M9 Vorderseite
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M 9.1 Quadratwurzeln ist diejenige nicht negative Zahl, die quadriert Die Zahl ergibt: unter der Wurzel heißt Radikand: Quadratwurzeln sind nur für positive Zahlen definiert: ; ; ; ; ©Carina Mittermayer (2010) M 9.2 Reelle Zahlen Jeder unendliche nicht periodische Dezimalbruch stellt eine irrationale Zahl dar. Die rationalen und die irrationalen Zahlen bilden zusammen die Menge der reellen Zahlen. Jede reelle Zahl besitzt einen Bildpunkt auf der Zahlengeraden und jedem Punkt auf der Zahlengeraden entspricht genau eine reelle Zahl. ©Carina Mittermayer (2010) M 9.3 Rechenregeln für Wurzeln Multiplikationsregel: Divisionsregel: Vorsicht: Man darf Wurzeln nicht auf die einzelnen Glieder einer Summe verteilen! Anwendungen: 1) Teilweises Radizieren: 2) Nenner rational machen: 3) Summen und Differenzen von Wurzeln: ©Carina Mittermayer (2010) M 9.4 Binomische Formeln 1. Binomische Formel: Plus-Formel 2. Binomische Formel: Minus-Formel 3. Binomische Formel: Plus-Minus-Formel Anwendungen: 1) Ausmultiplizieren (Produkte werden zu Summen): 2) Faktorisieren (Summen werden zu Produkten): ©Carina Mittermayer (2010) M 9.5 n-te Wurzel ist diejenige nicht negative Zahl, deren n-te Potenz Die Zahl ergibt: heißt Wurzelexponent: n-te Wurzeln sind nur für positive Zahlen definiert: ; Die Gleichung ; ; ; kann zwei, eine oder keine Lösung haben: gerade ungerade ⇒ ©Carina Mittermayer (2010) Potenzen mit rationalen Exponenten M 9.6 Für gilt: ; ; ; Rechenregeln Multiplizieren bei gleicher Basis: Exponenten addieren Multiplizieren bei gleichem Exponenten Potenzieren von Potenzen Exponenten multiplizieren Dividieren bei gleicher Basis Exponenten subtrahieren Dividieren bei gleichem Exponenten Summen und Differenzen Zusammenfassen nur bei gleichartigen Termen möglich! ©Carina Mittermayer (2010) M 9.7 Satz des Pythagoras In jedem rechtwinkligen Dreieck haben die Quadrate über den Katheten zusammen den gleichen Flächeninhalt wie das Quadrat über der Hypotenuse. Anwendungen: Diagonale im Quadrat Höhe im gleichseitigen Dreieck ©Carina Mittermayer (2010) M 9.8 Kathetensatz und Höhensatz Höhensatz In jedem rechtwinkligen Dreieck hat das Quadrat über der Höhe den gleichen Flächeninhalt wie das Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten. Kathetensatz In jedem rechtwinkligen Dreieck hat das Quadrat über einer Kathete den gleichen Flächeninhalt wie das Rechteck aus der Hypotenuse und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt. ©Carina Mittermayer (2010) Quadratische Funktionen: Die Parabel M 9.9 Der Graph einer quadratischen Funktion heißt Parabel. Die Parabel ist für nach oben geöffnet. nach unten geöffnet. Ist oder Normalparabel. heißt der Graph Nullstellen Der tiefste bzw. höchste Punkt heißt Scheitel der Parabel. Scheitel ©Carina Mittermayer (2010) M 9.10 Quadratische Funktionen: Scheitelform Jede quadratische Funktion lässt sich durch quadratische Ergänzung in die Scheitelpunktform bringen. für für ⇒ Scheitel enger als die Normalparabel weiter als die Normalparabel Um in -Richtung verschoben Um in -Richtung verschoben Quadratische Ergänzung ©Carina Mittermayer (2010) M 9.11 Quadratische Gleichungen Gleichungen der Form heißen quadratische Gleichungen. Ihre Lösungen sind die Nullstellen der zugehörigen quadratischen Funktion Sind und die Lösungen, so kann man die Funktion schreiben als (Linearfaktorzerlegung) . Lösungsformel („Mitternachtsformel“): Der Term unter der Wurzel Lösungen die Gleichung besitzt. heißt Diskriminante . Er gibt an, wie viele ©Carina Mittermayer (2010) M 9.12 Mehrstufige Zufallsexperimente Ein Zufallsexperiment, das aus mehreren Teilexperimenten besteht, nennt man mehrstufiges Zufallsexperiment. 1. Pfadregel Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen Pfades. 2. Pfadregel Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten für die zugehörigen Ergebnisse. Aus einer Urne mit zwei gelben und drei violetten Kugeln werden nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. ©Carina Mittermayer (2010) M 9.13 Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck Beziehungen: Werte: Merkhilfe existiert nicht ©Carina Mittermayer (2010) M 9.14 Prisma und Zylinder Prisma Zylinder Volumen: Oberfläche: ©Carina Mittermayer (2010) M 9.15 Pyramide und Kegel Pyramide Kegel Volumen: Oberfläche: ©Carina Mittermayer (2010)
