Formelsammlung Ing_Mathematik I_II

Prof. Dr. J. Böhm-Rietig
[email protected]
FH-Köln, FB 19
02261/8196-120
Kleine Formelsammlung
Arithmetik, komplexe Zahlen, Kegelschnitte, lineare
Algebra, analytische Geometrie
Funktionen, Differenzial- und Integralrechnung, DGL
Mathematik für Ingenieure – Grundstudium
Hinweise, Notation:
a,b,c : Prarameter, feste Größen.
n,m : natürliche Zahlen, nicht Null; „Zählzahlen“.
x,y,z : Variablen, unabhängige Größen aus einer bestimmten, festzulegenden Argumentenmenge.
r,ϕ : typische Bezeichner für Radius und Polarwinkel bei Polarkoordinaten.
{....} Mengenklammer, [,] : Intervallgrenzen.
∪,∩,\,∈,∅ : Symbole der Mengenlehre; "∩" ist der Mengenschnitt.
∨,∧,⇔,⇒ : Symbole der Aussagelogik, "oder", "und", "genau dann wenn" bzw. "äquivalent", "Implikation".
f,g,h : Funktionen einer oder mehrerer Variablen. f(g) : Verkettete Funktionen.
-1
-1
-1
f
: inverse Funktion (Umkehrfunktion, nicht der Kehrwert!). f(f (x)) = f (f(x)) = x.
f(x,y)=0 : implizite Form der Funktionsdarstellung. Meist mehrere Auflösungen y=y(x) möglich.
f´, g´ : Ableitung erster Ordnung für Funktionen einer Variable.
(n)
f : n-te Ableitung (Abl. n-ter Ordnung) für Funktionen einer Variable.
fx, gy : partielle Ableitung
∂f
∂x
der Funktion f „nach x“; partielle Abl.
∂g
∂y
von g in y-Richtung; für Fkt. mehrerer
Variablen.
fxzy : partielle Ableitung
3
∂ f
∂y∂z∂x
dritter Ordnung von f; zuerst nach x, dann nach z und abschließend nach y
abgeleitet.
fnm : für n,m ∈IN; n,m>0 : partielle Ableitung f nm :=
2
∂ f
∂x m ∂x n
zweiter Ordnung, zuerst in Richtung der n-ten,
k
r
T
dann in Richtung der m-ten Variable für Funktionen mit mehr als drei Variablen x = ( x1 ,..., x k ) ∈ IR .
rr r
k
a , r , b T : (Spalten-)Vektoren im IR . Hochgestelltes "T" bedeutet Transposition, Vertauschen von Zeilen und
r
T
Spalten, bei b also ein Zeilenvektor.
A : Matrix reeller Zahlen. Zeilenweise Anordnung von gleichdimensionalen Spaltenvektoren.
d r
r
r&
r := r ( t ) : Ableitung nach dem Parameter einer Kurvendarstellung r ( t ) für t0≤t≤t1 .
dt
Mengen
Menge („A“), die Zusammenfassung bestimmter wohlunterscheidbarer Objekte ( Elemente der Menge) zu einem
Ganzen. Es muß immer eindeutig sein, ob ein gegebenes Objekt zur Menge gehört oder nicht!
Wenn p Element von X ist : p ∈ X
und , wenn p nicht Element der Menge X ist : p ∉ X
.
Festlegung: X := { a1; a2; ...; an} (endlich)
X := { a1; a2; a3; ...} (unendlich), nur mit eindeutigem Bildungsgesetz!
X := { x∈A | x besitzt die Eigenschaften ....... von A und/oder die Eigenschaften ........ von A nicht }
z.B. X := { x∈ IR | 1<x≤2 oder 3≤x<5 und x≠4} oder A := {x∈ IR | x = k⋅2π für ein k∈Z }
Besondere Mengen : ∅ = {} die leere Menge (wichtig für Mengenoperationen)
IN : natürliche Zahlen ab 0 nach DIN 5473
Z : ganze Zahlen; Q : rationale Zahlen (gekürzte Bruchzahlen)
IR : reelle Zahlen (Q und alle möglichen Grenzwerte von konvergenten Zahlenfolgen)
C : komplexe Zahlen (in zwei Schreibweisen auf: x+j⋅y oder r⋅ejϕ ) manchmal „i“ statt „j“ mit j2= −1 (symbolisch!)
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Teilmenge: A ⊂ B wenn aus x∈A notwendig auch x∈B folgt. A = B heißt A ⊂ B und B ⊂ A.
DIN 5473 ist ⊆ das verbindliche Teilmengenzeichen, wir verwenden es nur ausnahmsweise!
Obermenge B ⊃A ist A ⊂ B
Mengenoperationen (bilden eine abstrakte „Algebra“)
A ∩ B := { x | x ∈A und x ∈B } Mengenschnitt
A ∪ B := { x | x ∈A oder x ∈B } Vereinigungsmenge
Differenzmenge: A \ B := { x ∈A | x ∉ B }
Komplementmenge (Komplementärmenge):
AC oder auch A := X \ A := { x ∈X | x ∉ A }
Immer nur in Bezug auf eine feste Obermenge X !
Mengen A, B mit A ∩ B = ∅ heißen disjunkt
Darstellung von Mengenoperationen und
Mengenbezügen oft im Venn-Diagramm :
Assoziativ- und Kommutativgesetze gelten
selbstverständlich!
Distributivgesetze: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
de Morgan: X \ (A ∩ B) = (X \ A) ∪ (X \ B)
X \ (A ∪ B) = (X \ A) ∩ (X \ B)
Intervalle : [a ; b] := { x ∈ IR | a ≤ x und x ≤ b } abgeschlossenes Intervall
rechts halb-offenes Intervall, auch b=∞ mögl.
[a ; b[ ( =ˆ [a;b) Papula) := { x ∈ IR | a ≤ x und x < b }
]a ; b] ( =ˆ (a;b] Papula) := { x ∈ IR | a < x und x ≤ b }
links halb-offenes Intervall, auch a=−∞ mögl.
]a ; b[ ( =ˆ (a;b) Papula) := { x ∈ IR | a < x und x < b }
offenes Intervall (auch a=−∞, b=∞ mögl.
Produktmenge X ⊗ Y, Menge aller geordneten Paare (x;y), wobei x∈X und y∈Y . Die Produktmenge wird auch als
kartesisches Produkt der Mengen X und Y bezeichnet.
n
r
2
Besondere Notation: IR : = IR ⊗ IR : zweidimensionaler Vektorraum x =  x  , analog IR .
y
 
