Protokoll

Aufgabe 1: Quadrat von Protonen und Positronen (10 Punkte)
a) Aus Symmetriegründen wird die Kraft auf jede der 4 Ladungen denselben Betrag haben. Es
genügt also, wenn wir die Kraft auf eine der Ladungen, z. B. 3, berechnen. Die Richtung der
Kraft auf die 3 anderen Ladungen wird dann wieder über Symmetriebetrachtungen erhalten.
Wir führen ein kartesisches Koordinatensystem ein, mit dem Ursprung am Punkt 4. Die x-Achse
geht vom Punkt 4 zum Punkt 3, die y-Achse vom Punkt 4 zum Punkt 1. Die Kräfte, welche die
anderen Ladungen auf die Ladung 3 ausüben sind dann:
1 e2
0
~
F23 =
(1)
−1
4π0 d2
1 e2
1
2
0
4π0 d
√ 1 e2
1/ √2
=
−1/ 2
4π0 2d2
F~43 =
F~13
(2)
(3)
Die resultierende Kraft ergibt sich aus der Summe der drei Terme und wirkt diagonal nach
rechts unten:
√ 1 e2
1 + 1/ √2
~
(4)
F3 =
−1 − 1/ 2
4π0 2d2
Ihr Betrag ist
√
1 e2
F3 = (1 + 2 2)
= 4.4 · 10−24 N
4π0 2d2
(5)
b) Die Potentialenergie besteht aus 6 Termen. davon beschreiben 4 die Wechselwirkung zwischen
den benachbarten Ladungen entlang den Kanten des Quadrates, und 2 die Wechselwirkung
zwischen den Teilchen 1 und 3, respektive 2 und 4, entlang der Diagonalen des Quadrates. Der
Gesamtwert ist:
e2
1
1
Epot =
(6)
4· + 2· √
4π0
d
2d
c) Die Abstossungskraft auf jede de 4 Ladungen hat denselben Betrag. Aus der Newtonschen Bewegungsgleichung schliessen wir, dass die resultierende Beschleunigung auf die Protonen 1840
mal kleiner ist als die auf die Positronen. Das heisst konkret, dass in der Zeit in der die Positronen z.B. einen Weg von 1 m hinter sich gebracht haben, die Protonen sich nur um 0.5 mm
bewegt haben. Somit ist es vernünftig anzunehemen, dass sich die Positronen im Feld der auf
ihren Plätzen an der Quadratecken ruhenden Protonen bewegen, und letztere erst nachdem die
Positronen soweit weg sind, dass ihre Kraft auf die Protonen vernachlässigbar klein geworden
ist, auseinandergehen.
d) Aus den obigen Betrachtungen folgt, dass die Potentialenergie der 4 Ladungen auf dem Quadrat
gleich der Summe der Potentialenergie der beiden übriggebliebenen Protonen und der kinetischen Energie der beiden Positronen ist:
e2
1
1
e2 1
1
√ + 2 me vP2 os
(7)
4· + 2· √
=
4π0
d
4π0 2d
2
2d
Somit ist:
s
vP os =
e2
4π0 dme
1
m
∼
4+ √
= 345
s
2
(8)
e) Mit der gleichen Argumentation haben wir für die Protonen:
e2 1
1
√ = 2 (1840me )vP2 rot
4π0 2d
2
(9)
woraus folgt:
s
vP rot =
1
e2
m
√ ∼
= 2.8
4π0 dme 1840 · 2
s
(10)
Aufgabe 2: Kondensator mit Dielektrikum (6 Punkte)
a) Wenn die Länge x des Dielektrikums im Kondensator steckt und somit die Länge L − x
frei ist, entspricht das der Parallelschaltung von zwei Kondensatoren mit den Dielektrizitätskonstanten und 1, deren Kapazitäten sich addieren. Somit ist:
C = 0
Lx
L(L − x)
L
+ 0
= 0 [( − 1)x + L]
d
d
d
(11)
b) Die Energie des Kondensators bei konstanter Ladung Q ist gegeben durch
EKond =
Q2
Q2 d
=
2C
0 L [( − 1)x + L]
(12)
Wir sehen, dass die Energie mit steigendem Wert von x abnimmt: das Dielektrikum wird
somit in den Kondensator hineingezogen.
c) Die Kraft, welche auf das Dielektrikum wirkt erhält man, indem man deren Arbeit entlang einem Wegelement dx gleich dem Negativwert der Änderung der Energie des Kondensator gleich setzt: F dx = −dEKond da die Arbeit auf Kosten von EKond erfolgt. Somit
ist:
dEKond
( − 1)Q2 d
F =−
=
(13)
dx
0 L [( − 1)x + L]2
Aufgabe 3: Widerstandskette (8 Punkte)
a) Wenn ein Strom von 1 A durch den ersten Widerstand fliesst, muss derselbe Strom durch
den Widerstand 2 fliessen. Somit ist die Spannung an den beiden in Serie geschalteten
Widerständen je 1 V. Die Spannung am Widerstand 3 ist somit 2 V und es fliesst ein
Strom von 2 A durch ihn. Folgedessen fliesst ein Strom von 3 A durch den Widerstand 4,
so dass die Spannung zwischen seinen beiden Enden 3 V beträgt,. Das heisst wiederum,
dass die Spannung zwischen beiden Enden von Widerstand 5 insgesamt 5 V beträgt,
und somit 5 A durch ihn fliessen. Somit fliesst ein Strom von 8 A durch Widerstand
6, zwischen dessen beiden enden eine Spannung von 8 V entsteht. Das führt zu einer
Spannung von 13 V zwischen beiden Enden von Widerstand 7. Schliesslich fliesst durch
den Widerstand 8 ein Strom von 21 A, was zu einer Spannung an seinen Enden von 21
V führt. Die gesuchte Spannung U ist die Summe der Spannungen an den Widerständen
7 und 8, und ist gleich 34 V.
b) Der Widerstand Ref f der Kette ist durch das Ohmsche Gesetz Ref f = U/I gegeben, mit
U =34 V und I= 21 A. Somit ist Ref f =1.619 Ohm.
c) Für eine unendlich Kette gilt, dass sich der Widerstand nicht ändert, wenn man zwei
weitere Elemente daran hängt.
