Arbeitsblatt Mengen mit Lösungen

Arbeitsblatt
„Mengen und topologische Eigenschaften in metrischen Räumen“
Sei X ein metrischer Raum und M ⊂ X.
Kreuzen Sie die jeweils richtigen Aussagen an und geben Sie für die jeweils falschen Ausssagen ein
Gegenbeispiel an:
1. Eine offene Menge
(a) ( ) ist nicht abgeschlossen.
∅ und X sind sowohl offen als auch abgeschlossen.
(b) ( ) enthält ihre Häufungspunkte nicht.
Alle Punkt der offenen Menge (0, 1) sind Häufungspunkte
(c) (x) besteht nur aus inneren Punkten.
Das ist die Definition.
(d) ( ) hat keine Randpunkte.
Die offene Menge (0, 1) hat die Randpunkte 0 und 1, die allerdings nicht zur Menge gehören.
2. Ein Randpunkt x einer Menge M
(a) ( ) ist stets auch Häufungspunkt der Menge M.
Die Menge {0, 1} besteht aus Randpunkten, die keine Häufungspunkte sind.
(b) (x) ist immer dann Häufungspunkt, wenn x ∈
/ M.
Weil sich ja außer ihm Elemente von M in jeder seiner Umgebungen geben muss.
(c) ( ) ist genau dann Häufungspunkt, wenn x ∈
/ M.
0 und 1 sind Häufungspunkte von [0, 1].
(d) ( ) ist niemals auch Häufungspunkt.
siehe c)
(e) (x) besitzt eine Umgebung U (x), die Punkte aus M und CM enthält.∗)
Folgerung aus f)
(f) (x) besitzt nur Umgebungen, die Punkte aus M und CM enthalten.
Das ist die Definition
3. Häufungspunkte
(a) (x) Eine endliche Punktmenge besitzt keine Häufungspunkte.
(b) ( ) Eine unendliche Punktmenge besitzt stets Häufungspunkte.
N besitzt keine Häufungspunkte.
(c) (x) Eine unendliche Punktmenge besitzt Häufungspunkte, wenn sie beschränkt ist.
Satz von Bolzano-Weierstraß
(d) ( ) Eine unendliche Punktmenge besitzt genau dann Häufungspunkte, wenn sie beschränkt
ist.
R besteht nur aus Häufungspunkten und ist nicht beschränkt.
∗)
CM = X \ M ist das Komplement von M in X.
4. Von den folgenden Teilmengen A ⊂ R bestimme man†)‡)
sup A, max A, inf A, min A den Abschluss A, das Innere A◦ , den Rand ∂A
sowie die Häfungspunktmenge A0 .
A
sup A
max A
inf A
min A
A
A◦
∂A
A0
a
(0, 1)
1
-
0
-
[0, 1]
(0, 1)
{0, 1}
∅
b
[0, 1)
1
-
0
0
[0, 1]
(0, 1)
{0, 1}
[0, 1]
c
[0, 1]
1
1
0
0
[0, 1]
(0, 1)
{0, 1}
[0, 1]
d
{n ∈ N | n < α,
1 < α ∈ R fest}
bαc
bαc
0
0
A
∅
A
∅
e
{ n1 | n ∈ N}
1
1
0
-
A ∪ {0}
∅
A ∪ {0}
{0}
2
2
0
-
A ∪ A0 ∪ {0}
∅
A ∪ A0 ∪ {0}
{ n1 | n ∈ N} ∪ {0}
1
-
0
-
A0
∅
A0
A ∪ {0, 1}
1
-
-1
-
A0
∅
A0
A ∪ {−1, 0, 1}
-1
-
A ∪ A0
∅
A ∪ A0
{−1, − 13 , 13 , 1}
√
− 2
√
− 2
√ √
[− 2, 2]
√ √
(− 2, 2)
√ √ − 2, 2
√ √
[− 2, 2]
f
g
h
{ n1 +
1
m
| m, n ∈ N}
| m < n ∈ N}
{m
n
{(−1)m+n
m
n
| m < n ∈ N}
i
n+1
{(−1)bn/2c 2n+(−1)
n | n ∈ N}
1
-
j
{x ∈ R | x2 ≤ 2}
√
2
√
k
{q ∈ Q | q 2 ≤ 2}
√
2
-
√
2
-
√ √
[− 2, 2]
∅
√ √
[− 2, 2]
√ √
[− 2, 2]
l
{y ∈ R | y = x2 , 0 < x ≤ 1}
1
1
0
-
[0, 1]
(0, 1)
{0, 1}
[0, 1]
1
1
0
-
[0, 1]
(0, 1)
{0, 1}
[0, 1]
m
{y ∈ R | y =
2
,
x2 +2
x ∈ R}
2
5. In welchen Fällen von Aufgabe 4) sind sup A bzw. inf A auch Häufungspunkte von A?
Bei allen außer d-f, bei e und f ist das Infimum Häufungspunkt.
6. Man zeige allgemein:
(a) Ist sup A ∈
/ A, dann ist sup A Häufungspunkt von A.
(b) Ist inf A ∈
/ A, dann ist inf A Häufungspunkt von A.
zu (a) Ist sup A = s ∈
/ A, dann exisiert nach Definition des Supremums zu jedem ε > 0 ein
aε > s − ε, d. h. in jeder ε-Umgebung von s gibt es einen Punkt s 6= aε ∈ A. Dies ist genau
die Häufungspunkt-Definition.
zu (b) Der Beweis für das Infimum geht analog.
7. Gilt die Umkehrung dieser Aussagen?
Nein, siehe z. B. 4 c.
†)
‡)
Für α ∈ R ist bαc, die Abrundung von α, d. h. diejenige ganze Zahl z ∈ Z, für die α − 1 < z ≤ α gilt.
Die natürlichen Zahlen beginnen bei 1.