Aussagen
Aussage: Satz der natürlichen Sprache, dem ein Wahrheitswert, d.h. wahr oder falsch, zugeordnet werden kann.
Eine Aussage ist immer entweder wahr oder falsch (Satz der Zweiwertigkeit) und kann auch nicht sowohl wahr als auch
falsch sein (ausgeschlossener Widerspruch).
In der Mathemathik nur erlaubt:
Aussage: Gleichung, Ungleichung oder Relation , die keine Variablen oder Unbekannten enthält. Eine Aussage kann
und muß entweder wahr oder falsch sein.
Aussagevariable: A = „w“ wenn A wahr ist (auch A=1), A = „f“ wenn A falsch ist (auch A=0; „“ weglassen!).
Aussageverknüpfungen (Boolsche V.):
¬A ( = A ) : „nicht A“ , ist wahr, wenn A falsch ist
A ∧ B : „A und B“ : ist nur genau dann wahr, wenn beide wahr sind.
A ∨ B : „A oder B“ : ist nur dann falsch, wenn beide falsch sind.
A ⇒ B : „Wenn A wahr ist, soll notwendig auch B wahr sein“ : ist nur dann falsch, wenn A=w ∧ B=f !
A ⇔ B : „A und B haben den gleichen Wahrheitswert. A und B sind äquivalent“: (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)
Mehrere Aussagen verknüpfen unter Beachtung der Prioritätsregeln und von Klammern!
Am stärksten bindet ¬ (wie Vorzeichen), dann gleichberechtigt ∨ , ∧ , dann ⇒ am schächsten ist ⇔
Darstellung durch Wahrheitstafeln
A
B
¬A
A∧B
A∨B
A⇒B
A⇔B
w
w
f
f
w
w
w
w
f
f
f
w
f
f
f
w
w
f
w
w
f
f
f
w
w
f
w
w
Logische Regeln: ¬w=f ¬f =w ¬(¬A)= ¬¬A=A
A∨w=w
A∨f=A
A∧f=f
A∧w=A
A∨A=A∧A=A
A ∨ ¬A = w
A ∧ ¬A = f
Kommutativ- und Assoziativgesetze ....(klar!)
Distributivgesetze .
A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
„De Morgansche“ Gesetze: ¬(A ∧ B) = (¬A)∨ (¬B) = ¬A ∨ ¬B
¬(A ∨ B) = (¬A) ∧ (¬B) = ¬A ∧ ¬B .
A⇒B ⇔
B ∨ ¬A („wenn die Folge nicht eintritt, sollte die Voraussetzung falsch sein“).
Aussageformen A(x,y,...): Gleichung, Ungleichung oder Relation , die mindestens eine Variable (x,y,...) enthält. Die
beteiligten Variablen müssen einer wohldefinierten Menge entstammen, die die Definitionsmenge DA der Aussage ist:
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Bsp.: A(x) : x3 = 1 hat im DA= IR genau eine Lösung, im DA=C jedoch 3.
Aussageform als Relation z.B.: [0;x) ⊂ (A ∩ B).
Rechengesetze für beliebige Potenzen
1
a =a
n
a := a⋅ ... ⋅a (n-faches Produkt) für n∈IN und n>0
0
a =1 für a≠0
und
a
n
m
n
0 =0 für n∈IN und n>0
sowie für a≠0: a
−1
=
1
a
= m a n gilt für a>0, m∈IN und m>0 sowie n∈. Bei ungeradem m kann auch a<0 zulässig sein!
x
Beachte bei a : für reelle, nicht-natürliche Exponenten x muß die Basis a>0 sein.
x y x+y
x y x-y
a ⋅a = a
a /a = a
x x
x
x x
x
a ⋅b = (a⋅b)
a /b = (a/b)
 x y 
x y x⋅y
yx
(a ) = a
= (a )
≠ a 
x
x x⋅ln(a)
f(x):=a : „allgemeine Exponentialfunktion zur Basis a>0“;
Beachte: a = e
.
a
f(x):=x : „allgem. Potenzfunktion mit Exponent a≠0“
Rechengesetze für beliebige Logarithmen
Für a>0, a≠1 und c>0 ist definiert:
loga(1)=0
loga(a)=1
x
loga(a )=x
x = loga(c)
⇔
x
a =c .
loga(x⋅y) = loga(x)+loga(y)
loga(x/y) = loga(x)-loga(y)
1
b
loga(x ) = b⋅loga(x) .
loga(x) =
log x (a )
ln() := loge() mit der Eulerschen Zahl e ≈ 2,71828...
lg() := log10() .
ln(x )
loga(x) =
ln(a )
Rückführung aller Logarithmen auf den natürlichen Log.:
x
loga(x) und a sind zueinander inverse Funktionen.
Termumformungen: Äquivalente Umformungen, die die Lösungsmenge nicht verändern.
Seien T1,T2,T3,T4. Terme (Ausdruck mit Zahlen, Rechenzeichen, Variablen) mit gleicher Definitionsmenge.
Termersetzung:
Ist T3=T1 und T4=T2, so gilt
T1=T2 ⇔ T3=T4
Gleichmäßige Termverrechnung auf beiden Seiten: T1 = T2 ⇔ T1 ± T3 = T2 ± T3
Exponenzieren:
für a > 0 :
T1 = T2 ⇔ T1 ⋅ T3 = T2 ⋅ T3 ⇔ T1 / T3 = T2 / T3 .
T1 T2
T1 = T2 ⇔ a = a .
Logarithmieren:
für a, T1, T2 > 0 :
T1 = T2 ⇔ loga T1 = loga T2 .
Potenzieren:
für n∈IN ungerade :
n
n
T1 = T2 ⇔ T1 = T2 ⇔ n T1 = n T 2
Für T3≠0:
Termumformungen, die nur mit Fallunterscheiungen äquivalent durchgeführt werden
Zusätzliche, virtuelle (Schein-)Lös. sind möglich und müssen durch Testrechnungen ausgeschlossen werden.
T1⋅T2 = 0
⇔
T1 = 0 ∨ T2 = 0.
(für beliebig viele Produkte!)
n
n
T1 = T2 ∧ n∈IN gerade ⇔ T1 = T2 ∨ T1 = –T2 .
Achtung beim Wurzelziehen (gerade Wurzelordnung) und beim (geraden) Potenzieren auf beiden Seiten!!!
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2
2
T1=T2 ist hinreichend für T1 =T2 , aber nicht norwendig, d.h. beim Quadrieren erhält man Scheinlösungen!
Trigonometrische Funktionen
Die Trigonometrische Funktionen stellen die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis dar.
sin(x) Gegenkathete; cos(x) Ankathete für den Winkel x (zur x-Achse gegen den Uhrzeiger gemessen).
sin(x )
cos( x )
π
tan(x) :=
nur für x ≠ ± kπ für alle k∈
nur für x ≠ ± kπ für alle k∈
cot(x) :=
sin(x )
cos( x )
2
2
2
2
Kurzschreibweise bei Eindeutigkeit : „sin x“ statt sin(x); sin x = sin (x) := (sin(x)) usw..
sin(-x)=-sin(x) cos(-x)=cos(x) tan(-x)=-tan(x) cot(-x)=-cot(x)
sin(x) = cos(π/2 –x)
cos(x) = sin(π/2 –x)
tan(x) = cot(π/2 –x) cot(x) = tan(π/2 –x)
sin, cos sind 2π-periodisch: sin(x+2π)=sin(x); cos(x+2π)=cos(x);
tan, cot sind π-periodisch!
0° = 0 [Rad]
Winkel α=
-45° = -π/4
30° = π/6
45° = π/4
60°=π/3
90°=π/2
120°=2π/3
≈ -0,7854
≈ 0,5236
≈ 0,7854
≈1,047
≈ 1,571
≈2,094
0
1
Sin(α) =
1
3
3
2
− 2 ≈ −0,7071
2
2
2
2
2
0
1
cos(α) =
1
3 ≈0,8660
2 ≈ 0,7071
2
−1
2
2
2
2
2
0
1
±8
tan(α) =
−1
1
≈ 0,5774
3 ≈ 1,7321
− 3
3
In der Mathematik verwenden wir fast nie Dezimalbrüche!!!
2
2
sin (x) + cos (x) = 1
(Pythagoras)
Additionstheoreme (auch die Umkehrungen sind häufig in Gebrauch) :
.
sin(x+y) = sin(x)⋅cos(y) + cos(x)⋅sin(y)
cos(x+y) = cos(x)⋅cos(y) – sin(x)⋅sin(y)
2
2
insbes. sin(2x) = 2⋅sin(x)⋅cos(x) cos(2x) = 2⋅cos (x)-1 = 1-2⋅sin (x)
tan(x+y) =
tan(x ) + tan(y)
1 − tan(x ) ⋅ tan(y)
cot(x+y) =
cot( x ) ⋅ cot( y) − 1
cot( y) + cot( x )
insbes. tan(2x) =
2 tan(x )
2
1 − tan ( x )
jx
Euler’sche Formel: e = cos(x)+j⋅sin(x) („j“: imaginäre Einheit; in der Mathematik immer als „i“ geschrieben).
− jx
jx
e −e
jx -jx
jx -jx
sin(x) = 0,5j⋅(e -e )
cos(x) = 0,5⋅(e +e ) tan(x) = j⋅
− jx
jx
e +e
sin(jy) = j⋅sinh(y)
cos(jy) = cosh(y)
tan(jy) = j⋅tanh(y)
cot(jy) = -j⋅coth(y)
-1
Umkehrfunktionen : „arc“...
auf dem Taschenrechner immer ...-1, : arcsin(x) ↔ sin (x).
y = arcsin(x) ⇒ x = sin(y) etc. Umkehrung gilt nicht !!
„Hauptwert“ festgelegter Wertebereich der Umkehrfunktionen: arcsin, arctan ergeben Werte zwischen ±π/2 und
arccos sowie arccot haben einen Hauptwert zwischen 0 und π:
arcsin : [-1;1] à [-π/2;π/2]
arctan: IRà [-π/2;π/2]
arccos : [-1;1] à [0;π]
arccot: IRà [0;π].
arcsin(x)+arccos(x) = arctan(x) + arccot(x) = π/2 .
arcsin(-x) = -arcsin(x)
arccos(-x) = π-arccs(x)
x 1
1
1
Zusammenhänge: arcsin(x) = ∫
dt
dt
arccos(x) = ∫
x 1 − t2
0 1− t2
x 1
arctan(x) = ∫
dt
01 + t2


