Rechnen mit Wurzeln

Rechnen mit Wurzeln
Wie lang ist die Quadratseite?
1. a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
√
49 = 7,
weil 7 · 7 = 49
√ 2
√ 2
49 = 49
allgemein: ( a ) = a, (a > 0)
√
√
√
3 5 + 8 5 = 11 5
√
100a2 = 10a, (a > 0)
√ 3 √ √ √
√
2 = 2· 2· 2 =2 2
√
√ √
9·4= 9· 4=3·2=6
√
√ √
allgemein:
a·b= a· b
√
√
√
18 = 9 · 2 = 3 2 (teilweises Wurzelziehen)
r
16
4
=
25
5
r
√
a
a
= √
allgemein:
b
b
√
√
√
es gilt jedoch nicht
16 + 9 = 16 + 9
√
√
2
2 2
2/1 2 √
√ =√ √ =
= 2 (Rationalmachen
2/1
2
2· 2
des Nenners)
√
√ √
√
√
2
2( 2 + 1)
2+ 2
√
√
= √
=
=2+ 2
2−1
2−1
( 2 − 1)( 2 + 1)
2. Zerlege wie in 1. h) :
√
√
a) 40
b) 50
c)
√
√
45
d)
48
1
3−2
4
d) √
5+1
3. Forme wie in 1. l) oder m) um:
1
a) √
3
5
b) √
5
c) √
4. Löse die Klammern auf:
√
√ 2
2
a)
2+3
b) 4 − 3 5
√
√ 2
c) 3 2 + 2 3
5. Löse die Gleichungen nach x auf:
a) 5x2 − 6 = 4x2 + 3
b) (x + 5)(x − 4) = x + 16
c) (x + 4)2 + (x − 4)2 = 34
d) (x + 5)2 + (x − 5)2 = 58
x2 − 1
= 13
2
1
g) 2 − √ = a
x
x2 + 5 x2 − 1
−
=4
3
5
√
√
x x
h) x x −
=1
4
e) x2 −
f)
c Roolfs
1
x
| {z }
1
Rechnen mit Wurzeln
Wie lang ist die Quadratseite?
1. a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
√
49 = 7,
weil 7 · 7 = 49
√ 2
√ 2
49 = 49
allgemein: ( a ) = a, (a > 0)
√
√
√
3 5 + 8 5 = 11 5
√
100a2 = 10a, (a > 0)
√ 3 √ √ √
√
2 = 2· 2· 2 =2 2
√
√ √
9·4= 9· 4=3·2=6
√
√ √
allgemein:
a·b= a· b
√
√
√
18 = 9 · 2 = 3 2 (teilweises Wurzelziehen)
q
16
4
25 = 5
r
√
a
a
allgemein:
= √
b
b
√
√
√
es gilt jedoch nicht
16 + 9 = 16 + 9
√
√
2
2 2
2/1 2 √
√ =√ √ =
= 2 (Rationalmachen
2/1
2
2· 2
des Nenners)
√
√ √
√
√
2
2( 2 + 1)
2+ 2
√
√
= √
=
=2+ 2
2−1
2−1
( 2 − 1)( 2 + 1)
c)
√
45
d)
√
5
b) √
5
48
c) (x
−6=
+ 4)2
+3
+ (x −
4)2
x2 − 1
e) x2 −
= 13
2
1
g) 2 − √ = a
x
er beträgt 8 Flächeneinheiten.
