den Elementen von E, bezeichen diese mit Eα und
wir möchten gern in Analogie zur SU 2 folgendes konstruieren:
[Hi , Eα ] ∼ Eα
(5)
Dies erreichen wir durch Konstruktion der folgenden Abbildung:
V = {T α |α = 1, · · · , d}
adHi : V → V
v 7→ [Hi , v], v ∈ V
(6)
adHi (Eα ) ∼ Eα
Nun lösen wir die Eigenwertgleichung adHi (Eα ) ∼ Eα und erhalten:
[Hi , Eα ] = (α)i Eα
(7)
Definition 2. Die (α)i bezeichnen wir als Wurzeln.
Wir möchten wissen, ob (−α)i Eigenwert zu E−α ist. Daher betrachten wir ([Hi , Eα ])† :
[Hi, Eα ]† = [Eα† , Hi† ]
= −[Hi , Eα† ]
= −(α)i Eα†
(8)
= −(α)i E−α
Wobei wir Eα† mit E−α identifiziert und ausserdem folgende Kommutatorregel verwendet haben: [A, B]† = [B † , A† ]. Wir sehen auch an dieser Stelle wieder die Analogie zur
SU 2: (J± )† = (J∓ ).
Nun möchten wir E± auf einen beliebigen Zustand anwenden, um zu sehen ob sich
E± wie ein Stepoperator verhält: Hierzu betrachten eine beliebige Eigenwertgleichung
Hi |hi = h|hi:
Hi (E±α |hi) = [Hi , E±α ]|hi + E±α Hi |hi
= ±(α)i E±α |hi + hE±α |hi
= (±(α)i + h)|hi
2
(9)
Nun mochten wir die Kommutatorrelation [Eα , Eβ ] untersuchen. Hierfür benötigen
wir die Jacobi-Identität: [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0.
[Hi [Eα , Eβ ] = −[Eα [Eβ , Hi ]] − [Eβ [Hi , Eα ]]
= [Eα [Hi , Eβ ]] − (α)i [Eβ , Eα ]
(10)
= (α + β)i [Eα , Eβ ]
Fallunterscheidung bezüglich der Wurzel(α + β)i :
(i) α + β = 0 Aus (1.7) folgt, dass wenn α + β = 0 , d.h. wenn β = −α, dann
kommutieren alle Hi mit [Eα , Eβ ] und daher sind die [Eα , Eβ ] Element der Cartan
Unter-Algebra:
[Eα , E−α ] = λi Hi
(11)
An dieser Stelle betrachetn wir als Vergleich die SU2:[J+ , J− ] = J3
(ii) α + β 6= 0 und (α + β)i eine mögliche Wurzel, so gilt:
[Eα , Eβ ] = Nαβ Eα+β
(12)
(iii) α + β 6= 0 und (α + β)i keine Wurzel, so gilt N αβ = 0:
Eigenschaften 1 (von Wurzeln und Auf-und Absteigerpopertatoren). Wir untersuchen
das Skalarprodukt von {Hi } und {Eα }. In der adjungierten Darstellung hat das Skalarprodukt die folgende Form: hA|Bi = T rA (A† B)(Killingform). Ausserdem benötigen wir
folgende Eigenschaft der Spur: T r([A, B]C) = T r([B, C]A) = T r([C, A]B). Als erstes
betrachten wir hHi |Eα i:
hHi |Eα i = T rA ([Hj , Eα ]Hi )
= −T rA ([Hj , Hi ]Eα )
(13)
=0
Da T rA ([Hj , Eα ]Hi ) = αj T rA (Eα Hi ), folgt hHi |Eα i = 0 für αj 6= 0.