1 1
arccot(x) = ∫
dt
x1 + t2


arcsin(x) = 0,5⋅arcsin  2 x 1 − x 2 
 1+ x 
 etc.
2


arccos(x) = 2⋅arccos 
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Hyperbolische Funktionen
e x − e−x
2
e x + e−x
2
e x − e −x
=
sinh(x )
coth(x)=1/tanh(x)
cosh( x )
Es gibt entsprechende Umkehrfunktionen. In der komplexen Ebene eng mit sin, cos verbunden. Geometrische
Bedeutung ist wichtig! sinh´´=sinh
cosh´´=cosh
wichtig für DGL!
sinh(x):=
cosh(x):=
tanh(x):=
e +e
x
−x
2
2
cosh (x) – sinh (x) = 1 für alle x!
Kegelschnitte und ebene Kurven
Leider ist der Kenntnisstand der Studierenden gerade in diesem Punkt minimal!
Kegelschnitte: Schnittfiguren beim Schnitt eines (Doppel-)Kegels mit einer (xy-)Ebene.
2
2 2
2
Gleichung des räumlichen Doppelkegels: (x-x0) +(y-y0) =c ⋅(z-z0)
c bestimmt den Öffnungswinkel und (x0,y0,z0) den Ort der Kegelspitze.
2
2
Allgemeine implizite Darstellung der Schnittkurve (Kurven 2. Ordnung) : a⋅x +2b⋅x⋅y+c⋅y +2d⋅x+2e⋅y+f = 0.
Aufgrund der folgenden Ausdrücke, die die Invarianten bei Drehung und Verschiebung des
Koordinatensystems darstellen, kann man die Gestalt der Kurve klassifizieren:
a b d
a b
2
B :=
= ac − b
C:=a+c
A := b c e
b c
d e f
Fall
Fall
Gestalt der Kurve
Hyperbel
B<0
Parabel
A≠0 B=0
Ellipse
B>0
Paar sich schneidender reeller Geraden
A=0 B<0
paralleles Geradenpaar
B=0
imaginäres Geradenpaar mit reellem Schnittpunkt
B>0
Hauptachsentransformation:
1. Verschiebung des Koordinatenursprung beseitigt die linearen Glieder 2d⋅x, 2e⋅y
2. Durch Rotation des Koordinatensystems läßt sich der gemischte Term 2b⋅x⋅y eliminieren!
2b
Drehung um den Winkel ϕ : tan(2ϕ) =
.
ϕ = ±45° für a=c .
a−c
Allgemeine Darstellung (in Normallage) :
2
2 2
Kreis: (Sonderform der Ellipse)
(x-x0) +(y-y0) = a
Radius r=|a|>0, Mittelpunkt (x0,y0).
(x - x 0 )
Ellipse:
a
2
+
2
(y - y 0 ) 2
b2
=1
Halbachen a,b>0.
x = x0+a⋅cos(t)
y = y0+b⋅sin(t) für 0 ≤ t ≤ 2π .
2
(liegende) Parabel, Hauptform:
(y-y0) = 2⋅(x-x0)⋅p
Lage des Brennpunktes (x0+p/2;0) .
2
Parameterdarstellung:
x = x0+ 1 t
y = y0 + t
für t∈IR . Scheitel: (x0,y0)
2p
Parameterdarstellung:
Polarkoordinatendarstellung liegende P.: r = p
(x - x 0 )
Hyperbel:
a
Parameterdarstellung:
2
2
−
1 − cos ϕ
(y - y 0 ) 2
b2
x = x0 + a⋅cosh(t)
. Vorzeichen von p ↔ Öffnungsrichtung
=1
Asymptoten y = y0 ±
y = y0 + b⋅sinh(t)
b
a
⋅(x-x0) .
für t∈IR .
Nicht-kartesische Koordinatensysteme:
Das kartesischen Koordinatensystem erlaubt eine sehr einfache Schreibweise der Einheitsvektoren und der
üblichen Vektoroperationen.
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Sehr gebräuchlich bei Problemen mit Kreis- oder Radialsymmetrie sind die Polarkoordinaten, ein krummliniges
Koordinatensystem : r: Abstand vom Ursprung (≥0), ϕ Winkel zur positiven x-Achse (0≤.ϕ <2π)
r = const : konzentrische Kreise um den Ursprung
ϕ = const : Mittelpunktsstrahlen, radial nach außen.
Polarkoordinaten sind somit immer orthogonale (rechtwinklige) Koordinaten (r=const steht senkrecht auf ϕ = const)
2
2
Umrechnung wie bei komplexen Zahlen: x = r⋅cos(ϕ) und y = r⋅sin(ϕ) bzw. r= x + y , ϕ=arctan(y/x)
Es gibt Formeln für alle Differenzialoperatoren auch in krummlinigen Koordinatensystemen, siehe Papula, Bd.3.
3
Im IR sind die Zylinderkoordinaten („Polarkoordinaten mit z-Achse“) und
die Kugelkoordinaten verbreitet, siehe Papula Bd.3, Kap. 6.3:
(r,ϕ,? ) mit
x = r⋅cos(ϕ)⋅sin(? )
y = r⋅sin(ϕ)⋅sin(? )
z = r⋅cos(? ).
y
z
2
2
2
r= x +y +z
ϕ = arctan( )
? = arccos  
x
r
(Papula verwendet den griechischen (?) Buchstaben ϑ statt ? , was aber mit Word 97 im Textsatz schwierig ist)
r ≥ 0, 0≤ ϕ <2π und 0 ≤ ? ≤ π (? =0° entspricht der Nordpolrichtung, ? =90° dem Äquator, ? =180° Südpolrichtung)
r = const ↔ Kugeloberflächen
ϕ = const ↔ Halbenene durch die z-Achse („geographische Länge“ auf dem Globus)
? = const ↔ Mantelfläche eines Kegels mit Spitze im Koordinatenursprung („Breite“ auf dem Globus)
Formeln analytische Geometrie
n
IR : n-dimensionaler Raum mit rechtwinkligem Koordinatensystem. Die Punkte P werden durch n-Tupel reeller
 p1 
n
mit p1,...pn ∈ IR.
Zahlen ("Koordinaten") dargestellt: P =  ...  ∈IR
 pn 
 
r
Vektor a : Klasse paralleler, gleichlanger und gleichgerichteter Pfeile, d.h. eine Vektor beschreibt eine Länge und
n
eine Richtung im n-dimensionalen Raum IR . Vektoren bleiben bei Parallelverschiebung erhalten!
r
a = P1P2 : Vektor als Punkt-verbindender Pfeil.
r
 a1 
r  
a =  ...  Spaltenvektor reeller Koordinaten ("Komponenten").
a 
 n
Ortsvektor eines Punktes P: a = OP , O ist der feste Ursprung. Jeder Vektor hat genau einen repräsentierenden
n
Ortsvektor, daher die Isomorphie (Strukturgleichheit) zwischen dem Raum der Punkte und dem Vektorraum IR .
3
r
2
2
2
Vektorbetrag/-länge : | a |= a1 + a 2 + a 3 im IR , sonst analog im rechtwinkligen Koordinatensystem.
r
r
Einheitsvektoren: a = 1
Nullvektor: 0 mit
r
0 = 0 hat keine Richtung!
r r
Vektoraddition: Geometrisch durch aneinanderreihen der Pfeile a + b = P1P2 + P2 P3 = P1P3 , arithmetisch
 a 1   b1   a 1 + b1 
    

durch Addition der Koordinaten:  ...  +  ...  =  ... 
a  b  a + b 
 n  n  n n
Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar: gleiche Richtung , jedoch veränderte Länge, evtl.
entgegengerichtet für s<0:
 a1   s ⋅ a 1 
  

s ⋅  ...  =  ... 
a  s ⋅ a 
 n  n
s∈IR.
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 a 1   b1   a 2 ⋅ b 3 − a 3 ⋅ b 2 
    

