komplexe zahlen

KOMPLEXE ZAHLEN
Diese Datei gibt einige Seiten Einblick in die Serie
Komplexe Zahlen 1, 2 und 3,
die gegen Zusatzbestellung auf der CD zu haben ist.
Abonnenten erhalten sie automatisch.
Datei Nr. 50000
Friedrich Buckel
Jaunar 2003
Internatsgymnasium Schloß Torgelow
Inhalt der Originaldateien
Datei 50011
§1
Warum braucht man neue Zahlen ?
1
§2
Definition der imaginären Einheit
2
§3
Definition der komplexen Zahlen
5
§4
Rechnen mit komplexen Zahlen
7
§5
Die Gaußsche Zahlenebene
Lösungen der Aufgaben
11
13 - 22
Datei 50012
§6
Vektoren in der Gaußschen Zahlenebene
1
§7
Polarkoordinaten
7
§8
Komplexe Einheitsvektoren E ( ϕ )
11
8.1
8.2
8.3
8.4
11
15
21
24
Formel von Moivre für Potenzen
Multiplikation in Polarkoordinaten
Division in Polarkoordinaten
Potenzieren in Polarkoordinaten
Lösungen der Aufgaben
25 - 43
Datei 50013
§9
Wurzeln aus komplexen Zahlen
1
§10
Einheitswurzeln
8
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
Prinzipielles
Lösung der Gleichung zn = 1
Lösung der Gleichung z2 = 1
Lösung der Gleichung z3 = 1
Lösung der Gleichung z3 = - 1
Lösung der Gleichung z3 = i
Lösung der Gleichung z3 = - i
10.6
Lösung der Gleichung z4 = 1
10.7
Lösung der Gleichung z5 = 1
10.8
Lösung der Gleichung z6 = 1
Abgeschlossenheit der n-ten Einheitswurzeln
8
9
10
10
12
13
14
15
16
17
18
§11
Lösung der reinen Potenzgleichung zn = a
11.1
Theorie
11.2
Reinquadratische Gleichungen
11.3
Reine Gleichungen 3. Grades
11.4
Reine Gleichungen 4. Grades
23
23
24
25
28
§12
Lösung anderer Gleichungen
29
Lösungen der Aufgaben
35 - 54
§ 4 Rechnen mit komplexen Zahlen.
Um es nochmals zu sagen: Wir führen die komplexen Zahlen so ein, daß wie
verlangen, daß die Gesetze der reellen Zahlen gelten sollen. Wir wollen also
rechnen, wie wir es aus R gewohnt sind
Daraus folgen Ergebnisse für Summen, Differenzen Produkte und Quotienten, die
wir dann als Definition für die Rechenarten unserer „neuen“ komplexen Zahlen
übernehmen:
(a)
( 9 + 2i ) + ( 7 + 4i ) = ( 9 + 7 ) + ( 2 + 4 ) i = 16 + 6i
Beispiel für die Addition:
DEFINITION DER ADDITION:
(a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 ) ⋅ i
Es werden also die Realteile addiert und ebenso die Imaginärteile.
Achtung: Die Addition der konjugiert komplexen Zahl ergibt eine reelle Zahl.
Beispiel:
Allgemein:
( 9 + 2i ) + ( 9 − 2i ) = ( 9 + 9 ) + ( 2 − 2 ) i = 18 ∈ R
( a + bi ) + ( a − bi ) = ( a + a ) + ( b − b ) ⋅ i = 2a
AUFGABE 3:
g)
(12 + 15i ) + ( 7 + 4i )
b)
( 5 + 2i ) + ( −5 − 2i )
e)
z1 = −13 + i ⋅ 3 z1 + z1 * = ?
h)
(b)
Beispiel für die Subtraktion:
( 9 + 2i ) − ( 7 + 4i ) = ( 9 − 7 ) + ( 2 − 4 ) i = 2 − 2i
a)
d)
( −2 + 5i ) + ( 7 − 2i )
( 7 − 3i ) + ( −7 + 9i )
( −3 − i ) + (1 − 5i )
(1 + i ) + ( −2 − i )
z2 = 5 − 8i , z2 + z2 * = ?
c)
f)
DEFINITION DER SUBTRAKTION:
(a1 + b1i) − (a2 + b2i) = (a1 − a2 ) + (b1 − b2 ) ⋅ i
Achtung: Die Subtraktion der konjugiert komplexen Zahl ergibt eine imaginäre
Zahl.
Beispiel:
Allgemein:
( 9 + 2i ) − ( 9 − 2i ) = ( 9 − 9 ) + ( 2 + 2 ) i = 4i
( a + bi ) − ( a − bi ) = ( a − a ) + ( b + b ) ⋅ i = 2bi
AUFGABE 4:
a)
d)
g)
(12 + 15i ) − ( 7 + 4i )
b)
( 5 + 2i ) − ( −5 − 2i )
e)
z1 = −13 + i ⋅ 3 , z1 − z1 * = ?
( −2 + 5i ) − ( 7 − 2i )
( 7 − 3i ) − ( −7 + 9i )
h)
( −3 − i ) − (1 − 5i )
(1 + i ) − ( −2 − i )
z2 = 5 − 8i , z2 − z2 * = ?
c)
f)
(c)
Beispiel für die Multiplikation:
( 9 + 2i ) ⋅ ( 7 + 4i ) = 9 ⋅ 7 + 9 ⋅ 4i + 2i ⋅ 7 + 2i ⋅ 4i = 63 + 36i + 14i + 8i2 = 63 + 50i − 8 = 55 + 50i
DEFINITION DER MULTIPLIKATION:
(a1 + b1i) ⋅ (a2 + b2i) = a a
1
2
+ a1b2i + b1i ⋅ a2 + b1i ⋅ b2i = a1a2 + ( a1b2 + a2b1 ) i + b1b2 ⋅ i2 =
= ( a1a2 − b1b2 ) + ( a1b2 + a2b1 ) ⋅ i
AUFGABE 5:
a)
( 2 + 3i ) ( 4 + 7i )
b)
( 3 − 8i )( 5 + 2i )
c)
(12 − i )(1 − 12i )
d)
( −3 + 2i )( 6 − 2i )
e)
( 5 + 2i )( 5 − 2i )
f)
( −2 − 7i ) ( −3 − 8i )
Achtung:
Die Multiplikation mit der konjugiert komplexen Zahl ergibt
eine reelle Zahl und zwar das Quadrat ihres Betrages !
Beispiel:
z ⋅ z* = ( 5 + 12i ) ⋅ ( 5 − 12i ) = 52 − 122 ⋅ i2 = 25 + 144 = 169 ,
z = 5 + 12i = 25 + 144 = 13 , also ist z ⋅ z* = z
AUFGABE 5:
g)
2
Berechne z ⋅ z * für
z = 2+i
h)
z = 19 − 15i
i)
z = 11 + 5i
z ⋅ z* = ( a + bi) ⋅ ( a − bi) = a2 − (bi) = a2 + b2 = a + bi
2
Allgemein:
⇒ z = z⋅z*
2
!!!
Ein Wort zu dieser sogenannten 4. Binomischen Formel:
( a + bi) ⋅ ( a − bi) = a2 − (bi) = a2 + b2
2
Sie berechnet das Produkt einer komplexen Zahl mit ihrer konjugiert komplexen Zahl.
Kehren wir diese Gleichung um, folgt
a2 + b2 = (a+bi)(a−bi)
Man vergleiche mit der 3. Binomischen Formel:
a2 − b2 = ( a + b )( a − b )
Diese 4. binomische Formel benötigen wir bei der Division komplexer Zahlen.