Mit der gleichen Strategie zeigen wir, dass hEα |Eβ i = 0:
hEα |Eβ i = T rA ([Hi , Eα ]Eβ ) = (α)i hEα |Eβ i
= −T rA ([Eβ , Eα ]Hi )
= −T rA ([Hi , Eβ ]Eα )
= −(β)i hEβ |Eα i
(14)
⇒ (α + β)hEα |Eβ i = 0
⇒ hEα |Eβ i = 0
(α + β)i 6= 0
hEα |E−α i = hEα |Eα† i = 1
3
(15)
Die Hi , i = {1, · · · , r} sind orthnormierte Basis der Cartan Unteralgebra (vgl. (0.1)),
daher gilt:
hHi |Hj i = δij
(16)
Nun bleibt noch zu zeigen, dass λj = αj :
h[Eα , E−α ]|Hj i = λihHi |Hj i = λj
Andererseits gilt:
h[Eα , E−α ]|Hj i = h[Hj , Eα ]|E−α i
= (α)j hEα |E−α i
(17)
= (α)j
⇒ λj = αj .
2 Quantisierung der Wurzel und Wurzeldiagramme
Motivation: Im letzten Abschnitt haben wir gelernt, dass jede Lie-Algebra in SU(2)Unteralgebren zerfällt. Man kann folgende Eigenwertgleichungen aufstellen:
[H1 , Eα ] = (α)1 Eα
[H2 , Eα ] = (α)2 Eα
..
..
.
.
(18)
[Hr , Eα ] = (α)r Eα
Wobei H ∈ H, der Menge der vertauschenden Operatoren, auch Cartan-Unteralgebra genannt, Eα ∈ E, die Menge der Linearkombination der nicht vertauschenden Operatoren,
I = 1 . . . und (α)i ∈ R.
Definition 3 (Wurzelvektor). Die endliche Folge {(α)i }1≤i≤r der Wurzel bezüglich der
adjungierten Darstellung einer Lie-Algebra nennt man Wurzelvektor. Beispiel einer anderen Wurzel: Wähle Eβ ∈ E so dass
[Hi , Eβ ] = (β)i Eβ
⇒ β := {(β)i }1≤i≤r
(19)
Definition 4 (Skalarprodukt der Wurzelvektoren). Im wesentlichen wenden wir auf die
oben definierten Folgen, die Wurzelvektoren, das kanonische Skalarprodukt aus `2 an.
X
α · β :=
(α)i (β)i ≡ (α)i (β)i
i
(20)
1
⇒ |α| = ((α)i (α)i ) 2
Erinnerung an das kanonische Skalarprodukt im R3 :
α · β := |α||β| · cos(θ)
4
(21)
Diese Relation wenden wir auch an auf die oben definierten Wurzelvektoren. Weiterhin betrachten wir jetzt das r-Tupel der Hi ∈ H.
Wir können bilden:
α · H :=
X
(α)i Hi
(22)
i
Wir benötigen noch eine weitere Konstruktion, um den Brückenschlag von H und E zur SU(2)-Unteralgebra zu schaffen:
Definition 5 (Linearkombination Hα der Hi ).
Hα :=
2
2 X
αH = 2
(α)i Hi
2
α
|α |
(23)
i
Eigenschaften 2 (von Hα , Eα ).
(i)
[Hα , Hβ ] =
=
4
α2 β 2
[(α)i Hi , (β)j Hj ]
4(α)i (β)j
[Hi , Hj ] = 0
α2 β 2
(ii)
[Hα , Eβ ] =
2
2
α[H, Eβ ] = 2 αβEβ
2
α
α
Spezialfall (den wir später noch brauchen werden):
[Hα , E±α ] = ±2E±α
(iii)
[Eα , E−α ] = αi Hi = αH =
α2
Hα
2
wegen Definition 3.