Vektorprodukt:  a 2  ×  b 2  =  a 3 ⋅ b1 − a1 ⋅ b 3 
a  b   a ⋅b −a ⋅b 
 3  3  1 2 2 1
3
nur im IR !
a  b 
r r  1  1
a ⋅ b =  a 2  ⋅  b 2  = a1 ⋅ b1 + a 2 ⋅ b 2 + a 3 ⋅ b 3
Skalarprodukt:
a  b 
 3  3
Koordinatenschreibweise im IR
n
im IR sinnvoll mit dem Summenzeichen schreibbar:
a
b
n
r r  1  1
a ⋅ b =  M  ⋅  M  = a1 ⋅ b1 + a2 ⋅ b2 + L + an ⋅ bn = ∑ a ⋅b
i i
 an   b3 
   
i =1
r
r r r
a ⋅ b =| a | ⋅ | b | ⋅ cos( α )
3
Koordinatenschreibweise im IR n
n
koordinatenfreie Darstellung auch im IR ,
r r
α ist der von a , b eingeschlossene Winkel (α ∈ [0°;180°] ).
Orthogonalität ⇔ α=90°.
n
Lineare Abhängigkeit: k Vektoren des IR sind linear abhängig, wenn es reelle Zahlen s1,...,sk ∈IR gibt mit:
r
2
2
⋅ s1 ⋅ a1 + ... + s k ⋅ a k = 0 und gleichzeitig s1 +...+sk ≠ 0.
n
Lineare Unabhängigkeit: k Vektoren des IR sind linear unabhängig, wenn es keine derartigen Zahlen gibt.
Praktisch : Man versucht den obigen Ansatz und stellt („etwas verwundert“) fest : s1=s2=...=sk=0 (notwendige Bed.).
n
Im IR gibt es maximal n linear unabhängige Vektoren und es gibt immer z.B. diese n linear unabhängigen
1
0
0
 
 
 
0
1
 ...
Koordinaten-Einheitsvektoren: e1 =   , e 2 =   , ..., e n =  
...
...
0
 
 
 
0
0
1
 
 
 
r
r r
r
r
Komponentenzerlegung von Vektoren: Wenn a , b linear unabhängig sind und x = m1 ⋅ a + m 2 ⋅ b ,
r
r
r
so heißt m1 ⋅ a die Komponente von x in Richtung a usw.
n
Gerade im IR : Punkt-Richungsform:
2-Punkte-Form:
3
Gerade im IR : Normalform :
r
r
g: x = 0P1 + λ ⋅ a
(
für λ∈IR .
r
g: x = 0P1 + λ ⋅ 0P2 − 0P1
)
für λ∈IR .
(
r r
)
"g" ist Lösungsmenge der Gleichung: n ⋅ x − 0P1 = 0
r
wenn n ein zur Geradenrichtung orthogonaler Vektor und 0P1 ein Punkt von g ist.
(
)
o r
Hessesche Normalform : "g" ist Lösungsmenge der Gleichung: n ⋅ x − 0P1 = 0
wenn n
o
ein zur Geradenrichtung orthogonaler Einheitsvektor und 0P1 ein Punkt von g ist.
n o ⋅ 0P1 = Abstand des Ursprungs zur Gerade, >0, wenn 0 und n o auf einer Seite der
Geraden liegen.
n o : "Normaleneinheitsvektor" ist immer genau bis auf Orientierung eindeutig bestimmt.
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S. 7
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r
r r
r
r
3
Ebene im IR : Punkt und 2 Richtungen: E: x = 0P1 + λ ⋅ a + µ ⋅ b für λ,µ∈IR , wenn a , b linear unabh.
(
r
) (
E: x = 0P1 + λ ⋅ 0P2 − 0P1 + µ ⋅ 0P3 − 0P1
3-Punkte-Form:
wenn P1,P2,P3 nicht auf einer Geraden liegen.
(
r r
)
für λ,µ∈IR ,
)
Normalform: "E" ist Lösungsmenge der Gleichung: n ⋅ x − 0P1 = 0
r
wenn n ein zur Ebene orthogonaler Vektor und 0P1 ein Punkt von E ist.
(
)
o r
Hessesche Normalform : "E" ist Lösungsmenge der Gleichung: n ⋅ x − 0P1 = 0
wenn n
o
ein zur Ebene orthogonaler Einheitsvektor und 0P1 ein Punkt von E ist.
n o ⋅ 0P1 = Abstand des Ursprungs zur Ebene; >0, wenn 0 und n o auf einer Seite der Ebene liegen.
r r
n o ist aus den anderen Formen leicht als Vektorprodukt der beiden Ebenenrichtungen a , b
r r
a×b
3
2
o
berechenbar : n = r r . Dies ist nur im IR (und durch Ergänzung von z=0 im IR ) so einfach.
a×b
Hyperebene : Verallgemeinerung. Ein affiner Unterraum der Dimension (n-1) im n-dimensionalen Raum. Hat
genau einen orthogonalen Einheitsvektor (und die Gegenrichtung natürlich).
3
2
Normalform und Hessesche Normalform wie bei Ebene im IR und Gerade im IR !
3
2
Abstand Punkt zu Hyperebene: (gilt also auch für Ebene im IR und Gerade im IR )
o
P0 beliebiger Punkt, P1 Punkt der Hyperebene mit Normaleneinheitsvektor: n :
(
d = n o ⋅ 0P0 − 0P1
)
3
Ebenenschnitt im IR : Ebenen können a) parallel sein (linear abhängige Normalenvektoren) ⇒ E1∩E2=∅
b) identisch sein (parallel mit einem gemeinsamen Punkt) ⇒ E1∩E2=E1=E2
c) sich in einer Geraden schneiden (nicht parallele Ebenen)
Bei c) ist E1∩E2=g .
r
Rechenweg 1: Richtungsvektor n von g orthogonal zu beiden Normalenvektoren n1 , n 2 der
r
Ebenen : z.B. n = n1 × n 2 . Wenn dann noch ein gemeinsamer Punkt von E1, E2 bekannt ist,
ist die Normalform anwendbar.
Rechenweg 2 : Gleichsetzen der beiden parametrischen Ebenenformulierungen:
r
r
r
r
r
x = 0P1 + λ1 ⋅ a1 + µ1 ⋅ b1 = 0P2 + λ 2 ⋅ a 2 + µ 2 ⋅ b 2
für bestimmte λ1,µ1,λ2,µ2∈IR .
Dieses LGS für λ1,µ1,λ2,µ2 hat genau den Rang 3, eine der Variablen (z.B. λ1) kann also alle
r
r
r
drei anderen bestimmen und damit hat x eine Darstellung als Gerade : x = 0P3 + λ1 ⋅ a 3
Matrix:
Unter einer Matrix A vom Typ (m; n) versteht man ein aus m Zeilen und n Spalten bestehendes Zahlenschema,
das durch runde Klammern begrenzt wird. Andere Schreibweisen, speziell solche, die zu Verwechslungen
mit Determinanten führen können, sind hier unzulässig!
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0 
 1 2 b


Beispiel: A =  − 2 c 0 sin( d ) 
 5 6 7 10 −5 


ist eine (3; 4)-Matrix, wenn b,c,d Zahlenkonstanten (evtl. mit unbekanntem aber festem Wert) sind.
Matrixaddition komponentenweise nur bei gleichdimensionierten Matrizen. Multiplikation mit einem Skalar
ebenfalls komponentenweise.
Matrximultiplikation : A vom Typ (m; n) ist nur dann von links kompatibel mit B vom Typ (k; l), wenn n=k !
Das Ergebnis berechnet sich nach dem Falkschema (Zeilenvektoren von A jeweils einzeln mit den
Spaltenvektoren von B mittels Skalarprodukt verrechnen) und ergibt eine Matrix vom Typ (m; l).
Fast immer ist A⋅B ≠ B⋅A ("kein Kommutativgesetz"), falls diese Rechnung überhaupt möglich sind!
Matrixinverse: nur für quadratische Matrizen, wenn A⋅B = B⋅A = E
-1
⇒ A :=B .
A heißt dann "regulär", sonst "singulär".
Wichtig: Ist A quadratisch vom Typ (n;n) und gilt Rang(A) = n, so ist A regulär und umgekehrt!
Die Rangbestimmung und die Berechnung der Inversen kann mittels Gauß-Algorithmus erfolgen.
Determinante : im Unterricht haben wir nur Determinanten der Ordnung n=2 und n=3 behandelt, die Definition
kann aber für alle quadratischen Matrizen regursiv erfolgen:
a b
 = ad − bc
c
d


