12-04-12 Seminar 1 Zusammenfassung

12-04-12 Seminar 1 Zusammenfassung
von Sebastian Müller
Metrische Räume:
Sei X eine Punktmenge.(X, d) heißt metrischer Raum mit Abstandsfunktion d, welche folgende Eigenschaften erfüllt:
d : X × X → R≥0
∀x,y,z∈X : d (x, y) = 0 ⇔ x = y
d (x, y)
=
d (y, x)
d (x, y)
≤
d (x, z) + d (z, y)
Beispiele:
• (R, |·|) - die reellen Zahlen mit der üblichen induzierten Betragsmetrik: d (x, y) :=
|x − y|
• (Rn , k·k) - der Rn mit der euklidischen Norm1 :
√
kxk :=
x·x
v
u n
uX
t
x2
=
i
i=1
!
n
X
Diese Norm induziert dann die Metrik: d x, y := x − y . Die Dreiecksungleichung
zeigt man in diesem Fall über die Schwarzsche Ungleichung:
∀x,y∈Rn
n
X
!2
xi yi
n
X
≤
i=1
2
⇒ x + y x2i
·
i=1
!
yi2
i=1
=
=
x·x+2·x·y+y·y
≤
kxk2 + 2 · x · y + y S.Ungl.
x+y · x+y
2
2
≤
kxk2 + 2 · kxk · y + y =
2
kxk + y Damit ist auch die Dreiecksungleichung für die induzierte Metrik gezeigt.2
Topologie
Sei im folgenden (X, d) fixiert und E ⊆ X eine Teilmenge von X.
1
2
Man sagt in diesem Fall, die Norm wird von dem Skalarprodukt induziert.
Für ka − bk ≤ ka − ck + kc − bk substituiert man x := a − c und y := c − b und kommt damit auf obige
Form.
1
ε-Umgebung:
Für ε > 0 und x ∈ X definert man:
Uε (x) := {y ∈ X | d (x, y) < ε}
In (R, |·|) sind diese Umgebungen genau
die offenen Intervalle, in R2 , k·k sind es offen Kreise
3
(Kreise ohne Rand) und in R , k·k sind es offene Bälle.
Häufungspunkt:
Ein Punkt p ∈ X heißt Häufungspunkt von E falls:
∀ε>0 ∃p6=q∈E q ∈ Uε (p)
Falls p ∈ E aber p kein Häufungspunkt von E ist, nennt man p einen isolierten Punkt.
Abgeschlossenheit:
E heißt abgeschlossen, falls alle Häufungspunkte von E in E enthalten sind.
Innerer Punkt:
Ein Punkt p ∈ E heißt innerer Punkt von E falls:
∃ε>0 Uε (p) ⊂ E
Offenheit:
E heißt offen, falls alle Punkte in E innere Punkte sind.
Beschränktheit:
E heißt beschränkt, falls:
∃q∈X ∃M ∈R ∀p∈E d (p, q) < M
Man definiert den Diameter von E dann wie folgt:
diam (E) := sup {d (p, q) | p, q ∈ E}
Dichtheit:
E heißt dichte Teilmenge von X falls:
∀x∈X (∀ε>0 ∃p∈E p ∈ Uε (x)) ∨ (x ∈ E)
Es ist also jeder Punkt von X Häufungspunkt von E oder in E enthalten.
Beispiel:
• In jedem metrischen Raum, ist X dicht in sich selbst.
• Q ist eine dichte Teilmenge von (R, |·|).
2
Komplement:
Man defniert das Komplement von E wie folgt:
E C := X\E = {x ∈ X | x ∈
/ E}
Einige Sätze zum selbst beweisen:
1. E ist beschränkt ⇐⇒ diam (E) ist endlich
2. ∀x∈X ∀ε>0 Uε (x) ist offen
3. ∀{an }∈X N mit an −→ a gilt: {an | n ∈ N} ∪ {a} ist abgeschlossen und beschränkt.
n→∞
4. E offen ⇐⇒
EC
abgeschlossen
5. ∅ und X selbst sind immer sowohl offen als auch abgeschlossen gleichzeitig.
6. In (R, |·|) ist jede offene Menge eine abzählbare Vereinigung offener Intervalle. (Schwieriger
Beweis!)
7. Falls p ein Häufungspunkt von E ist, so gibt es in jeder Umgebung von p unendlich
viele Punkte aus E.
8. Sei {Ei }i∈I eine beliebige Familie offener Mengen aus (X, d). Dann ist auch
offen.
S
i∈I
Ei
9. Sei {Fi }i∈I eine beliebige Familie abgeschlossener Mengen aus (X, d). Dann ist auch
T
i∈I Fi abgeschlossen.
10. Seien E1 , . . . , En offene Mengen aus (X, d). Dann ist auch
Tn
i=1 Ei
11. Seien F1 , . . . , Fn abgeschlossene Mengen aus (X, d). Dann ist auch
offen.
Sn
i=1 Fi
abgeschlossen.
Dass es in den beiden letzten Sätzen endlich viele Mengen sein müssen, sieht man an folgenden
Beispielen:
• Betrachte In := − n1 , n1 ⊂ (R, |·|). Alle In sind offensichtlich offen für n ∈ N. Aber:
∞
\
In = {0}
n=1
ist keine offene Menge.
• Betrachte Jn :=
Aber:
h
1
n, 1
−
1
n
i
⊂ (R, |·|). Alle Jn sind offensichtlich abgeschlossen für n ∈ N.
∞
[
Jn = (0, 1)
n=1
ist keine abgeschlossen Menge.
Menge aller Häufungspunkte
Die Menge aller Häufungspunkte von E bezeichnet man mit E 0 . Man nennt sie auch die
Ableitung von E.
Abgeschlossen Hülle
Die abgeschlossene Hülle von E ist wie folgt definiert:
E := E ∪ E 0
3
Rand
p ∈ X nennt man Randpunkt von E falls:
∀ε>0 (Uε (p) ∩ E 6= ∅) ∧ Uε (p) ∩ E C 6= ∅
Damit defninert man den Rand von E wie folgt:
∂E := {p ∈ X | p ist Randpunkt von E}
Offener Kern
Der offene Kern von E wird wie folgt defniert:
◦
E := {p ∈ E | p ist innerer Punkt von E}
Einige Sätze zum selbst beweisen:
1. E ist abgeschlossen.
2. E = E ⇐⇒ E ist abgeschlossen.
3. E ist die kleinste abgeschlossene Menge die E enthält.
◦
4. E ist offen.
◦
5. E = E ⇐⇒ E ist offen.
◦
6. E ist die größte offene Menge die in E enthalten ist.
◦
˙
7. E = E ∪∂E
Beispiel:
Sei E := [0, 1) ∪ {2} ⊂ (R, |·|). Es gilt:
E 0 = [0, 1]
E = [0, 1] ∪ {2}
◦
E = (0, 1)
∂E = {0, 1, 2}
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