Tut Ha 5

Kinematik und Dynamik (Mechanik II) - Prof. Popov SoSe 2015, KW 21
Impulserhaltung, Arbeitssatz und Energieerhaltung
Seite 1
Version vom 15. Mai 2015
5. Tutorium
Tutorium
58. Zwei Autos stoßen unter einem Winkel α zusammen und rutschen ineinander verkeilt (ohne Rotation) nach dem Zusammenstoß mit blockierten Rädern eine Strecke XR , bis sie zum Stillstand kommen.
XR
m1
β
α
Geg.:
• Massen und Geschwindigkeitsbeträge der Autos vor
dem Zusammenstoß: m1 , v1 , m2 und v2
m2
• Reibbeiwert beim Rutschen µ
• Winkel vor dem Stoß α
(a) In welche Richtung rutschen die Autos nach dem Zusammenstoß?
(b) Wie lang ist die Rutschstrecke XR ?
(c) Ein Golf m1 = 1000kg und ein Mercedes m2 = 2000kg stoßen unter α = 45◦ zusammen.
Der Golf hat seine Bewegungsrichtung beim Zusammenprall um β = 30◦ geändert. Aus
der Rutschstrecke konnte die Geschwindigkeit der ineinander verkeilten Autos unmittelbar nach dem Zusammenstoß bestimmt werden, sie betrug 20 ms . Wie schnell waren die
Autos vor dem Zusammenstoß?
105. Ein Bungee-Jumper, welcher als Punktmasse m
vereinfacht werden kann, springt verbunden mit
einem elastischen Seil der Länge l und der Steifigkeit c von einer Plattform, welche sich in der
Höhe h0 über der Wasseroberfläche befindet.
Der Luftwiderstand wird vernachlässigt und das
Seil wird als masselos angenommen.
(a) Wie groß ist die Geschwindigkeit des Springers am Ende des freien Falls?
Hinweis: Das Seil ist bis zu dieser Höhe
entspannt.
(b) Um welchen Weg zs dehnt sich das Seil,
wenn der Springer die geringste Höhe h2 erreicht hat?
Geben Sie die Falltiefe a = l + zs an.
Geben Sie die Falltiefe â bei der Verwendung von drei aneinandergeknoteten Seilen
an, wobei jedes einzelne Seil die Länge l und
Steifigkeit c hat. Für diesen Aufgabenteil sei
h0 groß genug, so dass kein Eintauchen des
Springers in das Wasser erfolgt.
Geg.: m, g, l, c
m
g
l
zs
h0
Wasser
h2
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Impulserhaltung, Arbeitssatz und Energieerhaltung
Seite 2
Version vom 15. Mai 2015
Hausaufgaben
60. Aus einem anfänglich ruhenden Boot werden zwei schwere Steine horizontal nach hinten geworfen. Das Boot hat die Gesamtmasse m0 (einschließlich der Steine), die Steine haben die
Massen m1 und m2 . Die Reibung des Bootes soll vernachlässigt werden. Die Abwurfgeschwindigkeit (relativ zum Boot) sei w.
Wie groß ist die Geschwindigkeit des Bootes nach dem Abwerfen, wenn
(a) die beiden Steine gleichzeitig, bzw.
(b) zuerst die Masse m1 und dann die Masse m2
geworfen werden?
Geg.: m0 , m1 , m2 , w
66. Eine Kugel fliegt mit einer Geschwindigkeit v0 . Zum Zeit- v3
punkt t = t0 zerplatzt sie in drei Teile. Alle Geschwindigkeitsvektoren liegen in einer Ebene. Deren Draufsicht m3
ist anbei skizziert.
√
√
Geg.: m0 , α = π6 , β = π2 , v0 , v1 = 2 3v0 , v2 = 34 3v0 ,
β
√
v3 = 83 3v0
α
(a) Bestimmen Sie die Massen der drei Teile.
y
m0
x
α
v0
v2
m2
m1
(b) Wieviel mechanische Energie hat das gesamte Syv
stem beim Zerplatzen insgesamt aufgenommen, 1
wenn m0 = 6 g (sechs Gramm) und v0 = 10 ms ?
97. Ein Klotz der Masse m gleitet auf der dargestellten Bahn von 0 über A und B nach
v0
m
C und zurück bis nach D. Im Punkt 0 habe er die Geschwindigkeit v0 . Der Gleitrei0