Jetzt aktivieren wir den scharfen, mathematischen Blick und stellen folgende Kommutatoren gegenber:
[J3 , J± ] = ±J±
[J+ , J− ] = 2J3
[Hα , E±α ] = ±2E±α
[Eα , E−α ] =
α2
Hα
2
In der oberen Zeile steht die aus der Quantenmechanik bekannte Drehimpulsalgebra
(ohne die ~). Die zweite Zeile, eine Zusammenfassung der bisherigen Ergebnisse, sieht
dieser auffallend ähnlich. Man identifiziere:
5
1
J3 ≡ Hα
r 2
2
J± ≡
E±α
α2
(24)
Einsetzen zum Test:
r
r
2
2
[
Eα ,
E−α ]
α2
α2
α2
[Eα , E−α ]
=
2
= Hα
(25)
= 2J3
= [J+ , J− ]
Können wir jetzt aus unserer Kenntnis der Eigenschaften der Drehimpulslgebra nützliche Informationen ber die Eigenschaften von Eα und Hα gewinnen? Die Antwort ist
ja! Dazu eine kurze Erinnerung an die Drehimpulsalgebra.
Eigenschaften 3 (Drehimpulsalgebra). Sei |jmi Eigenzustand des Drehimpulsoperators. Dann gilt:
(i)
J3 |jmi = m|jmi
(ii)
J3 (J± |jmi) = (m ± 1)|jmi
J± erhöht bzw. verringert nach und nach den Eigenwert von J3 um eins.
(iii)
J+ |jmmax i = 0
J− |jmmin i = 0
Die Kette bricht also oben und unten irgendwann ab.
Es gilt: mmax = j, mmin = −j, mmax − mmin = 2j und es gibt 2j + 1 Stück dieser
Eigenwerte. Weiter wissen wir, dass die 2j ganzzahlig und nicht negativ sind
⇒ j ∈ {0, 12 , 1, 32 , 2, . . .}.
Die nun folgende Argumentation ist sehr um-die-Ecke-gedacht und ebenso wichtig
für den Rest des Vortrages. Aus dem Vergleich der vorher entwickelten SU(2)-Algebra
(E±α und Hα ) mit der bekannten Drehimpulsalgebra wollen wir allgemeine Erkenntnisse
über die Eigenschaften von Wurzeln gewinnen. Betrachten wir zunächst E±α . Es ist
6
durch Vergleich von Eigenschaft 2.(ii) (Spezialfall) und Eigenschaft 3.(ii) ersichtlich,
dass E±α den Eigenwert von Hα um ±2 ändert. Hierfür haben wir vorher in Eigenschaft
3.(ii) α = β gesetzt. Wenn wir diese Annahme fallen lassen, kann man sich vorstellen,
geändert wird. Dies ist ein sehr
dass der Eigenwert eben gerade um den Wert ± 2αβ
α2
wichtiges Ergebnis! Und noch ein wichtiges Ergebnis hinterher, die Eigenwerte von Hα
sind ganzzahlig, denn sie sind proportional zu 2j, wie man aus der Definition oben
ablesen kann. Zusammenfassen lassen sich diese beiden Ergebnisse wie folgt:
m :=
2αβ
∈Z
α2
(26)
Und wenden wir das gleich ein wenig an, um den Umgang zu üben und die Quantisierung
der Wurzeln zu entwickeln, die in der Überschrift so vollmundig angepriesen worden ist.
Hα |Eβ i =
2αβ
|Eβ i
α2
|{z}
(27)
m
Nochmal zum Vergleich:
2αβ
|jmi
α2
Und mit einem anderen Mitgliede Cartan-Unteralgebra:
J3 |jmi = m|jmi =
Hβ |Eα i =
2βα
|Eα i
β2
|{z}
(28)
(29)
m0
Erinnern wir uns zurück an die Definition des Skalarproduktes für Wurzeln und betrachten das Produkt von m und m0 wie in (1.10) und (1.12):
2αβ 2βα
)( 2 )|
α2
β
(2 · 2)|α|2 |β|2
≤
=4
α2 β 2
|m · m0 | = |(
(30)
Da der Betrag des Skalarproduktes immer kleiner-gleich dem Produkt der Beträge der
Argumente ist. Wenn man jetzt noch die Definition aus Gleichung (21) einsetzt und die
Beträge der Wurzelvektoren kürzt, erhält man:
m · · · m0 ≤ 4
1
⇔ m · m0 = cos2 (θ) ≤ 1
4
1p
⇔
(m · m0 ) = cos(θ) ≤ 1
2
7
(31)
(32)
(33)
Damit ist das große Werk getan, die Wurzeln sind Quantisiert! Die verschiedenen
Werte von m und m0 können jetzt nur noch diskrete Werte annehmen, den sie müssen
immer dieser Relation (33) genügen, sie stehen also in definierten Winkeln zueinander.