Das heisst:
R = 1Ω +
1
1Ω
1
+
1
R
(14)
was zu folgender Gleichung zweiter Ordnung für R führt:
Mit der positiven Lösung:
R2 − R · 1Ω − (1Ω)2 = 0
(15)
√
1+ 5 ∼
R=
Ω = 1.618 Ω.
2
(16)
Aufgabe 4: Koaxialkabel (6 Punkte)
a) Um die magnetische Energie pro Längeneinheit zu bestimmen brauchen wir die entsprechende Energiedichte
1
1
um = B · H = µµ0 H 2
(17)
2
2
Das Feld H erhalten wir über das Ampèresche Gesetz
I
H · ds = Iin
(18)
Wegen der zylindrischen Symmetrie wird die linke Seite der Gleichung 2πrH(r), so dass:
H(r) =
Iin
2πr
(19)
Somit ist
2
Iin
(20)
8π 2 r2
Die magnetische Energie pro Längeneinheit erhält man nun, indem man um (r) in Zylinderkoordinaten zwischen dem inneren und dem äusseren Radius integriert
Z b
2 Z b
2
µµ0 Iin
b
µµ0 Iin
1
Um = 2π
um (r)rdr =
dr =
ln
(21)
4π
4π
a
a
a r
um = um (r) = µµ0
Innerhalb des inneren Zylinders oder ausserhalb des äusseren Zylinders ist keine Energie
gespeichert, da dort das Magnetfeld null ist.
b) Die soeben berechnete Energie Um ist mit der Induktivität des Kabels pro Längeneinheit
verbunden durch
1 2
Um = LIin
(22)
2
Somit beträgt die gesuchte Induktivität pro Längeneinheit
L=
µµ0 b
ln
2π
a
(23)
Aufgabe 6: Induktion (5 Punkte)
a) Das B-Feld schaut aus dem Blatt hinaus. Die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses wenn die Schleife in die Region des Feldes eintritt, erzeugt eine induzierte Spannung
Uind = −
dΦ
= −Bva
dt
(24)
in der Schleife, wodurch der Strom
I=
Bva
Uind
=−
R
R
(25)
in der Schleife erzeugt wird. Nach der Lentzschen Regel, fliesst der Strom beim Eintritt
in das Feld im Uhrzeigersinn. Sobald die ganze Schleife im Feld ist, also ab x = a ändert
sich der Fluss nicht mehr, und der Strom ist null. Das ändert sich, wenn die rechte Seite
der Schleife bei x = 8 angekommen ist und aus der Feldregion herausgezogen wird. Diesmal wehrt sich die Schleife gegen die resultierende Abnahme des magnetischen Flusses,
was in den obigen Ausdrücken für die induzierte Spannung und den Strom zu einer Vorzeichenänderung führt, d.h. Uind = Bva und I = Bva/R.
b) Die Kraft welche ein B-Feld auf ein Stromelement der Länge da, in dem ein Strom I
fliesst, ausübt, ist gegeben durch
F = Ida × B
(26)
wo da in Richtung des Stromes orientiert ist. Somit kompensieren sich die Kräfte auf die
horizontalen Teile der Schleife auf jeden Fall. Beim Eintreten in die Feldregion wirkt die
Kraft
F = IaB (−x̂)
(27)
auf den rechten vertikalen Arm der Schleife, und will sie aus dem Feld heraushalten
(Lenz). Ab x = a verschwindet die Kraft, da kein Strom mehr fliesst. Beim Austritt
fliesst der Strom in umgekehrter Richtung und die Kraft wirkt nun auf den linken Arm,
d.h. sie hat dasselbe Vorzeichen wie vorher und will die Schleife im Feld behalten (Lenz).
Die Figur hat also zweimal einen negativen Auschlag der Grösse IaB, an den Orten wo
der Strom verschieden von null ist.
Aufgabe 7: Filter (5 Punkte)
a) Um die Amplitude V der Ausgangsspannung zu berechnen, brauchen wir die Amplitude
I0 des Stroms durch die beiden in Serie geschalteten Elemente R und L. Derselbe Strom
fliesst auch durch C, und somit erhalten wir seine Amplitude indem wir die Amplitude V0 der Eingangsspannung durch den Betrag der komplexen Impedanz der in Reihe
geschalteten Elemente C, R und L dividieren. Diese ist gleich
Z = R + i(ωL −
so dass
r
|Z| =
und
1
),
ωC
R2 + (ωL −
V0
I0 = q
R2 + (ωL −
1 2
)
ωC
(28)
(29)
(30)
1 2
)
ωC
Die Amplitude V der Ausgangsspannung ist nun gegeben durch V = I0 |R + iωL|, was
zu
p
R2 + (ωL)2
V
=q
(31)
V0
R2 + (ωL − 1 )2
ωC
führt.
b) Der obige Ausdruck tendiert für ω → 0 gegen 0, und für ω → ∞ gegen 1 und hat ein
1
Maximum um ω = √LC
. Somit werden tiefe Frequenzen (wegen dem Kondensator) nicht
durchgelassen, und es handelt sich um ein Hochpassfilter.