Skript

Skriptum zum Vorkurs Mathematik
Dr. Hartwig Bosse
1. September 2015
2
Inhaltsverzeichnis
1 Allgemeine Rechenhilfen
1.1 Brüche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Rechnen mit Dezimalbrüchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Bruchrechnen: Rechnen mit “echten” Brüchen . . . . . . . . . . .
1.3.1 Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Kürzen und Erweitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Rechnen mit allgemeinen Brüchen . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Wurzeln im Nenner: Erweitern mit 3. binomischer Formel
1.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Potenzen
2.1 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Ganzzahlige Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Brüche als Exponenten (Wurzeln in Exponentialschreibweise)
2.1.3 Negative Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Null als Exponent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Null hoch Null . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Funktionen
3.1 Wichtige Vokabeln . . . . . . . .
3.2 Eine Funktion Deﬁnieren . . . .
3.3 Darstellung von Funktionen . . .
3.3.1 Tabellarische Darstellung
3.3.2 Graphische Darstellung .
3.4 Eigenschaften von Funktionen . .
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4 Polynome
4.1 Deﬁnitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Lineare Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Quadratische Polynome . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Für Proﬁs: Nullstellen quadratischer Polynome .
4.2.4 Nullstellen allgemeiner Polynome: Faktorisieren
4.2.5 Polynomgleichungen aus rationalen Gleichungen
4.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
5 Diﬀerentialrechnung
5.1 Vom Diﬀerenzenquotienten zur Ableitung
5.2 Berechnen von Ableitungen . . . . . . . .
5.2.1 Die Grundableitungen . . . . . . .
5.2.2 Kettenregel . . . . . . . . . . . . .
5.3 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Die erste Ableitung . . . . . . . . .
5.3.2 Die zweite Ableitung . . . . . . . .
5.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 Die Taylorreihe einer Funktion
6.1 Voraussetzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Einsetzen von Zahlen in Potenzreihen . . . . .
6.2 Die Taylorreihe einer Funktion . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Die allgemeine Form der Taylorreihe: . . .
6.2.2 Eigenschaften der Taylorreihe . . . . . . . . . .
6.3 Das Taylorpolynom als Approximation einer Funktion
6.3.1 Die allgemeine Form des Taylorpolynoms:
6.3.2 Restgliedabschätzung . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7 Integralrechnung
7.1 Unbestimmte Integrale . . . .
7.1.1 Die Konstante . . . .
7.1.2 Die Lösungsregeln . .
7.1.3 Die Grundintegrale . .
7.1.4 Einfache Substitution
7.1.5 Partielle Integration .
7.2 Bestimmte Integrale . . . . .
7.3 Aufgaben . . . . . . . . . . .
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8 Vektoren und analytische Geometrie
8.1 Was sind Vektoren und wo tauchen sie auf? . . . . . . . . . .
8.1.1 Vektoren in Kartesischen Koordinaten . . . . . . . . .
8.2 Rechnen mit Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Darstellung von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Geradengleichungen und Ebenengleichungen . . . . . . . . . .
8.4.1 Geraden in Punkt-Richtungs-Form . . . . . . . . . . .
8.4.2 Ebenen in Punkt-Richtungs-Form und Normalenform
8.4.3 Wechsel zwischen den Ebenen-Formen . . . . . . . . .
8.5 Klassische Aufgabenstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.7 Vektoren im R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.8 Vektoren im R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.9 Ebenen und Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
9 Matrizen
9.1 Was sind Matrizen und wozu sind sie
9.2 Rechnen mit Matrizen . . . . . . . .
9.3 Matrixmultiplikation . . . . . . . . .
9.4 Determinanten . . . . . . . . . . . .
9.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . .
9.6 Elementare Rechnungen . . . . . . .
9.7 Determinante . . . . . . . . . . . . .
5
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10 Wahrscheinlichkeitsrechnung
10.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Wahrscheinlichkeiten und Zählen . . . . . . . . . .
10.2.1 Zählen aller Ereignisse . . . . . . . . . . . .
10.3 Zufällige Ereignisse . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4 Absolute und relative Häuﬁgkeit . . . . . . . . . .
10.5 Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.6 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabängigkeit . .
10.7 Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.8 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung
10.9 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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A Lösungen zu den Übungsaufgaben
A.1 Lösungen: Potenzen . . . . . . . . . . .
A.3 Lösungen: Polynome . . . . . . . . . . .
A.4 Lösungen: Diﬀerentialrechnung . . . . .
A.5 Lösungen: Integrale . . . . . . . . . . . .
A.6 Lösungen: Vektoren . . . . . . . . . . .
A.7 Lösungen: Matrizen . . . . . . . . . . .
A.8 Lösungen: Wahrscheinlichkeitsrechnung
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6
INHALTSVERZEICHNIS
Vorwort
“Das Buch der Natur ist mit mathematischen Symbolen geschrieben.”
(Galileo Galiliei)
Mathematik ist für viele Fächer ein wichtiges Grundlagenfach. Entsprechend wird die Mathematik in vielen Fächern - vor allem den naturwissenschaftlichen - in der Lehre ausgiebig
betont.
Die meisten Professoren werden sagen: zu recht.
Einige Studenten werden sagen: leider.
Der Vorsemesterkurs, zu dem Sie das Skriptum in den Händen halten, ist genau für solche
Studierenden als Starthilfe zwischen Schule und Hochschule gedacht: Der Kurs bietet eine
Zusammenfassung des grundlegenden mathematischen Schulwissens - in überschaubarer Zeit.
An wen richtet sich dieser Kurs?
Das Skript richtet sich an Studierende -Anfänger wie höhere Semester- die für ihr Fachgebiet
eine Auﬀrischung von Mathematikwissen wollen oder benötigen:
Also an alle die ihr mathematisches Schulwissen nicht mit der nötigen Sicherheit beherrschen.
Die Veranstaltung ist alledings nicht für Mathematikstudenten gedacht.
Was kann dieses Skript nicht?
Wegen des knappen Umfanges, kann dieses Skript zusammen mit dem Kurs nur eine “erste
Hilfe” in Sachen Schulmathematik sein.
Es wird vermutlich niemandem möglich sein, zwei Schuljahre Mathematik in 6 Tagen zu
wiederholen. Studierende, denen Schulwissen fehlt, bitten wir also daran zu denken, dass
dieser Kurs diese Deﬁzite nicht “auf magische Art wegzaubert”. Mathematik ist am Ende
eine Sprache (s. Zitat) und um eine Sprache aktiv zu beherrschen muss man Vokablen (hier:
Fakten) und Grammatik (hier: Rechenregeln) lernen – und vor allem: üben.
Entsprechend möchten wir alle interessierten Studenten bitten, die am Ende angefügte Literaturliste einmal genauer anzuschauen.
Wir wünschen allen Einsteigern, Wiedereinsteigern und Auﬀrischern viel Erfolg beim weiteren
Lernen der eigentümlichen Sprache aller Naturwissenschaften!
7
8
INHALTSVERZEICHNIS
Danksagungen
Vielen Dank an Ralph Neininger und Anton Wakolbinger für die Organisation dieses MathematikEinführungskurses und an Dr. Reinhard Steﬀens und Ralf Lehnert für die Hilfe beim Ertsellen
der Vorversion dieses Skriptes.
Ferner und vor allem danke ich Christine Gärtner für das exzellente Korrekturlesen.
Kapitel 1
Allgemeine Rechenhilfen
1.1
Brüche
Brüche sind gleichzeitig die wohl einfachsten Objekte in diesem Kurs und gleichzeitig neben
Vorzeichenfehlern die größte Quelle einfacher Flüchtigkeitsfehler. Deswegen stellen wir hier
noch einmal die wichtigsten Rechenregeln und möglichen Fehlerquellen vor.
Rationale Brüche
Ein rationaler Bruch besteht aus “Zähler geteilt durch Nenner” wobei Zähler und Nenner
natürliche Zahlen sind, also Zahlen aus N. Ein Beispiel ist 34 mit Nenner 4 und Zähler 3.
Der Zähler zählt wie viele Viertel es sind, hier sind es drei Viertel.
3
4
Der Nenner benennt den Bruch (gibt ihm einen Namen) hier sind es “Viertel ”.
Gemischte Brüche
Brüche bei denen der Zähler größer ist als der Nenner, lassen sich als gemischte Brüche
schreiben, also in der Form a + cb mit a ∈ Z. Ein Beispiel:
11
9+2
9 2
2
=
= + =3+
3
3
3 3
3
Schreibweise “1 34 ” für 1 +
3
4
unbedingt vermeiden!
Die übliche Schreibweise von 1 + 34 als “1 43 ” (also “ein-dreiviertel”) ist zwar außerhalb der
Mathematik gebräuchlich ist aber unbedingt zu vermeiden!
Schreibt man “ 2 13 ” und meint damit 2+ 13 so ergibt sich das folgende Problem
Kurzschreibweise wird gelesen als:
2 x = 2 ·x
1
1
2
1
2
= 2 · = ̸= 2+
3
3
3
3
9
10
KAPITEL 1. ALLGEMEINE RECHENHILFEN
1.2
Rechnen mit Dezimalbrüchen
Wieso soll ich die komplizierten Rechenregeln für Brüche lernen, wenn ich sowieso alles mit
dem Taschenrechner viel schneller berechnen kann??
Rechnen mit dem Taschenrechner in Dezimalbrüchen ist recht bequem, wenn man die gegeben
Brüche erst einmal in einen Dezimalbruch umgewandelt hat. Allerdings ergeben sich mitunter
falsche Ergebnisse, wenn man es mit periodischen Dezimalbrüchen zu tun bekommt.
Dezimalbrüche
Rationale Brüche lassen sich auch als “Kommazahlen” schreiben, fachsprachlich “Dezimalbrüche ”. Jedem bekannt sein sollte, dass ein halber Liter 0, 5ℓ sind, es gilt hier also 21 = 0, 5.
Hier ein paar Beispiele für Dezimalbruch-Schreibweisen, die man kennen sollte:
1
10
1
100
1
1000
1
2
1
4
1
8
= 0, 1
= 0, 01
= 0, 001
= 0, 5
1
3
= 0, 3 = 0, 33333 · · ·
= 0, 25
= 0, 125
Rechnet man gewöchliche rationale Brüche in Dezimalbrüche um, so können periodische
Brüche entstehen (wie zum Beispiel 31 ). Das Rechnen mit periodischen Dezimalbrüchen mit
Stift und Zettel ist anstrengend, aber der Taschenrechner ist hier keine echte Hilfe - wie
Beispiel 1.1 zeigt.
Rechnen mit Dezimalbrüchen ist bequem aber unvorteilhaft
21
Vorteil: Rechnungen wie Addieren und Multiplizieren verlaufen recht einfach, zB. 14 + 10
lautet in Dezimalbruch-Form einfach 0.25 + 0.21 = 0.46 und ist leicht zu berechnen.
Zwei klare Nachteile: Punktabzug bei periodischen Dezimalbrüchen!
• Das Umwandeln von rationalen Brüchen in Dezimalbrüche kann zu komplizierten periodischen Zahlen führen. Beim Rechnen mit diesen Zahlen führt das zum Runden,
also zu ungefähr richtigen bzw. falschen Ergebnissen. In Klausuren: Punktabzug!
• Beim Rechnen mit Dezimalbrüchen können Rechnungen, die Normalerweise durch
einfaches Kürzen zu erledigen wären, überraschend schwer werden.
Beispiel 1.1 (Rechnen mit Dezimalbrüchen ist unvorteilhaft) Man sieht leicht,
7
dass das Produkt 11
· 11
7 nach dem Kürzen einfach nur 1 ergibt. In Dezimalbrüchen ausgedrückt und im Taschenrechner berechnet sieht die Rechnung dagegen so aus:
7 11
·
11 7
≃
0.63636364 · 1.57142857 = 1.00000000481
Mit anderen Worten: Um Bruchrechnen ohne Taschenrechner kommt man in der Mathematik
nicht herum, wenn man genaue Ergebnisse berechnen möchte! Schaut man sich die Bruchrechenregeln einmal an, so sind bis auf die Addition von Brüchen die Regeln recht harmlos
und umsetzbar. Es gilt also eigentlich nur das Addieren von Brüchen zu üben!
1.3
Bruchrechnen: Rechnen mit “echten” Brüchen
Es gibt im wesentlichen vier wichtige Rechenoperationen für Brüche:
1.3. BRUCHRECHNEN: RECHNEN MIT “ECHTEN” BRÜCHEN
11
Rechnen mit rationalen Brüchen
• Addieren
auf Hauptnenner erweitern, dann etagenweise addieren.
• Multiplizieren
Nenner-mal-Nenner & Zähler-mal-Zähler.
• Teilen
multiplizieren mit dem Kehrwert des Nenners.
• Kürzen
erst ausklammern im Nenner und Zähler, dann kürzen.
! Klammern setzen!
Die einfachste dieser Operationen ist die Multiplikation, die anderen Operationen sind etwas
schwieriger.
a c
a·c
· =
b d
b·d
1.3.1
Multiplikation
Für zwei Brüche ab und dc ist das Produkt
und Zähler-mal-Zähler.
a·c
b·d .
Hier muss man also Nenner-mal-Nenner nehmen
Bei Multiplikation: Klammern setzten !
Wegen “Punkt-vor-Strichrenung” muss man Klammern setzten wenn im Zähler oder
Nenner eine Addtion (bzw eine Summe oder Diﬀerenz) steht:
2 4x + 3
·
3
5
=
2 · (4x + 3)
3·5
=
8x + 6
15
2 4x + 3
·
3
5
̸=
2 · 4x + 3
3·5
=
8x + 3
15
X
Das obige Beispiel zeigt einen typischen Füchtigkeitsfehler, den man unbegingt vermeiden
sollte. Also beim Ausmultiplizieren großer Brüche immer Klammern setzen!
a · (c)
c
=
a · (b)
b
1.3.2
Kürzen und Erweitern
Beim Kürzen von Brüchen gibt es eine immens wichtige Regel:
Erst ausklammern, dann kürzen!
Mit dieser Regel vermeidet man den Fehler, falsch aus Summen zu kürzen.
Kürzen
Beim Kürzen eines Bruches entfernt man einen Faktor, der sowohl den ganzen Zähler als
auch den ganzen Nenner teilt:
15
20
=
5 · (3)
5 · (4)
=
3
4
12
KAPITEL 1. ALLGEMEINE RECHENHILFEN
Beim Kürzen: Klammern setzten !
Um keinen Fehler beim Kürzen von komplizierten Brüchen zu begehen, sollte man stets
den zu kürzenden Faktor ausklammern:
a
c
+ =
b
d
a·d + c·b
b·d
1.3.3
4a + 8
12a + 8
=
4 · ( a + 2)
4 · (3a + 2)
=
a+2
3a + 2
4a + 8
12a + 8
=
4·a+8
4 · 3a + 8
̸=
a+8
3a + 8
X
Addition
Idee: der HauptNENNER
Alle Brüche haben einen Namen, den Nenner:
Der Bruch 37 heißt drei Siebtel“, und gemeint ist: drei Stück vom Typ Siebtel.
”
Brüche mit gleichem Nenner addieren ist einfach.
Bei der Addition von Dingen mit gleichem Namen, addiert man lediglich die Anzahlen:
}
3 Äpfel
plus 2 Äpfel
ergibt 5 Äpfel.
3
2
5
7 + 7 = 7
3 Siebtel plus 2 Siebtel ergibt 5 Siebtel.
Brüche mit verschiedenem Nenner addieren ist schwieriger.
Bei der Addition von Dingen mit verschiedenem Namen, muss man zusätzlich einen neuen
Namen ﬁnden, einen passenden Oberbegriﬀ also:
3 Äpfel
plus
2 Birnen
ergibt
3+2 Stück Obst.
Will man Brüche mit verschiedenem Nenner addieren, so muss man die Brüche passend
erweitern, so dass beide Brüch den selben Nenner/Namen bekommen.
Bei der Addition und bei der Subtraktion von Brüchen muss man beide Brüche zunächst auf
einen gemeinsamen Nenner bringen. Dies ist zwar etwas umständlich aber absolut notwendig,
denn Brüche mit gleichem Nenner addieren ist einfach:
“Drei-viele” Siebtel plus “zwei-viele” Siebtel ergeben “fünf-viele” Siebtel - ganz wie beim
Addieren von drei Äpfeln plus vier Äpfeln:
3 2
5
+ =
7 7
7
Das heißt: Solange die Brüche gleich heißen (zB. Siebtel oder “b-tel”) kann man ganz einfach
addieren:
a c
a+c
+ =
b
b
b
Brüche mit verschiedenem Nenner addieren:
Will man Brüche mit verschiedenem Nenner addieren, so muss man die Brüche passend
erweitern, so dass beide Brüch den selben Nenner bekommen.
1.3. BRUCHRECHNEN: RECHNEN MIT “ECHTEN” BRÜCHEN
13
Addition per einfachem Erweitern:
Die einfachste Methode Brüche auf einen Nenner zu bringen ist, jeweils mit dem anderen
Nenner zu erweitern. Dies ist aber gleichzeitig sehr rechenaufwändig, weil die verwendeten
Zahlen schnell sehr groß werden:
5
3
+
12 20
=
5 · 20
3 · 12
+
12 · 20 20 · 12
100 + 36
240
=
=
136
240
Hier muss man den entstandenen Bruch nun mühsam (mit 8) kürzen, und erhält
17
30 .
Will man beim Addieren von rationalen Brüchen kleinere Zahlen bekommen, so muss man
die Brüche auf den Hauptnenner bringen: Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame
Vielfache (kgV) der beiden auftretenden Nenner.
Berechnen des kgV zweier Zahlen
Zum Berechnen des kleinsten gemeinsamen Vielfachen zerlegt man die gegeben Zahlen in
ihre Faktoren, das kgV ist dann das Produkt aller auftretenden Faktoren, gemeinsame
Faktoren werden dabei nur einmal benutzt.
Ein Beispiel: Es soll das kgV von 42 und 120 berechnet werden.
1. Ein erstes Zerlegen der Zahlen liefert: 42 = 6 · 7 und 120 = 12 · 10.
2. Vollständiges Zerlegen liefert:
42
120
=
= 2
2 ·2 ·3 ·7
·2 ·2 ·3 ·5
| {z }
gemeinsame Faktoren
kgV (42, 120)
= 2
z }| {
·2 ·2 ·3 ·5 · 7 = 24 · 35 = 840
Addition von Brüchen: Auf den Hauptnenner bringen
Ein Beispiel: Es soll
11
7
15 + 20
berechnet werden.
1. Berechnen des kgV der Nenner 15 und 20 .
15
20
= 5
= 5
kgV (15, 20) = 5
Probe:
60 = 4 · 15
und
·3
·2 · 2
·3 · 2 · 2 = 60
60 = 3 · 20
2. Erweitern der Brüche auf sechzigstel mittels der Faktoren aus der Probe:
44
11
4 · 11
=
=
15
4 · 15
60
21
7
3·7
=
=
20
3 · 20
60
3. Addition der erweiterten Brüche:
11
7
+
15 20
=
44 21
+
60 60
=
65
60
14
KAPITEL 1. ALLGEMEINE RECHENHILFEN
Exkurs: Warum gilt eigentlich 1 = 0, 9 ?
Üblicherweise beantworten Mathelehrer das mit einer Rechnung, die die Sache nicht viel
klarer macht:
1
=
0, 33333333 · · ·
3
⇒
1 = 3· 13
= 3· 0,33333333 · · ·
=
0,99999999 · · ·
=
0, 9
Oﬀensichtlich ist “eins” das selbe wie “drei Drittel”. Das wiederum ist identisch mit “drei
mal 0, 333 · · · ”, und das ergibt “0, 999 · · · ”. Also muss “eins” das selbe sein wie “0,9”.
Leider macht ein solcher Rechentrick die Sache nicht viel klarer und vielleicht ist man
sich bei solchen Rechnungen nicht bei jedem Schritt hunderprozentig sicher, dass er auch
korrekt ist. Deswegen hier noch ein anderer Versuch zu erklären, warum 0, 9 = 1 gilt:
Haben 1 und 0,9 eigentlich einen Abstand?
Wir stellen (wenig überraschend) fest, dass zwei Zahlen a und b gleich sind, wenn ihr
Abstand zueinander gleich Null ist. Der Abstand zwischen einer größeren Zahl a und einer
kleineren b ist übrigens a − b. Ein Beispiel: Der Abstand zwischen 5 und 3 ist 5 − 3 = 2,
diese Zahlen haben also einen echten Abstand, sie sind also nicht gleich.
Welchen Abstand aber haben a = 1 und b = 0,9? Welchen Wert hat also a − b = 1 − 0,9?
Den Abstand können wir zwar (noch) nicht berechnen, aber was wir sicher wissen ist, dass
1 − 0,9 < 0, 001 gilt:
1 − 0,9
= 1 −0, 999999 · · ·
= 1 −0, |{z}
999 −0, 000 999
| {z· ·}·
erst die ersten 3
=
0, 001
& dann die restlichen neuner abziehen. . .
−0, 000999 · · ·
|
{z
}
hier wird von 0, 001 noch was abgezogen!
⇒ 1 − 0,9
<
0, 001
Nach dem gleichen Schema können wir aber auch zeigen, dass 1 − 0,9 < 0, 00001 gilt und
dass 1 − 0,9 < 0, 0000001 gilt. Es gilt sogar
1 − 0,9 < 0, 000000
· · · ·{z
· · · · · 000000} 1
|
etc.
1000 Stück
Der echte Abstand d := 1 − 0,9 zwischen 1 und 0,9 ist also eine Zahl, die kleiner als jeder
noch so winzige Abstand den wir uns ausdenken können. Es gilt:
1 − 0,9 = d < ε
für jeden möglichen echten Abstand ε mit ε > 0.
Der einzige Abstand der also in Frage kommt ist d = 0 (Abstände sind nie negativ!).
Die zwei Zahlen 0,9 und 1 haben also den Abstand Null – sie sind also gleich!
1.4. RECHNEN MIT ALLGEMEINEN BRÜCHEN
1.4
1.4.1
15
Rechnen mit allgemeinen Brüchen
Wurzeln im Nenner: Erweitern mit 3. binomischer Formel
Das ohnehin nicht einfache Rechnen mit Brüchen wird noch etwas schwieriger, wenn es sich
um Brüche handelt, in denen Wurzeln im Nenner vorkommen. Wie vereinfacht man zum
Beispiel
√
√
6+ 2
2+ 2
√ +
√
?
(1.1)
1+ 2 1+3 2
Hier hilft erweitern mit der dritten binomischen Formel. Die allgemeine Fromulierung dieses
Tricks, bei dem die Wurzel im Nenner verschwindet lautet:
√
√
√
c · (a − b)
c · (a − b)
c
c
a− b
√ =
√ ·
√ =
=
(√ )2
a2 − b
a+ b
a+ b a− b
a2 −
b
An unserem Beispiel in (1.1) angewendet erhalten wir für die beiden Terme:
√
2+ 2
√
1+ 2
√
√
√
√
√ 2
√
√
2+ 2 1− 2
2−2· 2+1· 2− 2
− 2
√
√
=
·
=
=
= 2
√ 2
−1
1+ 2 1− 2
12 − 2
√
√
√
√
√
√ 2
√
6+ 2
6+ 2 1−3 2
6 − 18 · 2 + 1 · 2 − 3 2
−17 2 √
√ =
√ ·
√ =
=
= 2
1 − 32 · 2
−17
1+3 2
1+3 2 1−3 2
Also ergibt sich
1.5
Aufgaben
√
√
2+ 2
6+ 2
√ +
√
1+ 2 1+3 2
=
√
√
2+ 2
16
KAPITEL 1. ALLGEMEINE RECHENHILFEN
Kapitel 2
Potenzen
Dass man 2 + 2 + 2 zu 3 · 2 verkürzt, kennt vermutlich jeder, für die Multiplikation gibt es eine
ähnliche Abkürzung, die Potenzen. Man verkürzt 4 · 4 · 4 zu 43 . Um mit diesen Ausdrücken
zu rechnen gibt es einige Rechenregeln:
2.1
Rechenregeln
Die folgenden Rechenregeln für Potenzen gelten für alle Exponenten. Aus Regeln (1) bis (3)
lassen sich die weiteren Regeln folgern.
Rechenregeln
(1)
(2)
(3)
x(n+m)
x(n·m)
xn · y n
=
=
=
xn · xm
m
(xn )
n
(x · y)
Produktregel
Exponentenregel
(4)
x−n
=
1
xn
für x ̸= 0
(5)
x1/n
=
√
n
x
(6)
x0
=
1
00
=
1
für x > 0 und n ∈ N
Achtung: Es gilt im Allgemeinen (a + b)n ̸= (an + bn ) und an ̸= na .
Die Rechenregeln (4)-(6) sind eigentlich Deﬁnitionen, d.h. die entsprechenden Werte für ab
wurden passend zu den Rechenregeln (1)-(3) gewählt. Im Folgenden zeigen wir, wie sich die
Rechenregeln (4)-(6) aus den Rechenregelen (1)-(3) herleiten lassen. Zunächst jedoch zeigen
wir, wie sich die Regeln (1) und (2) begründen lassen.
2.1.1
Ganzzahlige Exponenten
Der Ausdruck x3 ist die Kurzfassung von “multipliziere die Zahl x 3-mal mit sich selbst”,
also x3 = x · x · x. Genauso deﬁnieren wir für eine beliebige ganze Zahl n:
xn := x
| · x ·{zx · · · x}
n−mal
17
18
KAPITEL 2. POTENZEN
Der Term xn heißt “die n-te Potenz von x”, man nennt dabei x die Basis und n den Exponenten. Beispiel: 43 ist die “dritte Potenz von vier ” und ergibt 4 · 4 · 4 = 64.
Die Rechenregeln (1) und (2) lassen sich -für ganzzahlige Exponenten - durch Umgruppieren
der abgekürzt geschreibenen Produkte begründen:
Produktregel
Für Exponenten die Summen sind gilt
x(n+m) = x
| · x ·{zx · · · x}
=
n
m
|x · x ·{zx · · · x} · x
| · x ·{zx · · · x} = x · x
(n+m)−mal
(n)−mal
(m)−mal
Exponentenregel
Und für Exponenten, die Produkte sind gilt
x(n·m)
= |x · x · x · · · ·{z
· · · · · x · x · x}
(n·m)−mal
= (x · x · x · · · x) · (x · x · x · · · x) · · · (x · x · x · · · x)
|
{z
} |
{z
}
|
{z
}
|
(n)−mal
(n)−mal
(n)−mal
{z
}
(m)−mal
m
= (xn ) · (xn ) · · · (xn ) = (xn )
|
{z
}
(m)−mal
Exkurs: Binomische Formeln
Der Ausdruck (a + b)n lässt sich ohne Wissen über a und b nicht weiter vereinfachen. Die
einzig möglich Umformung von (a+b)n ist also das Ausmultiplizieren und Zusammenfassen
der Terme.
Besonders wissenswert sind die drei binomischen Formeln, sie lauten wie folgt:
(a + b)2
(a − b)2
(a + b)(a − b)
2.1.2
= a2 + 2ab + b2
= a2 − 2ab + b2
= a2 − b2
Brüche als Exponenten (Wurzeln in Exponentialschreibweise)
Jetzt wissen wir was x2 ist, aber was ist x0.75 ? Die Antwort ergibt sich aus den Rechenregeln,
75
zusammen mit der Tatsache, dass die Zahl 0.75 ein Bruch ist, nämlich 100
= 34 .
Wurzeln in Exponentialschreibweise
Für x ≥ 0 und Brüche
k
n
k
mit k, n ∈ N gilt: x n :=
(√
)k
n
x .
Warum man man so mit Brüchen im Exponenten verfährt, lässt sich am Beispiel von x(1/2)
erkennen:
Damit die√ Rechenregel (1) auch für x(1/2)√gilt, muss x(1/2) einen speziellen Wert haben,
nämlich: x. Der Grund ist der Folgende: x ist die Zahl, die mit sich selbst multipliziert,
2.2. NULL ALS EXPONENT
x ergibt, also
19
√ √
x · x = x. Genau das gleiche gilt für x1/2 :
1
1
x( 2 ) · √
x( 2 )
√
x · x
1
Das heißt, wir erhalten x 2 =
=
1
1
x( 2 + 2 ) = x(1)
= x
= x
√
x.
1
Für andere Brüche funktioniert das ganz analog, die Zahl x( 5 ) beispielsweise ist √
die Zahl,
die 5-mal mit sich selbst multipliziert x ergibt, also die fünfte Wurzel von x, oder 5 x:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
x( 5 ) · x( 5 ) · x( 5 ) · x( 5 ) · x( 5 ) · = x( 5 + 5 + 5 + 5 + 5 ) = x1 = x
3
Auf diese Art lässt sich x( 4 ) berechnen: Mit Rechenregeln (1) und (2) [und zuletzt (4)] ergibt
sich
( 1 )3 ( √ )
3
1
1
1
3
x( 4 ) = x( 4 ) · x( 4 ) · x( 4 ) = x( 4 ) = 4 x .
2.1.3
Negative Exponenten
Negative Exponenten
( )
Für x ̸= 0 gilt: x−n := x1n .
Auch dies kann man aus der Rechenregel (1) folgern. Für x−2 gilt zum Beispiel:
x−2 · x3 = x−2+3 = x1 = x.
Teilt man auf beiden Seiten durch x3 erhält man:
x−2 =
Also gilt x−2 =
1
x2 ,
x
̸x
1
= 2.
=
x3
̸x · x · x
x
und dies verträgt sich auch mit der Rechenregel (2):
(
)3 ( 1 )3
1·1·1
1
x−3 = x(−1)·3 = x(−1) =
=
= 3
x1
x·x·x
x
2.2
Null als Exponent
Auf den ersten Blick ist nicht unbedingt klar, was x0 ergibt:
Null als Exponent
Für jedes x ∈ R gilt: x0 := 1, es gilt insbesondere 00 = 1.
Auch dies lässt sich mit den bereits bekannten Rechenregeln begründen. Mit Regeln (1) und
(4) erhält man:
1
x0 = x1+(−1) = x1 · x(−1) = x · = 1
x
Es gilt also: x0 = 1.
20
KAPITEL 2. POTENZEN
Motivation 40 = 1
Betrachtet man die Multiplikation von 4 mit Zahlen wie in der Grundschule als “so-oftdie-vier-nehmen” so bekommt man das folgende Problem mit “null mal vier”:
4 · 2 = zwei mal die 4 addieren =
4+4 =8
4
=4
4 · 1 = ein mal die 4 addieren =
4 · 0 = kein mal die 4 addieren =
??? ←−Muss man hier “leer” lassen?!?
Für Grundschüler kann “null mal vier” in der Tat ein Problem sein. Allerdings stellt
sich bei genauem Hinsehen schon bei “ein mal die vier addieren” die Frage worauf denn
addieren? Schließlich wird beim bloßen Hinschreiben einer vier ja nichts addiert!!
Lösen kann man all diese Verwirrung, indem man sich klarmacht, dass alle Additionen bei
einer Null beginnen, am besten Grundschulgerecht mit “Äpfeln”: Das stetige Hinzufügen
von jeweils vier Äpfeln, sollte mit einem leeren Teller beginnen, der Null. Korrekt hätte es
also heißen müssen:
4 · 2 = zwei mal die 4 zur Null addieren = 0 + 4 + 4 = 8
4 · 1 = ein mal die 4 zur Null addieren = 0 + 4
=4
4 · 0 = kein mal die 4 zur Null addieren = 0
=0
Hier hat jede 4 auch ihr eigenes Plus-Zeichen, alle vieren sind also gleich, in der Version
oben ohne Null ist die erste vier jeweils “etwas besonderes” weil sie kein Plus hat.
Analog dazu ist
42 = zwei
41 = ein
40 = kein
2.2.1
der “leere Teller” mit dem man
mal die 4 auf 1 multiplizieren
mal die 4 auf 1 multiplizieren
mal die 4 auf 1 multiplizieren