det(A)= 
 a11 a12

det(A)=  a 21 a 22
a
 31 a 32
a13 

a 23  = a11⋅a22⋅a33+a12⋅a23⋅a31+a13⋅a21⋅a32–a13⋅a22⋅a31–a11⋅a23⋅a32–a12⋅a21⋅a33 (Sarrus)
a 33 
.
-1
det(A ) = 1/det(A) .
Wichtig: det(A) ≠ 0 ⇔ A ist regulär .
Spezieller Gauß-Algorithmus für die Lösung von LGS in Matrizenschreibweise:
r
r r
Das LGS A ⋅ x = b wird vollständig durch die erweiterte Koeffizientenmatrix ( A | b ) beschrieben.
r
Äquivalente Umformungen von ( A | b ), die die Lösungsmenge des LGS bzw. den Rang der erweiterten
Matrix nicht verändern sind:
• Vertauschen von 2 Zeilen
• Multiplikation einer Zeile mit einem Faktor ≠ 0
• Addieren des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile
• Ein Spaltentausch wird bei diesem Lösungsverfahren nicht durchgeführt!
r
r
( A | b ) wird durch äquivalente Zeilenumformungen in eine ranggleiche Matrix ( A* | b * ) in
Trapezform übergeführt, aus der sich der Rang ablesen lässt. Unterhalb der Hauptdiagonalen dürfen nur
Elemente mit dem Wert 0 auftreten. Die Elemente auf der Hauptdiagonalen dürfen jeden Wert, auch 0
zur Vermeidung des Spaltentausches annehmen.
r
Ein LGS ist genau dann lösbar, wenn Rang(A | b ) = Rang(A) .
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Der Rang einer Matrix A ("Rang(A)") ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren von A
(und gleichzeitig auch die maximale Anzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren von A). Er ist bei
vollständiger Durchführung des Gaußalgorithmus aus der Anzahl der Zeilen von (A* ) ablesbar, die nicht
komplett 0 (Nullvektoren) sind.
r
Unterbestimmte LGS : n-Rang(A)>0, wenn "n" die Dimension von x , d.h. die Spaltenzahl von A ist.
Die Lösungsmenge des LGS besitzt im Fall der Lösbarkeit n-Rang(A) freie Parameter. Die Lösungsmenge ist
ein "affiner" Unterraum.
Komplexe Zahlen:
2
„i“ oder bei uns „j“ ist eine der beiden (symbolischen) Lösungen von x = −1 zur Erweiterung von IR .
jϕ
2
2
z = a + jb = r ⋅ e
mit a = Re ( z ), b = Im ( z ), r = | z | = a + b ≥0 , tan (ϕ) = b / a für a≠0,
ϕ = 90° für a=0 und b>0 ; ϕ = 270° für a=0 und b<0; ϕ unbestimmt für a=0 und b=0.
z* = a – jb = r ⋅ e
-jϕ
: konjugiert komplexe Zahl zu z = a + jb.
n n jnϕ
z =r ⋅e
für n∈Z, wenn r > 0 .
Winkel ϕ zu vertsehen.
jϕ
e
2
z⋅z* = |z| .
ist immer als Punkt des Einheits-Ursprungskreises mit polarem
Funktionen allgemein:
f : D à IR : Zuordnung der Punkte des Definitionsbereiches D⊂IR zu einem Punkt f(x)∈W⊂IR .
Zuordnungsvorschrift muß vollständig sein, also für jedes x∈D erklärt sein, jedoch wird nicht immer jedes y∈IR
erreicht. Schreibweise : W:=f(D) Wertebereich.
f(x) : Funktionswert für das Argument x. Die Funktion hängt nicht vom Bezeichner des Arguments ab!!!
Beispiele f =
. Die Funktion selber wird immer ohne Argument "x" geschrieben und bezeichnet
x
hauptsächlich die Funktionsvorschrift/Zuordnungsvorschrift. Oft schreibt man dennoch z.B. e für die
Exponentialfunktion, wenn klar ist, das der Definitionsbereich ⊂IR (ansonsten komplexe Exponentialfunktion).
Die Angaben von D und W (oder eine Obermenge von W reicht) ist notwendig, da es auch für andere Räume
n
derartige Zuordnungsvorschriften gibt. Beispiel: | | : IR à IR Vektorlänge.
Funktionen sind Erweiterungen des Vektorbegriffs : f: {1;2;...;n}àIR kann man auch als n-dimensionalen
Vektor schreiben.
f1+f2 : DàIR , für (f1+f2)(x) := f1(x)+f2(x) wenn D = D1∩D2≠∅ usw. für Subtraktion, Multiplikation.
Verkettung von Funktionen , mittelbare Funktionen :
Bildet f in den Definitionsbereich von g ab, so kann man h := f ° g : Dh à IR
mit h(x):=g(f(x)) definieren.
Meist muß der Definitionsbereich von f dafür eingeschränkt werden: Dh ⊂ Df .
Es muß Wf ∩ Dg ≠ ∅ gelten!
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Darstellung mittelbarer Funktionen am Beispiel
2
h(x) = ln(sin (x)):
2
f(x)=sin (x)
y = f(x)
g(y) = ln(y)
u = g(y)
y
y0
1,2
3
1
u 2
0,8
1
0,6
0
0,4
-1 0
0,2
-2
0
-8
-6
-4
-2
-0,2
x
0
2
4
6
8
0,5
1
1,5
u0
-3
-4
u = h(x) = g(f(x))
1
u
x0
-8
0
-6
-4
-2
x
0
2
4
6
8
-1
u0
-2
-3
-4
Umkehrfunktion/inverse Funktion : Ist Id : IR à IR die identische Funktion, also Id(x)=x, so bezeichnet man
für eine vorgegebene Funktion f eine Funktion g mit der Eigenschaft f ° g = g ° f = Id als inverse Funktion,
wenn Dg=Wf und Df=Wg ist.
-1
x
Schreibweise : f ist die inverse Funktion zu f, wenn es sie überhaupt gibt, wie z.B. beim Paar e ud ln(x).
Schreibweise : y=f(x) und x=f
-1
(y) um die Umkehrwirkung deutlich zu machen!
Beispiel: Bestimmung der inversen Funktion, falls existent, durch "Auflösen nach x":
y = f(x) :=
x
⇒
1+ x
y + yx = x
⇒
y = x ⋅ (1 − y ) ⇒
Die inverse Funktion hat also die Funktionsvorschrift (y durch x ersetzen!) : f
x=
-1
y
-1
=: f (y)
1− y
: IR \{1} à IR , f
-1
(x):=
x
1− x
Die inverse Funktion entsteht durch Spiegelung des Graphen von f an der Winkelhalbierenden im Koord.System.
Die arc-Funktionen der Trigonometrie sind Umkehrfunktionen der auf Teilintervalle beschränkten
Standardfunktionen sin, cos, tan.
Die Wurzelfunktionen sind analog die Inversen von eingeschränkten Potenzfunktionen.
Eine streng monotone Funktion hat immer eine Inverse, umgekehrt nicht!
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2y
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Ableitungen:
Elementare Funktionen:
Funktion
Potenzfkt
Exponentialfkt.
Logarithmen
Symbolisch
n
x
x
e
x
a
ln(x)
Ableitung
n-1
n⋅x
, n≠0, evtl. x>0
x
e
x
(ln(a))⋅a
, a>0
1
x
1
loga(x)
Trigonometrische Fkt.
(ln(a )) ⋅ x
cos(x)
–sin(x)
sin(x)
cos(x)
tan(x)
2
1+tan (x) =
1
2
cos ( x )
−1
cot(x)
2
sin ( x )
Arkusfkt.
arcsin(x)
1
1− x2
−1
arccos(x)
1 − x2
Hyperbelfkt.
arctan(x)
1
arccot(x)
1 + x2
−1
1+ x2
sinh(x)
cosh(x)
tanh(x)
cosh(x)
sinh(x)
1
2
cosh ( x )
coth(x)
−1
2
sinh ( x )
Die Regeln:
1. Der Differenzialoperator ist ein linearer Operator: (a⋅f +b⋅g)´ = a⋅f´ + b⋅g´
(a,b sind konstant!).
2. Produktregel:
(f⋅g)´ = f´⋅g + f⋅g´ .
′
 f 
g ⋅ f ′ − f ⋅ g′