§ 5 Die Gaußsche Zahlenebene
Weil jede komplexe Zahl aus zwei Anteilen zusammengesetzt ist, dem Realteil und dem
Imaginärteil, kann man jede komplexe Zahl als Punkt in einer Ebene mit einem
Koordinatensystem darstellen. Man nennt sie die Gaußsche Zahlenebene oder auch
die Ebene der komplexen Zahlen.
Als x-Koordinate verwendet man den Realteil: x = Re(z),
als y-Koordinate den Imaginärteil: y = Im(z):
Die Zahl z = 3 + 2i wird demnach als Punkt mit den Koordinaten
( 32 )
dargestelt.
z 2 = −5 + 4i
z 3 = 2,5 i
z1 = 3 + 2i
z 4 = −3
z1 * = 3 + 2i
z 3 = −4 − 3i
Konjugiert komplexe Zahlen haben den gleichen Realteil und entgegengesetzten
Imaginärteil, etwa z1 = 3 + 2i und z1* =3 – 2i. Ihre Punkte liegen also zueinander
spiegelbildlich bezüglich der x-Achse ! Rein imaginäre Zahlen (ohne Realteil) liegen auf
der y-Achse, die reellen Zahlen (also ohne einen Imaginärteil) liegen auf der x-Achse.
Damit taucht bereits ein wesentlicher Unterschied zwischen reellen und echt komplexen
Zahlen auf. Reelle Zahlen kann man der Größe nach vergleichen. Man kann also
sagen, a < b oder a = b oder a > b. Eine dieser dreie Beziehungen muß stimmen !
8.2
Beispiel 1
Multiplikation in Polarkoordinaten
(im Bogenmaß)
(
π) = 2 ⋅ (
Es sei z1 = 4 ⋅ E ( 31 π ) = 4 ⋅ ( cos 31 π + i ⋅ sin 31 π ) = 4 ⋅
und
z 2 = 2 ⋅ E ( 61 π ) = 2 ⋅ ( cos 61 π + i ⋅ sin 61
1
2
)
)=
+ i ⋅ 21 3 = 2 + i ⋅ 2 3
1
2
3 + i ⋅ 21
3 +i
Wir berechnen das Produkt:
Einerseits geht das ganz einfach auf die herkömmliche Art:
z1 ⋅ z2 = ( 2 + i ⋅ 2 3 ) ⋅ ( 3 + i ) = 2 3 + 2i + i ⋅ 2 ⋅ 3 + i2 ⋅ 2 3 =
= 2 3 + i⋅2 + i⋅6 − 2 3 = i⋅8
Andererseits rechnen wir mit der sogenannten Polarform:
z1 ⋅ z 2 = 4 ⋅ E ( 31 π ) ⋅ 2 ⋅ E ( 61 π ) = 8 ⋅ E ( 31 π + 61 π ) = 8 ⋅ E ( 21 π ) =
= 8 ⋅ ( cos 21 π + i ⋅ sin 21 π ) = 8 ( 0 + i ⋅ 1) = 8 i = i ⋅ 8
Wir haben hier die Gleichung (6) von Seite 12 verwendet
E ( ϕ1 ) ⋅ E ( ϕ2 ) = E ( ϕ1 + ϕ2 )
Das nächste Beispiel rechnet im Gradmaß, was oftmals wegen der Gewöhnung an
diese Winkelmessung einfacher erscheint.
Beispiel 2
(im Gradmaß)
Es sei z1 = 2 ⋅ E ( 450 ) = 2 ( cos 45O + i ⋅ sin 45O ) = 2 ⋅
(
1
2
)
2 + i ⋅ 21 2 = 2 + i ⋅ 2
und
z2 = 3 ⋅ E (1050 ) = 3 ( cos105O + i ⋅ sin105O ) ≈ 3 ⋅ ( −0,259 + i ⋅ 0,966 ) = −0,776 + i ⋅ 2,90
Dann folgt über die Polarform-Multiplikation:
z1 ⋅ z2 = 2 ⋅ E ( 45O ) ⋅ 3 ⋅ E (105O ) = 6 ⋅ E ( 45Ο + 105O ) = 6 ⋅ E (150O ) =
= 6 ⋅ ( cos150O + i ⋅ sin150O ) = 6 ⋅ ( − cos30O + i ⋅ sin30O ) =
(
)
= 6 ⋅ − 21 3 + i ⋅ 21 = −3 3 + i ⋅ 3
Nun zeige ich einen tollen Trick: In der Koordinatendarstellung war z2 wegen des
Winkels 105O (von dem wir keine genauen Sinus- und Kosinuswerte kennen), nur eine
Näherungsdarstellung möglich. Da wir aber das Produktergebnis kennen, können wir
über die Auflösung der Gleichung
z1 ⋅ z 2 = −3 3 + i ⋅ 3
die Zahl z2 als Divisionsergebnis im Gegensatz zu oben genau berechnen:
z2 =
z2 =
−3 3 + i ⋅ 3
z1
−3 3 + i ⋅ 3
2 + i⋅ 2
Erweiterung mit dem konjugiert komplexen Nenner:
( −3 3 + i ⋅ 3 ) (
z2 =
( 2 + i ⋅ 2 )(
z2 =
(3
2 −i⋅ 2)
−3 6 + i ⋅ 3 2 + i ⋅ 3 6 − i2 ⋅ 3 2
=
2+2
2 −i⋅ 2)
2 − 3 6 ) + i ⋅ (3 2 + 3 6 )
=
4
z2 = 34  2 − 6 + i ⋅ ( 2 + 6 ) 
(
)
2 − 34 6 + i ⋅
3
4
(
3
4
2 + 34 6
)
(wenn man will)
Erinnern wir uns: Es war z1 = 3 ⋅ E (1050 ) = 3 ( cos105O + i ⋅ sin105O )
Aus dem Vergleich beider Terme können wir noch etwas anderes herleiten:
3 ⋅ cos105 =
O
cos105O =
1
4
2 − 41 6 =
3 ⋅ sin105 =
O
und analog dazu:
sin105O =
1
4
2 − 34 6
3
4
2+
1
4
1
4
(
2 − 6)
2 + 34 6
3
4
6=
1
4
(
2 + 6)
Graphische Darstellung dieser Multiplikation:
z3 = z1 ⋅ z 2
ϕ3 = ϕ1 + ϕ2
z2
ϕ2
ϕ1
z1
10.7 Lösung der Gleichung z5 = 1
Wir übernehmen aus der Seite 2 diese Lösungsformel (für Bogenmaß):
1
2
3
n −1
ϕ0 = 0 ; ϕ1 = ⋅ 2π ; ϕ2 = ⋅ 2π ; ϕ3 = ⋅ 2π ; ...; ϕn−1 =
⋅ 2π
n
n
n
n
und setzen n = 5 ein, dann folgen diese Näherungslösungen:
ϕ0 = 0 ⇒ z0 = E ( 0 ) = 1
ϕ1 = 52 π 72O ⇒ z1 = E ( 52 π ) = cos 52 π + i ⋅ sin 52 π ≈ 0,309 + i ⋅ 0,951
ϕ2 = 54 π 144O ⇒ z2 = E ( 54 π ) = cos 54 π + i ⋅ sin 54 π ≈ −0,809 + i ⋅ 0,588
ϕ3 = 56 π 216O ⇒ z2 = E ( 56 π ) = cos 56 π + i ⋅ sin 56 π ≈ −0,809 − i ⋅ 0,588
ϕ4 = 58 π 288O ⇒ z 4 = E ( 58 π ) = cos 85 π + i ⋅ sin 85 π ≈ 0,309 − i ⋅ 0,951
z 2 = E ( 52 π )
z 3 = E ( 54 π )
r =1
z0 = E ( 0 ) = 1
z 3 = E ( 65 π )
z 4 = E ( 85 π )
In dieser Abbildung wurden die 5 Punkte verbunden, es entstand ein regelmäßiges
O
Fünfeck mit dem Innenwinkel 72 und den Eckenwinkeln 108O .
11.2
Reinquadratische Gleichungen
z2 = 2 + i ⋅ 2 3
Beispiel 1:
Nun ist a = 2 + i ⋅ 2 3 . Umrechnung in Polarkoordinaten:
a = 2 + ( 2 3 ) = 4 + 4 ⋅ 3 = 16 = 4
2
2
tan α =
y 2 3
=
= 3 ⇒ α = arctan 3 = 60O 31 π
x
2
 α + 2kπ 
:
n 