bei
=
=
=
der Multiplikation beginnt die eins:
1 · 4 · 4 = 16
1·4
= 4
1
= 1
Null hoch Null
Für x = 0 gilt ebenso x0 = 1, es gilt also 00 = 1. Es mag unlogisch erscheinen, dass “die
Zahl Null null-mal mit sich selbst multipliziert” Eins ergeben soll, aber es hat einen einfachen
Grund: Es verträgt sich mit den bisher betrachteten Rechenregeln (1)-(4). Folgt man diesen
Regeln, so sieht man, dass die Zahl 00 ihr eigener Kehrwert sein muss, damit die Regeln
(1)-(4) gültig bleiben:
00 = 0−0 =
1
1
0
0 ← hier sollte besser nicht Null stehen!
Damit ist “Null hoch Null” sein eigener Kehrwert, und die einzige Zahl “die ihr eigener
Kehrwert ist” ist Eins! Also: 00 = 1.
2.3. AUFGABEN
21
Exkurs: Geschichte
Dass man 00 := 1 deﬁniert, war tatsächlich nicht immer unumstritten. Bis Anfang des 19.
Jahrhunderts hatten Mathematiker ohne große Diskussionen 00 = 1 gesetzt. Der Mathematiker Cauchy zeigte jedoch, dass 00 als Resultat in Grenzwertbetrachtungen ambivalent
ist. Er zeigte, dass falls f (a) = f (b) = 0 gilt, limx→a f (x)g(x) beliebige Werte annehmen
kann, je nach dem Verhalten von f und g.
1833 präsentierte Guillaume Libri einige Argumente für 00 = 1, die in der Folge kontrovers
diskutiert wurden. Zur Verteidigung von Libri veröﬀentlichte Möbius einen Beweis seines
Lehrers Johann Friedrich Pfaﬀ, der im Wesentlichen zeigte, dass limx→0+ xx = 1 gilt.
In der Folge verstummte die Kontroverse, aber noch im Jahr 1992 lehnte Donald Knuth in
einem wissenschaftlichen Artikel entschieden ab, dass 00 undeﬁniert gelassen wird. Denn
setzt man 00 = 1 nicht voraus, verlangen viele mathematische Theoreme eine Sonderbehandlung der Null, wie zum Beispiel der binomische Satz
(x + y)n =
n ( )
∑
n
k
k=0
xk y n−k
für die Fälle x = 0 oder y = 0. Die Konvention 00 = 1 ist also sinnvoll, weil sie die
Formulierung vieler mathematischer Ausdrücke vereinfacht.
2.3
Aufgaben
Aufgabe 2.1 Sei x > 0. Vereinfachen Sie die folgenden Terme (wenn möglich!).
( 3 )2 6
2
a)
x
·3
b) x3 · y 3
c) x4x+x2
( 2/5 )5
3
d) (x + y)
e)
x
Aufgabe 2.2 Bringen Sie die folgenden Terme in Exponenten-Schreibweise
√ )137
( 2
)
(√
)2
( 137
3
a)
x + 2x + 1
b)
5
c)
16
Aufgabe 2.3 Ein Hersteller will einen Karton mit exakt 4m3 Inhalt herstellen. Der Karton
soll eine quadratische Grundﬂäche haben (Breite=Länge), und er soll genau halb so hoch wie
breit sein. Welche Maße hat der Karton?
Aufgabe 2.4 Lösen Sie folgende Gleichungen:
a)
2x = 16
2x = 18
b)
ex = 1
c)
d)
ex = 27
Aufgabe 2.5 Vereinfachen Sie folgende Terme – ohne Taschenrechner:
a)
log2 (16)
b)
log3 (27)
e)
loga ( a12 )
f)
ln(a) − ln
i)
1
2
h)
x
ln (e )
(1)
a
2
ln(x )
c)
log√3 (9)
g)
ln(a) + ln
j)
(1)
d)
log11
(
1
121
)
a
x·ln(2)
e
Aufgabe 2.6 Lösen Sie folgende Gleichungen:
a)
logx (16) = 2
b)
logx (121) = 2
c)
logx (81) = 4
d)
logx (125) = 3
e)
logx (16) = 4
f)
logx (10) = 1
g)
logx (9) = 4
h)
logx (8) = 2, 5
22
KAPITEL 2. POTENZEN
Die Aufgaben in 2.6 sind “Trickaufgaben”: Bei genauerem Hinsehen entdeckt man, dass der
Lösungsweg nichts mit Logarithmen zu tun hat.
Aufgabe 2.7 Bierhefezellen teilen sich bei Raumtemperatur etwa alle 20 Minuten (d.h. die
Zahl der Zellen verdoppelt sich).
In einem Bierkessel mit genügend Nährstoﬀen und Zucker beﬁndet sich eine einzelne Hefezelle.
Wie lange dauert es (etwa!), bis die Anzahl der Hefezellen die momentane Weltbevölkerung
(ca. 7 Milliarden1 ) überholt?
Hinweis: Benutzen Sie als (grobe) Näherungen: log2 (10) = 3.32 und log2 (7) = 2.81.
Lösungen: siehe Seite 99.
1 stand:
7 Milliarden laut Vereinten Nationen am 31. Oktober 2011.
Kapitel 3
Funktionen
In diesem Abschnitt werden die mathematischen Begriﬄichkeiten rund um Funktionen eingeführt.
Grob gesagt ist eine Funktion eine Rechenvorschrift, die angibt, wie aus einer Variable der
Funktionswert berechnet werden kann. Eine Funktion drückt also den eindeutingen Zusammenhang zwischen der Variable und dem zugehörigen Funktuionswert aus, d.h. zu jedem
Wert der Variablen gibt es genau einen Funktionswert und nicht mehrere.
Physikalische Größen lassen sich beispielsweise aus anderen meßbaren Größen berechnen:
Beispielsweise ist die Energie, die in einer fallenden 5kg-Hantel steckt, eine Funktion der
Höhe h aus der sie Fällt: Energie = (MasseInGramm · Erdbeschleunigung · h) also E(h) =
5000 · 9, 89 · h. Natürlich gilt dies nur für positive Werte von h, und dies motiviert den Begriﬀ
des Deﬁnitionsbereichs.
3.1
Wichtige Vokabeln
Eine Funktion f besteht aus drei wesentlichen Elementen:
1. Der Deﬁnitionsbereich gibt an, welche Werte in die Funktion eingesetzt werden können.
2. Die Zuordnungsvorschrift gibt an, wie man aus den eingesetzten Werten den Funktionswert ausrechnet.
3. Der Werteberech gibt an, welche Werte die Funktion annehmen kann.
Ganz oﬃziell besteht also jede Funktion aus diesen drei Angaben:
1. Welche werte (Deﬁnitionsbereich)
2. werden wie (Zuordnungsvorschrift)
3. wohin abgebildet (Wertebersich).
Um eine Funktion zu deﬁnieren, müssen also alle drei Angaben angegeben werden.
3.2
Eine Funktion Deﬁnieren
Betrachten wir zum Beispiel die Funktion f mit der Zuordnungsvorschrift “ziehe die Wurzel
aus der eingesetzten Zahl”. Diese Funktion f ist nur für positive reelle Zahlen1 deﬁniert
1 Die
positiven reellen Zahlen bezeichnet man mit R+
23
24
KAPITEL 3. FUNKTIONEN
und das Ergebnis ist wieder eine positive reelle Zahl. Dies beschreibt man wie folgt in der
Deﬁnition von f :
f : R+
x
−→ R
√+
7→
x
(Deﬁnitons − und Wertebereich)
(Zuordnungsvorschrift)
Die Pfeile −→ und 7→ haben hier besondere Bedeutungen und können nicht vertauscht werden. Der erste Teil der Deﬁnition gibt Deﬁnitionsbereich (links) und Wertebereich (rechts)
an. Der zweite Teil sagt zunächst wie die Variable heißt (hier “x”) und gibt dann die Zuordnungsvorschrift an. Für die Funktion mit der Zuordnungsvorschrift “quadriere den Input”
kann die Deﬁnition also wie folgt aussehen:
g: R
t
−→ R+
7→ t2
Funktionen für Proﬁs
Meistens jedoch weren Deﬁnitionsbereich und Wertebereich “unterschlagen”, wenn es um
Funktionen geht, bei denen klar ist von wo nach wo die Funktion abbildet. Entsprechend
ist die Zuordnungsvorschrift das, was man landläuﬁg als “die Funktion” bezeichnet. Wenn
Deﬁnitions- und Wertebereich klar sind, ist dies auch zulässig. Man sagt (umgangssprachlich)
also “die Funktion x2 ” statt (mathematisch korrekt) “die Funktion die x aus R nach x2 in
R+ abbildet”.
3.3
Darstellung von Funktionen
Funktionen können alles mögliche auf alles mögliche abbilden, und die Zuordnungsvorschrift
sagt wie. Oft ist die Zuordnungsvorschrift eine Formel (z.B. x 7→ x3 ), dies muss aber nicht
immer der Fall sein.
3.3.1
Tabellarische Darstellung
Die Angabe, welche Partei wieviele Prozente aller Wählerstimmen bekommen hat, ist eine
Funktion, die die Menge der Parteien auf die Zahlen von 0 bis 100 abbildet. Die Zuordnungsvorschrift ist jedoch keine Formel sondern eine Tabelle. Solche Tabellen entstehen auch beim
Messen in wissenschaftlichen Experimenten:
Zeitpunkt in min.
Temperatur in ◦ C
0
22.5
1
23.2
2
25.1
3
27.8
4
29.3
Auch Funktionen, deren Zuordnungsvorschrift eine Formel ist, können Tabellarisch dargesetllt
werden, so zum Beispiel die Funktion g(t) = t2 :
t=
g(t) =
0
0
1
1
2
4
3
9
4
16
5
25
6
36
Die Tabellarische Darstellung ist hifreich, um den Graphen einer Funktion zu zeichnen, mit
dem wir uns im Folgenden beschäftigen.
3.3.2
Graphische Darstellung
Die graphische Darstellung einer Funktion ist die Kurve der Funktion, d.h. eine Zeichnung, die
eine Linie im x-y-Koordinatensystem zeigt, die für jedes x durch den passenden Funktionswert
y = f (x) verläuft. Ein Beispiel ﬁndet sich in Abbildung 3.1.
3.3. DARSTELLUNG VON FUNKTIONEN
F :
25
R
x
→
7→
R
x4 + 7x2 − 5x3 − 5x + 6
Abbildung 3.1: Der Graph einer Funktion
26
KAPITEL 3. FUNKTIONEN
3.4
Eigenschaften von Funktionen
Eine Funktion f : D → W heißt
• injektiv (linkseindeutig), wenn jedes y ∈ W höchstens ein Urbild x ∈ D hat.
D. h. aus x1 ̸= x2 folgt f (x1 ) ̸= f (x2 ).
• surjektiv, wenn jedes y ∈ W mindestens ein Urbild x ∈ D hat.
D. h. für alle y ∈ W gibt es ein x, so dass f (x) = y gilt.
• bijektiv (eineindeutig), wenn sie injektiv und surjektiv ist.
D. h. jedes y ∈ W hat genau ein Urbild x ∈ D.
(mindestens eins: surjektiv; höchstens eins: injektiv).
• gerade, wenn für alle x ∈ D auch −x ∈ D ist, und f (x) = f (−x) gilt.
Der Graph von einer geraden Funktionen ist spiegelsymmetrisch zur y-achse.
• ungerade, wenn für alle x ∈ D auch −x ∈ D ist, und f (x) = −f (−x) gilt.
Der Graph von einer geraden Funktionen ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
Eine injektive Funktion f nennt man eine “Injektion”. Die Vorstellung bei der Auswahl des
Wortes “injektiv” war, dass f die Werte in D in die Zielmenge W “injiziert”, d.h. es gehen
keine Punkte des Deﬁnitionsbereiches “verloren”.
Beispiel 3.1 Die Funktion f : R → R, x 7→ x3 ist ungerade und bijektiv (injektiv und
surjektiv):
3
3
• Es gilt f (−x) = (−x) = − (x) = −f (x). Also folgt f (x) = −f (−x), und f ist
ungerade.
• Für jeden Wert y ∈ R im Wertebereich gibt es ein Urbild x, so dass y = f (x) = x3 gilt:
√
x = 3 y wenn y ≥ 0 und
√
x = − 3 |y| wenn y < 0.
f ist also surjektiv.
• Gilt x1 ̸= x2 für x1 , x2 ∈ R so folgt f (x1 ) ̸= f (x2 ). f ist also injektiv.
Beispiel 3.2 Die Funktion f : R → R, x 7→ x2 ist gerade und sie ist weder injektiv noch
surjektiv:
2
2
• Es gilt f (−x) = (−x) = (x) = f (x). Also folgt f (x) = f (−x), und f ist gerade.
• Für den Wert y = −1 im Wertebereich R gibt es kein x, so dass y = f (x) = x2 gilt,
d.h. f ist nicht surjektiv.
• Für x1 = 2 und x2 = −2 gilt f (x1 ) = 4 = f (x2 ), d.h. f ist nicht injektiv.
Beispiel 3.3 Die Funktion f : R → R, x 7→ x3 − x + 1 ist surjektiv, nicht injektiv sowie
weder gerade noch ungerade:
• Es gilt f (−x) = (−x)3 − (−x) + 1 = −x2 + x + 1 und −f (x) = −x3 + x − 1. Also folgt
f (x) ̸= f (−x), und f (x) ̸= −f (−x).
• Es gilt f (−1) = 1 = f (1), also ist f nicht injektiv.
• Für jedes y ∈ R gibt es ein x ∈ R mit f (x) = y. Leider ist dies nicht einfach zu zeigen.
Kapitel 4
Polynome
4.1
Deﬁnitionen
Polynome sind einfache, glatte Funktionen (s. Abschnitt 3), deren Eigenschaften sich relativ
leicht ablesen lassen. Ein Polynom ist die Summe aus mehreren Termen der Form a·xk wobei
a eine beliebige (reelle) Zahl ist und k eine ganze Zahl. Zum Beispiel sind 3 + 2x + 52 x2 und
4x3 − x5 Polynome.
Allgemeine Form eines Polynoms
Die allgemeine Form eines Polynoms lautet
p(x) = a0 + a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn
(wobei an ̸= 0 gilt)
Hier ist “x” die Variable, für die spezielle Werte eingesetzt werden können.
• Die reelle Zahlen a0 , . . . , an ∈ R heißen die Koeﬃzienten des Polynoms p.
• Der Wert n (der größte auftauchende Exponent) heißt Grad des Polynoms p.
• Der Term an heißt Leitkoeﬃzient, der Term an xn Leitterm von p.
Für p(x) = 4x3 − x5 , zum Beispiel, ist −x5 der Leitterm und −1 ist der Leitkoeﬃzient.
Namenskoventionen
Man nennt ein Polynom. . .
• vom Grad 1 ein lineares Polynom:
x,
2x + 3,
x−
1
2
• vom Grad 2
ein quadratisches Polynom:
x2 ,
4x2 + 3x + 1,
−x2 + x
• vom Grad 3
ein kubisches Polynom:
x3 ,
9x3 + 2x2 + 3x + 1
3x3 + 2x
Für Polynnome höheren Grades sagt man einfach “ein Polynom vom Grad vier ” usw.
4.2
Nullstellen
Eine Nullstelle eines Polynoms p ist eine Zahl x0 für die p(x0 ) = 0 gilt.
Das Lösen von Polynomgleichungen der Form p(x) = q(x) ist eine wichtige Aufgabe in vielen
Bereichen. Dies kann stets auf das Finden von Nullstellen zurückgeführt werden. Das Finden
27
28
KAPITEL 4. POLYNOME
x3
x2
x
p(x)=x4 +7x2 −5x3 −5x+6
Abbildung 4.1: Polynome und ihre Graphen
von Nullstellen von linearen und quadratischen Polynomen ist vergleichsweise einfach. Bei
Polynomen höheren Grades wird es schwieriger.
Beispiel 4.1 Will man Beispielsweise x2 + 3 = 2x + 2 lösen, so ergibt sich durch abziehen
von 2x + 2 auf beiden Seiten eine neue Gleichung, die einer Nullstellensuche entspricht:
⇔
x2 + 3
x2 − 2x + 1
= 2x + 2
= 0
∥ − 2x − 2
Nach Vereinfachen mittels binomischer Formel lautet die letzte Gleichung (x − 1) · (x − 1) = 0
(binomischen Formeln s. (4.5) in Abschnitt 4.5). Entsprechend lautet die Lösung hier: x = 1.
Der Vereinfachungsschritt am Ende des letzten Beispiels nennt man Faktorisieren.
Zunächst schauen wir uns das Lösen von Polynomgleichungen für lineare, dann für quadratische und schließlich für allgemeine Polynome an. Dort werden wir dann das Faktorisieren
wieder antreﬀen.
Besondere Gleichungen
Manchmal triﬀt man in Aufgaben auf besonders seltsame Gleichungen:
0 = 1 Gleichungen ohne Lösung. Endet man nach gewöhnlichen Gleichungsumformungen mit einer Gleichung der Form 0 = 1, so hat die Ausgangsgleichung keine
Lösung.
0=0
Alle x sind Lösung. Endet man nach gewöhnlichen Gleichungsumformungen
(ohne auf beiden Seiten mit 0 zu Multiplizieren) mit einer Gleichung der Form
0 = 0, so ist jedes x ∈ R eine Lösung der Ausgangsgleichung.
Beispiel 4.2 Gesucht sind die Lösungen der Gleichung 2x2 + 1 = 2x2 + 1. Durch abziehen
von 2x2 + 1 auf beiden Seiten eine neue Gleichung:
2x2 + 1 = 2x2 + 1
⇔ 0
= 0
∥ − 2x2 − 1
Diese Gleichung list sich wie folgt: “Welche x leisten, dass die Gleichung 0 = 0 gilt? ”.
Da 0 = 0 stets gilt, und zwar unabhängig von x, kann jedes x ∈ R “dies leisten”. Damit ist
auch jedes x eine Lösung der Ausgangsgleichung.
4.2. NULLSTELLEN
29
6x+1
5
p(x) = 2x + 1
4x+3
4
3
← Höhe m = 3 − 1 = 2
2
Abschnitt b = 1
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
−1
−2
−3
Abbildung 4.2: Lineare Polynome
Beispiel 4.3 Gesucht sind die Lösungen der Gleichung 5x + 2 = 5x + 1. Schon jetzt ist
abzusehen, dass kein x diese Gleichung je erfüllen kann. Durch abziehen von 5x + 1 auf
beiden Seiten eine neue Gleichung:
⇔
5x + 2 = 5x + 1
1
= 0
∥ − 5x
Diese Gleichung list sich wie folgt: “Welche x leisten, dass die Gleichung 1 = 0 gilt? ”.
Da 1 = 0 nie gilt, und zwar unabhängig von x, kann kein einziges x ∈ R “dies leisten”. Damit
ist auch kein einziges x eine Lösung der Ausgangsgleichung.
4.2.1
Lineare Polynome
Ein lineares Polynom hat die allgemeine Form p(x) = mx + b. Dabei heißt
• m die Steigung von p und
• b heißt der Achsenabschnitt von p.
Der Graph eines linearen Polynoms ist eine Gerade (s. Abbildung 4.2), daher stammt auch
die Bezeichnung linear“. Der Wert b heißt Achsenabschnitt“, weil der Graph (s. Abschnitt
”
”
3) von p die y-Achse im Wert b schneidet. Der Wert m gibt die Steigung“ des Graphen von
”
p an, d.h. wie sehr der Graph von p ansteigt (oder fällt wenn m negativ ist), wenn man auf
der x-Achse einen Schritt“ der Länge 1 macht.
”
Bemerkung 4.1 Den Graphen einer Funktion (s. Abschnitt 3) nennt man auch Kurve“
”
(im Sinne von: Fieberkurve). Der Graph eines linearen Polynoms ist also eine schnurgerade
Kurve“!
”
Lineare Gleichungen
Herauszuﬁnden, wo zwei lineare Polynome den gleichen Funktionswert annehmen ist eine
wichtige, grundlegende Aufgabe (s. Aufgabe 4.1). Betrachtet man die entsprechenden Graphen, bedeutet dies, den Schnittpunkt der beiden zugehörigen Graden auszurechenen (s.
Abbildung 4.2). Man löst dies durch Umstellen:
30
KAPITEL 4. POLYNOME
Beispiel 4.4 Seien p, q lineare Poynome gegeben durch p(x) := 6x + 1 q(x) := 4x + 3, dann
berechnet man x0 , so dass p(x0 ) = q(x0 ) gilt wie folgt:
p(x0 )
= q(x0 )
⇔ 6x0 + 1 = 4x0 + 3
⇔ 2x0
= 2
⇔ x0
= 1
(subtrahiere 4x0 und 1 auf beiden Seiten)
(teile durch 2 auf beiden Seiten)
Exkurs: Der Dreisatz
Der klassische Dreisatz ist mathematisch gesehen das Aufstellen und Lösen einer linearen
Gleichung. Das Aufstellen ist relativ einfach. Man schreibt die zu errechnende Größe (die
Variable) und die bekannten Größen in ein einfaches Schema, s. (4.1). Dabei kommen
Größen, die sich entsprechen, unter bzw. übereinander. Den trennenden Strich ersetzt“
”
man dann einfach durch Bruchstriche und ein Gleichheitszeichen und formt um.
Beispiel 4.5 5 Fische kosten 10 Euro. Wieviele Fische erhalte ich für 2 Euro?
Fische
x
5
≃
≃
Euro }
2
10
=⇒
x
5
=
2
10
⇔ x=5 ·
2
10
=1
2
3
=4
(4.1)
Fische
Euro
Für 2 Euro erhält man also einen Fisch (in diesem Beispiel).
Beispiel 4.6 15 Birnen kosten 6 Euro. Wieviel kosten 10 Birnen?
Birnen
10
15
≃
≃
Euro }
x
6
=⇒
10
15
=
Birnen
Euro
Zehn Birnen kosten also 4 Euro (in diesem Beispiel).
x
6
⇔ x=6 ·
(4.2)
4.2. NULLSTELLEN
4.2.2
31
Quadratische Polynome
Quadratische Polynome haben die allgemeine Form f (x) = ax2 + bx + c wobei a, b, c reelle
Zahlen sind. Das Lösen von Polynomgleicheungen mit quadratischen Polynomen kann entweder mittels quadratischer Ergänzung“ oder abgekürzt mit der p − q Formel geschehen. [Die
”
“Mitternachtsformel” ist eine Variante der p-q-Formel, die die gleichen Lösungen liefert wie
die p-q-Formel.]
Leider heißt die Formel aus historischen Gründen p-q-Formel, und gleichzeitig haben sich
Mathematiker dazu entschlossen, Polynome häuﬁg mit p oder q zu bezeichnen. Dies gilt es
auseinander zu halten.
p-q-Formel
Sowohl für die p-q-Formel als auch zum quadratischen Ergänzen bringt man die Polynomgleichung zunächst auf die Normalform, indem man durch a (den Leitkoeﬃzienten) teilt.
⇔
ax2 + bx + c = 0
x2 + ab x + ac = 0
(allgemeine Form)
(Normalform)
|:a
Hier gilt: Die beiden Gleichungen sind äquvalent (und das obwohl die beiden verwendeten
Polynome verschieden sind!). Äquivalent heißt hier: Eine Zahl x löst die erste Gleichung
genau dann wenn x die zweite Gleichung löst.
Entsprechend können wir davon ausgehen, dass die Nullstellen eines Polynoms x2 + px + q
berechnet werden sollen (p, q sind hier reelle Zahlen).
p-q-Formel
Gleichung
Lösungen
Gilt falls
( p )2
2
x2 + px + q = 0
√( )
p
p 2
x1/2 = − ±
−q
2
2
(Normalform)
(p-q-Formel)
− q ≥ 0.
Das Zeichen ± wird verwendet, weil es zwei Lösungen gibt:
√( )
√( )
p
p 2
p
p 2
x1 = − +
−q
und
x2 = − −
−q
2
2
2
2
( )2
Dies gilt allerdings nur, wenn der Ausdruck p2 − q unter der Wurzel nicht negativ ist.
Ansonsten hat die Gleichung keine Lösung!
Beispiel 4.7 Gesucht sind die Nullstellen des Polynoms f (x) := 2x2 + 3x + 2.
Zunächst normieren wir f (x), indem wir durch 2 teilen, und verwenden dann die p-q-Formel:
2x2 +3x +2 = 0
⇔ x2 +3/2x+1 = 0
(allgemeine Form)
(Normalform)
Hier gilt also p = 3/2 und q = 1. Mit der p-q-Formel ergibt sich:
√
√
√
x1/2 = −2/3 ± (2/3)2 − 1 = −2/3 ± (4/9) − (9/9) = −2/3 ± −(5/9)
Weil der Radikant −(5/9) negativ ist, gibt es keine (reelle) Lösung. Das Polynom f (x) hat
also keine Nullstellen. Der Graph des Polynoms ist in Abbildung 4.3 dargestellt.
32
KAPITEL 4. POLYNOME
2x2 +3x+2
Abbildung 4.3: Ein Quadratisches Polynom ohne Nullstelle
Quadratische Ergänzung
Die quadratische Ergänzung ist die lange Form“ der p − q-Formel, und fußt auf der Idee,
”
die folgende binomische Formel zu nutzen:
p
(x + )2
2
=
x2 + 2
(p)
2
x+
( p )2
2
=
x2 + px +
( p )2
(4.3)
2
Beim Rechnen fragt man also “womit muss ich x2 + px ergänzen, damit es zur binomischen
( )2
Formel ’wird’ ? ”. Antwort: mit (p/2)2 . Dazu muss in der Normalform die Zahl q durch p2
ersetzt“ werden, diese Folge von Operationen heißt “quadratische Ergänzung”:
”
Quadratische Ergänzung
⇔
x2 + px + q
x2 + px
( p )2
x2 + px +
|
{z 2 }
(x + p2 )2
⇔
(x + p2 )
⇔
⇔
x
= 0
= −q
= −q +
(Normalform)
( p )2
2
( p )2
= −q + 2
√
( )2
= ± −q + p2
√( )
p 2
= − p2 ±
−q
2
quadratisches Ergänzen mit
( p )2
2
Binomische Formel (4.3)
(p − q−Formel)
Wie bei der p-q-Formel kommt es natürlich drauf an, ob die Wurzel auf der rechten Seite
( )2
deﬁniert ist. Gilt p2 − q ≥ 0, gibt es eine oder zwei Lösungen. Falls nicht, hat die Gleichung
keine Lösung.
4.2. NULLSTELLEN
33
Diskriminante
Ob ein quadratisches Polynom eine Nullstelle hat, kann man auch anhand der Diskriminante
feststellen. Die Diskriminante ist vereinfacht gesagt ein Anzeiger dafür, welches Vorzeichen
der Radikant in der p-q-Formel hat.
Diskriminante
Polynom
Diskriminante
ax2 + bx + c = 0
D := b2 − 4ac
Wert
negativ
Null
positiv
(allgemeine Form)
von D
(D < 0)
(D = 0)
(D > 0)
Lösungen der Gleichung
keine
genau eine
zwei verschiedene
Beispiel 4.8 Gesucht sind die Nullstellen des Polynoms f (x) := 3x2 + 2x + 1. Die Diskriminante lautet 22 − 4 · 3 · 1 = −8. Dieses Polynom hat also keine Nullstellen.
Exkurs: Binomische Formeln
Ganz allgemein sollte man die drei Binomischen Formeln können, z.B (a + b)2 = a2 +
2ab + b2 . Zur Nullstellenberechnung bei Polynomen sind sie aber auch hilfreich: dabei
ersetzt man einfach a durch x in den bekannten Formeln:
Im Folgenden nehmen wir an, dass b ∈ R eine reelle Zahl ist. Die entsprechenden binomischen Formeln erhält man durch ausmultiplizieren und zusammenfassen:
(x + b)2 =
(x − b)2 =
(x + b)(x − b) =
4.2.3
x2 + 2bx + b2
x2 − 2bx + b2
x2
− b2
(4.4)
(4.5)
(4.6)
Für Proﬁs: Nullstellen quadratischer Polynome
Es gibt einen schnellen Weg die Nullstellen eines quadratischen Polynoms zu raten. Aber
aufgepasst: In jedem Fall mit den gefundenen Nullstellen die Probe machen!
Lässt sich ein Polynom x2 + ax + b als Produkt von linearen Polynomen schreiben, so kann
man die Nullstellen direkt ablesen! Zum Beispiel hat
f (x) = x2 − 5x + 6 = (x − 2) · (x − 3)
eine Nullstelle bei x = 2 und eine bei x = 3. Der Grund ist der Folgende: f (x) ist Null, wenn
einer der beiden Faktoren (x − 2) bzw. (x − 3) den Wert Null hat. Dies ist genau bei x = 2
und bei x = 3 der Fall.
Achtung Vorzeichen:
Das Polynom f (x) = (x − 5) · (x − 3) hat eine Nullstelle bei 5 und nicht bei −5.
Das Polynom f (x) = (x + 5) · (x − 3) hat eine Nullstelle bei −5 und nicht bei 5.
Beide haben natürlich noch eine weitere Nullstelle bei x = 3.
Der “Trick” zum schnellen raten von Nullstellen ist nun, ein gegebenes quadratisches Polynom
x2 + px + q in seine Faktoren zu zerlegen. Dazu beobachten wir das folgende:
(x + a) · (x + b) = x2 + (a + b) x + |{z}
a·b
| {z }
p
q
34
KAPITEL 4. POLYNOME
Triﬀt man also auf f (x) = x2 + 7x + 12 so sucht man a und b mit:
a+b=7
und
a · b = 12
Die Lösung hier ist a = 4 und b = 3, es gilt also
f (x) = x2 + 7x + 12 = (x + 3) · (x + 4)
und f (x) hat somit Nullstellen bei x = −3 und x = −4.
4.2.4
Nullstellen allgemeiner Polynome: Faktorisieren
Das Berechnen von Nullstellen von Polynomen höheren grades ist leider schwierig. Denn: bei
Polynomen von höherem Grad ist es nicht mehr ohne weiteres möglich, die Nullstellen mit
einer Formel zu errechnen! Es ist tatsächlich so, dass es für Polynome vom Grad 3 und 4
ähnliche Formeln zur berechnung der Nullstellen gibt wie die p-q-Formel. Für Nullstelen von
Polynomen vom Grad 5 und höher gibt es jedoch keine solchen Formeln mehr!
Exkurs: Der Satz von Abel-Ruﬃni
Der Satz von Abel-Ruﬃni besagt, dass es Polynome vom Grad 5 gibt, deren Nullstellen
sich nicht mittels Wurzelausdrücken zusammen mit den üblichen Operationen +, −, · und
/ ausdrücken lassen. Ein Beispiel dafür ist das Polynom x5 − x + 1, das nur eine relle
Nullstelle bei x0 ≃ −1.167303978 . . . besitzt.
Um 1770 gelang es Joseph Louis Lagrange die bis dahin bekannten Tricks zum Berechenen
von Nullstellen von Polynomen zu einer generellen Methode zusammenzufassen. Unbefriedigend blieb, dass diese Methode bei Polynomen von Grad 5 und höher nicht immer
funktionierte.
Im Jahr 1799 legte Paolo Ruﬃni, einen Beweis vor, der zeigen sollte, dass sich die entsprechenden Nullstellen tatsächlich nicht durch eine geschlossene Formel ausdrücken lassen,
die nur Wurzelausdrücke enthält. Allerdings fußte sein Beweis zum Einen auf einer unbewiesenen Annahme, zum Anderen wollten die Kollegen einfach nicht wahrhaben, dass eine
“so einfache Aufgabe” keine “einfache Lösung” haben sollte.
Erst als Niels Henrik Abel den Beweis von Ruﬃni 1824 vervollständigte, mussten die
Mathematiker entgültig einsehen, dass Nullstellen für Polynome höheren Grades im Allgemeinen nur angenähert, nicht jedoch berechnet werden können.
Möchte man eine solche Nullstelle berechnen bleiben zwei Möglichkeiten:
• Das Newton Verfahren, das eine solche Nullstelle annähert,
• Raten gefolgt von Polynomdivision.
Hier wollen wir uns nur der zweiten Möglichkeit widmen.
Nullstellen “raten”
Jedes Polynom p(x) läßt sich als Produkt von linearen und quadratischen Polynomen schreiben. Die linearen Polynome beschreiben dabei die Nullstellen des Polynoms p. Zum Beispiel
gilt
f (x) = x4 + 7x2 − 5x3 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)(x2 + 1).
An dieser Zerlegung erkennt man, dass das Polynom f (x) zwei Nullstellen hat, eine bei x = 2
und eine bei x = 3 (s. Abbildung 4.1). Das Polynom (x2 + 1) hat keine Nullstelle weil x2 ≥ 0
gilt und damit x2 + 1 ≥ 1.
4.2. NULLSTELLEN
35
Multipliziert man die Terme (x − 2)(x − 3)(x2 + 1) aus, so erkennt man, dass die Werte 2
und 3 der beiden Nullstellen den konstanten Term von f , die 6, teilen. Dies ist generell so:
Hat ein Polynom p(x) = a0 + a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn ausschließlich ganzzahlige Koeﬃzienten, so sind alle ganzzahligen Nullstellen Teiler von a0 .
Achtung: Dies heißt nicht, dass p tatsächlich ganzzahlige Nullstellen hat! Aber wenn p
ganzzahlige Nullstellen hat, dann sind diese Teiler von a0 .
Beispiel 4.9 Es gilt die Nullstellen von p(x) := (2x2 + 10x + 12) zu bestimmen. Als Teiler
von 12, dem konstanten Term von p, kommen in Frage:
−12, −6, −4, −3, −1 sowie 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Weil p(x) nur positive Summanden enthält, versuchen wir es mit den negativen Teilern.
Einsetzen liefert:
p(−1) = 2 · (−1)4 + 10 · (−1) + 12 = 4 ̸= 0
p(−3) = 2 · (−3)4 + 10 · (−3) + 12 = 0
Also ist −3 eine Nullstelle von p(x) und q(x) := (x − (−3)) = (x + 3) ein Teiler von p(x)
(aufgepasst mit dem Vorzeichen!). Um die weiteren Nullstellen von p(x) = (2x2 + 10x + 12)
zu bestimmen, müssen wir p(x) durch (x + 3) teilen. Dies geschieht mittels Polynomdivision
und ergibt (s. nächster Abschnitt): (2x2 + 10x + 12) : (x + 3) = (2x + 4).
Polynomdivision
Die Polynomdivision funktioniert ähnlich zur gewöhnlichen schriftlichen Division. Beim bestimmen des Teilers allerdings ist in jedem Schritt auf das Monom mit dem größten Grad
(der Leitterm).
Beispiel 4.10 Gesucht ist p(x)/q(x) wobei p(x) := (2x2 + 10x + 12) und q(x) := (x + 3).
Wir rechnen (2x2 + 10x + 12)/(x + 3) mittels Polynomdivision aus:
Schritt 1 Berechne das Verhältnis der Leitterme der beiden Polynome, hier 2x2 /x = 2x
( wie oft passt x in 2x2 ? Antwort: 2x-oft“). Dieses Monom 2x ist der erste Lösungsteil.
”
”
( 2x2 +10x +12) : (x + 3)
= 2x
← (hier kommt noch mehr)
Schritt 2 Dann zieht man von dem ursprünglichen Polynom p(x) das 2x-Fache von q(x) ab,
also 2x · (x + 3) = 2x2 + 6x. Nach dem Abziehen bleibt ein Polynom p̃(x) = p(x) − 2x · (x + 3).
( 2x2 +10x +12) : (x + 3)
−( 2x2 + 6x)
( 0 + 4x)
= 2x
∥ 2x · (x + 3) = (2x2 + 6x)
Schritt 3 Man bringt den nächsten Term von p(x) nach unten. Das Polynom p̃(x) = 4x + 12
hat einen kleineren Grad als p (der Leitterm v. p fällt weg!).
( 2x2 +10x +12) : (x + 3) =
−( 2x2 + 6x) ↓
4x +12
2x
36
KAPITEL 4. POLYNOME
Jetzt wieder holt man die Schritte 1 − 3 mit dem polynom p̃.
Schritt 1: 4x/x = 4 (Wie oft passt x in 4x)
Schritt 2: Abziehen von 4 · (x + 3) = 4x + 12
( 2x2 +10x +12 ) : (x + 3)
−( 2x2 + 6x) ↓
4x +12
−(4x +12)
0 + 0
= 2x + 4
∥ 4 · (x + 3) = (4x + 12)
Mögliche Fehler
Vor der Polynomdivision müssen die Monome beider beteiligten Polynome nach absteigendem Grad sortiert werden:
Falsch: ( 4x +2x6 +12) : (x2 + 3x + 1)
= ...
6
2
= ...
6
2
= ...
Richtig: ( 2x +4x +12) : (x + 3x + 1)
Falsch: ( 2x +4x +12) : (x + 1 + 3x)
Division mit Rest: Der Restsatz Die Polynomdivision muss nicht unbedingt aufgehen!!
Der verbleibende Rest muss dann im Ergebnis als Bruch notiert werden:
Division mit Rest
Beispiel: Gesucht ist p(x)/q(x) mit p(x) := 2x2 + 10x + 16 und q(x) := (x + 3).
Rechnung:
( 2x2 +10x +16 ) : (x + 3)
−( 2x2 + 6x) ↓
4x +16
−(4x +12)
0 + 4
= 2x + 4
4
+ (x+3)
∥ 4(x + 3) = (4x + 12)
Der verbleibende Rest lässt sich vorhersagen, wenn man durch ein lineares Polynom dividiert:
Restsatz:
Wird ein Polynom p(x) durch (x − a) dividiert, dann ist p(a) der Rest.
Im obigen Beispiel liefert die Polynomdivision von p(x) = 2x2 + 10x + 16 durch x + 3 liefert:
(2x2 + 10x + 16) = (2x + 4) · (x + 3) + 4
mit dem Rest 4 = p(−3). Der Restsatz gilt, weil nach dem Divisionsalgorithmus p(x) = q(x) ·
(x−a)+r gilt, wobei r der Rest der Division ist. Insbesondere gilt: p(a) = q(a)·(a−a)+r = r.
Aus dem Restsatz erkennt man, dass die Polynomdivision stets aufgeht, wenn a eine Nullstelle
von p ist:
Ist a eine Nullstelle des Polynoms p(x), dann ist (x − a) ein Teiler des Polynoms, d. h.
p(x) = q(x) · (x − a), wobei grad(q) = grad(p) − 1.
4.2. NULLSTELLEN
4.2.5
37
Polynomgleichungen aus rationalen Gleichungen
Nicht immer bekommt man die Polynomgleichungen, die man lösen soll direkt gegeben. Hier
betrachten wir den Fall, dass man die zu lösende Polynomgleichung erst aus einer Gleichung
mit Polynom-Brüchen herstellen muss. Solche Brüche aus Polynomen nennt man rationale
Funktionen, ganz analog zu den Bruch-Zahlen wie 34 ∈ Q, die im Fachbegriﬀ rationale Zahlen
heißen.
Rationale Funktionen
Eine Funktion der Form
tion.
p(x)
q(x)
(wobei p(x) und q(x) Polynome sind) heißt rationale Funk-
Um eine Gleichungen aus rationalen Funktionen in eine Polynomgleichung umzuformen, muss
man auf beiden Seiten der Gleichung mit dem Hauptnenner multiplizieren – ganz wie bei
normalen Brüchen.
Dabei sind drei Dinge zu beachten:
1. Besteht der Hauptnenner aus einem Produkt (wie (x) · (2x − 1) im Beispiel), so ist es
im Allgemeinen nicht clever, dieses Produkt auszumultiplizieren! Ohne Auszumultiplizieren lässt sich am Ende besser Kürzen.
2. Der Hauptnenner von mehreren Brüchen ist häuﬁg das Produkt der Nenner. Manchmal ist der Hauptnenner jedoch einfacher. Dies zu entdecken kann erhebliche Arbeit
ersparen.
3. Mit Nullstellen des Hauptnenners ist Vorsicht geboten: Sind sie eine Lösung der neuen
Polynomgleichung, so muss man sie unbedingt zur Probe in die Ausgangsgleichung
einsetzen!
Beim Multiplizieren mit dem Hauptnenner gehen also keine Lösungen verloren, es können
aber neue Lösungen entstehen. Es gibt also möglicherweise Lösungen der neuen Polynomgleichung, die nicht Lösungen der ursprünglichen Gleichung sind! Machen Sie also mit allen
Lösungen der Polynomgleichung eine Probe und setzen Sie sie in den Hauptnenner ein!
Hier das allgemeine Vefahren für eine Gleichung in Rationalen Funktionen:
Gegeben
p1 (x) p2 (x)
p3 (x)
+
=
q1 (x)
q2 (x)
q3 (x)
1. Vorbereiten:
1.1 Bestimmen des Hauptnenners h(x) (ein Polynom).
Dies kann q1 (x) · q2 (x) · q3 (x) sein, es kann aber schon genügen, Teile der
Polynnome qi miteinander zu Multiplizieren.
1.2 Multiplizieren mit h(x) auf beiden Seiten.
1.3 Kürzen aller verbliebenen Brüche.
2. Rechnen: Lösen der entstehenden Polynomgleichung.
3. Probe: Einsetzen der Lösungen xi in h(x).
3.1 Falls h(xi ) ̸= 0, dann ist xi eine Lösung Ausgangsgleichung.
3.2 Falls h(xi ) = 0, dann Probe mit xi in der Ausgangsgleichung.
38
KAPITEL 4. POLYNOME
x+2
2x−1
Beispiel: Berechnen Sie die Lösungen der Gleichung
4x−1
x
[Ausgangsgleichung]
[Polynomgleichung]
| · x · (2x − 1)
x+2
2x−1
=
⇒ (4x − 1) · (2x − 1)
= (x + 2) · x
⇔
= x2 + 2x
8x2 −6x
+1
⇔ −7x2 +8x
−1 =
0
[Normalform]
⇔
+ 17
0
[p-q-Formel]
⇔ x1/2 = −(− 47 ) ±
x2 − 87 x
⇔ x1 =
[Probe]
4x−1
x .
=
1
7
√
=
16
49
−
7
49
=
| − x2 − 2x
4
7
±
3
7
x2 = 1
Der Hauptnenner ist h(x) = 2x · (2x − 1).
h(x1 ) = x1 · (2x1 − 1) =
1
7
· (2 71 − 1) ̸= 0.
h(x2 ) = x2 · (2x2 − 1) = 1 · (2 − 1) ̸= 0
1
7
4.3
und 1 sind echte Lösungen der Ausgangsgleichung.
Aufgaben
Lineare Gleichungen
Aufgabe 4.1 Ein Freund von Ihnen möchte einen neuen Mobilfunkvertrag abschließen. Es
gibt zwei verschiedene Angebote:
• Anbieter 1: monatl. Grundgebühr: 10e, Minutenpreis: 0, 10e (alle Netze).
• Anbieter 2: monatl. Grundgebühr: 5e, Minutenpreis: 0, 20e (alle Netze).
Abgesehen davon, dass es vielleicht bessere Angebote irgendwo in diesem Universum gibt:
Ab wieviel Gesprächsminuten pro Monat sollte Ihr Freund sich für Anbieter 1 entscheiden?
Aufgabe 4.2 Berechnen sie den Schnittpunkt der Geraden die durch y = 3x + 2 und y =
−2x + 1 gegeben sind.
Quadratische Gleichungen
Aufgabe 4.3 Hat das Polynom x2 + 2 eine Nullstelle?
Wieviele (verschiedene!) Nullstellen hat x2 − 4x + 4?
Verwenden Sie einmal die p-q-Formel und einmal die Diskriminante.
4.3. AUFGABEN
39
Aufgabe 4.4 Berechnen sie die Nullstellen von
a)
2x2 + 7x + 3
c)
x2 − 2x − 15
b)
3x2 + 7x − 6
d)
x2 − 2x
Aufgabe 4.5 Faktorisieren Sie
a)
x2 − 3x + 2
c)
x2 + x
b)
x2 + 3x + 2
d)
x2 + 1
Tipp: Prüfen Sie vorher (mittels Diskriminante) ob das Polynom wirklich in lineare Faktoren
zerfällt.
Polynomgleichungen dritten grades
Aufgabe 4.6 Berechnen sie die Nullstellen von
a)
b)
x3 + 2x2 − 5x − 6
x3 + 6x2 − x − 6
x3 − 4x2 + 4x
x3 − 1
c)
d)
Polynomgleichungen aus rationalen Gleichungen
In den folgenden Aufgaben müssen die rationalen Gleichungen durch Multiplikation mit dem
Hauptnenner in Polynomgleichungen umgeformt werden.
Beim Multiplizieren mit dem Hauptnenner gehen keine Lösungen verloren, es können aber
neue Lösungen entstehen. Es gibt also möglicherweise Lösungen der neuen Polynomgleichung,
die nicht Lösungen der ursprünglichen Gleichung sind! Machen Sie also mit allen Lösungen
der Polynomgleichung eine Probe in der Ausgangsgleichung!
x+2
2x−1
Beispiel: Berechnen Sie die Lösungen der Gleichung
4x−1
x
[Ausgangsgleichung]
[Polynomgleichung]
=
=
4x−1
x .
| · x · (2x − 1)
x+2
2x−1
⇒
(4x − 1)(2x − 1) =
(x + 2)x
⇔
8x −6x
+1
=
x2 + 2x
⇔
7x2 −8x
+1
=
0
− 87 x
+ 17
=
√
0
2
[Normalform]
⇔
[p-q-Formel]
⇔
x1/2 = −(− 47 ) ±
⇔
x1 =
2
x
1
7
16
49
−
7
49
=
| − x2 − 2x
4
7
±
3
7
x2 = 1
Probe: Einsetzten der Lösungen in den Hauptnenner. Falls sich 0 ergibt, so ist die Lösung
unzulässig, weil dann in der Ausgangsgleichung durch Null geteilt werden würde.
x1 · (2x1 − 1) =
Also sind
1
7
1
1
· (2 − 1) ̸= 0
7
7
und
x2 · (2x2 − 1) = 1 · (2 − 1) ̸= 0.
und 1 tatsächlich Lösungen der Ausgangsgleichung.
40
KAPITEL 4. POLYNOME
Aufgabe 4.7 Berechnen Sie die Lösungen der Gleichung
2x + 1 3x − 5
2x2 + 2x + 18
+
=
.
x−3
x+3
x2 − 9
Tipp: Der Hauptnenner ist (x + 3)(x − 3) = x2 − 9 und hat nur Grad 2!
Aufgabe 4.8 Berechnen Sie die Lösungen der Gleichung
2
2x + 1
3
−
=− 2
.
x−1 x−3
x − 4x + 3
Tipp: Der Hauptnenner ist (x − 3)(x − 1) = x2 − 4x + 3 und hat nur Grad 2!
Aufgabe 4.9 Berechnen Sie die Lösungen der Gleichung
6x2 + 6x − 2
2x + 3 4x + 5
+
=
.
x−1
x+1
x2 − 1
Tipp: Welche Punkte sind keine Lösung?
Lösungen: siehe Seite 100.
Kapitel 5
Diﬀerentialrechnung
Die Ableitung f ′ (x) einer Funktion f (x) gibt die Änderung der Funktion f am Punkt x an:
• Ist f ′ (e
x) positiv, so wächst f bei x
e.
• Ist f ′ (e
x) negativ so fällt f bei x
e.
Die Ableitung gibt also die Änderungsrate der Funktion an. Wir kennen einige solche Änderungsraten (also Ableitungen!) aus dem Alltag:
• Die Inﬂationsrate entspricht der Änderung der Preise der Waren, die wir kaufen.
• Die Geschwindigkeit eines Autos entspricht der Größe der Änderung des Ortes des
Autos: Große Geschwindikeit heißt hier “viel Ortsänderung pro Zeiteinheit”.
• Die Beschleunigung des Wagens ist die Änderung der Geschwindigkeit des Wagens
(große Beschleunigung heißt: Der Wagen wird “schnell” schneller), dies ist also eine
Ableitung einer Ableitung.
Im Herbst 1972 verwendete Richard Nixon -zu dem Zeitpunkt der Präsident der USA – als
erster US-Präsident die dritte Ableitung in einer öﬀentlichen Rede:
“Die Rate mit der die Inﬂation wächst, hat sich verringert.”
[Notices of the American Mathematical Society, Vol. 43, No. 10, Oct. 1996.]
Das Ableiten von Funktionen zusammen mit der Nullstellenbestimmung ist ein wichtiges
Hilfsmittel bei der Suche von Maxima und Minima einer Funktion.
Wichtige Wirtschaftliche Größen lassen sich als Funktion beschreiben, die Suche nach einem
Maximum entspricht dann oft der Suche nach einer Kostengünstigen Vorgehensweise.
5.1
Vom Diﬀerenzenquotienten zur Ableitung
Die “Steigung” gibt (außerhalb der Mathematik) an, wie steil ein Berg ist. Die Steigung eines
Berges kann man angeben, indem man mitteilt, wieviel Meter Höhe man gewinnt – relativ
zur waagerechten Distanz. Die Steigung ist also “gewonnene Höhenmeter H” geteilt durch
die “waagerechte Länge B” der horizontal zurückgelegten Strecke. Je mehr Höhe man pro
waagerechten Schritt gewinnt, umso steiler ist der Berg.
41
42
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
Ganz analog lässt sich die Steigung einer Geraden aus dem Graphen der Funktion ablesen:
Man zeichnet ein Steigungsdreieck ein und teilt den Höhengewinn H durch die Breite B
(s. Abb. 5.1a). Wie aber berechnet man die Steigung einer Funktion, deren Graph nicht
schnurgerade ist? Bei einem gekrümmten Graphen ist es nicht mehr so leicht zu sagen, wie
steil der Graph an einem bestimmten Punkt ist. Es ist aber leicht möglich, die Steigung grob
zu schätzen.
ste
ch
ﬂa H
B
il
Um die Steigung in einem Punkt a zu schätzen, startet man in
a, nimmt einen beliebigen anderen Punkt x und berechnet um
wieviel der Graph zwischen a und x ansteigt (s. Abb. 5.1a).
Steigung:
B
H
Höhe
Breite
Steigung:
a)
f(
)− a
x1 −
(
f
x1
a)
f(
)−
x 2 −a
x2
a)
f(
)−
a
x3
f ( x 3−
f(
H=f (x)−f (a)
f (x)
f
H
: B
a
f(
)− a
(x x−
)
(a )
)− f
f (x4 −a
x4
=
ng
s
St
′
f (a)
gu
ei
f (a)
B=x−a
a
a x3
x
Abb. 5.1a: Der Diﬀerenzenquotient
f (x)−f (a)
x−a
x3
x3
x2
x2
Abb. 5.1b: f ′ (a) ist der Grenzwert von
Abbildung 5.1: Die Steigung als Grenzwert des Diﬀerenzenquotienten
Diﬀerenzenquotient
Betrachten wir die Verbindungsstrecke s zwischen den Punkten (a, f (a)) und (x, f (x)) in
Abbildung 5.1a. Die Steigung von s kann man als grobe Näherung der Steigung von f an
der Stelle a nehmen. Die Steigung von s läßt sich zudem einfach ermitteln: Der Graph von
s steigt auf einer Strecke der Länge B = x − a um H = f (x) − f (a) Einheiten an (s. Abb
5.1a). Die Steigung von s errechnet man also wie folgt
f (x) − f (a)
x−a
x1
(Diﬀerenzenquotient).
(a)
Der Diﬀertenzenquotient D(x) := f (x)−f
gibt für jeden Punkt x ̸= a eine Näherung
x−a
der Steigung von f im Punkt a. Die Näherung D(x) ist umso besser, je dichter x an a
heranrückt (s. Abbildung 5.1b). Man könnte also annehmen, dass die Steigung von f im
Punkt a ganz einfach “D(a)” ist. Leider ist D(x) für x = a aber nicht deﬁniert: Setzte
(a)
man x = a, so erhielte man D(a) = f (a)−f
= 00 , dies ist ein nicht deﬁnierter Ausdruck!
a−a
f (x)−f (a)
x−a
5.2. BERECHNEN VON ABLEITUNGEN
43
Steigung als Grenzwert
Um letztendlich die Steigung von f im Punkt a zu bestimmen, wollen wir also wissen, was
mit D(x) passiert, wenn x beliebig dicht an a heranrückt, ohne dass jedoch x = a gilt.
(a)
Dies nennt man “den Grenzwert bilden”, gesucht ist lim f (x)−f
. Falls dieser Grenzwert
x−a
x→a
existiert (s. [Kem98]), setzen wir
f ′ (a) := lim
x→a
f (x) − f (a)
.
x−a
Der Ausdruck für f ′ (a) bedeutet nicht, dass man in D(x) für x einfach den Wert a einsetzt.
Man setzt viel mehr Zahlen xi in D ein, die gegen a streben, und schließt aus dem Verhalten
von D(xi ), wohin D(xi ) strebt (s. Abbildung 5.1b).
Details zum Thema Grenzwerte würden den Rahmen dieses Skriptes sprengen, interessierte
Leser können sich unter [Kem98] informieren.
Beispiel
Gesucht ist die Ableitung der Funktion f (x) := x2 im Punkt a. Der Diﬀerenzenquotient
lautet
f (x) − f (a)
x 2 − a2
(x + a)(x − a)
=
=
= (x + a).
x−a
x−a
x−a
und wir erhalten
f ′ (a) = lim
(
x→a
f (x) − f (a)
x−a
)
= lim (x + a) = 2a.
x→a
Ganz generell gilt also: f ′ (x) = 2x.
Der Trick beim Ermitteln der Ableitung ist also erst umzuformen und dann den Grenzwert
zu bilden. Mittels Diﬀerenzenquotient wurden die im nachfolgenden Abschnitt genannten
Ableitungen ausgerechnet. Um eine gegebene Funktion jedoch tatsächlich abzuleiten, bedient
man sich einfacher Rechenregeln, die wir nun vorstellen.
5.2
Berechnen von Ableitungen
Um eine Funktion abzuleiten, muss man nicht unbedingt Grenzwerte von Diﬀerenzenquotienten ausrechenen: Die meisten Funktionen sind letztlich nur aus kleineren Untereinheiten
zusammengesetzt, etwa das Produkt oder die Summe zweier Funktionen.
Um also eine Funktion abzuleiten, muss man 5 Grundableitungen auswendig wissen, und 3
Ableitungsregeln kennen, die aussagen, wie man mit Summen, Produkten und der Verkettung
von Funktionen umgeht. Aus dieser Kombination von “Vokabeln” und “Grammatik” lassen
sich dann (fast) alle Funktionen erzeugen.
Grundableitungen
(xn )′ = n · xn−1
′
(ex ) =ex
für alle n ̸= 0
ln(x)′ = x−1
cos(x)′ =− sin(x)
sin(x)′ = cos(x)
44
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
Kombinationsregeln
′
(f (x) + g(x)) =f ′ (x) + g ′ (x)
′
′
(c · f (x))
=c · f (x)
(Linearität)
für Konstanten c ∈ R
′
(f (x) · g(x)) =f ′ (x) · g(x) + f (x) · g ′ (x)
(
)′
′
f (x)
(x)g ′ (x)
= f (x)g(x)−f
g(x)
(g(x))2
f (g(x))′
(Produktregel)
(Quotientenregel)
=f ′ (g(x)) · g ′ (x)
(Kettenregel)
Die Regeln und Grundableitungen sollten Sie auswendig lernen!
Bevor wir uns den Grundableitungen und Rechenregeln im Einzelnen widmen, beachten
Sie folgendes: Die rechten Seiten aller drei Regeln lassen sich berechnen, indem man eine
Ableitung nach der anderen berechnet! Beim Ableiten geht es also immer “Schritt für Schritt”.
5.2.1
Die Grundableitungen
Für eine feste Zahl n ∈ R ist f ′ (x) = n · xn−1 die Ableitung von f (x) = xn . Dabei muss
n ∈ R nicht unbedingt eine natürliche Zahl sein:
f ′ (x) = n·xn−1
n
f (x) =xn
0
1=
x0
0·x−1 = 0
1
2
3
x=
x1
x2
x3
1·x0
2·x1
3·x2
1
x
x−1
−1
1
2
- 12
=
√
1
x = x2
√1
x
=1
= 2x
(−1)·x−2 = − x12
1 − 12
2 ·x
= x− 2
1
=
1
√
2 x
− 12 ·x− 2 = − 2(√1x)3
3
Die einzige Potenz von x die auf diese Weise nicht entstehen kann ist x1 = x−1 . Wäre 1/x die
Ableitung einer Funktion der Form f (x) = xn , so müsste diese den Exponenten n = −1 + 1
haben. Die zugehörige Stammfunktion müsste also f (x) = x0 lauten, die Ableitung von dieser
Funktion ist jedoch f ′ (x) = 0.
Entsprechend ist 1/x die Ableitung einer Funktion die nicht die Form xn hat, nämlich ln(x).
Dies wird beim Integrieren - der Umkehr des Ableitens - wichtig.
5.2.2
Kettenregel
Die Kettenregel erleichtert das Ableiten von verschachtelten Funktionen. Um die Kettenregel
f (g(x))′ =f ′ (g(x)) · g ′ (x) anzuwenden, muss man zuerst die innere Funktion g(x) und die
5.3. KURVENDISKUSSION
45
äußere Funktion f (x) ﬁnden. Dies ist nicht immer ganz einfach, manchmal ist wegen Vereinfachungsregeln die äußere Funktion versteckt. Um die äußere Funktion sichtbar zu machen,
sucht man nach ihrem Klammernpaar - und fügt es gegebenenfalls selber ein.
Beispiel 5.1 Gesucht ist die Ableitung von F (x) = cos(x2 ). Hier ist die äußere Funktion
cos(x) in die für x die innere Funktion x2 eingesetzt wurde. Um die Ableitung von F zu
berechnen
• leitet man zunächst cos(x) ab und erhält − sin(x).
• dann ersetzt man x durch die innere Funktion x2 und erhält − sin(x2 ).
• dann multipliziert( man
) mit 2x, der Ableitung der inneren Funktion,
und erhält: − sin x2 · 2x.
( )
Die Ableitung lautet also F ′ (x) = − sin x2 · 2x.
Beispiel 5.2 Gesucht ist die Ableitung von F (x) = e4x . Hier ist die äußere Funktion ex in
die für x die innere Funktion 4x eingesetzt wurde. Die Ableitung lautet also F ′ (x) = e(4x) · 4.
Achtung: Ein typischer Flüchtigkeitsfehler ist, x4 mit e4x bezüglich der Ableitungsregel zu
verwechseln: Die Ableitung von e4x ist 4e4x aufgrund der Kettenregel. Die Ableitung lautet
nicht 4e3x - wie es analog bei (x4 )′ = 4x3 der Fall ist!
Beispiel 5.3 Gesucht ist die Ableitung von F (x) = sin2 (x). Hier ist die äußere Funktion
“unsichtbar”, weil man ihre Klammern weggelassen hat. Leichter wird es wenn man F (x) so
2
schreibt: (sin(x)) hier ist also f (x) = (x)2 die äußere Funktion und g(x) = sin(x) die innere.
Die Ableitung lautet also F ′ (x) = 2 (sin(x)) · cos(x).
Kompakt mit Klammern
äußere Fkt
innere Fkt
f (x)
f ′ (x)
g(x)
g ′ (x)
ln(x2 ) =
f (g(x))
( )
ln x2
ln (x)
1
(x)
x2
2x
sin2 (x) =
(sin(x))2
(x)2
(2x)
sin(x)
cos(x)
1
(ex )
1
(x)
1
− (x)
2
x
x
1
ex
=
5.3
Kurvendiskussion
5.3.1
Die erste Ableitung
e
e
Ableitung
f ′ (g(x)) · g ′ (x)
1
(x2 )
· 2x
2 (sin(x)) · cos(x)
− (ex1)2 · ex
Die Ableitung einer Funktion spiegelt das Steigungsverhalten der Funktion wieder, Abbildung
5.2 zeigt die Bedeutung der ersten Ableitung am Beispiel zweier Extrempunkte, einem lokalen
Maximum und einem lokalen Minimum.
Ein lokales Maximum entspricht einem “Buckel” des Graphen, also einem Punkt a, an dem
der Funktionswert f (a) größer ist als bei den “Nachbarpunkten”. Für eine Senke (lokales
Minimum) des Graphen gilt das genaue Gegenteil. Mathematisch deﬁniert man “Buckel”
und “Senke” wie folgt:
46
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
f (x)
Ste
igu
ng
ng
<
igu
gu
Ste
St
ei
ng
>
0
>0
lokale Extrema:
Steigung = 0
0
f ′ (x)
f ′ (x) = 0
f ′ (x) = 0
Abbildung 5.2: Bedeutung der ersten Ableitung
a ist lokales Maximum von f , wenn f (x) < f (a) für alle x ̸= a in einer Umgebung von a.
a ist lokales Minimum von f , wenn f (x) > f (a) für alle x ̸= a in einer Umgebung von a.
Die lokalen Maxima und Minima von f nennt man die Extrempunkte von f .
Vor einem lokalen Maximum a muss der Graph ansteigen [d.h. f ′ (x) > 0] , nach dem Punkt
a muss der Graph fallen [d.h. f ′ (x) < 0] (s. Abbildung 5.2). Entsprechend gelten also am
lokalen Maximum zwei Dinge:
• Es gilt: f ′ (a) = 0.
• Der Graph steigt vor a an, fällt danach ab: Die Steigung f ′ wird also vom Zahlenwert
her immer kleiner, d.h. die Änderung von f ′ [also (f ′ )′ ] ist an der Stelle a negativ! Es
gilt also: f ′′ (a) < 0.
Für eine Senke (lokales Minimum) gilt das genaue Gegenteil: f ′′ (a) > 0.
Ein Punkt a ist
• ein lokales Maximum von f falls f ′ (a) = 0 und f ′′ (a) < 0 gilt.
• ein lokales Minimum von f falls f ′ (a) = 0 und f ′′ (a) > 0 gilt.
Achtung: Wenn sowohl f ′ (a) = 0 und f ′′ (x) = 0 gelten, ist der Punkt a möglicherweise
weder ein lokales Maximum noch ein lokales Minimum.
Um in diesem Fall herauszuﬁnden, wie f sich im Punkt a verhält, müssen dann weitere
Ableitungen von f betrachtet werden. Für eine vollständige Betrachtung aller möglichen
Fälle verweisen wir auf [CR00].
5.4. AUFGABEN
5.3.2
47
Die zweite Ableitung
Die zweite Ableitung einer Funktion f spiegelt die Krümmung des Graphen von f wieder:
f ′′ (x)<0
f ′′ (x)>0
f ′′ (x)=0
Graph unterhalb der Tangente.
Graph kreuzt die Tangente.
Graph oberhalb der Tangente.
Abbildung 5.3: Bedeutung der zweiten Ableitung
Gilt f ′′ (a) < 0, so sinkt die Steigung f ′ (x) um a. Also ist ist der Graph bei x-Werten mit
x < a steiler als bei a, und bei x-Werten mit a < x ﬂacher als bei a (s. Abbildung 5.3 links).
Dies bedeutet, dass der Graph unter der Tangente in a “durchtaucht”.
Das Gegenteil gilt für Punkte, an denen f ′′ (a) > 0 gilt, hier verläuft der Graph oberhalb der
zugehörigen Tangente.
Wendepunkte und die Krümmung eines Graphen
Stellen Sie sich den Graphen einer Funktion als eine Straße von oben gesehen vor (s. Abbildung 5.3). Lässt man in Gedanken ein Fahrzeug auf dem Graphen von f (x) fahren, und zwar
von kleinen x-Werten in Richtung größerer x-Werte, so fährt das Fahrzeug am Punkt a
• eine (leichte) Rechtskurve, wenn f ′′ (a) < 0 gilt.
• eine (leichte) Linkskurve, wenn f ′′ (a) > 0 gilt,
Die Größe von f ′′ (x) beschreibt wie eng diese Kurve bei x ist, deswegen nennt man f ′′ (x)
die Krümmung von des Graphen f .
Dort wo die zweite Ableitung verschwindet, ändert sich die Kurvenrichtung unseres Fahrzeuges. Entsprechend nennt man Punkte, an denen f ′′ (x) = 0 gilt Wendepunkte der Funktion.
5.4
Aufgaben
Ableiten
Aufgabe 5.1 Berechnen Sie jeweils die Ableitung der folgenden Funktionen mittels Produktregel:
a)
d)
(x + 1)(x − 2)
cos2 (x)
b)
e)
x ln(x) − x
sin2 (x)
c)
xex − ex
48
KAPITEL 5. DIFFERENTIALRECHNUNG
Aufgabe 5.2 Berechnen Sie jeweils die Ableitung der folgenden Funktionen mittels Kettenregel:
a)
d)
(x2 + 1)3
cos(1/x)
b)
e)
3
e(x )
c)
1
1+e−x
cos(x2 − 2x)
Aufgabe 5.3 Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden rationalen Funktionen:
a)
d)
(x+1)
x2 +1
tan(x) =
sin(x)
cos(x)
b)
e)
ex +1
ex
cos(2x)
x2 +1
c)
cot(x) =
cos(x)
sin(x)
Kurvendiskussion
Aufgabe 5.4 Berechnen und untersuchen Sie alle lokalen Extrema und Wendepunkte der
Funktion
f: R → R
x 7→ 2x3 − 3x2 + 6
Aufgabe 5.5 Berechnen und untersuchen Sie alle lokalen Extrema der Funktion
f : [−2, ∞) →
x 7→
R
x
(x+2)2
Zusatzfrage: Welches ist der größtmögliche Funktionswert der Funktion f auf dem intervall
[−2, ∞)?
Tipp: Bei der ersten und zweiten Ableitung Potenzen von (x + 2) kürzen, bevor man den
neuen Zähler ausmultipliziert!
Zusatzaufgaben
Aufgabe 5.6 Wie lautet die n-te Ableitung von
a)
ex
b)
e2x
c)
xn
d)
xn−1
e)
cos(x)
Aufgabe 5.7 Sie habene eine Pappﬂäche von 6m2 zur Verfügung und sollen daraus einen
geschlossenen Karton (also mit Deckel) mit quadratischer Grundﬂäche herstellen. Der Karton
soll einen möglichst großen Inhalt haben.
Nehmen Sie (idealisierend) an, dass der Kartonverbrauch genau der Fläche des Kartons
entspricht (kein Verschnitt, keine Klebekanten etc.).
a) Wie berechnen Sie das Volumen und die Fläche aus Breite und Höhe des Kartons?
b) Wie berechnet man die Höhe aus der Breite, wenn die Fläche konstant 6 bleiben soll?
c) Wie breit und wie hoch ist der optimale Karton?
Tipp: Nutzen Sie ihr wissen aus Aufgabe b) in der Volumenformel in c).
Lösungen: siehe Seite 103.
Kapitel 6
Die Taylorreihe einer Funktion
Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit Taylorreihen, Taylorpolynomen und der Restgliedabschätzung für Taylorpolynome.
Die Taylorreihe einer reellen Funktion ist eine spezielle Potenzreihe, die sich recht leicht aus
den Ableitungen der Funktion berechnen lässt. Unter bestimmten Voraussetzungen ist die
berechnete Taylorreihe identisch mit der gegebenen Funktion. Dies macht Taylorreihen zu
einem äußerst wichtigen mathematischen Hilfsmittel im Umgang mit Funktionen, sie sind
sowohl beim Modellieren von Problemen als auch beim Lösen von Gleichungen äußerst Hilfreich.
Taylorpolynome, die “endliche Version” und quasi der “kleine Bruder” der Taylorreihe, werden häuﬁg als Approximation für Funktionen benutzt: Wenn das Rechnen mit der tatsächlichen Funktion nicht oder nur schwer möglich ist, bietet ein Taylorpolynom eine leicht handhabbare Approximation der Funktion – mit einer Gütegarantie.
6.1
Voraussetzungen
Im folgenden benötigen wir die folgenden Namenskonventionen:
Für ganze Zahlen n ∈ N ist die Fakultät n! das Produkt aller ganzen Zahlen bis zu n:
n! := 1 · 2 · 3 · 4 · · · (n − 1) · n
4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24
Als besondere Deﬁnition setzt man:
0! := 1
Ein Monom hat die Form a · xk .
Hierbei ist
• x die Variable
• k ∈ N der ganzzahlige Exponent
• a ∈ R der reelle Koeﬃzient
Null als Exponent:
Für alle reellen Zahlen x ∈ R gilt x0 = 1 (wieso dies so ist: s. Seite 19)
49
50
KAPITEL 6. DIE TAYLORREIHE EINER FUNKTION
6.1.1
Potenzreihen
Potenzreihen sind zum einen Funktionen, d.h. zu einer Variable x wird ein Funktionswert
errechnet. Gleichzeitig ist jede Potenzreihe eine Reihe, also die Summe unendlich vieler Summanden, nämich die Summe unendlich vieler Monome an xn .
Entsprechend ist beim Umgang mit Potenzreihen Vorsicht geboten: Nicht immer ergibt sich
beim Einsetzen von Werten für x ein sinnvoller Wert (s. Beispiel 6.2).
Die allgemeine Form einer Potenzreihe lautet
f (x) =
∞
∑
ak (x − m)k = a0 + a1 (x − m)1 + a2 (x − m)2 + a3 (x − m)3 + . . .
k=0
• Hier ist “x” die Variable, für die spezielle Werte eingesetzt werden können.
• Die Zahl “m” nennt man den Mittelpunkt der Potenzreihe.
• Die reellen Zahlen a0 , a1 , a2 , a3 , . . . heißen die Koeﬃzienten der Potenzreihe f .
Beispiel 6.1 Die Reihe
∞
∑
1 k
=
x
k!
k=0
| {z }
Summen-Schreibweise
1
1
1
1
+ x1 + x2 + x3 + · · ·
2!{z
3!
|0! 1!
}
Pünktchen-Schreibweise
nennt man die Eulersche Funktion oder auch e-Funktion, abgekürzt ex .
• Hier ist der Mittelpunkt m = 0 und
• die allgemeine Formel für die Koeﬃzenten lautet ak =
6.1.2
1
k! .
Einsetzen von Zahlen in Potenzreihen
Das Auswerten einer Potenzreihe f (x) muss nicht immer “gut gehen”: Es kann Werte für x
geben, für die f (x) beliebig groß wird:
Beispiel 6.2 Die Reihe
∞
∑
1 · xk
=
1 + x1 + x2 + x3 + · · ·
k=0
kann für x = 1 keinen endlichen Wert annehmen, weil eine Summe von unendlich vielen
Einsen größer sein muß als jede bekannte Zahl. Man sagt entsprechend “diese Potenzreihe
divergiert am Punkt x = 1”. Setzt man jedoch 12 für x ein, so ergibt sich der Wert 2:
∑∞
k
=
1 + 11 + 12 + 13 +· · · = ∞
k=0 1 · (1)
( )1 ( )2 ( )3
∑∞
1 k
=
1 + 12 + 12 + 12 +· · · = 2
k=0 1 · ( 2 )
Für weitergehende Informationen über das Konvergenzverhalten von Reihen, insbesondere
über den sogenannten Konvergenzradius, empfehlen wir einen Blick in die entsprechende
Literatur.
6.2. DIE TAYLORREIHE EINER FUNKTION
6.2
51
Die Taylorreihe einer Funktion
Die Taylorreihe einer Funktion f ist eine spezielle Potenzreihe, die sich recht leicht aus den
Ableitungen von f berechnen lässt. Die Taylorreihe stimmt unter bestimmten Umständen(!)
rund um den Entwicklungspunkt mit der gegebenen Funktion überein.
Entsprechend benutzt man die Taylorreihe (bzw. das Taylorpolynom) einer Funktion häuﬁg
in komplexeren Rechnungen, weil sich mit ihr häuﬁg leichter rechnen lässt als mit der eigentlichen Funktion selbst. Ein Taschenrechner verwendet beispielsweise zum Berechnen
√ (d.h.
eigentlich: zum Annähern) von Wurzelausdrücken ein Taylorpolynom der Funktion (x).
Der anstrengende und fehleranfällige Teil der Berechnung einer Taylorreihe ist das Bilden der
zahlreichen benötigten Ableitungen. Hierzu verwendet man heute meistens spezielle Software.
6.2.1
Die allgemeine Form der Taylorreihe:
In der nachfolgenden Deﬁnition ist f (k) (m) die k-te Ableitung von f an der Stelle m, beispielsweise gelten f (0) (m) = f (m), f (1) (m) = f ′ (m), f (2) (m) = f ′′ (m) etc.
Deﬁnition 6.1 Sei f : R → R eine am Punkt m ∈ R unendlich oft diﬀerenzierbare
Funktion, dann heißt
Tm f (x) :=
∞
∑
f (k) (m) ·
k=0
(x − m)k
k!
die Taylorreihe der Funktion f am Entwicklungspunkt m.
Beispiel 6.3 Um die Taylorreihe von f (x) := ex am Entwicklungspunkt m = 0 zu berechnen, benötigen wir zunächst alle Ableitungen an diesem Punkt.
f ′ (x) = ex , f ′′ (x) = ex ,
, f ′ (0) = 1,
f ′′ (0) = 1,
f (x) = ex ,
f (0) = e|0 {z
= 1}
f (3) (x) = ex ,
f (3) (0) = 1,
...
...
s.Abschnitt2.2
Entsprechend ergibt sich die Taylorreihe wie folgt:
T0 f (x) :=
=
6.2.2
∑∞ (k)
f (0) ·
∑k=0
∞
(x)k
i=0 1 · k!
(x−0)k
k!
= 1+
(x)1
1!
+
(x)2
2!
+
(x)3
3!
+ ···
Eigenschaften der Taylorreihe
Die Taylorreihe muss nicht für jeden Wert von x konvergieren. Wenn die Taylorreihe jedoch
in einem Intervall konvergiert, so ist sie auf dem Intervall identisch mit der Ausgangsfunktion:
∑∞
k
Satz 1 Sei g(x) := k=0 f (k) (0) xk! die Taylorreihe von f am Entwicklungspunkt m = 0.
Falls g(x) für alle x in einem Intervall [−a, a] um die 0 konvergiert, gilt:
g(x) = f (x)
für alle x ∈ (−a, a).
Diese Eigenschaft der Taylorreihe T0 f rührt daher, dass die Taylorreihe am Punkt Null
die selben Ableitungswerte besitzt wie f . Wir verdeutlichen dies mit einem Blick auf den
k
Baustein: xk! .
52
KAPITEL 6. DIE TAYLORREIHE EINER FUNKTION
xk
k!
Der Baustein
k
Der Baustein xk! , ein normiertes Monom, hat für k ̸= 0 zwei bemerkenswerte Eigenschaften:
1) Zum einen hat der k-te Baustein als Ableitung stets den (k − 1)-ten Baustein, hier einmal
am Beispiel demonstriert:
(
x4
4!
)′
(
=
̸ 4 · x2
̸4·3·2·1
)
(
=
x3
3!
)
(
x3
3!
)′
(
=
̸ 3 · x2
̸3·2·1
)
(
=
x2
2!
)
...
2) Zum anderen ergibt sich für fast alle Bausteine der Wert 0, wenn man x = 0 setzt, mit
0
Ausnahme von x0! = 1.
Ableitung
0
Ableitung
Ableitung
1
2
Baustein
x
0!
x
1!
x
2!
x3
3!
...
Wert bei x = 0
1
0
0
0
...
Mit diesen Eigenschaften ergibt sich die folgende Eigenschaft der Taylorreihe:
∑∞
k
Korollar 2 Sei g(x) := k=0 f (k) (0) xk! die Taylorreihe am Entwicklungspunkt m = 0. Falls
g(x) für alle x in einem Intervall [−a, a] um die 0 konvergiert, gilt:
g (k) (0) = f (k) (0)
für alle k = 0, 1, 2, 3 . . .
Mit anderen Worten: Die Funktion g hat an der Stelle x = 0 die selben Ableitungen wie f .
Dies wird deutlich, wenn man die Ableitungen der Taylorreihe g(x) berechnet und x = 0
einsetzt.
k
Die folgende Tabelle verdeutlicht, wie die beiden zentralen Eigenschaften der xk! -Bausteine
die Ableitung der Taylorreihe bestimmen:
Die Ableitungen der Taylorreihe
g(x)
= f (0)· 1
+f ′ (0) ·
x1
1!
+f ′′ (0) ·
x2
2!
+f ′′′ (0) ·
x3
3!
+ ···
g ′ (x)
= f (0)· 0
+f ′ (0) · 1
+f ′′ (0) ·
x1
1!
+f ′′′ (0) ·
x2
2!
++ · · ·
g ′′ (x) = f (0)· 0
..
.
+f ′ (0) · 0
+f ′′ (0) · 1
+f ′′′ (0) ·
x1
1!
++ · · ·
Ableitung
..
Ableitung
.
Einsetzen des Entwicklungspunktes x = 0
g(0)
= f (0)· 1
+f ′ (0) · 0
+f ′′ (0) · 0
+f ′′′ (0) · 0
+ ···
g ′ (0)
= f (0)· 0
+f ′ (0) · 1
+f ′′ (0) · 0
+f ′′′ (0) · 0
+ ···
g ′′ (0)
..
.
= f (0)· 0
+f ′ (0) · 0
+f ′′ (0) · 1
+f ′′′ (0) · 0
+ ···
..
.
6.3. DAS TAYLORPOLYNOM ALS APPROXIMATION EINER FUNKTION
6.3
6.3.1
53
Das Taylorpolynom als Approximation einer Funktion
Die allgemeine Form des Taylorpolynoms:
Deﬁnition 6.2 Sei f : R → R eine am Punkt m ∈ R n-mal diﬀerenzierbare Funktion,
dann heißt
n
Tm
f (x)
:=
=
∑n
k=0
(x−m)k
k!
(x−m)1
(1)
f (m) 1! +
f (k) (m) ·
f (m) +
2
f (2) (m) (x−m)
+ · · · + f (n) (m) (x−m)
2!
n!
n
das Taylorpolynom vom Grad n der Funktion f am Entwicklungspunkt m.
Das Taylorpolynom vom Grad n ist eine “endliche Version” der Taylorreihe. Dies hat den
entscheidenden Vorteil, dass das Taylorpolynom –als endliche Summe– für alle Werte von x
einen endlichen Wert ergibt.
Die Taylorreihe ist -auf dem Konvergenzintervall- identisch mit der ursprünglichen Funktion
(s. Satz 1). Im Gegensatz dazu ist das Taylorpolynom allerdings “nur noch” eine Approximation der ursprünglichen Funktion. Je höher der Grad des Taylorpolynoms, um so besser stimmt
das Taylorpolynom rund um den Entwicklungspunkt mit der gegebenen Funktion überein.
Dies sieht man zum Beispiel in Abbildung 6.1, dort werden die ersten vier Taylorpolynome
der Eulerfunktion ex mit der Funktion selbst verglichen.
ex
1+x+
x2
2
+
1+x+
x3
6
x2
2
1+x
1
Abbildung 6.1: Die ersten vier Taylorpolynome der Eulerfunktion ex .
Beispiel 6.4 (Anwendungsbeispiel) Will man den Wert der Eulerzahl e näherungsweise
berechnen, so kann man das Taylorpolynom der Funktion ex an der Stelle m = 0 entwickeln
und den wert x = 1 einsetzen. Wir tun dies mittels des Taylorpolynoms vom Grad 3:
54
KAPITEL 6. DIE TAYLORREIHE EINER FUNKTION
T03 f (x) =
1
2
3
2
3
1 + x1! + x2! + x3!
= 1 + x + x2 + x6
T03 f (1)
6.3.2
=
1 +1 +
1
2
+
1
6
=
8
3
= 2, 6
Restgliedabschätzung
Wie genau ist die Approximation von e aus Beispiel 6.4? Die Eulerzahl hat ungefähr den
Wert 2, 71828, den Fehler zum berechneten Wert 2, 6 kann man jedoch auch ohne dies zu
wissen mit dem Satz von Taylor abschätzen:
Satz 3 (Satz von Taylor) Die Funktion f : R → R sei auf dem abgeschlossenen Intervall
[0, x̄] n-mal stetig diﬀerenzierbar und die Ableitung f (n+1) (x) sei auf dem oﬀenen Intervall
(0, x̄) deﬁniert.
Dann gibt es eine Zahl ξ ∈ (0, x̄) so dass gilt:
f (x̄)
=
x̄1
x̄2
x̄n
x̄n
f (0) + f (1) (0) + f (2) (0) + · · · + f (n) (0)
+f (n+1) (ξ)
1!
n!} |
n!}
|
{z 2!
{z
das Taylorpolynom vom Grad n
(6.1)
Fehlerterm
n
Deﬁnition 6.3 Der Term f (n+1) (ξ) x̄n! in Gleichung (6.1) heißt Lagrangesches Restglied 1 .
Wenn man die Größe des Lagrangeschen abschätzen kann, so kann man über das Umstellen
der Gleichung (6.1) den Fehler abschätzen, den man macht, wenn man statt f (x̄) den Wert
des Taylorpolynoms T0n (x̄) berechnet:
Beispiel 6.5 (Fortsetzung Anwendungsbeispiel 6.4) In Beispiel 6.4 wird der Wert der
Eulerzahl e näherungsweise berechnet:
T03 f (1) =
1 +1 + 12 + 16
=
8
3
= 2, 6
Nach Satz 6.1 gibt es nun ein ξ ∈ (0, 1) so dass gilt:
f (1) − T03 f (1) = f (4) (ξ)
1
eξ
=
4!
4!
Mit dem zusätzlichen Wissen, dass e ≤ 3 gilt, und dass eξ ≤ 1 gilt folgt:
f (1) − T03 f (1) =
eξ
3
1
≤
=
4!
4·3·2·1
8
Mit dieser Rechnung können wir zeigen, dass der errechnete Wert 2, 6 höchstens um 1/8 =
0, 125 kleiner ist als die Eulerzahl e.
Dies ist natürlich nur eine obere Schranke mit gehöriger “Sicherheitsreserve”, der tatsächliche
Fehler ist deutlich kleiner. Zum Vergleich: Der tatsächliche Fehler liegt etwa bei 2, 71828 −
2, 6 ∼ 0.051615161 .
1
Es gibt noch weitere mögliche Formen für das Restglied, die hier nicht erwähnt werden.
6.4. AUFGABEN
6.4
55
Aufgaben
Nähern Sie den Wert von
√
2 an.
1. Berechnen Sie dazu zunächst
das Taylorpolynom vom Grad 3 an der Stelle m = 0 für
√
die Funktion f (x) := x + 1, unter Verwendung der folgenden Ableitungen:
√
√
f (x) =
x+1
f (0) =
1 =1
f ′ (x) =
f ′ (0) =
f ′′ (x)
f ′′ (0) =
f ′′′ (x)
√1
2 x+1
=− √ 1 3
4 (x+1)
= √ 3 5
8 (x+1)
f ′′′ (0) =
1
√
2 1
1
− 4√
1
3
√
8 1
=
1
2
= − 14
=
3
8
2. Setzen Sie in das Taylorpolynom von Taylorpolynom den Wert x̄ = 1 ein.
3. Schätzen Sie den gemachten Fehler, in dem Sie den Betrag(!) des Lagrangeschen Restglieds abschätzen. Verwenden Sie hierzu die Ableitung
f (4) (ξ) =− √15 7
16
(ξ+1)
Zusammen mit der Eigenschaft, dass für alle ξ ∈ (0, 1) gilt: √
1
(ξ+1)7
≤1.
56
KAPITEL 6. DIE TAYLORREIHE EINER FUNKTION
Kapitel 7
Integralrechnung
Das Integrieren einer Funktion kann man auf drei verschiedene Arten betrachten:
• Das Integrieren einer Funktion f (x) entspricht dem Auﬃnden einer Funktion F (x),
deren Ableitung f (x) ist, d.h. es gilt F ′ (x) = f (x). Eine solche Funktion
∫ F nennt man
Stammfunktion von f . Als Formel ausgedrückt schreibt man F (x) = f (x)dx. Damit
beschäftigt sich Abschnitt 7.1.
• Der Prozess des Integrierens einer Funktion ist interessanterweise gleichzeitig eine Flächen∫b
berechnung: Der Wert a f (x)dx := F (b)−F (a) gibt die Fläche zwischen dem Graphen
von f (x) und der x-Achse an (Dabei werden die Flächenanteile unterhalb der x-Achse
abgezogen.). Damit beschäftigt sich Abschnitt 7.2.
• Dass ein Integral eine Fläche misst, liegt daran, dass ein Integral letztendlich als einen
Grenzwert deﬁniert ist, der aus einer Flächenberechnung hervorgeht. Ein Integral ist
also letztlich ein Grenzwert, und dies ist von Bedeutung wenn man beispielsweise Funktionen in mehreren Variabel integirert. Dieses Skript wird hierauf nicht eingehen, wir
bitten den interessierten Leser sich in [Kem98] (S. 345 ﬀ.) über die Eigenschaften des
Integrals als Grenzwert zu informieren.
Im Folgenden beschäftigen wir uns ausschließlich mit dem Lösen von Integralen, dabei gilt
es, unbestimmte und bestimmte Integrale zu berechenen:
∫
f dx(x)dx
ein unbestimmtes Integral.
Man nennt ∫ b
f
(x)dx
ein bestimmtes
Integral.
a
7.1
7.1.1
Unbestimmte Integrale
Die Konstante
∫
Ein unbestimmtes Integral f (x)dx entspricht der Suche nach einer Funktion F , deren Ableitung f (x) ist. Jede Funktion hat jedoch viele Stammfunktionen, die sich nur um eine
Konstante unterscheiden:
57
58
KAPITEL 7. INTEGRALRECHNUNG
( )′
(
)′
Zum Beispiel gelten x2 = 2x und x2 + 10 = 2x. Also sind sowohl x2 als auch x2 + 10
mögliche Stammfunktionen von 2x. Diesem Umstand trägt man Rechnung, indem man der
Stammfunktion eine Konstante anhängt, meistens c genannt:
∫
2xdx = x2 +c
Das +c soll daran erinnern, dass man bei der Wahl der Stammfunktion einen Freiheitsgrad
hat. Man kann nämlich – je nach Kontext – die passende Konstante c wählen.
7.1.2
Die Lösungsregeln
Zum Berechnen von Integralen zerlegt man komplexere Funktionen in kleinere Unterfunktionen, die sich integrieren lassen. Ziel ist es also, lange Funktionsausdrücke mit einer der 4
Integrationsregeln auf eine der einfachen, lösbaren 5 Grundintegrale zu reduzieren:
∫
∫
∫
cos(x)dx =
5 Grundintegrale
( n+1 )
∫ n
1
(x )dx = n+1
x
+c
∫ 1
= ln(x)+c
x dx
sin(x)+c
sin(x)dx = − cos(x)+c
ex dx
=
für alle n ̸= −1
ex +c
∫
Im Folgenden ist F (x) eine Stammfunktion von f (x), es gilt also f (x)dx = F (x)+c.
4 Integrationsregeln
∫
∫
af (x)dx
= a f (x)dx
(Konstanten)
∫
∫
∫
f (x) + g(x)dx = f (x)dx + g(x)dx +c
(Linearität)
∫
f ( g(x) ) · g ′ (x) dx = F ( g(x) )+c
(einfache Substitution)
∫
∫
′
f (x) · g(x)dx
= F (x)g(x) − F (x)g (x)dx
(Partielle Intergation)
7.1.3
Die Grundintegrale
Die Funktionen der Form xα mit α ∈ R, α ̸= −1 sind nicht immer leicht als solche zu
erkennen:
α=
α
x =
Es gilt also zum Beispiel
∫
∫
√
xdx = x1/2 dx
=
1
2
√
x
1
n
√
n
x
−2
−n
1
x2
1
xn
1
1
2
x(1+1/2) +c =
x3/2 +c = x3/2 +c.
(1 + 1/2)
(3/2)
3
∫
Unter den Funktionen
xα mit α ∈ R nimmt x−1 eine Sonderrolle ein: x1 dx =
∫ αder Form
1
xα+1 +c kann nicht für α̃ = −1 gelten, weil sonst im Nenner
ln(x)+c. Die Regel x dx = α+1
der Stammfunktion Null stünde: α̃ + 1 = −1 + 1 = 0. Entsprechend ist die Stammfunktion
von x−1 eine besondere Funktion, nämlich ln(x).
7.1. UNBESTIMMTE INTEGRALE
7.1.4
59
Einfache Substitution
Einfache Substitution: Suche den Malpunkt vor g ′ !
• Es tauchen eine Funktion g und ihre Ableitung g ′ auf.
• Die Ableitung g ′ steht “pur” und unverändert da.
• Vor g ′ steht ein Malpunkt.
Die Substitutionsregel
∫
f ( g(x) ) · g ′ (x) dx = F ( g(x) )+c
(einfache Substitution)
ist die Umkehrung der Kettenregel beim Ableiten: Für zwei Funktionen F und g gilt
F (g(x))′ = F ′ ( g(x) ) · g ′ (x).
′
Wenn man also einen Ausdruck der Form
∫ f ( g(x) ) · g (x) vorﬁndet, so genügt es die äußere
Funktion f zu integrieren, also F (x) = f (x)dx zu lösen, und in das Ergebnis g(x) einzusetzen: F (g(x)).
Beispiel 7.1 Gesucht ist
g ′ (x) = 3x2 . Es gilt also
∫
( )
3x2 · cos x3 dx. Hier gilt: Die Ableitung von g(x) := x3 ist
( )
3x2 · cos x3 = g ′ (x) · cos(g(x)).
Der Integrand hat die nötige Form um die Substitutionsregel anzuwenden. Es genügt also
die Stammfunktion
von cos(x) zu berechnen. Aus der Tabelle der Grundintegrale
entnimmt
( )
∫
man, dass cos(x)dx = sin(x)+c gilt. Mit g eingesetzt erhält man: sin x3 +c. Insgesamt
ergibt sich
∫
( )
( )
3x2 cos x3 dx = sin x3 +c.
Passe den konstanten Faktor an!
Manchmal passt fast alles, um die Substitionsregel anzuwenden – bis auf den konstanten
Vorfaktor der Funktion (s. Beispiel 7.2). In diesem Fall kann man durch geschicktes Einfügen
einer “1” nachhelfen:
( )
∫
Beispiel 7.2 Gesucht ist 17x2 ·cos x3 dx. Dies entspricht – bis auf den Vorfaktor – genau
dem Beispiel 7.1. Passt man die Konstante geeignet an, so kann man die Substitionsregel
verwenden.
∫
∫
∫
( 3)
( 3)
( )
1
17
2
2
17x cos x dx = 17
· 3x cos x dx =
3x2 cos x3 dx
3
3
Finde den Malpunkt!
Es ist nicht immer einfach zu sehen dass der Integrand tatsächlich die richtige Form f ( g(x) )·
g ′ (x) hat. Drei Anhaltspunkte helfen dabei weiter:
• Es tauchen eine Funktion g und ihre Ableitung g ′ auf.
• Die Ableitung g ′ steht “pur” und unverändert da.
• G und g ′ sind durch einen Malpunkt getrennt.
60
KAPITEL 7. INTEGRALRECHNUNG
Die Anwendungsregeln der einfachen Substitution gleichen also der Suche nach dem Term
·g ′ (x) samt seinem Malpunkt. Der letzte Anhaltspunkt ist nicht immer leicht zu sehen und
muss manchmal künstlich eingefügt werden:
∫
2
Beispiel 7.3 Gesucht ist x22x
+1 dx. Hier tauchen im Integranden die Funktion g(x) := x +1
′
und ihre Ableitung auf: g (x) = 2x. Leider hat der Integrand trotzdem (noch) nicht die
benötigte Form. Fügt man den impliziten Malpunkt ein, wird aber deutlich, dass hier f (x) :=
1
x die äußere Funktion ist:
∫
∫
(
)
2x
1
dx = 2x · 2
dx = ln x2 + 1 +c
x2 + 1
(x + 1)
∫
′
Beispiel 7.4 Gesucht ist ln(x)
x dx. Hier hat sich g gut versteckt: Erst wenn man den Malpunkt einführt, sieht man im Integranden sowohl die Funktion g(x) := ln(x) als auch ihre
vorher versteckte Ableitung g ′ (x) = x1 :
∫
∫
ln(x)
1
dx = ln(x) · dx
x
x
Was aber ist hier die äußere Funktion f(x)? Um f zu sehen, muss man das Klammerpaar von
f sichtbar machen: Die Substitutionsregel erwartet die Klammern der Funktion f links und
rechts von g(x), wenn sie nicht da sind, fügen wir sie einfach ein:
ln(x) = (ln(x)).
Die Funktion f lautet also f (x)∫ = (x), denn∫ setzt man g in f ein, ergibt sich: f (ln(x)) = ln(x).
Die Stammfuntion von f ist f (x)dx = xdx = 12 x2 . Für das Gesamtintegral ergibt sich
also:
∫
∫
ln(x)
1
1
2
dx = (ln(x)) · dx = (ln(x)) +c.
x
x
2
7.1.5
Partielle Integration
Partielle Integration: Suche den Juniorpartner!
• Es tauchen zwei Funktionen f · g durch einen Malpunkt getrennt auf.
• Die Ableitung des Juniorpartners g ′ ist einfach.
∫
• Das Integral des Seniorpartners F := f dx ist leicht berechenbar.
• Der Term F · g ′ lässt sich vermutlich leichter integrieren als f · g.
Das Anwenden der partiellen Integration löst das gegebene Integral nicht, es verschiebt die
Integration jedoch auf ein - hoﬀentlich - einfacheres Integral:
∫
∫
f (x) · g(x)dx = F (x)g(x) −
F (x)g ′ (x)dx
Die partielle Integration lohnt sich dann anzuwenden, wenn man im Integranden ein Produkt
f (x) · g(x) vorﬁndet, von denen eine der beiden Funktionen beim Ableiten verschwindet oder
deutlich einfacher wird (z.B. x, x2 , ln(x)), und die andere Funktion sich leicht integrieren
lässt (z.B ex , cos(x), sin(x)).
Achtung: Das Minuszeichen auf der rechten Seite der partiellen Integration lädt zum
∫ Verrechnen durch Vorzeichenfehler ein. Setzen Sie immer Klammern, wenn sie den Term − F (x)g ′ (x)dx
am Ende tatsächlich berechnen!
7.2. BESTIMMTE INTEGRALE
61
∫
Beispiel 7.5 Gesucht ist x cos(x)dx. Hier ist leicht zu sehen, dass x eine einfache Ableitung
hat und cos(x) leicht zu integrieren ist.
∫
x · cos(x)dx
x · sin(x) −
(∗)
=
∫
x sin(x) − Klammern!
x sin(x)− ↓
↓
1 · sin(x)dx = x sin(x) − (− cos(x))
= x sin(x) + (cos(x))
↑
↓
f (x) = cos(x) F (x) = sin(x)
g(x) = x
g ′ (x) = 1
←−−−
(∗) Nebenrechnung
1 · sin(x)
| {z }
neuer Integrand
Hier sieht man, wie sehr sich die Nebenrechnung vorab lohnt: Man sieht nachdem man f
integriert und g abgeleitet hat sehr schnell, ob der neue Integrand wirklich einfacher ist als
der alte. Man sieht an Beispiel 7.5∫ auch, wie leicht sich ein Vorzeichenfehler einschleichen
kann, wenn man die Lösung von − sin(x)dx nicht in Klammern setzt.
7.2
Bestimmte Integrale
Ein Integral mit eingesetzten Integrationsgrenzen
nennt man ein “bestimmtes Integral ”. Ist
∫
F eine Stammfunktion von f , d.h. es gilt f (x))dx = F (x)+c, dann gilt
∫b
b
f (x)dx = [F (x)]a := F (b) − F (a).
a
Das obige Integral liest sich: “Integral von f -von-x in den Grenzen von a bis b”. Die eckigen
Klammern mit den angeschreibenen Grenzen a und b steht ingesamt für den Term F (a) −
F (b). Merkregel: “obere Grenze minus untere Grenze”. Die sonst bei Integralen auftauchende
Konstante +c kann hier weggelassen werden, sie fällt im Term
(F (b)+c) − (F (a)+c) = F (b) − F (a)+c−c = F (b) − F (a)
∫b
sowieso weg. Anschaulich berechnet a f (x)dx die Fläche zwischen x-Achse und dem Graphen
der Funktion,∫ negative Bereiche werden dabei abgezogen. Das Resultat kann also wie im
6
Beispiel von 1 cos(x)dx durchaus negativ werden, siehe Abbildung 7.1.
7.3
Aufgaben
Unbestimmte Integrale
Aufgabe 7.1 Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale
∫ 2 1
∫ 2
∫
2
a)
3x − 2 x + 1dx b)
t + 1dt
c)
(x + 2) dx
∫ (4x)
∫ (2x+1)
∫
d)
e
dx
e)
e
dx f)
cos (3x + 4)dx
62
KAPITEL 7. INTEGRALRECHNUNG
∫6
1111111
0000000
0000000
1111111
0000000
1111111
0000
1111
Flächengröße
0000000
1111111
0000
1111
wird addiert.
0000000
1111111
0000
1111
0000000
1111111
0000
1111
0000000000000000
1111111111111111
0000000
1111111
0000
1111
0000000000000000
1111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
Flächengröße
0000000000000000
1111111111111111
wird abgezogen.
0000000000000000
1111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
6
cos(x)dx = [sin(x)]1 = sin(6) − sin(1) ≃ −1.120886483
1
Abbildung 7.1: Ein “bestimmtes Intergal” berechnet die Fläche unter dem Graphen
Aufgabe 7.2 Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale mit partieller Integration
a)
∫
x cos(x)dx
b)
∫
x ln(x)dx
c)
∫
xe2x+1 dx
d)
∫
x2 ex dx
Aufgabe 7.3 Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale mittels einfacher Substitution.
∫
∫ ( x2 )
∫ 2x
∫ 3 (x4 )
a)
3x cos(x2 )dx
b)
xe
dx
c)
d)
x e
dx
x2 +1 dx
Tip: Passen Sie die Konstanten geeignet an.
Aufgabe 7.4 1) Mit welcher Methode würden Sie die folgenden unbestimmten Integrale
Lösen? 2) Berechnen Sie die Integrale e) und f), der Rest ist “freiwillig”.
∫ 12
∫ (x)
∫ 1
a)
5x − 12x2 + 1dx
b)
xe dx
c)
x+1 dx
∫
∫
∫ x2 +1
36
d)
(x + 2) dx
e)
ln(x)dx
f)
x3 +3x dx
Tip zu e): machen sie etwas unsichtbares sichbar.
Bestimmte Integrale
Aufgabe 7.5 Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale:
∫2 2
∫ 2π
∫ e−1 2
a)
3x − 6x + 2 dx
b)
cos(x) dx
c)
x+1 dx
1
0
0
∫1
∫
∫
e
3
√1
d)
(x + 3)3 dx
e)
dx
ln(x) dx
f)
−1
1
0
x+1
7.3. AUFGABEN
63
Zusatzaufgabe
Aufgabe 7.6 Den Flächeninhalt F eines Kreises mit Radius 1 berechnet man mittels
∫2π
cos2 (x)dx.
F =
0
Berechnen Sie das Integral, indem Sie partiell integrieren, und dann sin2 (x) = 1 − cos2 (x)
nutzen. Dann einmal geschickt die Gleichung umformen und erst dann integrieren. . .
Das Ergebnis sollte eine schöne Zahl sein.
Aufgabe 7.7 Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale mittels Partialbruchzerlegung (PZB).
∫ 2x+1
∫ x+1
∫ 1
a)
b)
c)
x2 −x−2 dx
2x2 −x−1 dx
x2 −16 dx
Tips: a) x2 − x − 2 = (x − 2)(x + 1) und b) 2x2 − x − 1 = (x − 1)(2x + 1)
Das PZB-Verfahren am Beispiel von a):
2x+1
(x2 −x−2)
A
(x−2)
2x+1
= (x−2)(x+1)
B
+ (x+1)
=
2x+1
(x−2)(x+1)
2) Ausmultiplizieren & Kürzen:
⇔ A(x + 1)
+B(x − 2)
=
(2x + 1)
Gleichungen aufstellen:
⇔
3) Umformen :
⇔
0) Den Nenner Faktorisieren
1) Ansatz aufstellen:
{
{
(x)
(1)
A
+B
A −2B
=2
=1
(x)
(1)
A
A −2B
=2−B
=1
4) Gleichung für (x) in Gleichung für (1) einsetzen liefert:
A − 2B = 1 ⇔ (2 − B) − 2B = 1 ⇔ −3B = −1 ⇔ B =
1
3
5) Einsetzen in die Gleichung (x) liefert:
5
1
⇔ A=
3
3
∫ 1 1
1
= 3 (x+1) + 53 (x−2)
dx
A=2−B ⇔ A=2−
6) Integrieren liefert:
a)
∫
2x+1
(x−2)(x+1) dx
=
Lösungen: siehe Seite 105.
1
3
ln(x + 1) +
5
3
ln(x − 2)+c
| · (x − 2)(x + 1)
64
KAPITEL 7. INTEGRALRECHNUNG
Kapitel 8
Vektoren und analytische
Geometrie
8.1
Was sind Vektoren und wo tauchen sie auf ?
Ein Vektor in der Schulmathematik ist -etwas unpräzise gesagt- zunächst einmal eine Spalte
mit Zahleneinträgen. Allerdings haben Vektoren eine geometrische Bedeutung, diese lässt
sich auf zwei verschiedene Weisen verstehen:
Zum einen kann man einen Vektor als einen Punkt im Raum auﬀassen. Beispielsweise ist der
uns umgebende Raum in dem wir leben dreidimensional: Wählt man einen festen Bezugspunkt, so lässt sich jeder Punkt in unserem Universum durch einen Vektor mit drei Einträgen
(Höhe, Breite, Länge) relativ zu diesem Punkt beschreiben. Solche Vektoren nennt man in
der Literatur oft “Ortsvektoren”.
Andererseits repräsentieren Vektoren in der Physik Kräfte, also eine Messgröße die mit einer
Richtung einhergeht: Im Gegensatz zu “Zahlen-Messgrößen” wie Temperatur oder Masse,
muss man um eine Kraft vollständig zu beschreiben nicht nur angeben wie groß die Kraft ist,
sondern auch in welche Richtung sie wirkt. Solche Verschiebe-Vektoren haben Ihren Startpunkt nicht immer in der Null.
Vektoren haben also geometrische Eigenschaften und gleichzeitig sind Vektoren im Wesentlichen nur eine Spalte mit Zahleneinträgen. Um also mit Vektoren zu arbeiten, muss man
lernen wie man geometrische Aussagen (“Zwei Geraden Schneiden sich”) in mathematischen
Gleichungen ausdrückt. Ein wesentlicher Lerninhalt dieses Kapitels ist also das Übersetzen
von Geometrie in Algebra1 .
8.1.1
Vektoren in Kartesischen Koordinaten
In diesem Skipt verwenden wir eine etwas sehr vereinfachte Deﬁnition eines Vektors:
Für eine natürliche Zahl n ist Rn der n-dimensionale Vektorraum. ein Vektor ⃗v in Rn ist eine
Spalte mit n Zahleneinträgen. Die Einträge eines Vektors ⃗a ∈ Rn sind also reele Zahlen, die
1 Algebra
ist der Bereich der Mathematik, der sich mit Gleichungen beschäftigt.
65
66
KAPITEL 8. VEKTOREN UND ANALYTISCHE GEOMETRIE
man mit a1 , a2 , . . . an bezeichnet. Die allgemeine Form eines solchen Vektors ⃗a lautet:


a1
 a2 
 
⃗a =  .  .
 .. 
an
(
Zum Beispiel ist
5
3
)


5
ein Element aus R2 und  4  ein Element aus R3 .
8
Vektoren kann man geometrisch auf zwei weisen auﬀassen:
• Als Punkte im Raum, sogenannte Ortsvektoren oder
• als “Verschiebe-Vektoren”2 , gegeben durch eine Verschiebe-Richtung und eine VerschiebeLänge.
( )
2
Beispielsweise beschreibt der Vektor ⃗a =
einen Punkt, der im R2 bei x = 2 und
4
y = 4 liegt. Verschiebt man nun diesen Punkt ⃗a um beispielsweise 7 Einheiten in x-Richtung
und um 2 Einheiten in(y-Richtung,
so kann man dies auﬀassen als eine Anwendung des
)
7
Verschiebe-Vektors ⃗b =
(s. Abbildung 8.1).
2
”
ektor
be-V
e
i
h
c
Vers
6
5
⃗b als “
2
4
7
3
2
1
rts
⃗b als O
r
vekto
2
7
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Abbildung 8.1: Anschauliche Darstellung eines Vektors.
8.2
Rechnen mit Vektoren
Multiplikation mit einer Zahl
Die Multiplikation eines Vektors ⃗a mit einer Zahl λ ∈ R berechnet man wie folgt:
2 Das Wort Verschiebe-Vektor ist kein mathematischer Fachbegriﬀ und dient in diesem Kapitel nur der
Veranschaulichung
8.2. RECHNEN MIT VEKTOREN
67
 

a1
λ · a1
 a2   λ · a2 
  

λ · ⃗a = λ ·  .  =  . 
 ..   .. 

für eine Zahl λ ∈ R.
λ · an
an
Aus dieser Rechenregel ersieht man, dass zum Beispiel 2 · ⃗a = ⃗a + ⃗a gelten muss:

 
  
a1 + a1
2 · a1
a1
 a2   2 · a2   a2 + a2 

 
  
2 · ⃗a = λ ·  .  =  .  = 
 = ⃗a + ⃗a.
..

 ..   ..  
.
2 · an
an
an + an
Geometrisch entspricht die multiplikation eines Vektors mit einer Zahl λ also einer Streckung
bzw. einer Stauchung von ⃗a um den Faktor λ,
• für 0 < |λ| < 1 ist λ · ⃗a kürzer als ⃗a.
• für 1 < |λ|
ist λ · ⃗a länger als ⃗a.
Ist λ negativ, so kehrt sich die Richtung eines Vektors ⃗a beim Multiplizieren mit λ um, der
Vektor −⃗a = (−1) · ⃗a zeigt also genau entgegengesetzt zu ⃗a (s. Abbildung 8.2).
−⃗a
⃗a
2·
⃗a
3·
⃗a
Abbildung 8.2: Streckung eines Vektors.
Addition
Man kann Vektoren mit gleich vielen Einträgen addieren oder von einander abziehen (Dies
geht mit Vektoren mit veschieden vielen Einträgen nicht!). Für ⃗a und ⃗b in Rn gilt:



⃗a + ⃗b = 

a1
a2
..
.
an


 
 
+
 
b1
b2
..
.
bn


 
 
=
 
a1 + b1
a2 + b2
..
.





an + bn
Die Addition zweier Vektoren ⃗a und ⃗b entspricht geometrisch dem Aneinanderhängen der
Pfeile (siehe Abbildung 8.3). Die Subtraktion zweier Vektoren, ⃗a −⃗b, wird einfach als Addition
von ⃗a und −⃗b aufgefasst. Geometrisch bedeutet dies, dass man den Vektor ⃗b mit umgekehrter
Richtung an den Vektor ⃗a hängt (siehe Abbildung 8.4).
68
KAPITEL 8. VEKTOREN UND ANALYTISCHE GEOMETRIE
2
+7
6
⃗b
e von
i
p
o
K
5
+2
2
4
7
⃗a
3
4
⃗b
⃗a +
2
(
⃗b
1
2
4
)
(
+
7
2
)
(
=
2+7
4+2
)
(
=
9
6
)
2
7
1
2 3 4 5 6 7 8 9
Abbildung 8.3: Addition zweier Vektoren.
3
−5
−5
4
3
4 −2
−⃗b
−2
⃗a
2
⃗a
⃗b
⃗b
−
1
2
0
5
−1
−2
(
3
4
)
(
−
5
2
)
(
=
3−5
4−2
)
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
Abbildung 8.4: Subtraktion zweier Vektoren.
In Koordinatenschreibweise sieht dies dann naheliegenderweise so aus.

   

a1
b1
a1 − b1
 a2   b2   a2 − b2 
    

⃗a − ⃗b =  .  −  .  =  . 
 ..   ..   .. 
an
bn
an − bn
Für die Addition von Vektoren und die Multiplikation mit einer Zahl gelten die selben Rechenregeln, die man schon von “normalen Zahlen” kennt:
(
=
−2
2
)
8.2. RECHNEN MIT VEKTOREN
• Kommutativgesetz:
69
⃗a + ⃗b = ⃗b + ⃗a
• Assoziativgesetz:
(
)
(
)
⃗a + ⃗b + ⃗c = ⃗a + ⃗b + ⃗c
• Distributivgesetze:
(λ + µ) · ⃗a = λ · ⃗a + µ · ⃗a
(
)
λ · ⃗a + ⃗b
= λ · ⃗a + λ · ⃗b für λ, µ ∈ R
Skalarprodukt
Bisher haben wir nur die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl deﬁniert. Das Ergebnis
war ein gestreckter bzw. gestauchter Vektor. Es ist aber auch möglich Vektoren mit Vektoren
zu multiplizieren, das Ergebnis ist hier allerdings eine Zahl. Das Skalarprodukt von ⃗a und ⃗b
ist deﬁniert als
   
b1 ⟩
⟨ a1
 a2   b2 
   
⟨ ⃗a, ⃗b ⟩ =  .  ,  .  = a1 · b1 + a2 · b2 + . . . + an · bn .
 ..   .. 
an
bn
Das Skalarprodukt wird manchmal auch mit “ ⃗a • ⃗b ” bezeichnet.
Wichtig: Das Ergebnis eines Skalarproduktes ist stets eine Zahl (und kein Vektor). Es gibt
außer dem Kreuzprodukt keine Vektormultiplikation bei der ein Vektor herauskommt!
 
 
2
2
Beispiel 8.2.1 Sei ⃗a = 1 und ⃗b = −4, dann gilt
5
6
⟨2  2 ⟩
1 , −4 = 2 · 2 + 1 · (−4) + 5 · 6 = 30 .
5
6
Für das Skalarprodukt gelten die folgenden Rechenregeln:
Für ⃗a, ⃗b, ⃗c ∈ Rn und λ ∈ R gelten:
•
⟨⃗a, ⃗b⟩ = ⟨⃗b, ⃗a⟩
(Symmetrie)
•
⟨⃗a, ⃗b + ⃗c⟩ = ⟨⃗a, ⃗b⟩ + ⟨⃗a, ⃗c⟩
(Linearität)
•
⟨λ⃗a, ⃗b⟩ = λ⟨⃗a, ⃗b⟩
und
⟨⃗a, λ ⃗b⟩ = λ⟨⃗a, ⃗b⟩
70
KAPITEL 8. VEKTOREN UND ANALYTISCHE GEOMETRIE
Länge
Die Länge eines Vektors ⃗v bezeichnet man mit ||⃗v ||, genannt “Betrag von ⃗v ”. Man verwendet
also bei Vektoren doppelte Betragsstriche – im Gegensatz zum bereits bekannte Betrag für
Zahlen (z.B. | − 3| = 3). ( )
a
Die Länge eines Vektors
im R2 kann man mit dem Satz des Phytagoras leicht berechb
nen:
( )
√
a
||
|| = a2 + b2 .
b
⟨( ) ( )⟩
a
a
Man beachte, dass der Term unter der Wurzel in dieser Formel den Wert
,
b
b
hat. Allgemein gilt für einen Vektor ⃗a ∈ Rn :
√
√
Länge von ⃗a = ||⃗a|| := a21 + a22 + . . . + a2n = ⟨⃗a, ⃗a⟩ .
√
b2
( a ) = a2 +
||
|| b
c
b
a
Abbildung 8.5: Länge eines Vektors.
Geometrische Anschauung des Skalarproduktes
Für zwei Vektoren ⃗a ̸= 0 und ⃗b ̸= 0 sei α der Winkel zwischen diesen Vektoren. Es gilt damit
sofort: 0 ≤ α ≤ π (in Grad gemessen bedeutet dies: Der Winkel ist zwischen 0◦ und 180◦ ).
Für das Skalarprodukt gilt dann:
⟨⃗a, ⃗b⟩ = ||⃗a|| · ||⃗b|| · cos (α)
Aus dieser Formel ergeben sich zwei wichtige Eigenschaften: Zum einen, kann man durch
Umstellen der Gleichung den Winkel α wie folgt berechnen:
)
(
⟨⃗a, ⃗b⟩
.
α = arccos
||⃗a|| · ||⃗b||
Zum anderen sieht man: Stehen ⃗a und ⃗b senkrecht aufeinander, so ist α = π/2 und cos(α) = 0
und damit gilt:
Ist ⃗a senkrecht zu ⃗b, so ist ⟨⃗a, ⃗b⟩ = 0.
(8.1)
Geometrie
Der Wert von “||⃗b|| · cos(α)” ist geometrisch gesehen die “Länge des Senkrechten Schattens
von ⃗b auf ⃗a” (s. Abbildung 8.6). Das Skalarprodukt < ⃗a, ⃗b > bestimmt also grob gesagt das
Folgende: “Wieviel von ⃗b zeigt in Richtung von ⃗a?”.
8.2. RECHNEN MIT VEKTOREN
71
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
⃗b
0.4
0.2
0
=<
⃗a
0.2
⃗a
(α)
· cozs }
|
⃗
|
b
{
||
⃗>
|
⃗a,b
⃗b
0
1
)
cos(α }
||⃗b|| · {z
|
a,⃗b>
⃗
1
=<
Abbildung 8.6: Geometrische Anschauung des Skalarproduktes.
Kreuzprodukt
Im 3-dimensionalen Raum (und nur dort!) gibt es eine weitere Möglichkeit das Produkt
zweier Vektoren zu deﬁnieren: Das Kreuzprodukt. Das Ergebnis dieses Produkts ist diesmal
allerdings ein Vektor. Es gilt
   


a1
b1
a2 b3 − a3 b2
⃗a × ⃗b = a2  × b2  := a3 b1 − a1 b3  .
a3
b3
a1 b2 − a2 b1
Das Kreuzprodukt hat seinen Namen daher, dass die jeweils auftauchenden Produkte “über
kreuz” gebildet werden:
Beispiel 8.2.2
    

1
a
2·c−3·b
2 ×  b  = 3 · a − 1 · c
3
c
1·b−2·a


◦
⃗a × ⃗b =  · 
·

·
⃗a × ⃗b =  ◦
·
2·c − 3·b


·
⃗a × ⃗b =  · 
◦
3·a − 1·c

Beispiel 8.2.3
    

1
a
2·c−3·b
2 ×  b  = 3 · a − 1 · c
3
c
1·b−2·a
1·b − 2·a


 
1
a

b
!
⊕ 2 
!
XX
!X
X
!
c
⊖ 3

 
1Q
a
 2  Q
b
Q
Qc
⊕ 3
⊖

 
 
⊕ 1 XX!
!a
X
b
⊖ 2 
!!X
3
c
    
  
1
5
2·4−3·1
5
2 × 1 = 3 · 5 − 1 · 4 =  11 
3
4
1·1−2·5
−9
72
KAPITEL 8. VEKTOREN UND ANALYTISCHE GEOMETRIE
Die Formel für das Kreuzprodukt ist auf den ersten Blick recht unübersichtlich. Die folgende Regel führt das Kreuzprodukt auf das Berechnen der Determinante zurück, was sich
vermutlich leichter merken lässt. Hierzu benötigen wir die drei Einheitsvektoren im R3 :
 
 
 
1
0
0
⃗e1 :=  0  ⃗e2 :=  1  ⃗e3 :=  0 
0
0
1
Ersetzt man nach der Berechnung der folgenden Determinante ê1 , ê2 und ê3 durch die drei
Einheitsvektoren ⃗e1 , ⃗e2 und ⃗e3 im R3 , so erhält man das Kreuzprodukt:


ê1 a1 b1
⃗a × ⃗b = det ê2 a2 b2  = (a2 b3 − a3 b2 ) · ê1 + (a3 b1 − a1 b3 ) · ê2 + (a1 b2 − a2 b1 ) · ê3
ê3 a3 b3






a2 b3 − a3 b2
0
0
 +  a3 b1 − a1 b3  + 

0
0
= 
0
0
a1 b2 − a2 b1


a2 b3 − a3 b2
= a3 b1 − a1 b3 
a1 b2 − a2 b1
Geometrie
Das Kreuzprodukt zweier Vektoren liefert einen dritten, neuen Vektor. Dieser neue Vektor
hat wichtige geometrische Eigenschaften (s. Abbildung 8.7). Für zwei Vektoren ⃗a und ⃗b gilt
stets:
• der Vektors ⃗a × ⃗b steht senkrecht sowohl zu ⃗a als auch zu ⃗b.
⃗a × ⃗b
• die Länge des Vektors ⃗a ×⃗b ist gleich dem Flächeninhalt des von ⃗a und ⃗b aufgespannten
Parallelogramms.
Flächengöße: ||⃗a × ⃗b||
⃗b
⃗a
Abbildung 8.7: Das Kreuzprodukt zweier Vektoren.
8.3. DARSTELLUNG VON VEKTOREN
73
Rechenregeln
Für das Kreuzprodukt gelten die folgenden Rechenregeln:
Für ⃗a, ⃗b, ⃗c ∈ Rn und λ ∈ R gelten die folgenden Regeln (Linearität):
(
)
• (λ · ⃗a) × ⃗b = λ · ⃗a × ⃗b
(Linearität bzgl. Multiplikation)
•
⃗a × (⃗b + ⃗c) = ⃗a × ⃗b + ⃗a × ⃗c
(Linearität bzgl. Addition)
Um sich diese Rechenregeln zu merken kann man in Gedanken kurz das “×” durch ein “·”
(“Mal”) ersetzen. Dann sieht man, dass die Rechenregeln den normalen Regeln für “+” und
“·” ähneln.
8.3
Darstellung von Vektoren
Im folgenden geht es darum, Vektoren in anderen Koordinaten anzugeben. Dazu fassen wir
hier Vektoren als Ortsvektoren auf, wir gehen also davon aus, dass die Vektoren im Nullpunkt
beginnen.
2-dimensionaler Raum R2
Sei ⃗a ein 2-dimensionaler Vektor, dass heisst ein Vektor in der Ebene R2 . Zum einen können
a2
r
φ
a1
Abbildung 8.8: Darstellung eines 2-dimensionalen Vektors.
wir ⃗a mit Hilfe des kartesischen Koordinatensystems beschreiben, in dem wir die Länge von
⃗a in Richtung der x-Achse mit a1 und die Länge von ⃗a in Richtung der y-Achse mit a2
bezeichnen. Dies bezeichnet man als kartesische Darstellung. Wir schreiben dann
( )
a1
⃗a =
.
a2
Zum anderen können wir auch ⃗a durch die Angabe der Länge r und des Winkels φ mit der
x-Achse beschreiben. Dies bezeichnet man als Darstellung von ⃗a in Polarkoordinaten. Wir
schreiben dann
⃗a = (r, φ) .
In der folgenden Tabelle sind die Umrechnungsformeln für den Wechsel zwischen den Darstellungen zusammengefasst.
74
KAPITEL 8. VEKTOREN UND ANALYTISCHE GEOMETRIE
Gegeben
( )
a1
mit a1 , a2 > 0
a2
Gegeben (r, φ)
√
φ
a21 + a22
( )
= arctan aa21
a1
a2
= r · cos(φ)
= r · sin(φ)
r
=
( )
4
Beispiel 8.3.1 Sei ⃗a in kartesischen Koordinaten gegeben als
. Die Länge von ⃗a ist dann
3
√
√
( )
√
r = 42 + 32 = 16 + 9 = 25 = 5. Für den Winkel φ gilt: φ = arctan 43 , dass heisst
φ ≈ 37o . Also schreibt sich ⃗a in Polarkoordinaten als (5, 37o ).3
3-dimensionaler Raum R3
Auch im 3-dimensionalen Raum kann jeder Vektor ⃗a auf naheliegende Weise mit Hilfe kartesischer Koordinaten beschrieben werden. Wir bezeichnen hier wiederum die Länge von ⃗a in
Richtung der x-Achse mit a1 , die Länge von ⃗a in Richtung der y-Achse mit a2 und die Länge
von ⃗a in Richtung der z-Achse mit a3 . Wir schreiben dann
 
a1
⃗a = a2  .
a3
a3
r
ψ
a1
φ
a2
Abbildung 8.9: Darstellung eines 3-dimensionalen Vektors.
3 Exakt
müsste es natürlich (5, arctan
(3)
) heißen, wir begnügen uns hier aber mit der Näherung.
4
8.4. GERADENGLEICHUNGEN UND EBENENGLEICHUNGEN
75
Im 3-dimensionalen bietet sich außerdem die Beschreibung durch sogenannte sphärische Koordinaten (oder auch Kugelkoordinaten) an. Dazu gibt man die Länge r von ⃗a sowie zwei
Winkel φ und ψ an. Der Winkel zwischen x-Achse und der Projektion von ⃗a auf die xyEbene wird mit φ bezeichnet und der Winkel zwischen ⃗a und der Projektion von ⃗a aud die
xy-Ebene wird mit ψ bezeichnet (siehe Abbildung 8.9).
Es gelten die Umrechnungsregeln in Tabelle 8.1 für den Wechsel zwischen den Darstellungen.
 
a1
Gegeben a2  mit a1 , a2 , a3 > 0
a√
3
r = a21 + a(22 + )a23
φ = arctan
(
ψ = arctan √
a2
a1
)
Gegeben (r, φ, ψ)
a1 = r · cos φ · cos ψ
a2 = r · sin φ · cos ψ
a3 = r · sin ψ
a3
a21 +a22
Tabelle 8.1: Umrechnungstabelle zwischen kartesischen Koordinaten und sphärische Koordinaten.
Beispiel 8.3.2 Gegeben sei ⃗b in Kugelkoordinaten als (8, 30o , 45o ). Dann gilt nach Tabelle
8.1: b1 = 8 · cos 30o · cos 45o ≈ 4.9, b2 = 8 · sin 30o · cos 45o ≈ 2.8 und b3 = 8 · sin 45o ≈ 5.7.
Also insgesamt

  
8 · cos 30o · cos 45o
4.9
⃗b = 
 ≈ 2.8 .
4 · cos 45o
8 · sin 45o
5.7
8.4
Geradengleichungen und Ebenengleichungen
Mit den nun bekannten Notationen und Rechenregeln können wir Geraden und Ebenen beschreiben und mit ihnen rechnen.
8.4.1
Geraden in Punkt-Richtungs-Form
Geraden treten sowohl im R2 als auch im R3 auf, genauergesagt ist das Konzept einer Gerade
in allen Räumen der Form Rn stets dasselbe:
• Geometrisch gesehen ist eine Gerade eine (unedlich lange) gerade Linie durch den
Raum.
• Algebraisch gesehen ist eine Gerade eine (besondere) Punktmenge aus undenlich vielen
Punkten.
Um die Punktmenge einer Geraden g zu beschreiben benötigt man die Angabe eines beliebigen Stützpunktes ⃗a auf g und der Angabe der Richtung ⃗b der Gerade. Die Punkte auf der
Geraden sind dann alle Punkte der Form ⃗a + λ⃗b wobei λ eine Zahl aus R ist. Jeder Punkt ⃗x
der Geraden lässt sich dann schreiben als
⃗x = ⃗a + λ⃗b
für ein λ ∈ R
(Punkt-Richtungs-Form).
76
KAPITEL 8. VEKTOREN UND ANALYTISCHE GEOMETRIE
⃗a + 2 · ⃗
b
Diese “Punkt-Richtungs-Form” der Geraden kann man sich vorstellen wie die Beschreibung
einer Autobahn:
Der Stützvektor ⃗a gibt als Ortsvektor quasi die Auﬀahrt auf die Autobahn an. Der Richtungsvektor ⃗b gibt an, in welche Richtung man von ⃗a aus laufen darf (s. Abbildung 8.10).
Die Addition ⃗a + 2, 734 · ⃗b liest sich dann als:
“Gehe zum Startpunkt ⃗a. Laufe von dort aus 2, 734-Einheiten in Richtung ⃗b”.
⃗a
+⃗
b
⃗b
⃗a
g
⃗b
⃗a
g
Abbildung 8.10: Eine Gerade g im R2 , mit Punkt-Richtungsform ⃗a + λ · ⃗b.
8.4.2
Ebenen in Punkt-Richtungs-Form und Normalenform
Eben treten im R3 auf (allerdings lässt sich das das Konzept einer Ebene auch in Räumen
der Form Rn deﬁnieren). Eine Ebene ist
• geometrisch gesehen eine (unedlich weite) ﬂache Fläche im R3 .
• algebraisch gesehen eine (besondere) Punktmenge des R3 aus undenlich vielen Punkten.
Man kann die Punktmenge einer Ebene E auf zwei verschiedene Arten beschreiben:
• Konstruktiv:
Die Punkt-Richtungs-Form beschreibt wie sich die einzelnen Punkte der
Ebene “herstellen” lassen.
• Beschreibend:
Die Normalenform ist eine Gleichung, die alle Punkte der Ebene erfüllen.
Beide Ansätze haben ihre Vor- und Nachteile. Will man beispielsweise prüfen, ob eine gegebene Gerade g und die Ebene E sich schneiden, so ist es günstig die Punktbeschreibung der
Geraden (Punkt-Richtungs-Form) in die Normalengleichung der Ebene einzusetzen: Erfüllt
ein Punkt aus g die Gleichung für E, so schneidet g die Ebene E.
Ebenen in Punkt-Richtungs-Form
Um eine Gerade zu beschreiben benötigt man die Angabe eines beliebigen Stützpunktes ⃗a
auf g und der Angabe der Richtung ⃗b der Gerade. Die Punkte auf der Geraden sind dann
alle Punkte der Form ⃗a + λ⃗b wobei λ eine Zahl aus R ist. Für eine Ebene E funktioniert dies
ganz genauso, nur müssen hier zwei Lauf-Richtungen ⃗b und ⃗c angegeben werden:
⃗x = ⃗a + λ⃗b + µ⃗c für λ, µ ∈ R
(Punkt-Richtungs-Form).
8.4. GERADENGLEICHUNGEN UND EBENENGLEICHUNGEN
⃗c
⃗b
⃗a
+⃗
b+
⃗b +
+
⃗a
⃗a
⃗a
⃗c
E
⃗c
⃗b
77
2·
⃗c
Abbildung 8.11: Eine Ebene E im R3 in Punkt-Richtungs-Form ⃗a + λ⃗b + µ⃗c.
Die oben beschriebenen Darstellungen heißen Punktrichtungsform oder auch Parameterdarstellung der Geraden bzw. der Ebene.
Ebenen in Normalenform
Eine weitere und häuﬁg nützliche Darstellung einer Ebene ist die sogenannte Normalenform.
Dazu benötigen wir das Skalarprodukt: Eine Ebene E im R3 kann man eindeutig angeben,
in dem man einen zur ebene senkrechten Vektor ⃗n angibt (den Normalenvektor ) und eine
rechte Seite b ∈ R, die angibt, wie weit die Ebene vom Nullpunkt entfernt ist:
  ⟨  ⟩

x
 x

(Normalenform).
E :=  y  : ⃗n,  y  = b


z
z


0
Beispiel 8.4.1 Wir wählen den Normalenvektor ⃗n =  0 , der parallel zur z-Achse in
1
einem dreidimensionalen
Koordinatensystem
zeigt
und
als
rechte Seite wählen wir 2. Die
 
x
Punkte  y , für die gilt
z
⟨0 x⟩
0 , y  = 2 ,
1
z
sind letztendlich alle die Punkte mit einem z-Wert 2. Dies ist eine Ebene, die parallel zur
x-y-Ebene liegt und die z-Achse in z = 2 schneidet.
Geometrisch gesehen, macht also der Normalenvektor ⃗n einen “Zahlenstrahl” auf, und eine
Ebene