bungskoeffizient zwischen A und B sei µ,
h0
überall sonst gleich Null. Der Luftwiderh1 D
stand soll vernachlässigt werden. Bei C ist
α
eine Feder (Federsteifigkeit k) befestigt. l N.N.
ist der Abstand bis zum Anschlag bei entspannter Feder.
Verwenden Sie den Arbeits- und/oder Energiesatz.
g
k
l
b
β
A
µ
C
B
(a) Bestimmen Sie die Geschwindigkeiten des Klotzes, wenn er die Punkte A und B das
erste Mal passiert.
(b) Bestimmen Sie die maximale Auslenkung der Feder ∆s.
(c) Bis zu welcher Höhe h1 gleitet der Klotz zurück?
Geg.: α, β, m, v0 , h0 , l, b, k, µ, g
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Impulserhaltung, Arbeitssatz und Energieerhaltung
Tutorium
Lösungshinweise Seite 1
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Die Geschwindigkeit des Golf betrug also 79 km/h, die des
Mercedes 76 km/h.
Aufgabe 58
Aufgabe 105
Beide Fahrzeuge rutschen nach dem Stoß mit der selben
Geschwindigkeit v0 . Außerdem werden beide Autos als a) ges.: Geschwindigkeit v1 des Springers am Ende des
Massenpunkte aufgefasst.
freien Falls
(a) Nun lässt sich der Impulssatz in x- und y-Richtung
aufstellen. Im Moment des Aufpralls wirken in guter
Näherung keine äußeren Kräfte; daher ist der Impuls vor
dem Stoß gleich dem nach dem Stoß.
Impuls in x-Richtung:
m1 v1 + m2 v2 cos α = m1 + m2 v0 cos β
Impuls in y-Richtung:
m2 v2 sin α = m1 + m2 v0 sin β
(1)
Lösung mit dem Energiesatz:
T0 + U 0 = T1 + U 1
Aufstellen der kin. und pot. Energien im Zustand ”0” und
Zustand ”1”
T0 = 0
1
T1 = mv12
2
(2)
Indem die beiden Formeln dividiert werden erhält man für
den gesuchten Winkel β:
(3)
Durch Trennung der Variablen erhält man
v0
vdv =
ZXR
−µgds
0
und schließlich
XR =
v1 =
Zuerst wird v2 mit der Gleichung in y-Richtung (2) ermittelt:
m1 + m2 sin β
·
v0
m2
sin α
√ m
km
= 15 2
≈ 76
s
h
v2 =
Mit der Gleichung in x-Richtung (1) kann man nun v1
berechnen:
√
√
3
2
m2
m1 + m2
·
v0 −
·
v2
v1 =
m1
2
m1 2
√
m
km
≈ 79
= 30 3 − 1
s
h
p
2gl
(5)
b) ges.: Weg xs um den sich das Seil dehnt und schließlich
die Falltiefe a
Lösung wieder mit dem Energiesatz:
T0 + U 0 = T2 + U 2
(6)
Aufstellen der kin. und pot. Energien im Zustand ”0” und
Zustand ”2”
v02
2µg
(c) Zur Ermittlung der Geschwindigkeit der beiden Autos vor dem Zusammenstoß wird die Impulserhaltung aus
Aufgabenteil (a) herangezogen.
1
mv 2 + mg(h0 − l)
2 1
1 2
v = gl
2 1
Für die Beschleunigung gilt also
Z0
U1 = mg(h0 − l)
0 + mgh0 =
(b) Zur Bestimmung der Rutschstrecke wird das zweite
Newtonsche Gesetz in Rutschrichtung gebildet:
−µ m1 + m2 g = m1 + m2 a .
.
U0 = mgh0
Somit ergibt sich der Energiesatz zu:
m2 v2 sin α
tan β =
m1 v1 + m2 v2 cos α
a = −µg
(4)
T0 = 0
U0 = mgh0
T2 = 0
U2 = USchwere + USeil
mit:
USchwere = mg(h0 − l − zSeil )
1 2
USeil = czSeil
2
(7)
(8)
Somit ergibt sich der Energiesatz zu:
1 2
0 + mgh0 = 0 + mg(h0 − l − zSeil ) + czSeil
2
1 2
mg(l + zSeil ) = czSeil
2
Es ergibt sich eine quadratische Gleichung für zSeil :
2
zSeil
−2
mg
mg
· zSeil − 2
l=0
c
c
(9)
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Impulserhaltung, Arbeitssatz und Energieerhaltung
zSeil1/2
zSeil1/2
r
mg 2
mg
+2
l
c
c
s
mg 2 c
mg
· 1+2
±
l
=
c
c
mg