3. Quotientenregel:
wenn g(x)≠:0
g =
 
g2
4. Kettenregel :
5. Logarithmisches Ableiten (bei gebr.rat.Fkt)
(g(f(x)))´ = g ´(f(x))⋅f´(x) .
′
(ln(f) )′ = f
f
(Achtung!)
(vorher logarithmieren, nachher nach f´ auflösen)
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6. Ableitung der Umkehrfunktion:
(f
also:
(f
-1
(y))´ =
-1
(x))´ =
1
f ′( x )
wenn y = f(x) (gemäß „Kettenregel“)
1
(die unabhängige Var. ist immer x)
−1
f ′(f ( x ))
7. Implizite Differenziation: Berechnung der Ableitung einer nur implizit dargestellten Funktionalität in einem
Punkt (x0,y0) mit partiellen Ableitungen, s.u.:
f(x,y) = 0 mit y=y(x) à 0 =
df ∂f ∂f
=
+ ⋅ y´ nach y´auflösen und y=y0, x=x0 einsetzen!
dx ∂x ∂y
8. Ableitung einer Funktion/Kurve in Parameterdarstellung (s.u.):
dy
dx
y&
x=x(t), y=y(t) für t1≤t≤t2 à y′ =
, y& :=
wenn x& :=
dt
dt
x&
Differenzial und Tangente:
df := f´(x0)⋅dx : linearisierte Änderung von f an der Stelle (x0,y0), y0=f(x0), wenn sich das Argument
um dx>0 verändert, d.h. für kleine dx : f(x0+dx)-f(x0) ≈ df .
f´(x0) =
t(x ) − y0
:
x − x0
Tangentengleichung x à t(x). für den Berührpunkt (x0;f(x0)) .
f´(x0) ist die Steigung der Tangente an f im Punkt (x0,y0),
n
(
x
)
−
y
−1
0 :
=
Gleichung der Kurvennormale x à n(x)
( für f´(x0) ≠0 )
f ′( x 0 )
x − x0
Ableitung, Tangente und Normale einer vektoriellen Kurvendarstellung „Differenzialgeometrie“:
 x(t ) 
 x ′( t ) 
r
r&




Kurvenbeschreibung in Parameterform C: r ( t ) = y( t ) für t0≤t≤t1 . Ableitung: r ( t ) = y′( t )




′
z
(
t
)
z
(
t
)




r rr&
Tangenteneinheitsvektor : T = r
r&
r
r T&
Hauptnormaleneinheitsvektor: N = r
&
T
r
Krümmung und Krümmungsradius der Kurve im Punkt r ( t ) , wenn „t“ die Bogenlänge ist, s.u. .
Krümmung :
r&
T
Krümmungsradius :
1
r& .
T
r
 fx ( x ) 
r r
 r 
Differenzialoperatoren für Vektorfelder f ( x ) := fy ( x ) (Achtung, keine partiellen Ableitungen sondern x,y,z r 
 fz ( x ) 
r 3 3
r m n
Komponenten von f : IR àIR bzw. allgemein f : IR àIR )
T
r
 ∂f
∂f 
n
 für f: IRàIR („skalares Feld“) zeigt in die Richtung der
Gradient : ∇f := grad(f):= 
,L,
∂x n 
 ∂x1
Zunahme von f.
|grad(f)| ist Stärke des Anstiegs.
r
Felder f , die Gradient einer („skalaren“) Funktion φ sind nennt man konservative Felder. φ nennt man das
zugehörige Potential.
Die Wegintergrale (s.u.) derartiger Felder sind nur vom Anfangs- und Endpunkt, nicht vom Weg abhängig (in
einfach zusammenhängenden Gebieten) !
r 3 3
r
r
r
∂fx ∂fy ∂fz
+
+
Divergenz : div f :=
= ∇ T ⋅ f für f : IR àIR .
∂x
∂y ∂z
Gibt die „Quellenstärke“ des Feldes an. (Null bei Magnetfelder)
()
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[02.02.2006]
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 ∂fz − ∂fy 
 ∂y ∂z 
0


 r r

 r 2 2

r
r
r
3
3
fx
fz
∂
∂
0


 für f : IR àIR

Rotation : rot (f ) :=
= ∇ × f für f : IR àIR und rot (f ) :=
−
 ∂z ∂x 
 ∂fy − ∂fx 
 ∂fy − ∂fx 
 ∂x ∂y 
 ∂x ∂y 


Die Rotation mißt die Wirbelstärke von Feldern.
r
r
Konservative Felder f erfüllen immer rot( f ) = 0.
r
In einfach zusammenhängenden Gebieten gilt auch die Umkehrung: Wirbelfreie Felder (also mit rot( f ) = 0) für
r
alle zulässigen x aus einem einfach zusammenhängenden Gebiet sind konservative Felder, d.h. es gibt ein
„erzeugendes“ Potential .
Extremwertstellen:
Lokale Extremwertstellen: x0∈Df ist lokales/relatives Minimum (Maximum), wenn für alle x≠x0 aus einer
gewissen Umgebung von x0 gilt: f(x)>f(x0) (für Maximum : f(x)<f(x0)) .
Globale Extremwertstellen: x0∈Df ist globales Minimum (Maximum), wenn für alle x aus Df gilt f(x)≥f(x0)
(für Maximum : f(x)≤f(x0))
Notwendige Bedingung: Besitzt f an einem inneren Punkt x0∈Df ein relatives Extremum und ist f dort stetig
differenzierbar , so ist f´(x0)=0.
Hinreichende Bedingung:
(n-1)
Ist f´(x0)=0 und ist f dort n-mal stetig ableitbar mit geradem n≥2 und f´´(x0)=...=f
(x0)=0,
(n)
(n)
so besitzt f bei x0 ein relatives Minimum, wenn f (x0)>0, und ein relatives Maximum, wenn f (x0)<0.
Bei ungeradem n mit diesen Voraussetzungen haben Sie einen Sattelpunkt (Wendepunkt mit horizontaler
Tangente) vor sich, s.u.!
n
Notwendige Bedingung: Ist f:IR àIR an einem inneren Punkt x0∈Df (stetig) diffbar und besitzt f dort ein
relatives Extremum, so sind alle partiellen Ableitungen von f Null:
r
r
∂f
∂f
= ... =
= 0 bzw. ∇f = 0
∂x1
∂x n
2
Hinreichende Bedingung (für n=2): Ist f:IR àIR an einem inneren Punkt x0∈Df zweifach stetig diffbar und ist
2
2
2
2
r
r
dort ∇f = 0 , so besitzt f an der Stelle x0 ein lokales Extremum, wenn
Es ist ein lokales Maximum, wenn
∂ 2f
∂x 2
∂ f ∂ f  ∂ f 
⋅
−
> 0 ist.
∂x 2 ∂y 2  ∂x∂y 
< 0 bzw. ein lokales Minimum, wenn
∂ 2f
∂x 2
>0
2
∂ 2f ∂ 2 f  ∂ 2f 
Ist unter der gleichen Voraussetzung
⋅
−
< 0 , so besitzt f in x0 einen Sattelpunkt.
∂x 2 ∂y 2  ∂x∂y 
Wendepunkte für f: IRàIR
Kurvenpunkte, in denen sich der Drehsinn der Tangente (Orientierung der Krümmung) ändert, heißen
Wendepunkte.
Hinreichende Bedingung für Wendepunkte: Ist f an einem inneren Punkt x0∈Df (2n+1)-mal stetig diffbar
(2n)
(2n+1)
und sind f´´(x0)=...=f
(x0)=0 und f
(x0)≠0, so besitzt f einen Wendepunkt an der Stelle x0.
Wendepunkte mit waagerechter Tangente (f´(x0)=0) nennt man Sattelpunkte.
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S. 14
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Numerisches Ableiten
Sehr schwierig und fehlerträchtig! Einfachste symmetrische Formel: f´(x) ≈
f (a + h ) − f (a − h )
2h
h soll klein, aber nicht zu klein sein (Rundungsfehler)! Faustformel zur Wahl von h :
h optimal ≈ 10 − N max / 2
Nmax: Rechengenauigkeit/maximale Anzahl tragender Stellen des verwendeten Programms.
Integrieren
Grund- oder Stammintegrale (Umkehrung der Ableitungstabelle)
∫
∫
∫ e dx = e + C
∫
∫ ln( x) dx = x ⋅ (ln( x) −1) + C
∫ log (x) dx = x ⋅ (ln( x) −1)/ ln(a) + C
∫ sin( x) dx = − cos(x) + C
∫ cos(x) dx = sin( x) + C
1
1
tan( x ) dx = ⋅ ln (1 + tan ( x ) )+ C
cot(x ) dx = − ⋅ ln (1 + cot ( x ) )+ C
∫
∫
2
2
∫ arcsin( x) dx = x ⋅ arcsin( x) + 1 − x + C ∫ arccos(x) dx = x ⋅ arccos(x) − 1 − x + C
arctan( x ) dx = x ⋅ arctan( x ) − ln  1 + x  + C arc cot(x ) dx = x ⋅ arc cot(x ) + ln  1 + x  + C
∫
∫




