1 Teilnetze und Häufungspunkte

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1 Teilnetze und Häufungspunkte
In der Vorlesung wurde das Konzept eines Netzes vorgestellt. Diese konnten wir uns vorstellen wie
eine verallgemeinerte Folge. Ähnlich können wir auch das aus der Analysis bekannte Konzept einer
Teilfolge verallgemeinern. Wir erhalten das Konzept eines Teilnetzes:
1.1 Definition Sei (A, ≤) eine gerichtete Menge und (xα )α∈A ein Netz. Man nennt ein Netz (yβ )β∈B
über einer gerichteten Menge (B, ≤B ) Teilnetz von (xα )α∈A , wenn yβ = xm(β) gilt, für eine Abbildung m : B → A mit den Eigenschaften:
1. m ist ordnungserhaltend, also ∀β1 , β2 ∈ B mit β1 ≤B β2 folgt m(β1 ) ≤A m(β2 )
2. Kofinalität, d.h. ∀α ∈ A, ∃β ∈ B mit m(β) ≥ α
Also: Teilnetze sind von der Form (xm(β) )β∈B .
1.2 Beispiel Jede Folge (xn )n∈N ist ein Netz mit A = N. Dann ist jede Teilfolge (xnk )k∈N ein
Teilnetz, mit B = N und m : B → A, k 7→ nk . Aus der Definition eines Teilnetzes folgen die
Eigenschaften 1. und 2. für m.
Die nächsten Aussage benötigen Sie nur, wenn Sie die Bonusaufgabe auf Übungsblatt 9 bearbeiten wollen. Sie stellt eine Verallgemeinerung der aus der Analysis bekannten Tatsache dar, dass
Häufungspunkte von Folgen die Grenzwerte von geeigneten Teilfolgen sind.
1.3 Definition Sei X ein topologischer Raum, (xα )α∈A ein Netz in X. Ein Punkt x ∈ X heißt
Häufungspunkt von (xα )α∈A , wenn für jede Umgebung U von x und jedes α0 ∈ A ein α ≥ α0 mit
xα ∈ U existiert.
1.4 Proposition Sei X ein topologischer Raum, x ∈ X. x ist Häufungspunkt eines Netzes (xα )α∈A
genau dann, wenn ein Teilnetz von (xα )α∈A gegen x konvergiert.
Beweis. Sei (xm(β) )β∈B ein Teilnetz mit xm(β) → x und U eine Umgebung von x, sowie α0 ∈ A. Es
existiert aufgrund der Konvergenz von xm(β) gegen x nun ein β0 ∈ B mit xm(β) ∈ U ∀β ≥ β0 . Aus
der Kofinalität von xm(β) folgt die Existenz eines β1 ∈ B mit m(β1 ) ≥ α0 . B ist gerichtet und daher
existiert ein β ∈ B mit β ≥ β0 und β ≥ β1 , so dass xm(β) ∈ U und m(β) ≥ m(β1 ) ≥ α0 gilt. Somit
ist x ein Häufungspunkt.
Sei nun umgekehrt x ein Häufungspunkt von (xα )α∈A . Nach G15 (a) i) ist die Menge U(x) der
Umgebungen von x bezüglich der umgekehrten Inklusion gerichtet und mit der in G15 (b) definierten
Ordnung ist dann auch B := U(x) × A gerichtet. Man sieht sofort, dass die Abbildung m : B →
A, (U, α) → α nach Definition der Ordnung ordnungserhaltend ist. Kofinalität: Sei α0 ∈ A. Dann ist
(X, α0 ) ∈ B und es gilt m(X, α0 ) = α0 .
Insgesamt ist (xm(U,α) )(U,α)∈B ein Teilnetz. Dieses konvergiert gegen x, denn ist U eine Umgebung
von x, da x ein Häufungspunkt von (xα ) ist, existiert ein α ∈ A mit xα ∈ U . Somit ist (U, α) ∈ B
und ∀(V, β) ∈ B mit (V, β) ≥ (U, α) ist V ⊆ U , also xm(V,β) = xβ ∈ V ⊆ U .