Berechnung der beiden Lösungen durch die Formel
zk = n a ⋅ E 
 1 π + 2kπ 
d.h. hier zk = 4 ⋅ E  3
 = 2 ⋅ E ( 61 π + kπ )

2

zk = 2 ⋅ E  6k + 1π 



6
z0 = 2 ⋅ E ( 61 π ) = 2 ⋅ cos ( 61 π ) + i ⋅ sin ( 61 π )  = 2 ⋅  21 3 + i ⋅ 21  = 3 + i
Für k = 0:
z1 = 2 ⋅ E ( 76 π ) = 2 ⋅ cos ( 76 π ) + i ⋅ sin ( 67 π )  = 2 ⋅  − 21 3 − i ⋅ 21  = − 3 − i
N


210O


Für k = 1:
L=
Lösungsmenge:
{
}
3 +i; 3 −i
z2 = 15 3 + i ⋅15
Beispiel 2:
a = 15 3 + i ⋅ 15 . Umrechnung in Polarkoordinaten:
a =
(15 3 )

2
+ 15 = 225 ⋅ 3 + 225 = 225 ⋅ 4 = 15 ⋅ 2 = 30
y
15
1
ϕ = arctan = arctan
= arctan
= 30O , ergibt
x
15 3
3
O
 ϕ + k ⋅ 360 
 30O + k ⋅ 360O 
O
O
zK = a ⋅ E 
=
30
⋅
E


 = 30 ⋅ E (15 + k ⋅ 180 )

2


2

2
Nun geht es etwas kompliziert weiter:
k = 0 ⇒ z0 = 30 ⋅ E ( 121 π ) = 30 ⋅ ( cos15O + i ⋅ sin15O )
Näherungslösung:
z0 = 30 ( 0,966 + i ⋅ 0,256 ) ≈ 5,291 + i ⋅ 1,418
k = 1 ⇒ z1 = 30 ⋅ E ( 13
π = 30 ⋅ ( − cos15O − i ⋅ sin15O ) = 5,291 + i ⋅ 1,418
12 )
Mit Hilfe trigonometrischer Umformungen kann man diese Lösung sogar exakt
angeben. Das wird auf der nächsten Seite gezeigt:
Laut Formelsammlung ist sin ( α − β ) = sin α ⋅ cos β − cos α ⋅ sin β . Also folgt:
sin15O = sin ( 60O − 45O ) = sin 60O ⋅ cos 45O − sin 45O ⋅ cos 60O =
d.h. sin15O =
1
4
(
1
2
3 ⋅ 21 2 − 21 2 ⋅ 21
6 − 2 ) . Ferner folgt aus cos ( α − β ) = cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β
cos15O = cos ( 60O − 45O ) = cos 60O ⋅ cos 45O + sin 45O ⋅ sin60O = 21 ⋅ 21 2 + 21 2 ⋅ 21 3
d.h. cos15O =
1
4
(
6 + 2)
z0 = 30 ⋅ E (15O ) = 30 ⋅ ( cos15O + i ⋅ sin15O ) = 30 ⋅
=
1
4
( (
1
4
6 + 2 ) + i ⋅ 41 ( 6 − 2 )
)
30 ⋅ ( ( 6 + 2 ) + i ( 6 − 2 ) )
(
z1 = 30 ⋅ E ( 295O ) = 30 ⋅ ( − cos15O − i ⋅ sin15O ) = 30 ⋅ − 41 ( 6 + 2 ) − i ⋅ 41 ( 6 − 2 )
=
1
4
30 ⋅ ( − ( 6 + 2 ) − i ( 6 − 2 ) )
Aufgabe 10
Bestimme die komplexen Lösungen der folgenden reinquadratischen Gleichungen:
a)
z = 15 + i ⋅ 20
b)
z2 = 60 − i ⋅ 80
c)
z2 = −2 + i ⋅ 2 3
d)
z2 = 1 − i
e)
z2 = i
f)
z2 = − i
g)
z2 = 1 + i ⋅ 3
h)
z2 = 1 − i ⋅ 3
2
)
Lösung zu Nummer 15
z + (1 − i ) z − i = 0
4
a)
2
Substitution: u = z2
mit u1,2
ergibt die quadratische Gleichung u2 + (1 − i ) u − i = 0
2
− (1 − i ) ± (1 − i ) + 4i
− (1 − i ) ± 1 − 2i − 1 + 4i
− (1 − i ) ± 2i
=
=
=
2
2
2
Nebenrechnung:
Also folgt:
2i = 2 und das Argument von 2i ist ϕ = 90O
2i = 2 ⋅ E ( 21 ⋅ 90O ) = 2 ⋅ E ( 45O ) = 2 ⋅
−1 + i ± (1 + i )
i
=
u1,2 =
−1
2
{
Lösung der Gleichung z2 = i :
zK =
Wegen
i = 1 und ϕ = 90
 ϕ + k ⋅ 360O 
 90O + k ⋅ 360O 
i ⋅E
 = E


2


2

k = 0 ⇒ z0 = E ( 45O ) =
1
2
2 + i⋅ 2
k = 1 ⇒ z1 = E ( 225O ) = − 21 2 − i ⋅ 2
Lösung der Gleichung z2 = - 1:
z2,3 = ± i
{
L = ± i ; 21 2 + i ⋅ 2 ; − 21 2 − i ⋅ 21 2
}
(
1
2
O
)
2 + i ⋅ 21 2 = 1 + i
folgt