∫ sinh( x) dx = cosh(x) + C
∫ cosh(x) dx = sinh( x) + C
∫ tanh(x) dx = ln(cosh( x)) + C
∫ coth(x) dx = ln(sinh( x)) + C
x n dx =
x
n +1
n +1
x
+C
1
dx = ln | x | +C
x
(n≠-1)
x
a x dx =
ax
+C
ln( a )
a
2
2
2
2
2
2
Einige spezielle Stammfunktionen:
∫
∫
∫
1
2
dx = tan( x ) + C
cos ( x )
 arcsin( x ) + C
dx = 
− arccos( x ) + C
1− x 2
cosh 2 ( x )
dx = − cot(x ) + C
sin ( x )
1
1
∫
1
∫ 1+ x
∫
1
2
dx = tanh( x ) + C
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 arctan( x ) + C
dx = 
2
− arc cot(x ) + C
1
sinh 2 ( x )
S. 15
dx = − coth( x ) + C
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∫
∫
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 arcsin h ( x ) + C

dx = 
ln x + x 2 + 1 + C

x 2 +1
∫
1
 arccos h ( x ) + C

dx = 
2
ln x + x − 1 + C
x 2 −1
1
für |x|>1

1 1+ x 
arctanh ( x ) + C = 2 ⋅ ln  1 − x  + C für | x |< 1
1


dx = 
2
+
x
1
1

1− x
arccoth( x ) + C = ⋅ ln 
 + C für | x |> 1

2  x −1
Regeln:
1. Hauptsatz (Umkehrung der Ableitung):
x
Die Integralfunktion F(x) :=
∫ f (t) dt
ist differenzierbar mit Ableitung F´(x)=f(x)
a
Das bestimmte und unbestimmte Integral ist für alle stetigen Funktionen auf endlichen Intervallen wohldefiniert.
2. Das unbestimmte Integral (Menge von Funktionen über dem zugrundeliegenden Intervall) ist durch eine
beliebige Stammfunktion festgelegt:
∫
f dx = F + C wenn F eine Funktion ist mit F´= f.
3. Das bestimmte Integral läßt sich aus einer beliebigen Stammfunktion berechnen (soweit vorhanden):
b
Ist F mit F´= f bekannt, so gilt
∫ f (t) dt = F(b) − F(a)
a
∫ (a ⋅ f + b ⋅ g ) = a ⋅ ∫ f + b ⋅ ∫ g
4. Der Integraloperator ist linear:
5. Das bestimmte Integral ist additiv bezüglich des Integrationsintervalls:
c
b
c
∫ f dx = ∫ f dx + ∫ f dx
a
a
sofern alle betrachteten Integrationsbereiche im Stetigkeitsbereich von f liegen.
b
b
Speziell gelten auch :
a
∫ f dx = −∫ f dx
a
a
und
b
∫ f dx = 0
a
b
6. Partielle Integration: ∫ ( f ⋅ g ′) = f ⋅ g − ∫ ( f ′ ⋅ g )
bzw.
∫
f ⋅ g ′ dx = f ⋅ g
a
7. Die Substitutionsregel (Version 1) :
b
⌠
⌡f(y) dy .
bzw.
∫
b
b
− ∫ f ′ ⋅ g dx
a
a
g (b)
f (g( x )) ⋅ g ′(x ) dx =
∫
f ( y) dy
a
g (a )
Die Substitutionsregel (Version 2, “Integralsubstitution“, Papula Bd.1, 8.1.2 ) : Substitution mit
invertierbarer Funktion, d.h. Übergang auf einen neue Integrationsvariable oder auf ein neues
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Koordinatensystem:
g −1 ( b)
b
⌠
⌡f(g(t))⋅g'(t) dt
⌡f(x) dx .= ⌠
∫
bzw.
f ( x ) dx =
a
∫
f (g (t )) ⋅ g′( t ) dt
g −1 (a )
Merke: es gibt keine allgemeine Integrationsregel für verkettete Funktionen !
8. Weitere Integrationstechniken
Heute spielen die weiteren Integrationsverfahren, insbesondere die Integration durch
Partialbruchzerlegung (Papula Band 2, S. 8.22) besonders für gebrochen rationale Funktionen nicht mehr
solch eine große Rolle, da alle Verfahren sehr effektiv in „Computer-Algebra-Programmen“ wie Maple
in symbolischer Weise implementiert sind.
Wichtig für die Praxis ist ferner die Integration durch Reihenentwicklung. Der Integrand wird z.B. nach
Taylor in eine Potenzreihe entwickelt, die dann gliedweise integrierbar ist.
Die numerische Integration kann nur zahlenmäßige Annäherungen an bestimmte Integrale bzw.
Stammfunktionen liefern. Für die Praxis ist die erreichbare Genauigkeit (fast) immer ausreichend, zumal die
Formeln numerisch stabil umgesetzt werden können (Rundungs- und Diskretisierungsfehler bleiben meist
kontrolliert). Wichtigste Regeln sind die Trapez-, die Simpsonregel und die „Gauß´sche Quadratur“.
Spezielle Integrale
Flächeninhalt mit y-achsenparallelen Rändern zwischen zwei Funktionen :
A=
b
∫ f o ( x) − fu ( x) dx
a
mit eindeutiger oberer und unterer Funktion fo bzw. fu
b
oder
∫ f1( x) − f 2 ( x) dx
a
wobei Schnittpunkte beider Funktionsgraphen eine Rolle für die Auflösung des Betragszeichens spielen.
Bogenlänge
b
2
s = ∫ 1 + (f ′( x ) ) dx wenn die Kurve explizit als Funktion y=f(x) gegeben ist.
a
t2
s=
∫
r
r
r& dt wenn die Kurve parametrisiert als r ( t ) für t1≤t≤t2 vorliegt
t1
2 dimensionale Kurven:
t2
∫
t1
t2
3 dimensionale Kurven : ∫
t1
2
2
x& + y& dt
2
2
2
x& + y& + z& dt
Rotationskörper (um x-Achse, andere möglich):
Entstehen durch Drehung einer Kurve f(x) für a ≤ x ≤ b (Randkurve „Meridiane“) um die feste x-Achse.
b
Volumen: Vx = π ⋅ ∫ f 2 ( x) dx
a
Mantel des Drehkörpers (Oberfläche ohne linken und rechten „Deckel“):
b
M x = 2p ⋅ ∫ f ( x) ⋅ 1 + ( f ´( x )) dx
2
a
Schwerpunkt des Drehkörpers beim homogener Massendichte ρ=1: ys=0 wegen Symmetrie!
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b
x⋅ f 2
p
∫
2
x s = ⋅ ∫ x ⋅ f ( x ) dx =
2
V a
∫f
Linien- oder Kurvenintegral
∫
r r
f ( r ) d r bzw. in Anlehnung an den (kontinuierlichen) Arbeitsbegriff der Physik:
C
∫
r r r
f ( r ) ⋅dr
C
rr T r
r r
r
r
Definiert als Grenzwert einer Summe f(ξ) ⋅ ( ri +1 − ri ) bzw f(ξ) ⋅ ( ri +1 − ri ) über eine Zerlegung
r
r
r
r0 ,L, rn des Weges „C“ mit Zwischenstellen ξ in jedem Teilintervall.
Konkrete Berechnung direkt mit Definition für einfache, explizit darstellbare Kurven:
x1
y1
∫
(fx (rr ) dx + fy ( rr ) dy + fz( rr ) dz ) =
∫
fx ( x, y( x ), z( x )) dx +
∫
z1
∫
fy (x ( y), y, z ( y)) dy + fz ( x (z), y(z), z ) dz
C
x0
y0
z0
wobei immer zu beachten ist, das dies nicht einfach nur drei Teilintegrale mit y,z konstant im ersten
Integral, x,z konstant im zweiten und x,y konstant im dritten Integral ist! Es gibt jeweils nur eine
unabhängige Variable in jedem Teilintervall und die anderen Variablen müssen als Funktionen dieser
Variable darstellbar sein.
Konkrete Berechnung bei parametrisierten Kurven:
t1
r
r dr
Substitutionsregel: d r =
⋅ dt
ˆ
dt
⇒
∫
r r r
f ( r ) ⋅ dr =
∫
r r r
f ( r ) ⋅ &r dt
C
t0
Ist der Kurvenzug geschlossen, also Anfangs- und Endpunkt gleich, so schreibt man
∫
r r r
f ( r ) ⋅ dr =
C geschlossen
∫
r r r
f (r ) ⋅ dr
C
r
ist bei Wirbelfeldern (rot( f )≠0) oder bei Kurven in mehrfach zusammenhängenden Gebieten häufig
nicht Null (s.o. konservative Felder, „Wegunabhängigkeit“).
Mehrfachintegrale
Definition als Grenzwert dieser Teilsummen:
n
∫∫
r
f (x ) dA :=
A
lim
∑
n →∞
∆A k → 0 k =1
r
f (x k ) ⋅ dA k bzw.
∫∫∫
r
f ( x ) dV :=
V
n
lim
∑
n→∞
∆Vk → 0 k =1
r
f ( x k ) ⋅ dVk
Doppelintegral: Ak ist eine Teilfläche (meist Rechteck mit Flächeninhalt ∆Ak) der Zerlegung der ebenen Fläche
r
A und x k ein beliebiger Flächenpunkt von Ak. f ist eine auf A definierte stetige Funktion.
Dreifachintegral: Vk ist ein Teilkörper (meist Quader mit Volumeninhalt ∆Vk) der Zerlegung des räumlichen
r
Körpers V und x k ein beliebiger Punkt aus Vk. f ist eine im ganzen Volumen V definierte stetige Funktion.
Voraussetzung zur konkreten Berechnung: Die Integrationsgebiete müssen als Normalbereiche beschrieben sein:
Normalbereich: a ≤ x ≤ b
fu(x) ≤ y ≤ fo(x)
( und bei 3-fach-I. : zu(x,y) ≤ z ≤ zo(x,y) )
Die Rollen von x,y,z können auch beliebig vertauscht sein!
Auflösung der Mehrfachintegrale mithilfe von Normalbereichen:
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 