  ⟨  ⟩
x

 x
E :=  y  : ⃗n,  y  = b


z
z
78
KAPITEL 8. VEKTOREN UND ANALYTISCHE GEOMETRIE
ist eine “Wasseroberﬂäche” die senkrecht zu ⃗n steht. Die Rechte Seite b ∈ R gibt dabei an,
wie weit diese “Wasseroberﬂäche” von der Null weg ist.
⃗n
E
Abbildung 8.12: Eine Ebene im R3 durch 0 mit Normalenvektor ⃗n.
 
x
Beispiel 8.4.2 Alle Punkte y , für die gilt
z
⟨x 1⟩
y  , 1 = 0 ,
2
z
 
1
bilden eine Ebene E durch den Nullpunkt im R3 . Der Vektor ⃗n = 1 ist hier der Norma2
lenvektor der Ebene. Alle Punkte, für die
⟨x 1⟩
y  , 1 = c
z
2
mit einer reellen Konstante c gilt, liegen auf einer Ebene E ′ , die parallel zu E liegt.
2
Analog zu Beispiel 8.4.2 funktioniert dies auch für Geraden
( ) im R . Das heisst, wir können
x
jede Gerade g beschreiben als die Menge der Punkte
, für die
y
⟨( ) ⟩
x
, ⃗n − c = 0
y
mit geeignetem Normalenvektor ⃗n und geeigneter Konstante c gilt.
8.4.3
Wechsel zwischen den Ebenen-Formen
Will man eine Ebene E gegeben in Punkt-Richtungsform E = {⃗a + λ · ⃗v + µ · w
⃗ : λ, µ ∈ R}
in Normalenform bringen so benötigt man einen Normalenvektor ⃗n und eine Rechte Seite
b ∈ R. Diese berechnet man aus den Richtungsvektoren ⃗v , w
⃗ und dem Fußpunkt ⃗a wie folgt:
⃗n := ⃗v × w
⃗
Zur Begründung:
b :=< ⃗n, ⃗a >
8.5. KLASSISCHE AUFGABENSTELLUNGEN
79
• Der Normalenvektor ⃗n muss senkrecht zu beiden Richtungsvektoren ⃗v , w
⃗ der Ebene
sein. Also verwendet man am zweckmäßigsten das Kreuzprodukt und berechnet den
Vektor ⃗n := ⃗v × w.
⃗
• Die rechte Seite b, muss nun so gewählt werden, dass der Fußpunkt ⃗a die Gleichung
< ⃗n, ⃗a >= b erfüllt (denn ⃗a ist Teil der Ebene, und die Punkte ⃗x in der Ebene sollen am
Ende ja allesamt die Gleichung < ⃗n, ⃗x >= b erfüllen). Also wählt man b :=< ⃗n, ⃗a >.
8.5
Klassische Aufgabenstellungen
Im folgenden schauen wir uns die Rechenwege für klassische Aufgabenstellungen an:
Gegeben sei eine Gerade g im R3 in Punkt Richtungsform g = {⃗a + λ⃗u} und eine
Ebene E ebenfalls im R3 . Wo schneiden sich g und E?
1)
Berechne die Punkt-Richtungsform von E (falls noch nicht bekannt).
Ist E = {⃗c + λ · ⃗v + µ · w
⃗ : λ, µ ∈ R} dann gilt:
⃗n := ⃗v × w
⃗
und
b :=< ⃗n, c >
2)
Setze ⃗a + λ⃗u ein um λ zu berechnen: < ⃗n, ⃗a + λu >= b.
(Hier sollte jetzt λ die einzige Variable sein, ⃗a, ⃗n, ⃗u sind also “echte ZahlenVektoren.)
3)
Gibt es keine Lösung λ, so schneiden sich g und E nicht.
Sonst schneiden sie sich in dem Punkt, der entsteht wenn man die Lösung
λ0 in ⃗a + λ⃗u einsetzt.
Ist E in Punkt-Richtungsform gegeben, so lohnt es sich bei einer solchen Aufgabe die Normalenform von E auszurechenen: Kennt die Normalenform von E = {x ∈ R3 : < ⃗n, ⃗x >= b},
so weiß man, dass alle Punkte p⃗ in E die Gleichung < ⃗n, p⃗ >= b erfüllen. Also muss man nur
“⃗a + λ⃗u” (die allgemeine Form der Punkte in g) in die Gleichung einsetzen.
8.6
Aufgaben
8.7
Vektoren im R2
Aufgabe 8.1 Bestimmen Sie (durch eine Rechnung oder Zeichnung) die Polarkoordinaten
von:
( )
( )
( )
2
1
0
a)
b)
c)
2
−1
0
(
Aufgabe 8.2 Gegeben seien ⃗a =
a)
⟨⃗a, ⃗a⟩
b)
⟨⃗a, ⃗b⟩
3
2
)
(
und ⃗b =
−1
4
)
. Berechnen Sie:
c) ⟨⃗a, ⃗a + ⃗b⟩
Aufgabe
und durch eine Zeichnung klar, dass der
( 8.3)Machen Sie durch eine
( Rechnung
)
−y
x
Vektor
immer senkrecht auf
steht.
x
y
80
8.8
KAPITEL 8. VEKTOREN UND ANALYTISCHE GEOMETRIE
Vektoren im R3
Aufgabe 8.4 Bestimmen Sie die Komponente a2 so, dass die Vektoren




−3
2
⃗a =  a2  und ⃗b =  3 
1
−3
senkrecht aufeinander stehen. Wie groß ist der Abstand ||⃗b − ⃗a|| zwischen ihnen?




−1
2
Aufgabe 8.5 Berechnen Sie das Kreuzprodukt von ⃗a =  2  und ⃗b =  1 . Testen
−3
−2
⃗
⃗
⃗
Sie, ob ⃗a × b wirklich senkrecht auf ⃗a und auf b steht indem sie ⟨(⃗a × b), ⃗a⟩ und ⟨(⃗a × ⃗b), ⃗b⟩
berechnen.
8.9
Ebenen und Geraden
Aufgabe 8.6 Gegeben sei die Gerade g im R3 via

  


x
1
−1
 y  =  0  + λ 2  .
z
1
1




−1
2
Liegen die Punkte ⃗a =  4  und ⃗b =  −2  auf g?
3
1
Wenn ja, welchen Wert hat λ?
Aufgabe 8.7 Es sei


 
0
0
g die Gerade durch die Punkte  1  und  2  verläuft und
2
 
 1 
2
−1
1
E die Ebene die durch die Punkte  1  ,  0  und  4  verläuft.
0
0
4
a) Schreiben Sie g und E in Punktrichtungsform.
b) Schreiben Sie E in Normalenform.
c) Schneiden sich E und g? Wenn ja, wo?
Lösungen: siehe Seite 108.
Kapitel 9
Matrizen
9.1
Was sind Matrizen und wozu sind sie da?
Eine Matrix A ∈ Rm×n ist eine Tabelle von m mal n Zahlen, die in einem rechteckigen
Schema von m Zeilen und n Spalten angeordnet sind.
Beispiel 4


1 2
3 4
A =  7 2.5 −2 9 ist eine Matrix in R3×4 also eine Matrix mit 3 Zeilen und 4 Spalten.
π 0
17 4
Die Einträge einer Matrix können beliebige Zahlen sein. Eine Matrix mit m Zeilen und n
Spalten nennt man m × n-Matrix (sprich m-Kreuz-n-Matrix“). Als Namen für Matrizen
”
dienen üblicherweise lateinische Großbuchstaben: A, B, C, . . .
Allgemeine Form einer Matrix
Eine m × n-Matrix A ∈ Rm×n ist eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten.
Wir bezeichnen mit Aij jeweils den Eintrag in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte.
Die allgemeine Form einer solchen Matrix lautet:
Breite n
i
BB

Höhe m
Der Leser nimmt
immer zuerst die
Höhe
der
Matrix
wahr,
deswegen
steht m vorne.



A=


A1,1
A2,1
A3,1
..
.
A1,2
A2,2
A3,2
..
.
A1,3
A2,3
A3,3
..
.
···
···
···
..
.
A1,n
A2,n
A3,n
..
.
Am,1
Am,2
Am,3
···
Am,n







In A ∈ Rm×n steht die erste Dimensions-Variable m“ für die Höhe der Matrix. Dies kann
”
man sich merken, indem man sich vorstellt, dass ein (virtueller) Leser, der von links nach
rechts angelaufen kommt“ immer zuerst die Höhe der Matrix wahrnimmt.
”
Beispiel 5


1 2
A1,1 = 1 A1,2 = 2
Sei A = 5 3. Dann ist A eine 3 × 2-Matrix mit A2,1 = 5 A2,2 = 3
7 4
A3,1 = 7 A3,2 = 4
81
82
KAPITEL 9. MATRIZEN
Matrizen sind sehr nützliche Hilfsmittel in einer Vielzahl von Anwendungen. Sie eignen sich
als Kurzschreibweise für größere Mengen von Daten. Die wahrscheinlich wichtigste solcher
Anwendungen sind lineare Gleichungssyteme.
Beispiel 6
Betrachten wir die folgenden beiden linearen Gleichungen:
4x1
+6x2
−2x2
−8x3
−8x3
= 0
= 0
Die wichtige Information dieses Systems steckt lediglich in den Koeﬃzienten der beiden
Gleichungen. Wir können diese in einer Matrix A zusammenfassen, indem wir im Eintrag Aij
den Koeﬃzienten von xj in der i-ten Gleichung schreiben. Taucht xj in der i-ten Gleichung
nicht auf, so setzten wir Aij = 0. Hier lautet die Matrix A also
(
)
4
6 −8
A=
.
0 −2 −8
Mit den Rechenregeln, die wir in Kürze lernen werden, können wir das Gleichungssystem
dann folgendermaßen schreiben:
 
( ) (
)
x1
0
4
6 −8
=
· x2  .
0
0 −2 −8
x3
9.2
Rechnen mit Matrizen
Transposition
Die transponierte oder gespiegelte Matrix AT der Matrix A ist die Matrix, die durch Vertauschung von Zeilen und Spalten aus A hervorgeht. Der Eintrag in der i-ten Zeile und j-ten
Spalte von AT ist der Eintrag in der j-ten Zeile und der i-ten Spalte von A.
Beispiel 9.2.1

−1
0
3 
A= 7
10 −19

(
AT =
−1 7
10
0 3 −19
)
Addition
Die Addition von zwei Matrizen A und B ist komponentenweise deﬁniert. Das heißt, der
Eintrag von C = A + B in der i-ten Zeile und j-ten Spalte ist gleich Aij + Bij .
Cij = Aij + Bij
Beispiel 9.2.2

 
3 5
2
7 3  +  0
1 4
2
 
−1
2+3
1  = 7 + 0
1+2
2
 

5−1
5 4
3 + 1  = 7 2 
4+2
3 6
9.2. RECHNEN MIT MATRIZEN
83
Ganz analog deﬁnieren wir natürlich die Subtraktion A − B ganz einfach als die komponentenweise Subtraktion aller Einträge. Die Addition von zwei Matrizen ist nur deﬁniert, wenn
sie beide die gleiche Anzahl von Zeilen und auch die gleiche Anzahl von Spalten haben.
Beispiel 9.2.3
(
) (
)
3 5 1
2 6
+
ist nicht deﬁniert.
2 −1 7
1 2
Multiplikation mit Skalaren
Die Multiplikation einer Matrix A mit einem Skalar λ ∈ R funktioniert genauso wie bei
Vektoren: Man multipliziert jeden Eintrag von A mit λ. Ist B = λ · A, so gilt:
bij = λ · aij
Beispiel 9.2.4

1 2
5 · 7 3
5 4
 
4
5·1
7  = 5 · 7
−1
5·5
5·2
5·3
5·4
 

5·4
5 10 20
5 · 7  = 35 15 35 
25 20 −5
5 · (−1)
Bei der Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar müssen wir uns keine Gedanken um
passende Zeilen- und Spaltenanzahl machen. Diese Multiplikation ist immer deﬁniert. Es
gelten die folgenden Rechenregeln:
Rechenregeln für Addition und Multiplikation mit Skalaren
Seien A, B und C (m, n)-Matrizen und seien λ, µ ∈ R Skalare. Dann gelten:
•
A+B =B+A
•
(A + B) + C = A + (B + C)
•
λ(µA) = (λµ)A = µ(λA)
•
(λ + µ) · A = λA + µA
•
λ · (A + B) = λA + λB
(Kommutativgesetz der Addition)
(Assoziativgesetz der Addition)
(Assoziativgesetz der Multiplikation)
Multiplikation mit Vektoren
Die Multiplikation einer Matrix A mit einem Vektor ⃗v ist so deﬁniert, dass die in A gespeicherten Koeﬃzienten wieder an die entsprechnden Einträge von ⃗v multipliziert werden. Das
Berechnen von A ·⃗v erfolgt also zeilenweise, für jede Zeile von A wird eine Summe berechnet:
84
KAPITEL 9. MATRIZEN
Matrix-Vektor-Multiplikation
Für eine Matrix A ∈ Rm×n mit n Spalten und einen Vektor ⃗v ∈ Rn mit n Einträgen gilt:

A11 A12 · · · A1n

 A21 A22

A · ⃗v =  .
..
 ..
.

Am1 Am2
· · · A2n
.
..
. ..
· · · Amn


A11 · v1 + A12 · v2 + · · · +A1n · vn
v
1


 v2   A21 · v1 + A22 · v2 + · · · +A2n · vn
   
 ·  ..  = 
..
..
..
..
 . 
.
.
.
.


vn
Am1 · v1 + Am2 · v2 + · · · +Amn · vn









Das Ergebnis der Multiplikation A · ⃗v ist also ein Vektor aus Rm .
In Beispiel 6 haben wir bereits eine Multiplikation von einer Matrix A mit einem Vektor ⃗x
gesehen. Dort wurde die Multiplikation verwendet, um die linke Seite eines Gleichungssystems
in Kurzschreibweise zu notieren.
Beispiel 7
(

9 7 5
8 6 4
1 5
 2 7
3 9
)

(
) (
) (
)
1
9 · 1 +7 · 2 +5 · 3
9 + 14 + 15
38
· 2 =
=
=
8 · 1 +6 · 2 +4 · 3
6 + 8 + 12
26
3


 

2
1·2
2 1
 −1  

2 1 ·
 1 = 2·2
2 0
3·2
0
+ 5 · (−1)
+ 2·1
+ 7 · (−1)
+ 2·1
+ 9 · (−1)
+ 2·1
+ 1·0


−1

 

+ 1 · 0  =  −1 
+ 0·0
−1
Interpretation der Matrixmultiplikation
Die Multiplikation eines Vektors ⃗v mit einer Matrix A lässt sich auf zwei Weisen verstehen:
a) Es wird zeilenweise ein Skalarprodukt berechnet, nämlich das Skalarprodukt der i-ten
Zeile von A mit ⃗v .
b) Es werden Vielfache der Spalten von A addiert – mit Vorfaktoren aus ⃗v .
Der i-te Eintrag des Ergebnisvektors w
⃗ = A · ⃗v ist deﬁniert als das Skalarprodukt der i-ten
Zeile von A mit ⃗v . D.h.
⟨
(w)
⃗ i
|{z}
i-ter eintrag v. w
⃗
=

(
ai,1
ai,2

v1 ⟩

)T 
∑
 v2 
. . . ai,n ,  .  = nj=1 aij · vj .
.
.
vn
Der Stoﬀ bisher war recht trocken. Schauen wir uns also mal an, wozu man das Gelernte so
alles verwenden kann.
9.2. RECHNEN MIT MATRIZEN
85
Beispiel 9.2.5 Stellen wir uns vor, wir sind Pizzabäcker bzw. Pizzabäckerin. Es gelten die
folgenden Preise für Zutaten in unserem Lieblingsgeschäft:
Zutat
Teig
Tomatensauce
Salami
Pilze
Käse
Preis
2 Euro
1,50 Euro
3 Euro
1 Euro
2,50 Euro
In unserem Angebot haben wir die folgenden Pizzen (oder heißt es Pizzas?):
Pizza
Zutaten
Margherita
Teig, T.sauce, Käse
Funghi
Teig, T.sauce, Pilze, Käse
Salami
Teig, T.sauce, 12 Packung Salami, Käse
Pizza mit alles“ und doppelt Käse Teig, T.sauce, Salami, Pilze, 2 Käse
”
Wir möchten jetzt möglichst schnell den Preis für unsere Pizzen berechnen. Um den Preis
einer Pizza zu bestimmen, können wir nun den Zutatenvektor mit dem Preisvektor multiplizieren. Für eine Pizza Funghi sieht das so aus:


2 Euro
1, 50 Euro



(1 Teig, 1 T.sauce, 0 Salami, 1 Pilze, 1 Käse) · 
 3 Euro  = 7 Euro
 1 Euro 
2, 50 Euro
Um den Preis aller Pizzen auf einmal zu berechnen, können wir die Zutatenvektoren in eine
Matrix schreiben und den Preisvektor mit dieser Matrix multiplizieren.






2
1 1 0 0 1
6
1, 50
1 1 0 1 1  
  7 

 
 

1 1 1 0 1 ·  3  =  7, 50 
2
 1 
12, 50
1 1 1 1 2
2, 50
Unsere Preise lauten also:
Pizza
Preis
Margherita
6 Euro
Funghi
7 Euro
Salami
7,50 Euro
Pizza mit alles“ und doppelt Käse 12,50 Euro
”
Zurück zur Theorie. Eine weitere sehr wichtige Eigenschaft von Matrizen ist, dass sie lineare
Abbildungen beschreiben. Genauer: Sei A eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten, dann
deﬁniert A eine Abbildung vom Rm in den Rn :
A : Rm
⃗v
→ Rn
7
→
A · ⃗v
Diese Abbildung ist linear, was bedeuted, dass für alle ⃗v1 , ⃗v2 ∈ Rm und für alle λ ∈ R gilt:
A · (⃗v1 + ⃗v2 ) = A · ⃗v1 + A · ⃗v2
und A · (λ⃗v ) = λ(A · ⃗v ) .
86
9.3
KAPITEL 9. MATRIZEN
Matrixmultiplikation
Das Produkt A · B zweier Matrizen A und B kann nur dann gebildet werden, wenn die
Spaltenanzahl von A gleich der Zeilenanzahl von B ist. Ist A eine (m, n)-Matrix und B
eine (n, r)-Matrix (Anzahl der Spalten von A = n = Anzahl der Zeilen von B), so ist die
Produktmatrix C = A · B eine (m, r)-Matrix mit den Einträgen
cik =
∑n
j=1
aij · bjk

 

b1,k ⟩
⟨ ai,1
 ai,2   b2,k 

 

=  . , .  .
 ..   .. 
ai,n
bn,k
In anderen Worten: Der Eintrag von C in der i-ten Zeile und j-ten Spalte ist das Skalarprodukt der i-ten Zeile von A mit der k-ten Spalte von B.
Beispiel 9.3.1 Sei

3
A = 0
4

1
−1
2
(
und
B=
)
2 0
.
−1 1
Da die Anzahl der Spalten von A gleich 2 ist so wie auch die Anzahl der Zeilen von B, können
wir das Produkt C = A·B berechnen. Wir erhalten den Eintrag in der ersten Zeile und ersten
Spalte von C als das Produkt der ersten Zeile von A mit der ersten Spalte von B. D.h.:
⟨
( )⟩
(
)T
2
c11 = 3 1 ,
= 3 · 2 + 1 · (−1) = 5 .
−1
Analog erhalten wir
Insgesamt gilt also
c21
=
c31
=
c12
=
c22
=
c32
=
⟨
(
( )⟩
)T
2
0 −1 ,
= 0 · 2 − 1 · (−1) = 1
−1
⟨
( )⟩
(
)T
2
4 2 ,
= 4 · 2 + 2 · (−1) = 6
−1
⟨
( )⟩
(
)T
0
3 1 ,
=3·0+1·1=1
1
( )⟩
⟨
(
)T
0
0 −1 ,
= 0 · 0 − 1 · 1 = −1
1
⟨
( )⟩
(
)T
0
4 2 ,
=4·0+2·1=2 .
1


5 1
C = 1 −1 .
6 2
D = B · A ist nicht deﬁniert, da die Anzahl der Spalten von B nicht gleich der Anzahl der
Zeilen von A ist.
9.4. DETERMINANTEN
87
Seien A, B und C Matrizen. Dann gelten:
• (A · B) · C = A · (B · C) (Assoziativgesetz)
• A · (B + C) = A · B + A · C (Distributivgesetz)
• A · B ̸= B · A (Kommutativgesetz gilt nicht)
• (A · B)T = B T · AT (Reihenfolge ändert sich)
Tabelle 9.1: Rechenregeln für die Matrixmultiplikation.
Die Rechenregeln für die Multiplikation (siehe Tabelle 9.1) von Matrizen sind etwas komplizierter als die der Addition und der Multiplikation mit Skalaren. Besonders zu beachten
ist, dass das Kommutativgesetz hier nicht mehr gilt. D.h. im Allgemeinen ist A · B ̸= B · A.
Selbst wenn beide Produkte deﬁniert sind, gilt nicht immer die Gleichheit.
Interpretieren wir Matrizen wiederum als lineare Abbildungen, so entspricht das Produkt
zweier Matrizen der Hintereinanderschaltung zweier linearer Abbildungen.
9.4
Determinanten
Die Determinante det A, die nur für quadratische Matrizen A deﬁniert wird, ist eine reelle
Zahl, die nach gewissen Regeln aus den Einträgen von A berechnet wird. Determinanten
haben vor allem theoretische Bedeutung, da man sie zur Beschreibung der Lösbarkeit von
linearen Gleichungssystemen und zur Untersuchung der Invertierbarkeit von Matrizen einsetzen kann.
Eine quadratische (1, 1)-Matrix A besteht nur aus einem
einzigen
Eintrag a11 . Dies ist dann
(
)
a b
auch die Determinante. Für eine (2, 2)-Matrix A =
deﬁnieren wir
c d
det A = a · d − b · c .
Beispiel 9.4.1
det
(
)
1 2
= 1 · 4 − 2 · 3 = −2
3 4

a12 a13
a22 a23  deﬁnieren wir
a32 a33


a11
Für eine (3, 3)-Matrix A = a21
a31

a11 a12 a13
det A = det a21 a22 a23 
a31 a32 a33
(
)
(
a
a23
a
= a11 det 22
− a21 det 12
a32 a33
a32
a13
a33
)
+ a31 det
(
a12
a22
a13
a23
)
= a11 (a22 a33 − a32 a23 ) − a21 (a12 a33 − a13 a32 ) + a31 (a12 a23 − a13 a22 )
= a11 a22 a33 − a11 a23 a32 − a21 a12 a33 + a21 a13 a32 + a31 a12 a23 − a31 a13 a22
Man nennt dies Entwickeln“ der Determinante nach der ersten Spalte. Dabei wird nach”
einander jeder Eintrag der ersten Spalte mit derjenigen (2, 2)-Determinante multipliziert, die
88
KAPITEL 9. MATRIZEN
man erhält, wenn man in der (3, 3)-Matrix die Zeile und die Spalte streicht, in der der Eintrag
steht. Die so gebildeten Produkte werden mit wechselndem Vorzeichen addiert.
Beispiel 9.4.2

3
7
0
det  4
−2 −4

(
)
(
)
(
−2
0 6
7 −2
7

6
= 3 det
− 4 det
+ (−2) det
−4 1
−4 1
0
1
−2
6
)
= 3(0 − (−24)) − 4(7 − 8) − 2(42 − 0)
= −8
9.5
Aufgaben
9.6
Elementare Rechnungen
(
Aufgabe 9.1 Sei A =
2
−1
3
4
)
(
und B =
)
0
2
.
6 −2
Berechnen Sie A + B, A − B, AT + B, A + B T , A · B und B · A.

2
3
Aufgabe 9.2 Sei A =  0 −1
3
3
diesen Ergebnissen ohne erneute
 


4
−1
a) A ·  6 
b) A ·  9 
3
2

7
4 . Berechnen Sie a), b) und c) und lösen Sie dann d) mit
1
Rechnungen durchzuführen.
 


0
4 −1 0
9 1 .
c) A ·  1 
d) A ·  6
0
3
2 0
Aufgabe 9.3 Ein Pizzabäcker will die folgenden Pizzen mit den jeweils angegebenen Zutaten
backen:
Pizza
Margherita
Funghi
Salami
Pizza mit allem“ und doppelt Käse
”
Zutaten
Teig, T.soße,
Teig, T.soße,
Teig, T.soße,
Teig, T.soße,
Käse
Käse, Pilze
Käse, 12 Packung Salami
Käse, 1 Packung Salami, Pilze, 2 Käse
An verschiedenen Stichtagen (Tag 1 und Tag 2) hatten diese Rohzutaten verschiedene Preise:
Zutat
Teig
Tomatensauce
Salami
Pilze
Käse
Preis an Tag 1
2,00 e
1,50 e
3,00 e
1,00 e
2,50 e
Preis an Tag 2
1,50 e
1,00 e
5,00 e
2,00 e
1,00 e
Formulieren Sie für beide Tage die Berechnung der Rohzutaten-Preise der Pizzen als Matrixmultiplikation und führen Sie diese durch.
9.7. DETERMINANTE
9.7
89
Determinante
Aufgabe 9.4 Berechnen Sie die Determinanten von
(
)
(
)
1 5
2 3
a) A =
b) B =
c) A · B
−1 4
1 3

2
3 7
d)  0 −1 4 
3
3 1
Was fällt Ihnen beim Vergleich der Ergebnisse von a), b) und c) auf?
(
Aufgabe 9.5 Sei A =
a b
c d