Mehr noch, man kann sogar aussagen über ihre Längenverhältnisse machen, denn:
|
| 2αβ
β2
|m|
α2
=
=
|m0 |
α2
|
| 2βα
β2
(34)
Fassen wir die damit möglichen Einstellmöglichkeiten für die beiden Wurzelvektoren zusammen:
m · m0
θ
Längenverhältnis
0
1
2
3
4
90
60, 120
45, 135
30, 150
0, 180
−
|α|
√ = |β|
√2|α| = |β|
3|α| = |β|
−
Die 4 nimmt dabei eine besondere Stellung ein, dieser Wert
wird nämlich nicht angenommen, wie ich kurz zeigen möchte.
m · m0 ≤ 4
⇒
m0 = 1
1
1
1
cos(θ) = (mm0 ) 2 = 2 ≤ 1
⇒
θ=0
2
2
⇒
zwei Fälle:
A:m=4
(i) β = α, dieser Fall ist erlaubt, aber bekannt.
(ii) β = 2α, dieser Fall erfüllt auch die Gleichung und soll näher betrachtet werden.
Zunächst kann er nicht durch die Leiteroperatoren generiert
werden, denn [Eα , Eα ] = 0 gilt immer. Genausowenig können
wir 3α verwenden, denn erstens [Eα , E2α ] = [Eα , [Eα , Eα ]] = 0.
Und zweitens:
(
0
oder:
[E−α , E2α ] =
∼Eα
Im ersten Fall gilt dann:
−[E2α , [E−α , Eα ]] =[E2α , [Eα , E−α ]] = −[Eα , [E−α , E2α ]] − [E−α , [E2α , Eα ]] = 0 aber:
| {z }
| {z }
=0
= [E2α ,
α2
2
Hα ] = −2α2 E2α
8
=0
Also ein Widerspruch. Im zweiten Fall:
=0
=0
z
}|
{ z
}|
{
[[E−α , E2α ], Eα ] = [E2α , [Eα , E−α ]] + [E2α , [Eα , E−α ]]
| {z }
|
{z
}
∼Eα
∼Eα
Auf diese Weise kann man alle weiteren Vielfachen von α als Wert von β auf einen Widerspruch führen. Also kann der Wert 4 von mm0 nicht vorkommen. Obige Grafik soll die angesprochenen Längenverhältnisse, die aus der Quantisierung
der Wurzeln folgen, verdeutlichen. Dies können die Wurzelvektoren einer Gruppe vom
Rang zwei sein. Die Wurzelvektoren sind dann zweidimensional. Zu Beginn wurde gesagt, dass α und β willkürlich gewählt sind. Gibt es noch andere Wurzeln? Und können
wir diese irgendwie aus bekannten Wurzeln konstruieren? Im vorherigen Vortrag haben
wir gesehen, dass man durch [Eβ , Eα ] = Nαβ Eα+β mit α + β 6= 0 neue Wurzeln erzeugen kann. Auerdem wissen wir (z.B. aus der Drehimpulsalgebra), dass diese Kette
irgendwann abbricht. Es gibt also p und q ∈ N, so dass
[Eβ , [Eβ , [Eβ , . . . [Eβ , Eα ]] = 0 =: (Eβ )p+1 |Eα i
[E−β , [E−β , [E−β , . . . [E−β , Eα ]] = 0 =: (E−β )p+1 |Eα i
(35)
Betrachten wir in Analogie wieder einmal den Drehimpuls. Dort existieren auch p, q ∈ N,
so dass:
p
J3 (J+
|jmi) = mmax |jmi = j|jmi
und
p+1
J3 (J+
|jmi) = 0
p
J3 (J−
|jmi) = mmin |jmi = −j|jmi
und
p+1
J3 (J−
|jmi) = 0