Daher muss für x gelten:
x2 = 8√
x = 8
2. a)
b)
c)
d)
3. a)
b)
c)
b)
1
3−2
4
d) √
5+1
√
√ 2
c) 3 2 + 2 3
5. Löse die Gleichungen nach x auf:
a)
inhalt des Quadrats sofort zu erkennen,
c)
c) √
4. Löse die Klammern auf:
√
√ 2
2
a)
2+3
b) 4 − 3 5
4x2
1
Aus der Zeichnung ist der Flächen-
4. a)
3. Forme wie in 1. l) oder m) um:
5x2
| {z }
d)
2. Zerlege wie in 1. h) :
√
√
a) 40
b) 50
1
a) √
3
x
b) (x + 5)(x − 4) = x + 16
= 34
d) (x +
5)2
+ (x −
5)2
c Roolfs
2
1√
3
3
√
5
√
− 3−2
√
5−1
√
11 + 6 2
√
61 − 24 5
√
30 + 12 6
5. a)
x2
x1
x2
b)
6 ; −6
c)
1 ; −1
d)
2 ; −2
e)
5 ; −5
f)
4 ; −4
1
(2 − a)2
g)
= 58
x2 + 5 x2 − 1
f)
−
=4
3
5
√
√
x x
h) x x −
=1
4
√
√
4 · 10 = 2 10
√
5 2
√
3 5
√
4 3
h)
=
=
=
9
3
−3
√
4
x x= 3
| ( )2
16
x3 = 9
q
3 16
x=
9
Rechnen mit Wurzeln
Wie lang ist d?
a)
d
| {z }
1
b)
d
| {z }
1
c)
d
| {z }
1
c Roolfs
3
Anwendung
Rechnen mit Wurzeln
Anwendung
Wie lang ist d?
a)
d
d2 = 2
| {z }
d. h. d =
√
2
1
b)
d
d2 = 9 − 2 · 2 = 5
| {z }
1
d. h. d =
√
5
c)
d
d2 = 25− 2·6 = 13
| {z }
1
c Roolfs
4
d. h. d =
√
13
Wurzelfunktion
y=
y
√
x
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
10
20
30
40
50
60
70
80
c Roolfs
5
90
100
110
120
130
140
x
Irrationale Zahlen, d.h. keine rationalen
√
2
|
√
2 = 1,414213562373095049 . . .
{z
1
}
löst x2 = 2.
1,414213562373095049 · 1,414213562373095049 = 2,000000000000000000560908991588312401
Dass
Wäre
√ √ √ √
p
2, 3, 5, 6 usw. jeweils mit keinem Bruch q übereinstimmt, verwundert nicht.
√
p
p
p
p
2 = q , so würde 2 = q · q folgen.
pp
Wenn q nicht weiter kürzbar ist, und dafür können wir sorgen, so kann qq auch nicht kürzbar sein,
pp
soll aber 2 ergeben. Das ist nur möglich, wenn pp = 2qq ist. Dann wäre jedoch qq kürzbar.
Wir verwickeln uns in einen Widerspruch, der nur aufgelöst werden kann,
√
p
wenn die Ausgangslage 2 = q als falsch erkannt wird.
2. Möglichkeit
√
p
p2
Wäre 2 = q , so würde 2 = q 2 , bzw. 2q 2 = p2 folgen.
p
q ist nicht (weiter) kürzbar, dafür haben wir gesorgt.
Wir überlegen uns, dass die letzten Ziffern rechts und links von 2q 2 = p2 nicht gleich sein können,
indem wir alle Möglichkeiten aufschreiben. Beachte, p und q können nicht auf null oder 5 enden.
Weiteres
p
Aus 2 = 10 q würde 2q = 10 p , bzw. 2q = 2 p · 5 p folgen. Warum kann das nicht sein?
Die irrationalen Zahlen bilden zusammen mit den rationalen Zahlen Q die reellen Zahlen R.
Für theoretische Überlegungen (Länge einer Diagonalen) sind sie unverzichtbar. Für praktische Zwecke
reichen Näherungen, die sind aus Q. Eine Entscheidung
x rational oder irrational wird im weiteren
√
Unterricht nicht benötigt. Vermutlich ist z. B. π 2 irrational. Bewiesen ist das nicht.
c Roolfs
6
Siehe auch (Unterrichtende):
rekursive Folgen
Kettenbrüche
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