)
mit det(A) = ad − bc ̸= 0.
a) Zeigen Sie:
Für die Matrix
B :=
1
det(A)
(
d −b
−c
a
)
(
gilt:
A·B =
1
0
0
1
)
.
Hinweis: Benutzen Sie die Rechenregel C · (λ · D) = λ · (C · D) (dies gilt für Zahlen λ ∈ R).
b) Die Matrix B, nennt man die Inverse Matrix zu A, geschrieben A−1 . Diese Matrix ist
wichtig für das Lösen von Gleichungssystemen! Prüfen Sie das Folgende:
( )
( )
( ) ( )
x
r1
x
r1
Der Vektor
:= B ·
löst das LGS
A
=
y
r2
y
r2
( )
r1
Hinweis: Rechnen Sie dazu nicht B ·
aus, sondern setzten Sie ein und verwenden Sie
r2
Ihr Wissen über A · B.
Aufgabe 9.6 Für reelle Zahlen a, b gilt, dass aus a · b = 0 stets a = 0 oder b = 0 folgt. Man
sagt: “die reellen Zahlen sind nullteilerfrei ”.
Zeigen Sie, dass dies für Matrizen
(
) im Allgemeinen nicht gilt, indem sie eine (2, 2)-Matrix B,
0 0
die nicht der Nullmatrix
entspricht, mit
0 0
(
)
(
)
1 2
0 0
·B =
2 4
0 0
(
)
0 0
ﬁnden. Was gilt für die Determinanten von A, B und
? Steht das im Einklang mit
0 0
ihrer Vermutung bei Aufgabe 3.1 ?
Lösungen: siehe Seite 111.
90
KAPITEL 9. MATRIZEN
Kapitel 10
Wahrscheinlichkeitsrechnung
In der Wahrscheinlichkeitsrechnung befasst man sich mit den Gesetzmäßigkeiten des zufälligen Eintretens bestimmter Ereignisse aus einer vorgegebenen Menge von Ereignissen. Dabei
wird stets vorausgesetzt, dass diese Versuche unter unveränderten Bedinigungen beliebig oft
wiederholt werden können. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung besitzt eine Vielzahl von Anwendungen in anderen Bereichen der Mathematik aber vor allem auch in anderen Wissenschaften
(Physik, Biologie, Psychologie, Ökonomie, Ingenieurwesen, Medizin, ... ).
10.1
Übersicht
Beim Umgang mit Wahrscheinlichkeiten gibt es drei Stufen:
1. Wahrscheinlichkeiten: Das berechnen oder abschätzen wie Wahrscheinlich bestimmte Ergebnisse auftreten.
2. Erwartungswert: Das berechenen des Durchschnittspreises von zufälligen Ereignissen,
wenn man den Ergebnissen Preise zuordnet.
3. Varianz: Das Abschätzen wie weit die Ergebnisse um den Durchschnittswert streuen.
10.2
Wahrscheinlichkeiten und Zählen
Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass bei einem zufälligen Ereignis ein bestimmtes
(gewünschtes) Ergebnis eintritt, benötigt man zwei Informationen:
1. wieviele mögliche Endergebnisse gibt es, und
2. wieviele dieser Endergebnisse liefern das gewünschte Ergebnis.
Die Wahrscheinlichkeit P (gew. Ergebnis), dass das gewünschte Egebnis eintritt ist dann
P (gew. Ergebnis) =
Anzahl möglicher Fälle gewünschtes Ergebnis tritt ein.
Anzahl aller möglichen Endergebnisse
Nehmen wir einmal an wir werfen einen Würfel dessen 6 Seiten (ungewöhnlicherweise) mit
den Buchstaben A, B, C, D, E, F beschriftet ist.
91
92
KAPITEL 10. WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG
Nun wollen wir wissen, wie wahrscheinlich es ist, dass wir ein A oder ein B würfeln. Unter den
sechs möglichen Endergebnissen {A,B,C,D,E,F} beﬁnden sich zwei gewünschte Ergebnisse
nämlich {A,B}.
In zwei von sechs Fällen würfelt man also ein A oder ein B. Die Wahrscheinlichkeit ist also
P (A oder B würfeln) = 26 = 31 . Man erwaret also in einem Drittel der Fälle eine A oder ein
B zu würfeln.
Dieses Einfache Beispiel versteckt, wie schwierig es sein kann, die gewünschten Ereignisse
oder auch nur alle möglichen Ereignisse zu zählen. ein kurzes Beispiel:
Angenommen, auf Ihrer persönlichen Weltkarte gibt es 10 Orte, die sie alle einmal besuchen
wollen. Wieviele mögliche Reihenfolgen gibt es, in der Sie diese Orte besuchen?
10.2.1
Zählen aller Ereignisse
Es gibt vier typische, immer wiederkehrende Fälle für die man zählen muss, wieviele Gesamtereignisse es gibt. Diese werden verwirrenderweise mit verschiedenfarbigen Kugeln beschrieben, die aus einer Urne gezogen werden. Außer Mathematikern zieht aber niemand mehr so
oft Dinge aus Urnen. Deswegen haben wir drei andere Beispiele Gewählt.
• Ziehen mit zurücklegen: Aus den Ziﬀern 0 − 9 eine dreistellige Zahl schreiben: Es
gibt zusammen mit (0, 0, 0) tausend solche Zahlentripel.
• Ziehen ohne Zurücklegen: Drei Städte in unterschiedlicher Reihenfolge besuchen:
Es gibt 6 = 3 · 2 · 1 verschiedene Reihenfolgen.
10.3
Zufällige Ereignisse
Ein Zufallsexperiment ist ein Experiment, dass als Ergebnis eines von mehreren möglichen
Ergebnissen hat, deren Ausgang sich nicht genau vorhersagen lässt. Die Menge aller möglichen
Ergebnisse heisst Ergebnismenge und wird mit Ω bezeichnet. Ein einzelnes Ergebnis eines
Zufallsexperiments wird mit ω bezeichnet.
Beispiel 10.3.1 Das Werfen einer Münze ist ein solches Experiment mit ungewissem Ausgang. Als mögliche Ergebnisse haben wir Kopf K und Zahl Z, also Ω = {K, Z}.
Beispiel 10.3.2 Beim Werfen eines Würfels können die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 auftreten.
Hier ist also Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Ein Ereignis A ist eine Teilmenge von Ω (in Zeichen A ⊂ Ω). Ein Ereignis ist also eine Menge
von möglichen Versuchsausgängen.
Beispiel 10.3.3 Beim Werfen eines Würfels betrachten wir das Ereignis A: Eine gerade
”
Zahl wird geworfen“. Hier ist also A = {2, 4, 6} ⊂ {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Wir sagen, ein Ereignis A tritt ein, wenn das Ergebnis ω des Zufallsexperiments in A ist.
ω ∈ A ⇔ A ist eingetreten. ω ̸∈ A ⇔ A ist nicht eingetreten.
Das Ereignis Ω heisst sicheres Ereignis, denn es tritt für jedes Ergebnis ω ein. Das unmögliche
Ereignis ∅ ist ein Ereignis, dass nie eintreten kann.
Man kann Ereignisse A und B zu neuen Ereignissen kombinieren:
10.4. ABSOLUTE UND RELATIVE HÄUFIGKEIT
• Vereinigung:
• Durchschnitt:
• Komplementärereignis:
• Diﬀerenz:
93
A ∪ B = {ω : ω ∈ A oder ω ∈ B}
A ∩ B = {ω : ω ∈ A und ω ∈ B}
Ā = {ω : ω ̸∈ A}
A\B = {ω : ω ∈ A und ω ̸∈ B}
Es gilt A\B = A ∩ B̄.
Zwei Ereignisse heißen disjunkt oder unvereinbar, wenn A ∩ B = ∅ gilt. Die Ereignisse A und
B können also nicht gemeinsam auftreten.
Beispiel 10.3.4 Beim Werfen eines Würfels betrachten wir das Ereignis A = Eine gerade
”
Zahl wird geworfen“ und B = Eine Zahl kleiner als 3 wird geworfen“. Also A = {2, 4, 6}
”
und B = {1, 2}. Es gilt dann A ∪ B = {1, 2, 4, 6}, A ∩ B = {2}, Ā = {1, 3, 5}, B̄ = {3, 4, 5, 6}
und A\B = {4, 6}. A und B sind nicht disjunkt, da A ∩ B = {2} =
̸ ∅.
10.4
Absolute und relative Häuﬁgkeit
Es sei A ein bestimmtes Ereignis eines Zufallsexperiments, das man n-mal unter gleichen
Bedingungen wiederholt. Die Anzahl derjenigen Versuche, bei denen A eintritt, heisst absolute
Häuﬁgkeit von A und wird mit hn (A) bezeichnet. Der Quotient
rn (A) =
hn (A)
n
heisst relative Häuﬁgkeit von A. Die relative Häuﬁgkeit von A ist also die Anzahl der Versuche
bei denen A auftritt geteilt durch die Gesamtanzahl der Versuche.
Beispiel 10.4.1 Wir werfen 10-mal mit einem Würfel und betrachten dabei die Ereignisse
A = Eine gerade Zahl wird geworfen“ und B = Eine Zahl kleiner als 3 wird geworfen“.
”
”
Also A = {2, 4, 6} und B = {1, 2}. Es treten folgende Würfe auf: 2, 6, 4, 5, 3, 1, 2, 3, 4, 1. Wir
haben also
5
4
h10 (A) = 5, h10 (B) = 4, r10 (A) =
, r10 (B) =
.
10
10
10.5
Wahrscheinlichkeit
Wir gehen im Folgenden immer davon aus, dass die Ereignismengen Ω endlich sind. Die
Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis A ist das Verhältnis der Anzahl der Ereignisse in A zur
Gesamtanzahl der möglichen Ereignisse. Wir schreiben p(A) für die Wahrscheinlichkeit von
A (p steht für probability“).
”
|A|
Anzahl der Elemente in A
=
p(A) =
Anzahl der Elemente in Ω
|Ω|
So beträgt beispielsweise die Wahrscheinlichkeit eine 6 zu würfeln 16 , also p({6}) = 61 und die
Wahrscheinlichkeit beim Münzwurf Kopf“ zu erhalten betrag̈t 12 , d.h. p( Kopf“) = 12 .
”
”
Listen wir nun zunächst einige grundlegende Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit auf.
94
KAPITEL 10. WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG
• Für jedes Ereignis A gilt: 0 ≤ p(A) ≤ 1
• p(Ω) = 1
• p(A ∪ B) = p(A) + p(B), falls A ∩ B = ∅
• p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B), falls A ∩ B ̸= ∅
• p(Ā) = 1 − p(A) für das Komplementärereignis Ā
• A ⊆ B ⇒ p(A) ≤ p(B)
Beispiel 10.5.1 Unser Zufallsexperiment sei wiederum das Werfen eines Würfels und wir
betrachten wiederum die Ereignisse A = {2, 4, 6} und B = {1, 2}. Dann gilt:
• p(A) =
3
6
=
1
2
• p(B) =
2
6
=
1
3
• p(A ∪ B) =
4
6
• p(Ā) =
1
2
• p(B̄) =
2
3
10.6
=
2
3
Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabängigkeit
Häuﬁg steht, bevor das Ergebnis eines Zufallsexperiments bekannt ist, schon die Information
zur Verfügung, dass das Ergebnis zu einer bestimmten Teilmenge der Ergebnismenge gehört.
Unter diesen neuen Bedingungen ändern sich natürlich die Wahrscheinlichkeiten für den
Ausgang des Experiments.
Beispiel 10.6.1 Betrachten wir beispielsweise das Ereignis A Eine ungerade Zahl wird
”
gewürfelt“ so beträgt die Wahrscheinlichkeit p(A) = 12 . Stellen wir uns vor, der Würfel
wurde nun bereits geworfen, wir bekommen über das Ergebnis aber lediglich mitgeteilt, dass
die gewürfelte Zahl kleiner als 4 ist. Das heisst, es sind nur noch die Ergebnisse 1,2 und 3
möglich. Die Wahrscheinlichkeit, dass die gewürfelte Zahl unter dieser Bedingung ungerade
ist, ist also p(A|B) = 32 . (Hier bezeichnet B das Ereignis Eine Zahl kleiner als 4 wird
”
gewürfelt“.)
Für Ereignisse A und B deﬁnieren wir die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der
Bedinung B als
p(A ∩ B)
p(A|B) =
.
p(B)
Wir nennen zwei Ereignisse A und B unabhängig, wenn deren Eintreten keinerlei Einﬂuss
aufeinander hat. Genauer gesagt verlangen wir, dass sich die Wahrscheinlichkeit für das
Eintreten von A durch die Gewissheit, dass B eintritt, nicht ändert (also p(A) = p(A|B)
gilt). Mathematisch präzise deﬁnieren wir:
A und B heißen unabhängig, wenn p(A ∩ B) = p(A) · p(B) gilt.
10.7. ZUFALLSVARIABLEN
95
Beispiel 10.6.2 Unser Zufallsexperiment sei der zweimalige Wurf eines Würfels. Ereignis
A sei Im zweiten Wurf fällt eine 6“ und Ereignis B sei Im ersten Wurf fällt eine 6“. Die
”
”
Wahrscheinlichkeit von A beträgt 61 unabhängig davon, ob im ersten Wurf eine 6 fällt oder
nicht. A und B sind daher unabhängig.
Bevor wir zu den Zufallsvariablen kommen betrachten wir nochmal ein Beispiel um die bereits
gelernten Begriﬀe zu trainieren.
Beispiel 10.6.3 In einer Schublade beﬁnden sich 20 Socken. Darunter sind 10 schwarze, 3
rote, 3 blaue, 2 grüne und 2 weisse. Wir ziehen nun blind nacheinander zwei Socken aus der
Schublade. Wir deﬁnieren Ereignis A als Beide Socken sind schwarz“ und Ereignis B als
”
Beide Socken haben die gleiche Farbe“. Bestimmen wir zunächst p(A). Die Wahrscheinlich”
keit beim ersten Ziehen eine schwarze Socke zu erhalten ist 21 . Haben wir im ersten Versuch
eine schwarze Socke gezogen, so sind nur noch 9 der verbleibenden 19 Socken schwarz. Die
9
Wahrscheinlichkeit eine weitere schwarze Socke zu ziehen ist also 19
. Die Wahrscheinlichkeit
das beide Ziehungen schwarz liefern ist also das Produkt dieser Wahrscheinlichkeiten, d.h.
p(A) =
1 9
9
·
=
.
2 19
38
Um p(B) zu berechnen, müssen wir die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass wir zwei schwarze
Socken ziehen, zwei rote Socken ziehen, zwei blaue Socken ziehen, zwei grüne Socken ziehen
oder zwei gelbe Socken ziehen addieren. Wir berechnen wie im ersten Fall
p( Zwei blaue“)
”
=
p( Zwei grüne“)
”
=
3 2
6
p( Zwei rote“) =
·
=
und
”
20 19
380
2 1
2
p( Zwei gelbe“) =
·
=
.
”
20 19
380
Die Wahrscheinlichkeit für B beträgt also
p(B) =
9
6
6
2
2
106
53
+
+
+
+
=
=
≈ 0.28 = 28% .
38 380 380 380 380
380
190
Die Wahrscheinlichkeit, dass wir zwei schwarze Socken gezogen haben unter der Bedingung,
dass wir zwei gleiche gezogen haben, ist also
p(A|B) =
p(A ∩ B)
p(A)
9 190
90
=
=
·
=
≈ 0.85 = 85% .
p(B)
p(B)
38 53
106
Die beiden Ereignisse A und B sind nicht unabhängig, da p(A ∩ B) ̸= p(A) · p(B).
10.7
Zufallsvariablen
Eine Zufallsvariable ist eine Funktion X : Ω → R, die jedem Elementarereignis ω ∈ Ω
genau eine reelle Zahl zuordnet. Wie die Ergebnisse ω eines Zufallsexperiments hängen auch
die Werte von X vom Zufall ab. Für die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable einen
bestimmten Wert annimmt, schreiben wir abkürzend
p(X = k), was eigentlich bedeuted p({ω ∈ Ω : X(ω) = k}) .
96
KAPITEL 10. WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG
Beispiel 10.7.1 Der Besitzer eines Jahrmarktstands bietet folgendes Spiel an. Beim Werfen
zweier Würfel erhält die Spielerin 10 Euro, wenn beide Würfel 6 zeigen und 2 Euro, wenn
einer der Würfel 6 zeigt. Ein Wurf kostet 1 Euro.
Wir bezeichnen mit X die Zufallsvariable, die den Gewinn der Spielerin beschreibt. Es gilt
also:
{(6, 6)}
7−→
X
10 − 1 = 9
{(6, 1), (6, 2), . . . , (6, 5), (1, 6), (2, 6), . . . , (5, 6)}
X
7−→
2−1=1
{(1, 1), (1, 2), . . . . . . . . . , (5, 5)}
X
0 − 1 = −1
7−→
1
Daraus erhalten wir die Wahrscheinlichkeiten p(X = 9) = 36
, p(X = 1) =
25
−1) = 36 . Dies fassen wir nochmal in einer Tabelle zusammen:
Werte von X
Wahrscheinlichkeiten
10.8
9
1
-1
1
36
10
36
25
36
10
36
und p(X =
Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung
Häuﬁg interessiert man sich für den mittleren Wert“ einer Zufallsvariablen. Das entspricht
”
dem erwarteten Wert bei einer häuﬁgen Wiederholung des Experiments. In unserem Beispiel
10.7.1 wäre das der erwartete Gewinn bzw. Verlust der Spielerin. Um einen solchen Mittelwert
zu bilden, gewichten wir die möglichen Werte X(ω) der Zufallsvariable mit den jeweiligen
Wahrscheinlichkeiten p(ω) und summieren darüber. Wir deﬁnieren dann
∑
E(X) =
X(ω) · p(ω) .
ω∈Ω
Dies nennt man den Erwartungswert von X.
Beispiel 10.8.1 Kommen wir zurück zu obigem Jahrmarkt-Spiel. Wir hatten folgende Tabelle erarbeitet.
Werte von X
Wahrscheinlichkeiten
9
1
-1
1
36
10
36
25
36
Der erwartete Gewinn der Spielerin, der dem Erwartungswert der Zufallsvariablen X enstpricht, beträgt also
E(X) = 9 ·
1
10
25
6
1
+1·
+ (−1) ·
=−
= − ≈ −0.17 .
36
36
36
36
6
Die Spielerin verliert also im Mittel ca. 17 Cent pro Spiel.
Die Varianz und die Standardabweichung sind Größen, die die Streuung einer Zufallsvariablen
um den Erwartungswert beschreiben. Genauer gesagt deﬁnieren wir die Varianz von X als
(
)
(
)
2
Var(X) = E
X − E(X)
und die Standardabweichung von X als
σX =
√
Var(X) .
10.9. AUFGABEN
97
Beispiel 10.8.2 Bei unserem Jahrmarkt-Spiel aus Beispiel 10.7.1 beträgt die Varianz
(
))2
1
Var(X) =
X(ω) − −
· p(ω)
6
ω∈{9,1,−1}
(
)2
(
)2
(
)2
1
1
1
10
1
25
= 9+
·
+ 1+
·
+ −1 +
·
6
36
6
36
6
36
3699
411
=
=
≈ 2.85
1296
144
√
und demnach beträgt die Standardabweichung 411
144 ≈ 1.69.
∑
10.9
(
Aufgaben
Aufgabe 10.1 Beim Werfen eines Würfels betrachten wir das Ereignis A Eine ungerade
”
Zahl wird geworfen“ und B = Eine Zahl größer als 3 wird geworfen“.
”
(a) Schreiben Sie die Ereignisse A und B als Teilmengen aller möglichen Wurf-Ergebnisse
{1, 2, 3, 4, 5, 6}.
(b) Bestimmen Sie A ∪ B, A ∩ B, A\B, B\A sowie die Komplement-Mengen Ac und B c .
Sind A und B disjunkt?
(c) Berechnen Sie zu den Mengen aus (b) die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten.
(d) Sind die Ereignisse A und B unabhängig?
Aufgabe 10.2 Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Werfen von drei Würfeln
(a) mindestens eine 4 auftritt?
(b) höchstens eine 6 auftritt?
(c) genau zweimal die 3 fällt?
(d) mindestens eine 4 und eine 5 auftritt?
Aufgabe 10.3 Wir ziehen nacheinander zwei Socken aus einer Schublade mit 5 schwarzen,
6 blauen und 4 roten Socken. Wir deﬁnieren Ereignis A als Beide Socken haben unterschied”
liche Farben“ und Ereignis B als Die erste gezogene Socke ist rot“.
”
(a) Berechnen Sie p(B).
(b) Berechnen Sie p(A).
(c) Sind A und B unabhängig?
Aufgabe 10.4 Bei einer Lotterie sind unter 1000 Losen 75 Gewinne zu 2 Euro, 60 Gewinne
zu 5 Euro sowie der Hauptgewinn von 100 Euro. Die restlichen Lose sind Nieten. Der Preis
für ein Los beträgt 1 Euro.
(a) Deﬁnieren Sie die Zufallsvariable X, die Gewinn-Auszahlung an einen Losinhaber beschreibt.
98
KAPITEL 10. WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG
(b) Berechnen Sie den Erwartungswert der Gewinn-Auszahlung an einen Losinhaber. Eine
Lotterie heißt “fair” wenn der Erwartungswert der Gewinn-Auszahlung den Lospreis
nicht überschreitet. Ist das Spiel fair?
(c) Deﬁnieren Sie die Zufallsvariable Y , die den Gewinn der Lottogesellschaft je Los beschreibt.
(d) Berechnen Sie den mittleren Gewinn der Lottogesellschaft je Los.
Aufgabe 10.5 (Zusatzaufgabe) Ein Student im Stochastikkurs behauptet, die Wahrscheinlichkeit, dass irgendein anderer der insgesamt 25 Studenten im Kurs am gleichen Tag im Jahr
Geburtstag feiert wie er, sei sehr klein, nämlich nur ca. 0.06. Der Professor schaut ihn zustimmend an und behauptet dann frech, dass die Wahrscheinlichkeit, dass trotzdem mindestens
zwei Studenten ihren Geburtstag teilen, viel höher sei, nämlich über 0.5. Das macht den
Studenten sehr stutzig, kann das stimmen?
Überprüfen Sie die Aussage des Studenten und die des Professors.
Hinweis: Vorsicht beim Benutzen des Taschenrechners. Eine falsche Zahl und das Ergebnis ist komplett falsch.
Aufgabe 10.6 (Zusatzaufgabe) Bei einer Prüfung wird einer Kandidatin ein Multiple
”
Choice“-Fragenbogen vorgelegt. Dabei steht unter jeder der 9 Fragen in zufälliger Reihenfolge
die richtige und zwei falsche Antworten. Zum Bestehen der Prüfung müssen mindestens 6
Antworten richtig angekreuzt werden. Die Kandidatin kreuzt bei jeder Frage eine der drei
Antworten zufällig an.
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht sie die Prüfung?
(b) Die Kandidatin kann bei jeder Frage eine falsche Antwort ausschließen. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit besteht sie nun die Prüfung?
Hinweis: Untersuchen Sie separat alle 4 Punktzahlen, mit der die Studentin bestehen kann.
Lösungen: siehe Seite 113.
Anhang A
Lösungen zu den
Übungsaufgaben
A.1
Lösungen: Potenzen
Lösungen für Aufgabe 2.1
e)
( 3 )2 6 ( 3·2 ) 6
x
·3 = x
· 3 = (3x)6
( 2/5 )5
x
= x2/5·5 = x2
d)
(x + y) (kann man nur Ausmultiplizieren, nicht vereinfachen)
a)
b)
x3 · y 3 = (xy)3
c)
x2
x4 +x2
=
1
x2 +1
3
Lösungen für Aufgabe 2.2
(
a)
)
2
x2 + 2x + 1 = (x + 1)
b)
(√
)2
2
3
5 = 53
c)
√
( 137
)137
137
16
= 16 137 = 161 = 16
Lösungen für Aufgabe 2.3
Bezeichne die Breite mit b, dann ist der Karton b/2 hoch. Das Volumen des Kartons beträgt
also b2 · b/2 = b3 /2
b3
= 4 ⇔ b3 = 8 ⇔ b = 2.
2
Der Karton ist 2m breit und 1m hoch.
Lösungen für Aufgabe 2.4
a)
c)
⇔ x = log2 16 = 4
2x = 16
⇔ x = ln 1 = 0
x
e =1
2x = 18
b)
x
d)
e = 27
⇔ x = log2 18 ≃ 4.1699250
⇔ x = ln 27 ≃ 3.2958369
Lösungen für Aufgabe 2.5
a)
log2 16 = 4
e)
f)
loga ( a12 ) = loga (a−2 ) = −2
( )
ln(a) − ln a1 = ln(a) + ln(a) = 2 ln(a) g)
h)
ln (ex ) = x · ln(e) = x · 1 = x
j)
x·ln(2)
e
=e
b)
ln(2x )
log3 27 = 3
c)
i)
x
=2
99
log√3 9 = 4
d)
log11
1
121
= −2
ln(a) + ln( a1 ) = ln(a · a1 ) = ln(1) = 0
( 2) 1
1
= 2 · 2 · ln(x) = ln(x)
2 ln x
100
ANHANG A. LÖSUNGEN ZU DEN ÜBUNGSAUFGABEN
Lösungen für Aufgabe 2.6
logx (16) = 2
⇔ x2 = 16
⇔x=4
logx (81) = 4
⇔ x = 81
⇔x=3
logx (16) = 4
⇔ x = 16
g)
logx (9) = 4
⇔x =9
⇔x=2
√
⇔x= 3
h)
logx (8) = 2, 5
⇔ x2 = 8
a
c)
e)
4
4
4
5
b)
d)
f)
logx (121) = 2
⇔ x2 = 121
⇔ x = 11
logx (125) = 3
⇔ x = 125
⇔x=5
logx (10) = 1
⇔ x = 10
⇔ x = 10
⇔ x5 = 82 = 64 ⇔ x =
3
1
√
5
64
Lösungen für Aufgabe 2.7 Gesucht ist
log2 (7000 000 000)
= log2 (7 · 109 ) ( )
= log2 (7) + log2 109
= log2 (7) + 9 log2 (10)
≃ 2.81 + 9 · 3.32 ≃ 32.69.
Es dauert also etwa 32.69 ∗ 20min = 653.8min (das sind 10h 53min und 0.8 ∗ 60 = 48s), also
etwas weniger als 11h.
A.3
Lösungen: Polynome
Lösung zu Aufgabe 4.1
Aufstellen der Linearen Gleichung
Die monatlichen Geamtkosten beider Mobilverträge sind lineare Polynome in der Variable x,
die für die monatlich vertelefonierten“ Minuten steht:
”
• Anbieter 1: monatl. Kosten: f (x) = 10 + 0, 1 · x.
• Anbieter 2: monatl. Kosten: g(x) = 5 + 0, 2 · x.
Oﬀensichtlich ist Anbieter 2 billiger, wenn man nur wenig“ telefoniert. Dies kann man prüfen
”
in dem man die Monatskoten ausrechnet, die entstehen wenn man gar nicht telefoniert:
f (0) = 10 > 5 = g(0).
Lösen der Linearen Gleichung
Ab wieviel Monats-Telefonier-Minuten lohnt es sich aber zu Anbieter 1 zu wechseln? Gesucht
ist der Punkt x an dem gilt: f (x) = g(x), dieser Wert berechnet sich wie folgt:
⇔
⇔
⇔
g(x)
5 + 0, 2 · x
0, 1 · x
x
=
=
=
=
f (x)
10 + 0, 1 · x
5
5 · 10 = 50
∥ − 5 − (0, 1 · x)
Antwort
Ab 50 telefonierten Gesprächsminuten (und mehr) pro Monat lohnt es sich den Vertrag bei
Anbieter 1 abzuschließen.
Lösung zu Aufgabe 4.2
Der Schnittpunkt der beiden Graden liegt bei dem x-Wert, der für beide Geraden den selben
y-Wert liefert. Entsprechend setzen wir die beiden Werte gleich, um x zu bestimmen:
⇔
⇔
3x+2
5x
x
= −2x+1
=
−1
=
− 15
| + 2x − 2
|:5
A.3. LÖSUNGEN: POLYNOME
101
Um den zugehörigen y-Wert auszurechen setzen wir x in y = 3x + 2 ein:
1
7
y = 3 ∗ (− ) + 2 =
5
5
Lösung: Der Schnittpunkt beider Graden liegt bei (x, y) = (− 51 , 75 ).
Lösung zu Aufgabe 4.3
x2 + 2 Diskriminante: 02 − 4 · 1 · 2 < 0 (keine Lösung).
x2 − 4x + 4 = (x − 2)2 Diskriminante: 42 − 4 · 1 · 4 = 0 (exakt eine Lösung).
Lösung zu Aufgabe 4.4
Ausgangspolynom
a)
b)
c)
d)
2x2 +7x+3
3x2 +7x−6
x2 −2x−15
x2 −2x
Faktorisierung
=
=
=
=
Nullstellen
−1/2,
2/3,
5,
0,
2(x + 1/2)(x + 3)
3(x − 2/3)(x + 3)
(x − 5)(x + 3)
x(x − 2)
−3
−3
−3
2
Lösung zu Aufgabe 4.5
Ausgangspolynom
a) x2 −3x+2
b) x2 −3x+2
c) x2 +x
d) x2 +1
Das Polynom x2 + 1
nicht faktorisierbar.
Faktorisierung
Nullstellen
(x − 1)(x − 2)
1,
2
(x + 1)(x + 2)
−1, −2
x(x + 1)
0, −1
keine
keine
hat die Diskriminante −4. es hat also keine Nullstellen und ist damit
=
=
=
Lösung zu Aufgabe 4.6
Ausgangspolynom
Faktorisierung
Nullstellen
a) x3 +2x2 −5x−6 = (x + 1)(x − 2)(x + 3)
−1, 2, −3
b) x3 +6x2 −x −6 = (x + 1)(x − 1)(x + 6)
−1, 1, −6
c) x3 −4x2 +4x
= x(x − 2)2
0, 2
d)
x3 − 1
= (x − 1)(x2 + x + 1)
1
Das Polynom x2 + x + 1 hat negative Diskriminante ((1)2 − 4 · 1 · 1 = −3 < 0). Es ist also
nicht weiter faktorisierbar.
Lösung zu Aufgabe 4.7
Man beachte das (x − 3)(x + 3) = x2 − 9 gilt. Der Hauptnenner ist heir also (x − 3)(x + 3)
2x+1
x−3
+
3x−5
x+3
=
2x2 +2x+18
x2 −9
∥ · (x − 3)(x + 3)
Polynomgleichung
⇒ (2x + 1)(x + 3) +(3x − 5)(x − 3)
⇔
2x2 + 7x + 3 +3x2 −14x +15
⇔
5x2 −7x +18
⇔
3x2 −9x
⇔
x2 −3x
⇔
⇔
x1/2
x1/2
= 2x2 + 2x + 18
= 2x2 + 2x + 18
= 2x2 + 2x + 18
∥ − 2x2 − 2x − 18
= 0
= 0
[Normalform]
√
9
3
= −(− 2 ) ± 4 − 0
[p-q-Formel]
3
3
= 2±2
102
ANHANG A. LÖSUNGEN ZU DEN ÜBUNGSAUFGABEN
Statt die p-q-Formel zu verwenden kann man auch am Schluss Faktorisieren: x2 − 3x =
x(x − 3). So sieht man auch, dass die Lösungen der Polynomgleichung x1 = 0 und x2 = 3
lauten. Die Probe (Einsetzen in den Hauptnenner) liefert:
(x1 − 3)(x1 + 3) = (−3) · (3) = 9 ̸= 0
und
(x2 − 3)(x2 + 3) = (3 − 3)(3 + 3)= 0.
Lösung: Also ist nur 0 eine zulässige Lösung der Ausgangsgleichung.
Lösung zu Aufgabe 4.8
Man beachte das (x − 1)(x − 3) = x2 − 4x + 3 gilt. Der Hauptnenner ist hier also (x − 1)(x − 3)
3
x−1
−
2
x−3
=
− x22x+1
−4x+3
∥ · (x − 1)(x − 3)
Polynomgleichung
⇒
⇔
⇔
⇔
⇔
3(x − 3) −2(x − 1)
3x − 9 −2x
+2
x
−7
3x
x
= −(2x + 1)
= −2x − 1
= −2x − 1
= 6
= 2
∥ + 2x + 7
∥:3
Lösungen der Polynomgleichung x1 = 2. Die Probe (Einsetzen in den Hauptnenner) liefert:
(x1 − 1)(x1 − 3) = (2 − 1) · (2 − 3) = (1)(−1) ̸= 0
Lösung: Also ist 2 eine zulässige Lösung der Ausgangsgleichung.
Lösung zu Aufgabe 4.9
Man beachte das (x − 1)(x + 1) = x2 − 1 gilt. Der Hauptnenner ist hieer also (x − 1)(x + 1)
4x+5
x+1
=
6x2 +6x−2
x2 −1
⇒ (2x + 3)(x + 1) +(4x + 5)(x − 1)
⇔
2x2 + 5x + 3 4x2 +x
−5
⇔
6x2 +6x
−2
⇔
0
=
=
=
=
6x2 + 6x − 2
6x2 + 6x − 2
6x2 + 6x − 2 ∥ − 6x2 − 6x + 2
0
2x+3
x−1
+
∥ · (x − 1)(x + 1)
Polynomgleichung
Hier erhalten wir am Schluß eine wahre Aussage (“Null gleich Null ” gilt stets!), die nicht
von x abhängt. Dies bedeutet, dass die Polynomgleichung für jedes x erfüllt ist, d.h. diese
Polynomgleichung gilt stets1 . Die Lösungsmenge der Polynomgleichung ist also ganz R.
Welche Lösungen sind zulässig für die Ausgangsgleichung?
Antwort: Alle außer den Nullstellen des Hauptnenners:
(x − 1)(x + 1) = 0
Dies sind die Werte x1 = 1 und x2 = −1. Die Ausgangsgleichung gilt also für alle x, außer
x = 1 und x = −1. Lösung: Die Lösungsmenge der Ausgangsgleichung ist R \ {1, −1}.
1 Eine
andere Polynomgleichung, die stets erfüllt ist ist z.B. x2 + 1 = x2 + 1
A.4. LÖSUNGEN: DIFFERENTIALRECHNUNG
A.4
103
Lösungen: Diﬀerentialrechnung
Lösungen für Aufgabe 5.1:
f ′ (x) := . . .
f (x) := . . .
a)
(x + 1) · (x − 2)
1 · (x − 2)
+(x + 1) · 1
= 2x − 1
b)
x · ln(x) − x
1 · ln(x)
+x ·
= ln(x)
c)
x · ex − ex
1 · ex
+x · ex − ex
d)
cos(x) · cos(x)
e)
sin(x) · sin(x)
1
x
−1
= xex
− sin(x) · cos(x) + cos(x) · (− sin(x))
= −2 cos(x) sin(x)
cos(x) · sin(x) + sin(x) · cos(x)
= +2 cos(x) sin(x)
Lösungen für Aufgabe 5.2
f (x) := . . .
f ′ (x) := . . .
f (x) := . . .
f ′ (x) := . . .
3
e(x ) · 3x2
3
a)
(x2 + 1)3
3(x2 + 1)2 · 2x
b)
ex
c)
cos(x2 − 2x)
− sin(x2 − 2x) · (2x − 2)
d)
cos(1/x)
e)
1
(1 + e−x )
−
− sin(1/x) · (−1/x2 )
1
· (−e−x )
(1 + e−x )2
Lösungen für Aufgabe 5.3
Alle diese Ableirungen werden mit der Quotientenregel bestimmt:
f (x) := . . .
f ′ (x) := . . .
a)
x+1
x2 + 1
1 · (x2 + 1) − (x + 1) · (2x)
(x2 + 1)2
b)
ex + 1
ex
ex · ex − (ex + 1) · ex
c)
cos(2x)
x2 + 1
(−2 sin(2x)) · (x2 + 1) − cos(2x) · 2x
d)
sin(x)
cos(x)
cos(x) · cos(x) − sin(x) · (− sin(x))
e)
cos(x)
sin(x)
(− sin(x)) · sin(x) − cos(x) · cos(x)
2
(cos(x))
(sin(x))
−x2 − 2x + 1
(x2 + 1)2
=
(ex ) − (ex ) − ex
1
=− x
x
2
(e )
e
=
1
cos(x)2 + sin(x)2
=
2
cos(x)
cos(x)2
=
− sin(x)2 − cos(x)2
1
=
sin(x)2
sin(x)2
2
(ex )
(x2 + 1)
=
2
2
2
2
Lösungen für Aufgabe 5.4
f (x) = 2x3 − 3x2 + 6
f ′ (x) = 6x2 − 6x =6x(x − 1)
f ′′ (x)= 12x − 6 =6(2x − 1)
104
ANHANG A. LÖSUNGEN ZU DEN ÜBUNGSAUFGABEN
Die erste Ableitung verschwindet bei x0 = 0 und x1 = 1. Einsetzen in f ′′ (x) liefert f ′′ (x0 ) =
−6 < 0 und f ′′ (x1 ) = 6 > 0. Die Funktion f hat also bei x0 ein lokales Minimum und bei x1
ein lokales Maximum.
Die zweite Ableitung f ′′ (x) verschwindet nur bei x3 = 1/2, hier hat die Funktion einen
Wendepunkt.
Lösungen für Aufgabe 5.5
x
(x + 2)2
1 · (x + 2)2 − x · 2(x + 2)
(x + 2) − 2x
(2 − x)
f ′ (x) =
=
=
(x + 2)4
(x + 2)3
(x + 2)3
(−1) · (x + 2)3 − (2 − x) · 3(x + 2)2 (−1) · (x + 2) − (2 − x) · 3 (2x − 8)
f ′′ (x)=
=
=
(x + 2)6
(x + 2)4
(x + 2)4
f (x) =
Die erste Ableitung verschwindet nur bei x0 = 2, dies ist also das einzige lokale Extremum.
Die zweite Ableitung ist negativ bei x0 = 2 einsetzt, x0 ist also ein lokales Maximum.
Lösung für Zusatzaufgabe 5.6
a)
c)
(n)
(ex ) = ex
(n)
(xn ) = n! = n(n − 1)(n − 2) · · · 1
b)
d)
( 2x )(n)
e
= 2n · e2x
( n−1 )(n)
x
= (n − 1)! · 0 = 0
Für cos(x) ist die Sache etwas komlpizierter. Je nachdem welchen Rest n beim Teilen durch
4 ergibt, ergibt sich eine andere n-te Ableitung:

cos(x) wenn n = 4k



− sin(x) wenn n = 4k + 1
′
f (x) = cos(x)
f (x) =
wobei k ∈ N
− cos(x) wenn n = 4k + 2



sin(x) wenn n = 4k + 3
Lösung für Zusatzaufgabe 5.7:
Es seien b die Breite und h die Höhe des Kartons, gemessen in Metern.
Das Volumen V und die Oberﬂäche F des Kartons berechnen sich wie folgt:
V := b2 · h
F := 2 · b2 + 4 · h · b
(der Karton hat 6 Seiten, 2 sind quadratisch, die anderen 4 haben Breite b und höhe h).
Da die Oberﬂäche des Kartons konstant ist, können wir h aus b berechnen:
⇔
⇔
⇔
F
2 · b2 + 4 · h · b
h
h
= 6
= 6
6
= 4b
−
3
= 2b
−
2b2
4b
b
2
Setzen wir den Wert von h in die Volumenformel ein ergibt sich:
V
⇔ V
⇔ V
= b2 (· h
)
3
= b2 (2b
− 2b )
3b
b3
=
2 − 2
A.5. LÖSUNGEN: INTEGRALE
h=
3
2b
−
105
(
b
2
V =
3b
2
b3
2
−
)
Abbildung A.1: Die Höhe und das Volumen als Funktionen von b
Wo hat die Funktion f (x) :=
3x
2
−
f ′ (x)
⇔
x3
2 ,
=
die V berechnet ein Maximum?
2
− 3x2
x2 − 1
3
2
|·
= 0
= 0
2
3
Also hat die Funktion zwei Extrema, eines bei x0 = 1 und eines bei x1 = −1. Weil negative
werte für b nicht in Frage kommen, betrachten wir das Extremum bei x0 = 1. Dazu betrachten
wir die zweite Ableitung:
⇒
f ′′ (x) =
f ′′ (1) =
−3x
−3 · 1
< 0
Es handelt sich also bei x0 = 1 um ein Maximum.
Die Höhe des Kartons berechnen wir nun aus der Formel h =
h=
3
2b
− 2b :
3
x0
3
1
2
−
=
− = =1
2x0
2
2·1 2
2
Lösung Der optimale Karton ist würfelförmig mit Breite=Länge=Höhe= 1.
A.5
Lösungen: Integrale
Lösungen für Aufgabe 7.1
∫ 2 1
a)
3x − 2 x + 1dx = x3 − 14 x2 + x+c
∫ 2
b)
t + 1dt
= 13 t3 + t+c
∫
2
3
c)
(x + 2) dx
= 13 (x + 2) +c
Lösungen für Aufgabe 7.2
d)
e)
f)
∫
∫
∫
e(4x) dx
= 14 e(4x) +c
e(2x+1) dx
= 12 e(2x+1) +c
cos (3x + 4)dx
=
1
3
sin (3x + 4) +c
106
a)
b)
c)
ANHANG A. LÖSUNGEN ZU DEN ÜBUNGSAUFGABEN
∫
∫
∫
x · cos(x)dx
=
x sin(x)
∫
− 1 sin(x)dx
=
x sin(x) + cos(x)+c
x · e2x+1 dx
=
x 12 e2x+1
∫
− 1 12 e2x+1 dx
=
x 12 e2x+1 − 14 e2x+1 +c =
ln(x) · x dx
=
ln(x) 12 x2
−
=
x2
(∗)
x2 ex − (2xex − 2ex ) +c = (x2 − 2x + 2)ex +c
∫
2xex − 2ex dx = 2xex − 2ex +c (∗)
∫
1 1 2
x dx
x 2
|
{z
}
=
d)
∫
x2 · ex dx
Lösungen
für Aufgabe 7.3∫
∫
a)
3x cos(x2 )dx = 32 2x· cos(x2 )dx
b)
c)
d)
∫
∫
∫
2
xe(x ) dx
= 12
∫
2
2x · e(x ) dx
∫
= 2x ·
2x
x2 +1 dx
4
x3 e(x ) dx
= 14
∫
1
(x2 +1) dx
4
4x3 · e(x ) dx
Lösungen für Aufgabe 7.4
∫ 12
a)
5x − 12x2 + 1dx =
b)
c)
d)
e)
∫
∫
∫
∫
x
x2
2 dx= 4
5 13
13 x
=
=
∫
−
1
4
−
1
4
)
e2x+1 +c
)
+c
= 32 sin(x2 )+c
2
= 12 e(x ) +c
)
(
=ln x2 + 1 +c
4
= 14 e(x ) +c
− 4x3 + x +c
Summe auseinander ziehen.
xe(x) dx
=
(x − 1)ex +c
partielle Integration
1
x+1 dx
=
ln(x + 1)+c
direkt integrieren
=
1
37 (x
einfache Substitution
(x + 2)
36
dx
ln(x)dx
=
∫
+ 2)37
1 · ln(x)dx = x · ln(x) −
∫
)
∫ x2 +1
∫( 2
1
f)
3x + 3 · (x3 +3x)
dx =
= 13
x3 +3x dx
Alternative Lösungsmöglichkeit für f): s. unten
f)
ln(x)
2
2
+c
∫
− 2xex dx
∫
2xex dx
x2 ex
=
∫
(
(x
x2 +1
x3 +3x dx
=
=
∫
∫
+
x
x2 +3 dx
+
x
x2 +3 dx
− 13
(∗)
∫
=
1
3
=
ln(x2 + 3)/3
=
∫
x2
x3 +3x dx
∫
(2x) (x21+3) dx
∫
+ 13
x · x1 dx = x ln(x) − x+c
1
3
)
(
ln x3 + 3x
1
x3 +3x dx
Summe auseinanderziehen
1
x(x2 +3) dx
1) Kürzen. 2) PZB s.(∗)
∫
∫
x
x2 +3 dx
1
x dx
+ ln(x)/3 + c
+
1
3
∫
1
x dx
1) einfache Substituion.
= ln((x2 + 3)x)/3.
partielle Integration
einfache Substitution
A.5. LÖSUNGEN: INTEGRALE
107
(∗)
A
x
1) Ansatz
2) Multiplizieren
& Kürzen:
3) Gleichungen
4) Ausrechnen
Bx+C
+ (x
2 +3)
⇔ A(x2 + 3) +(Bx + C)(x)
2
⇔ (A
 + 2B)x +Cx + 3A 
 (x ) A + B = 0

(x)
C =0
⇔


(1)
A = 1/3
∫
1
x(x2 +1) dx
=
1
3
∫
1
x dx
−
1
3
∫
| · x(x2 + 3)
=
1
x(x2 +3)
=
=
1
1
⇔
A = 13 , B = − 31 , C = 0
x
(x2 +3) dx
= +c
Lösungen für Aufgabe 7.5
a)
b)
c)
d)
e)
f)
∫2
1
3x2 − 6x + 2 dx
∫ 2π
0
0
∫1
−1
∫e
1
∫3
2π
cos(x) dx
∫ e−1
2
x+1
= [−sin(x)]0
e−1
dx
= [2 ln(x + 1)]0
(x + 3)3 dx
=
[1
4 (x
+ 3)4
]1
−1
e
= [x ln(x) − x]1
ln(x) dx
√1
0
x+1
[
]2
= x3 − 3x2 + 2x 1
dx
=
∫3
0
(x + 1)
−1/2
=
(8 − 12 + 4) − (1 − 3 + 2) = 0 − 0 = 0
=
(−sin(2π)) − (− sin(0)) = 0 − 0 = 0
=
(2 ln(e)) − (2 ln(1)) = 2 − 0 = 2
=
( 14 (4)4 ) − ( 14 (2)4 ) = 43 − 4 = 64 − 4 = 60
=
(e ln(e) − e) − (1 · ln(1) − 1) = (e · 1 − e) − (0 − 1) = 1
[
dx
=
2 (x + 1)
1/2
]3
0
√
√
= (2 4) − (2 1) = 2 · 2 − 2 = 2
Lösung für Aufgabe 7.6
2π
∫
cos(x) · cos(x)dx
2π
= [sin(x)cos(x)]0
−
0
0·1−0·1
=
+
0·1−0·1
=
+
2π
∫
0
2π
∫
0
2π
∫
0
⇔ 2
2π
∫
cos(x) · cos(x)dx =
+
0
2π
∫
1dx (= 2π)
0
Der Wert des Integrals beträgt π.
Lösung für Aufgabe 7.7
a)
∫
2x+1
x2 −x−2 dx
b)
∫
x+1
2x2 −x−1 dx
c)
∫
1
x2 −16 dx
sin(x)(− sin(x))dx
sin(x)sin(x)dx
1 − cos(x)cos(x)dx
108
ANHANG A. LÖSUNGEN ZU DEN ÜBUNGSAUFGABEN
Teil b)
2x2 − x − 1 = (x − 1)(2x + 1)
A
B
+ (2x+1)
(x−1)
0) Faktorisieren
1) Ansatz
2) Multiplizieren
& Kürzen:
⇔ A(2x + 1)
3) Gleichungen
⇔
4) Einsetzen
⇔
4) Ausrechnen
b) =
{
{
∫
+B(x − 1)
(x)
(1)
2A
A
(x)
(1)
2 + 2B
A
2
1
3 (x−1)
−
+B
−B
=
(x + 1)
{
⇔
}
=1
=1+B
1
1
3 (2x+1) dx
x+1
(x−1)(2x+1)
}
=1
=1
+B
=
=
2
3
{
⇔
ln(x − 1) −
1
6
(x)
(1)
2A +B
A
(x)
(1)
B
A
| · (x − 1)(2x + 1)
=1
=1+B
= − 31
=1−
1
3
=
2
3
ln(2x + 1)+c
Teil c)
x2 − 16 = (x − 4)(x + 4)
A
B
+ (x+4)
(x−4)
0) Faktorisieren
1) Ansatz
2) Multiplizieren
& Kürzen:
3) Gleichungen
⇔
A(x + 4)
{
⇔
{
⇔
4) Ausrechnen
A.6
c) =
(x) A
+B
(1) 4A −4B
(x)
(1)
∫
1
(x−4)
=0
=1
A = 1/8
B = −1/8
−
1
(x+4) dx
=
1
(x−4)(x+4)
=
1
}
{
(x)
(1)
⇔
A
4(−B)
| · (x − 4)(x + 4)
−4B
= −B
=1
}
1
8
ln(x − 4) −
1
8
ln(x + 4)+c
Lösungen: Vektoren
Lösungen für Aufgabe 8.1
√
√
(a) r = 22 + 22 = 8 ≈ 2.8284,
(b) r =
1
8
+B(x − 4)
=
ϕ = arctan
√
√
12 + (−1)2 = 2 ≈ 1.414,
(c) r = 0,
(2)
2
ϕ = arctan
= arctan(1) =
( −1 )
1
π
4
≈ 0.785398 ≃ 45◦
= − π4 ≃ −45◦
ϕ ist beliebig (der Nullvektor hat keinen festen Winkel).
Lösungen
8.2
( )für
( Aufgabe
)
3
3
a) ⟨
,
⟩ = 13
b)
2
2
( ) (
)
3
−1
⟨
,
⟩=5
2
4
c)
( ) ( )
3
2
⟨
,
⟩ = 18
2
6
Lösungen für Aufgabe 8.3
Zwei Vektoren(⃗v , w
⃗)
∈ R2 sind
dann
zu einander, wenn gilt: ⟨⃗v , w⟩
⃗ = 0. Für
( genau
)
( senkrecht
) ( )
−y
x
−y
x
die Vektoren
und
gilt: ⟨
,
⟩ = −y · x + x · y = 0. Also sind diese
x
y
x
y
zwei Vektoren stets senkrecht zu einander.
A.6. LÖSUNGEN: VEKTOREN
109
Lösungen für Aufgabe 8.4 Es gilt:
⟨ −3   2 ⟩
 a2  ,  3  = −9 + 3 · a2
1
−3
Damit die beiden Vektoren senkrecht sind muss also gelten: −9+3a2 = 0, dies gilt für a2 = 3.
Für den Abstand folgt:


 
 
5 2
−3 √
√
⃗
 3  −  3  =  0  = 52 + 42 = 41
b − ⃗a = −3
1 −4 Lösungen für Aufgabe 8.5
Berechnung des Kreuzproduktes:
 
 


 
2
2 · (−2) − (−3) · 1
−1
−1
⃗a × ⃗b =  2  ×  1  =  (−3) · 2 − (−1) · (−2)  =  −8 
−2
(−1) · 1 −
2·2
−5
−3
Um zu prüfen ob ⃗a × ⃗b senkrecht auf ⃗a steht, prüfen wir, ob ⟨⃗a × ⃗b, ⃗a⟩ = 0 gilt:
⟨ −1   −1 ⟩
 −8  ,  2  = (−1) · (−1) + (−8) · 2 + (−5) · (−3) = 1 − 16 + 15 = 0
−5
−3
Die Vektoren ⃗a × ⃗b und ⃗a sind also senkrecht zu einander.
Das selbe für ⟨⃗a × ⃗b und ⃗b ergibt:
⟨ −1   2 ⟩
 −8  ,  1  = (−1) · (2) + (−8) · 1 + (−5) · (−2) = 2 − 8 + 10 = 0
−5
−2
Die Vektoren ⃗a × ⃗b und ⃗b sind also senkrecht zu einander.
Lösungen für Aufgabe 8.6
Lösung: Der Punkt ⃗a liegt auf g mit λ = 2, ⃗b liegt nicht auf g.
Rechnung:
Falls ⃗a auf g liegt, dann gibt es ein λ ∈ R, so dass ⃗a der Punkt-Richtungsform der Geraden
genügt. Dieses λ berechnet man mit dem Ansatz
 


1
−1
⃗a =  0  + λ  2  .
1
1
Einsetzen von ⃗a ergibt:

 

−1
1 −λ
 4  =  0 +2λ  .
3
1 +λ
110
ANHANG A. LÖSUNGEN ZU DEN ÜBUNGSAUFGABEN
Damit die Vektoren auf beiden Seiten der Gleichung gleich sind, müssen die Einträge jeweils
gleich sein. Für jeden Eintrag der Vektoren auf beiden Seiten der Gleichung erhalten wir eine
Gleichung:
i) −1 = 1 − λ
ii)
4 =
2λ
iii)
3 = 1+λ
Auﬂösen in allen drei Gleichungen nach λ liefert λ = 2. Der Punkt ⃗a liegt auf g mit λ = 2.
Die Rechnung für ⃗b geht analog:
Falls ⃗b auf g liegt, dann gibt es ein λ ∈ R, so dass gilt:

 

2
1
−λ
 −2  =  0 +2λ  .
1
1
+λ
Für jeden Eintrag der Vektoren auf beiden Seiten der Gleichung erhalten wir eine Gleichung:


i)
2 = 1−λ |+λ−2 
λ = −1
 i’)
ii) −2 =
2λ | : 2
ii’) −1 =
λ
⇔


iii)
1 = 1+λ |−1
iii’)
0 =
λ
Gleichung iii) und i) liefern widersprüchliche Anforderungen an λ, sie sind also nicht gleichzeitig erfüllbar. Es kann also kein λ geben, so dass ⃗b der Punkt-Richtungsform genügt, ⃗b liegt
also nicht auf der Geraden g.
Lösungen für Aufgabe 8.7




0
0
(a) Punktrichtungsform für g:  1  + λ  1 
2
−1


 


3
2
−1
Punktrichtungsform für E:  1  + λ −1 + µ  3 
−4
−4
4
(b) Nebenrechnung für den Normalenvektor:

 
 
 

2
3
−1 · (−4) − (−4) · 3
16
−4 · 3 − 2 · (−4)  =  −4 
⃗n :=  −1  ×  3  = 
−4
−4
2 · 3 − (−1) · 3
9



 

−1
16
−1
Nebenrechnung für die Konstante: c := ⟨⃗n,  1 ⟩ = ⟨ −4  ,  1 ⟩ = 16
4
9
4
⟨ 16  x⟩
Entsprechend ergibt sich die Normalenform für E: −4 , y  = 16
9
z
(c) Nebenrechnung: Mit Hilfe der Punktrichtungsformen stellen wir ein Gleichungssystem
auf:
 
   
 
 
0
0
−1
2
3
1 + λ1  1  =  1  + λ2 −1 + µ 3
2
−1
4
−4
4
2
5
1
Dies hat die Lösung: λ1 = − 13
, λ2 = 13
, µ = 13
. Einsetzen in die Punktrichtungsform
11 28 T
von g oder E liefert (0, 13 , 13 ) als Schnittpunkt.
A.7. LÖSUNGEN: MATRIZEN
A.7
111
Lösungen: Matrizen
Lösungen zu Aufgabe 9.1: Die Ergebnisse lauten wie folgt:
(
A+B
=
(
A−B
=
(
T
A +B
=
(
A+B
T
=
(
A·B
=
(
B·A =
2 3
−1 4
2 3
−1 4
2 −1
3
4
2 3
−1 4
2 3
−1 4
0
2
6 −2
)
(
+
)
(
−
)
(
+
)
(
+
(
)
·
)
(
·
0
2
6 −2
0
2
6 −2
0
2
6 −2
0
6
2 −2
0
2
6 −2
2 3
−1 4
)
(
=
)
(
=
)
=
)
=
(
)
=
)
=
2 5
5 2
2
−7
(
2
9
(
2
1
1
6
1
2
9
2
)
)
)
)
)
18
−2
24 −10
(
)
−2
8
14 10
Lösungen zu Aufgabe 9.2:


2 3 7
A = 0 −1 4 a)
3 3 1
d)
   
   
4
47
−1
39
A · 6 =  6  b) A ·  9  = −1 c)
3
33
2
26

 

4 −1 0
47 39
3
A · 6 9 1 =  6 −1 −1
3 2 0
33 26
3
   
0
3
A · 1 = −1
0
3
Lösungen zu Aufgabe 9.3:

1
1
Zutatenmatrix: 
1
1
1
1
1
1
0
0
1
2
1
Lösungen zu Aufgabe 9.4:

0 1
1 1

0 1
1 2


2
1, 50
1, 50
1 



5 
Preismatrix:  3

 1
2 
2, 50
1


6
3, 50
 7
5, 50 

Produkt: 
 7, 50
6 
12, 50 11, 50
112
ANHANG A. LÖSUNGEN ZU DEN ÜBUNGSAUFGABEN
(
a)
c)
)
2 3
= 8 + 3 = 11
b)
−1 4
(
)
5 19
det(A · B) = det
= 35 − 57 = −22
3 7
det(A) = det
det(B) = det
(
1
1
5
3
)
= 3 − 5 = −2
Zu a), b), c): Es gilt det(A · B) = det(A) · det(B). Dies gilt für alle Matrizen A, B.
d)
Entwickeln nach erster Spalte liefert:


(
)
(
)
2
3 7
−1 4
3 7
det  0 −1 4  = 2 · det
− 0 + 3 · det
= 31
3 1
−1 4
3
3 1
Berechnen mit Sarrus-Regel liefert:


2
3 7
det  0 −1 4  = 2 · (−1) · 1 + 3 · 4 · 3 + 7 · 0 · 3 −3 · (−1) · 7 − 3 · 4 · 2 − 1 · 0 · 3
3
3 1
= −2 + 36 + 0 +21 − 24 − 0 = 31
Lösungen zu Aufgabe 9.5:
a) Zum Beweis der Aussage multiplizieren wir die beiden gegebenen Matrizen:
(
)
(
)
(
) (
)
1
1
a b
d −b
a b
d −b
·
·
=
·
·
c d
−c a
−c a
det(A)
det(A) c d
(
)
(
)
1
ad − bc
0
1 0
=
·
=
0
ad − bc
0 1
ad − bc
( )
( )
x
r1
b) Sei B = A−1 . Wir setzen den vorgeschlagenen Vektor
:= B ·
in das Gleiy
r2
chungssystem ein:
(
( ))
( )
r1
r1
A· B·
= (A · B) ·
r2
(
)
( r2 )
( )
1 0
r1
r1
=
·
=
0 1
r2
r2
Lösungen
9.6:
( zu Aufgabe
)
(
)
b1 b2
0 0
Ist B =
eine Matrix mit A · B =
, so muss
b3 b4
0 0
(
) (
)
b1 + 2b3
b2 + 2b4
0 0
=
2b1 + 4b3 2b2 + 4b4
0 0
gelten. Diese vier Bedingungen sind aber eigentlich nur zwei, nämlich b1 + 2b3 = 0 und
b2 + 2b4 = 0, also nichts anderes als b1 = −2b3 und b2 = −2b4 . Damit können wir von b1 und
b3 sowie von b2 und b4 jeweils eines beliebig wählen. Eine Möglichkeit wäre b1 = −2, b2 =
−2, b3 = 1, b4 = 1 und tatsächlich: Es gilt
(
) (
) (
)
1 2
−2 −2
0 0
·
=
2 4
1
1
0 0
Es gelten det(A) = det(B) = 0 und natürlich hat auch die Nullmatrix Determinante 0. Dies
passt gut zu det(A · B) = det(A) · det(B).
A.8. LÖSUNGEN: WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG
A.8
113
Lösungen: Wahrscheinlichkeitsrechnung
Lösungen zu Aufgabe 10.1
A = {1, 3, 5}, B = {4, 5, 6}.
(a) A ∪ B = {1, 3, 4, 5, 6}, A ∩ B = {5}, Ā = {2, 4, 6}, B̄ = {1, 2, 3}, A\B = {1, 3} und
B\A = {4, 6}. A und B sind nicht disjunkt da A ∩ B ̸= ∅.
(b) p(A ∪ B) = 56 , p(A ∩ B) = 61 , p(Ā) = 12 , p(B̄) = 12 , p(A\B) =
(c) A und B sind nicht unabhängig, da p(A) · p(B) =
1
4
̸=
1
6
1
3
p(B\A) =
1
3
= p(A ∩ B).
Lösungen zu Aufgabe 10.2
(a) p( keine 4“) =
”
5
6
·
5
6
·
5
6
=
⇒ p( mind. eine 4“) = 1 −
”
125
216
p( genau eine 6“) =
(b) p( keine 6“) = 125
216 ,
”
”
75
25
⇒ p( höchstens eine 6“) = 125
216 + 216 = 27
”
(c) p( genau zweimal 3“) =
”
1
6
·
1
6
·
5
6
·3=
1
6
·
5
6
·
5
6
·3=
125
216
=
91
216
75
216
15
216
(d) p( genau einmal 4 und einmal 5“) = 16 · 16 · 46 · 6 = 19
”
1
p( zweimal 4 und einmal 5“) = 16 · 16 · 16 · 3 = 72
”
1 1 1
1
p( zweimal 5 und einmal 4“) = 6 · 6 · 6 · 3 = 72
”
1
1
1
5
⇒ p( mind. eine 4 und eine 5“) = 9 + 72 + 72 = 36
”
Lösungen zu Aufgabe 10.3
(a) p(B) =
4
15 .
5
5
(b) p( erste Socke schwarz, zweite anders“) = 15
· 10
14 = 21
”
4
p( erste Socke rot, zweite anders“) = p(A ∩ B) = 15 · 11
14 =
”
6
9
· 14
= 18
p( erste Socke blau, zweite anders“) = 15
70
”
22
74
5
+ 105
+ 18
⇒ p(A) = 21
70 = 105
(c) p(A|B) =
p(A∩B)
p(B)
(d) p(A) · p(B) =
5
6
·
=
4
15
22
105
4
15
=
11
14
2
9
̸=
22
105
=
Lösungen zu Aufgabe 10.4
= p(A ∩ B)
22
105
⇒ A und B sind nicht unabhängig.
114
ANHANG A. LÖSUNGEN ZU DEN ÜBUNGSAUFGABEN
1. Die folgende Zufallsvariable X modelliert die Ausschüttung.
{
}
2.Preis,
X : Hauptgewinn,
−→ R
3.Preis, Niete
|
{z
}
Ω
Hauptgewinn
2.Preis
3.Preis
7→
7
→
7
→
100
5
2
Niete
7→
0
2. Für den Erwartungswert erhalten wir:
∑
E(X) =
p(ω)X(ω)
ω∈Ω
= p(Hauptgewinn) · 100 + p(2.Preis) · 5 + p(3.Preis) · 2 + p(Niete) · 0
1
60
75
864
=
· 100 +
·5+
·2+
·0
1000
1000
1000
1000
550
= 0.55
=
1000
Man verliert also durchschnittlich 45 Cent pro Spiel. Das Spiel ist also nicht fair.
3. Die folgende Zufallsvariable Y modelliert den Gewinn des Anbieters.
{
}
2.Preis,
Y : Hauptgewinn,
−→ R
3.Preis, Niete
|
{z
}
Ω
Hauptgewinn
2.Preis
7→
7
→
1 − 100 = −99
1 − 5 = −4
3.Preis
Niete
7→
7
→
1 − 2 = −1
1−0=1
Also Y (ω) = −X(ω) + 1.
4. E(Y ) = −E(X) + 1 = 0.45
5. Die Varianz von X berechnet sich als:
∑
2
V ar(X) =
p(ω) (X(ω) − E(X))
ω∈Ω
60
1
· (100 − 0.55)2 +
· (5 − 0.55)2
1000
1000
75
864
+
· (2 − 0.55)2 +
· (0 − 0.55)2
1000
1000
= 11.4975
=
Lösungen zu Aufgabe 10.6
A.8. LÖSUNGEN: WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG
115
(a) Wir berechnen zunächst alle Fälle, in denen die Studentin besteht, separat aus. Die
Wahrscheinlichkeit, dass die Studentin besteht ist dann die Summe dieser einzelnen Wahrscheinlichkeiten.
( )6 ( )3 ( )
1
2
9
672
p(# Richtige = 6) =
·
·
= 9
3
3
3
6
( )7 ( )2 ( )
2
9
144
1
·
·
p(# Richtige = 7) =
= 9
3
3
3
7
( )8 ( )1 ( )
2
9
18
1
·
·
= 9
p(# Richtige = 8) =
8
3
3
3
( )9
1
1
p(# Richtige = 9) =
= 9
3
3
⇒ p(# Richtige ≥ 6) =
672
39
+
144
39
+
18
39
+
1
39
=
835
39
≈ 4.24%
(b) Man braucht nur die Erfolgswahrscheinlichkeit von 1/3 auf 1/2 erhöhen.
( )6 ( )3 ( )
1
1
9
·
·
=
2
2
6
( )7 ( )2 ( )
1
1
9
p(# Richtige = 7) =
·
·
=
2
2
7
( )8 ( )1 ( )
1
9
1
·
·
=
p(# Richtige = 8) =
2
2
8
( )9
1
1
p(# Richtige = 9) =
= 9
2
2
p(# Richtige = 6) =
⇒ p(# Richtige ≥ 6) =
84+36+9+1
29
=
130
512
84
29
36
29
9
29
≈ 25%
(c) Hier muss die 9 zu einer 6 verändert werden.
( )3 ( )3 ( )
1
2
6
·
·
=
3
3
3
( )4 ( )2 ( )
1
2
6
p(# Richtige = 7) =
·
·
=
3
3
2
( )8 ( )1 ( )
2
6
1
·
·
=
p(# Richtige = 8) =
3
3
1
( )6
1
1
p(# Richtige = 9) =
= 6
3
3
p(# Richtige = 6) =
⇒ p(# Richtige ≥ 6) =
160+24+12+1
36
=
197
729
160
36
24
36
12
36
≈ 27%
(d) Die erwartete Anzahl (im ersten Modell) an richtig geratenen Antworten und deren Va-
116
ANHANG A. LÖSUNGEN ZU DEN ÜBUNGSAUFGABEN
rianz ist dann:
E(X)
=
V ar(X)
=
9 ( )i ( )9−i ( )
∑
1
2
9
· i = ... = 3
·
·
3
3
i
i=0
9 ( )i ( )9−i ( )
∑
1
2
9
· (i − 3)2 = . . . = 2 .
·
·
3
3
i
i=0
Die Anzahl richtiger Antworten ist binomialverteilt zu den Parametern n = 9, p = 1/3.
Lösungen zu Aufgabe 10.5
Zur Aussage des Studenten: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Student im Kurs
364
. Dass dies unabhängig voneinander
nicht am gleichen Tag wie er selbst Geburtstag hat, ist 365
( )24
für sämtliche der 24 Studenten gilt, tritt mit Wahrscheinlichkeit 364
ein und die gesuchte
365
Wahrscheinlichkeit ist damit
(
)24
364
1−
≈ 0.06
365
Zur Aussage des Profs: Wir bestimmen die Wahrscheinlichkeit, dass alle Studenten an verschiedenen Tagen Geburtstag haben. Der erste kann sich unter den 365 Tagen einen beliebig
aussuchen, der zweite muss dann einen der übrigen 364 nehmen, der dritte kann nur noch
einen der restlichen 363 wählen. So geht es weiter und der 25. Student hat nur noch 341 freie
Tage übrig. Die Wahrscheinlichkeit, dass es bei den Geburtstagen aller keine Überschneidungen gibt, ist demnach
365 364 363
341
365!
·
·
··· ·
=
≈ 0.43
365 365 365
365
36525 340!
Damit ist die Wskeit, dass sich mindestens zwei Studenten ihren Geburtstag teilen etwa 0.57,
mehr als 0.5.
Näheres zu diesem Problem ﬁndet sich im Internet unter “Geburtstagsparadoxon”.
Literaturverzeichnis
[CR00]
Richard Courant and Herbert Robbins, Was ist mathematik?, Springer, Berlin,
Heidelberg, New York, 2000.
[Kem98] Arnfried Kemnitz, Mathematik zum studienbeginn, vieweg, 1998.
[Sch01]
W. Scharlau, Schulwissen mathematik: Ein Überblick, Vieweg Braunschweig, 2001.
[SGT00] W. Schäfer, K. Georgi, and G. Trippler, Übungs- und arbeitsbuch für studienanfänger., Teubner, Wiesbaden, 2000.
[SS01]
W. Schirotzek and S. Scholz, Starthilfe mathematik, Teubner, Wiesbaden, 2001.
117

Zugehörige Unterlagen

2 - (sin(α)) · 0 1 - Mathematisches Institut der Universität Bonn

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