Daraus folgt durch Vergleich:
α(α + pβ) p
(Eβ |Eα i) = j(Eβp |Eα i)
α2
(36)
α(α − qβ) p
p
p
Hα (E−β |Eα i) =
(E−β |Eα i) = −j(E−β |Eα i)
α2
Ergebnis: Alle Wurzeln α + kβ sind wieder Wurzeln mit −q ≤ k ≤ p. Wendet man
in obigen Gleichungen eine andere Linearkombination (z.B. bezüglich β) der CartanUnteralgebra an, erhält man:
Hα (Eβp |Eα i) =
β(α + pβ) p
(Eβ |Eα i) = j(Eβp |Eα i)
β2
β(α − qβ) p
p
p
(E−β |Eα i) = −j(E−β
Hα (E−β
|Eα i) =
|Eα i)
2
β
(37)
βα
+p=j
β2
βα
− q = −j
β2
(38)
Hβ (Eβp |Eα i) =
Also:
⇔
9
(i) Durch Addition
2βα
+p−q =0
β2
⇔
−p + q =
2βα
≡ m0
β2
(ii) und durch Subtraktion
p + q = 2j
Nochmal zur Erinnerung: alle Wurzeln mit β + kα sind wieder Wurzeln mit −q ≤ k ≤ p,
also auch β + (p − q)α, denn
|−q
0<p<p+q
−q < p − q < p
Und es gilt:
⇒
β + (p − q)α = β −
2βα
=: σα (β)
β2
ist auch wieder eine Wurzel! σ lässt sich auch als Vorschrift zur Gewinnung neuer Wurzeln
verstehen.
Lemma 1 (Die Weyl-Reflexion oder Konjugation). Seien α und β Wurzeln einer LieAlgebra. Dann ist die Reflexion von β an der Hyperebene senkrecht zu α wieder eine
Wurzel. Das Reflexionsgesetz lautet:
σα (β) := β −
2β · α
β2
(39)
Bemerkung: Mit diesem Reflexionsgesetz haben die Wurzeln wieder Gruppenstruktur.
Man nennt diese Gruppe die Weyl-Gruppe. Die geometrische Veranschaulichung für
kleine Dimensionen erinnert an das Gram-Schmidt-Orthonormalisierungsverfahren.
Beispiel SU (3)
SU (3) ist eine Lie-Gruppe vom Rang 2. Also hat H zwei Elemente von insgesamt acht
Generatoren. Die Generatoren Tα := 12 λα lauten in der kanonischen Darstellung (also
nicht in der adjungierten):






0 0 1
0 1 0
0 −i 0
(40)
λ1 =  1 0 0  λ2 =  i 0 0  λ4 =  0 0 0 
0 0 0
1 0 0
0 0 0






0 0 0
0 0 −i
0 0 0
λ5 =  0 0 0  λ6 =  0 0 1  λ7 =  0 0 i 
1 0 0
0 i 0
i 0 0
10
Und die beiden Elemente der Cartan-Unteralgebra:




1 0 0
1 0 0
1
λ3 =  0 −1 0  λ2 = √  0 1 0 
3
0 0 0
0 0 −2
Diese Darstellung ist normiert, denn im Sinne der Notation der letzen Vorträge gilt hier:
hTa , Tb i = Spur(D(Ta )D(Tb )) = 21 δab . Und gilt wirklich λ3 , λ8 ∈ H? Ja, denn


1 0 0
1
[λ3 , λ8 ] =  0 −1 0   0
0 0 0
0

 
1 0 0
=  0 −1 0  − 
0 0 0
 


0 0
1 0 0
1 0 0
1 0  −  0 1 0   0 −1 0 
0 −2
0 0 −2
0 0 0

1 0 0
0 −1 0  = 0
0 0 0
Aus diesen Matrizen definiere ich analog zur SU (2) die Auf- und Absteigeoperatoren als
Linearkombination der Elemente von E, also die erstgenannten sechs Generatoren.