mg
=
±
c




v


u

mg 
c
u

1 ± u1 + 2
=
l

c 
mg 
t
| {z }



>0 
{z
}
|
(10)
(11)
(12)
Aufgabe 60
(a) Nach dem Abwurf von m1 + m2 mit der Relativgeschwindigkeit zum Boot w nach hinten, hat das Boot
die Absolutgeschwindigkeit va (nach rechts), und die abgeworfene Masse hat die Absolutgeschwindigkeit w − va
(nach links). Der Anfangsimpuls ist Null. Der Gesamtimpuls nach dem Abwerfen muss auch Null sein:
0 = (m0 − m1 − m2 )va − (m1 + m2 )(w − va )
Auflösen nach va liefert
>1
In Gleichung (12) ist vor dem Wurzelterm nur das positive
Vorzeichen physikalisch sinnvoll. Daher ergibt sich:
r
mg
c
zSeil =
(13)
1+ 1+2
l
c
mg
womit sich die gesuchte Falltiefe
r
c
mg
1+ 1+2
a=l+
l
c
mg
(14)
c) ges.: Falltiefe â für drei aneinandergeknotete Seile
Für die drei aneinandergeknoteten Seile gilt:
â = l3 + zSeil3
(15)
l3 = 3 · l
(16)
für l3 gilt:
für zSeil3 gilt:
r
c3
mg
=
1+ 1+2
l3
c3
mg
(17)
wobei für die Steifigkeit c3 der drei aneinandergeknoteten
Seile gilt:
1
1 1 1
3
(18)
= + + =
c3
c
c
c
c
somit ergibt sich für zSeil3 :
r
2 c
mg
zSeil3 = 3
1+ 1+
· · 3l
c
mg 3
{z
}
|
va =
m1 + m 2
w
m0
(b) Analog erhält man für die Geschwindigkeit des Bootes
nach Abwurf der ersten Masse
m1
w
v b1 =
m0
Danach (mit dem Anfangsimpuls (m0 − m1 )vb1 ) wird die
zweite Masse m2 abgeworfen. Die Impulserhaltung liefert:
(m0 − m1 )vb1 = (m0 − m1 − m2 )vb − m2 (w − vb )
m
m2 1
w
+
⇒ vb =
m0
m0 − m1
ergibt.
zSeil3
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Hausaufgaben
Lösen mit pq-Formel:
zSeil1/2
Lösungshinweise Seite 2
Um mit dem ersten Aufgabenteil zu vergleichen, wird dies
umgeformt zu
m + m
m2
m2 1
2
vb =
−
+
w
m0
m0
m0 − m1
m + m
m 1 m2
1
2
w
+
=
m0
m0 (m0 − m1 )
m1 m2
= va +
w
m0 (m0 − m1 )
Für m0 > m1 ist die Geschwindigkeit des Bootes demnach
bei (b) größer als bei (a).
Aufgabe 66
(a) Der Impuls bleibt erhalten:
Pvorher = Pnachher
Impuls in x-Richtung:
(19)
m0 v0 = m1 v1 cos α − m2 v2 cos α + m3 v3 cos β
(22)
Impuls in y-Richtung:
=zSeil /vgl. Gleichung (13)
0 = −m1 v1 sin α − m2 v2 sin α + m3 v3 sin β
so dass sich
zSeil3 = 3 · zSeil
(20)
â = 3 · l + 3 · zSeil = 3 · a
(21)
ergibt.
Damit folgt:
π
β=
2
Einsetzen von:
⇒
cos β = 0 und
√
3
cos α =
, sin α =
2
√
v1 = 2 3v0 , v2 =
1
,
2
4√
3v0 ,
3
(23)
sin β = 1
v3 =
8√
3
3
in (22)
√
m0 v0 = m1 2 3v0 ·
m0 = 3m1 − 2m2
√
√
3
3
4√
3v0 ·
− m2
2
3
2
: v0
(24)