 

r

f ( x ) dV := 
f ( x, y, z ) dz  dy  dx

 



V
a f u ( x )  z u ( x , y)
 
b  f o (x)



r

f (x ) dA :=
f ( x , y) dy  dx




A
a  f u (x)

∫∫
b  f o ( x )  z o ( x , y)
∫∫∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
Bei Mehrfachintegralen sind die Integrale von Innen nach Außen zu berechnen, wobei alle Variablen bei der
Integration als unabhängig gelten (anders als bei Kurvenintegralen, wo die Koordinaten nicht voneinander
2
2
2
3
unabhängig sind!). Besipiel: ∫ x ⋅ cos( y) dy = x ⋅ sin(y ) und ∫ x ⋅ cos( y) dx = x ⋅ sin(y) / 3
Achtung bei der Verwendung von krummlinigen Koordinatensystemen, das Volumenelement ist nicht einfach!
Polarkoordinaten:
Zylinderkoordinaten :
∫∫
r
f (x ) dA :=
A
ϕ1  ro (ϕ)




f (r, ϕ) r ⋅ dr  dϕ




ϕ 0  ru (ϕ)

∫∫∫
∫ ∫
r
f ( x ) dV :=
V






f (r, ϕ, z ) dz  r ⋅ dr  dϕ



 z ( r, ϕ)


 u

ϕ1  ro (ϕ)  z o ( r , ϕ)



ϕ 0 ru (ϕ)
∫ ∫ ∫
Kugelkoordinaten :
∫∫∫
r
f ( x ) dV :=
V
also
ϕ1  ro (ϕ)  ψ o ( r , ϕ)



ϕ 0  ru (ϕ)
∫ ∫






f (r, ϕ, ψ ) ⋅ sin( ψ ) dψ  r 2 ⋅ dr  dϕ




 ψ ( r , ϕ)


 u
∫
2
dV = r ⋅sin(? ) dr d? dϕ
bei Kugelkoordinaten!
r
Flächenbestimmung mittels Doppelintegral bzw. Volumenbestimmung mittels Dreifachintegral: : f( x )=1.
r
Schwerpunktberechnung: f( x )=x für die x-Koordinate usw. : x s =
1
A
∫∫ x dA
A
Differentialgleichungen DGL
Kommen in Funktional-Gleichungen Ableitungen der gesuchten Funktion(en) vor, so spricht man von DGLs.
Partielle DGL: es kommen partielle Ableitungen vor.
gewöhnliche DGL („gDGL“): es kommen nur Ableitungen einer einzigen unabhängigen Variable vor.
Ordnung der DGL: die höchste vorkommende Ableitungsordnung.
Explizite Form der gDGL :
Implizite Form der gDGL :
(n)
y
(n-1)
= f(x,y,y‘,...,y
)
(n-ter Ordnung)
)=0
(n-ter Ordnung)
(n-1) (n)
f(x,y,y‘,...,y
,y
(n)
häufig kann man die implizite Form nach y auflösen. : x + y⋅y‘ = 0 und y≠0 ⇔ y‘ = -x/y.
Grad der Differentialgleichung: Grad der höchsten Potenz von y bzw. seinen Ableitungen.
Lineare DGL : Eine gDGL ersten Grades ! Allgemeinste Form :
(n)
(n-1)
y + a1(x)⋅y
+ ...+ an-1(x)⋅y‘ + an(x)⋅y = g(x)
Störglied einer (linearen) DGL: Alle Ausdrücke (Terme) , die weder y noch seine Ableitungen enthalten, hier
z.B. g(x).
Inhomogene (lineare) DGL: Es gibt ein Störglied (es ist ungleich null).
Homogene (lineare) DGL : Das Störglied ist gleich null.
d
Separable gDGL(nur 1. Ordnung): y‘ = f(x)⋅g(y) d.h. :
y(x) = f(x)⋅g(y(x))
für alle zulässigen x.
dx
Die allgemeine Lösung einer gDGL n-ten Ordnung enthält n voneinander unabhängige Parameter
(„Integrationskonstanten“)
Eine spezielle oder partiktuläre Lösung ist eine Lösung der gDGL ohne Parameter. Meist wird sie aus der
allgemeinen Lösung gewonnen, indem man aufgrund zusätzlicher Bedingungen den n Parametern feste Werte
zuweist. Dies können Anfangsbedingungen oder Randbedingungen sein.
Bei vielen gDGL gibt es auch noch singuläre Lösungen, daß sind Lösungen (ohne
Parameter/Integrationskonstante), die nicht aus der allgemeinen Lösung (durch Parameterwahl) gewonnen
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werden können. Es sind häufig „Spezialfälle“, also Sonderlösungen ohne besonderen Nutzen wie z.B. y≡0 für
die DGL y‘=y.
Eine inhomogene lineare gDGL erster Ordnung y´ +f(x)⋅y = g(x) besitzt genau diese allgemeine Lösung,
wenn f(x), g(x) integrierbar sind :
⌠
 -⌠f(x) dx
f(x) dx
⌠

⌡
 ⌡
y = y(x) = ⌡g(x)⋅ e
dx + C ⋅e
1
Separable gDGL y´ = f(x)⋅g(y) werden immer durch „Trennung der Variablen“ gelöst : ⌠
dy =⌠
⌡f(x) dx
⌡g(y)
Die entstehende implizite Gleichung (!) muß noch nach y=y(x) aufgelöst werden!
x
2
1
x
g(y)=y. Trennung d.V.: ⌠ dy =⌠
Beispiel: y´⋅(1+x )=x⋅y also f(x)=
2 dx

y
2
⌡
1+ x
⌡1+x
⇔ ln(|y|) = ln( 1+ x
Integranten ist!)
2
)+C (Hinweis: einfache Substitutionsregel da der Zähler etwa die Ableitung des Nenners des
C
2
2
Lösung der impliziten Gl.: |y| = e ⋅ 1+ x , also lautet die Lösung y(x)=C⋅ 1+ x mit C∈IR bel. Damit ist die
singuläre Lös- y=0 auch erfaßt.
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