λ1±i2 := λ1 ± iλ2
λ4±i5 := λ4 ± iλ5
(41)
λ6±i7 := λ6 ± iλ7
Bestimmt ist das nicht die einzige Mglichkeit, die Generatoren zu berlagern, man kann
sie bestimmt auch zyklisch vertauschen. Welche Eigenwertgleichungen haben wir jetzt
zu lösen? Genau die, die zur adjungierten Darstellung führt:
adH :
V −→ V
v 7−→ [H, v]
(42)
also für m = 1, 4, 6 und n = 2, 5, 7:
λ3 |λm±in i = (α)x |λm±in i
λ8 |λm±in i = (α)y |λm±in i
(43)
Wobei eben z.B.
λ3 |λ1±i2 i = [λ3 , λ1±i2 ]
(44)
ist. Wenn man jetzt diese ganzen 3 × 3-Matrizen hinschreibt, geduldig ausrechnet und
unterwegs kein Minus verliert, kann man folgende Kommutatorrelationen verifizieren:
[λ3 , λ1±i2 ] = ±2λ1±i2
[λ3 , λ4±i5 ] = ±λ4±i5
[λ3 , λ6±i7 ] = ∓λ6±i7
[λ8 , λ1±i2 ] = 0
√
[λ8 , λ4±i5 ] = ± 3λ4±i5
√
[λ8 , λ6±i7 ] = ± 3λ6±i7
11
(45)
Tα = 21 λa und der Vergleich mit den Eigenwertgleichungen liefern dann für die sechs
Wurzelvektoren, die hier zweidimensional sind (zwei Generatoren vertauschen):
±1
α1±i2 =
0
1
±√
2
α4±i5 =
(46)
∓ 21 3
1
∓√
2
α6±i7 =
± 21 3
Was aufgetragen in einem Wurzeldiagramm ungefähr so ausieht:
Jeder dieser Vektoren spannt also einen eindimensionalen
Unterraum auf, in dem sich einer der Leiteroperatoren befindet. Durch anwenden der Leiteroperatoren kann man von
einem Ast zum anderen springen. Die beiden Generatoren der
Cartan-Unteralgebra befinden sich auf der Null. Anwendung
finden diese Wurzeldiagramme z.B. in der Teilchenphysik, um
bestimmte Elementarteilchen miteinander in Verbindung zu
bringen, Stichwort Baryonenoktett, Quarkzustände.
Zusammenfassung
(i) Mit den richtigen Skalarprodukten bildet die adjungierte Darstellung einer LieGruppe eine SU (2)-Unteralgebra
(ii) Aus der adjungierten Darstellung erhält man Wurzelvektoren, deren Einstellmöglichkeiten zueinander quantisiert sind
(iii) Durch Anwendung der Leiteroperatoren kann man weitere Wurzeln erhalten
(iv) Die Wurzelketten brechen oben und unten ab
(v) Die Gemeinschaft aller Wurzeln einer adjungierten Darstellung einer Gruppe bildet
wieder eine Gruppe, man nennt sie die Weyl-Gruppe. Die Gruppenverknüpfung ist
die Weyl-Reflexion.
(vi) Wurzeldiagramme finden ihre Anwendung z.B. in der Teilchenphysik
Literatur
(i) H.F. Jones, Groups, Representations and Physics, Adam Hilger, 1998
(ii) Vorlesung, Lie-Gruppen in der Physik, J. Baacke, WS 2004/05
http://www.physik.uni-dortmund.de/~baacke/Liegruppen.html
12
(iii) Robert N. Cahn, Semi-Simple Lie Algebras and Their Representation, 1984
http://www-physics.lbl.gov/~rncahn/book.html
(iv) Skript von J. Brödel
http://www.itp.uni-hannover.de/~lechtenf/Strings/lie.pdf
13