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Impulserhaltung, Arbeitssatz und Energieerhaltung
Lösungshinweise Seite 3
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in (23)
√
1
1
4√
8√
0 = −m1 2 3v0 − m2
3v0 + m3
3v0
2
3
2
3
2
8
0 = −m1 − m2 + m3
3
3
√
: 3v0
Aufgabe 97
(a) Energieerhaltungssatz von 0 nach A:
(25)
T0 + U 0 = TA + U A
1
1
2
mv 2 + mgh0 = mvA
+0
2 0
2
2
vA
= v02 + 2gh0
q
vA = v02 + 2gh0
Massenerhaltung:
m 0 = m1 + m 2 + m 3
8
· (26) − (25) :
3
(26)
8
8
8 2
m0 =
+ 1 m1 +
+ m2 + 0 · 3 Arbeitssatz von 0 nach B:
3
3
3 3
(TB + UB ) − (T0 + U0 ) = W0A +WAB
8m0 = 11m1 + 10m2
(27)
|{z}
=0
5 · (24) + (27) :
5m0 + 8m0 = (15 + 11)m1 + 0
13m0 = 26m1
1
m1 = m0
(28)
2
(28) → (24) :
(28), (29) → (26) :
m0 = 3m1 − 2m2
1
m0 = 3 · m0 − 2m2
2
3
1
m2 = m0 − m0
4
2
1
(29)
m2 = m0
4
m0 = m 1 + m 2 + m 3
1
1
m0 = m0 + m0 + m3
2
4
1 1
m3 = 1 − − m0
2 4
1
(30)
m3 = m0
4
mg
y
x
FR
FN
WAB =
Z
B
A
F R · ds = −µmgb
1
1
2
+ 0) − ( mv02 + mgh0 ) = −µmgb
( mvB
2
2
2
vB
= v02 + 2gh0 − 2µgb
q
vB = v02 + 2gh0 − 2µgb
(b) Arbeitssatz von 0 nach C:
(TC + UC ) − (T0 + U0 ) = W0C = W0A +WAB + WBC
|{z}
| {z }
=0
(b) Energie vor dem Stoß:
E0 =
1
1
mv02 = 6 · 10−3 · 102 N m = 0, 3 J
2
2
= WAB
(31)
Energie nach dem Stoß:
3
1X
mi vi2
2 i=1
√ 2
1 1
1 1
4 √ 2 2
= · m0 2 3 v02 + · m0
3 v0
2 2
2 4
3
8 √ 2 2
1 1
3 v0
+ · m0
2 4
3
= −µmgb
1
1
(0 + c△s2 + mghC ) − ( mv02 + mgh0 )
2
2
= −µmgb
aus (31) m0 v02 = 2E0
E1 =
2 8
19
+ m0 v02 =
m0 v02
3 3
3
38
E0 = 3, 8J
3
Bestimmung von hC :
hC /(l + △s) = sin β
hC hC = (l + △s) sin β
△s
E1 =
E1 = 3 +
=0
l
β
(32)
(33)
(34)
Energiedifferenz:
1
c△s2 + mg sin β△s + mgl sin β
2
1
− mv02 − mgh0 + µmgb = 0
2
m
△s2 + 2 g sin β △s+
| c {z }
:=2A
m
{2g(l sin β − h0 + µb) − v02 } = 0
c
{z
}
|
:=B
35
∆E = E1 − E0 =
E0 = 3, 5J
3
hat das System aufgenommen
(35)
△s1/2 = −A ±
p
A2 − B = A(−1 ±
p
1 − B/A2 )
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Impulserhaltung, Arbeitssatz und Energieerhaltung
A ist positiv. △s muss positiv sein, d.h.
p
△s = A( 1 − B/A2 − 1)
m
= g sin β.
sc
v02
c
2l
2µb − 2h0
−
)
−
1
1− (
+
m g sin β
g sin2 β
g 2 sin2 β
(c) Arbeitssatz von 0 über C nach D:
(TD + UD ) − (T0 + U0 ) = W0C + WCD
= WAB + WBA
= 2WAB = −2µmgb
1
(0 + mghD ) − ( mv02 + mgh0 ) = −2µmgb
2
mit hD = h1
h1 = hD = h0 − 2µb +
v02
2g
Lösungshinweise Seite 4
Version vom 15. Mai 2015