Direkte Summe, Invarianz, Blockdiagonalgestalt

Direkte Summe, Invarianz,
Blockdiagonalgestalt
19. Mai 2014
Der Schnitt beliebig vieler Unterräume Ui ist selbst ein Unterraum, und zwar
der größte, der alle Vektoren aller Ui enthält. Hingegen ist die bloße mengentheoretische Vereinigung von Unterräumen i.A. selbst kein Unterraum. Man überzeuge sich davon, indem man einfach zwei Unterräume suche, deren Vereinigung kein
Unterraum ist. Stattdessen bildet man die Summe. Seien also U, W Unterräume eines
Vektorraums V , dann definiert man U + W := {u + w; u ∈ U, w ∈ W }. U + W ist ein
Unterraum! Dies gilt auch für die Summe von mehr als zwei Unterräumen.
Satz 1 Seien U1 , ..., Ur 6= {0} Unterräume des endlich-dimensionalen Vektorraums V ,
so dass V = U1 + ... + Ur . Dann sind äquivalent:
(1) dim(V ) = dim(U1 ) + ...dim(Ur ).
(2) Jedes v ∈ V lässt sich eindeutig folgendermaßen darstellen: v = u1 + ... + ur .
(3) u1 + ... + ur = 0 impliziert u1 = ... = ur = 0.
(4) Wählt man beliebige Basen von U1 , ..., Ur , so ergeben diese zusammengenommen eine
Basis von V .
(5) Falls es sich um genau zwei Unteräume handelt, dann sind (1)-(4) auch noch zu
U1 ∩ U2 = 0 äquivalent.
Beweis siehe Lehrbuch Lineare Algebra von Völklein/Staszewski/Strambach
Bemerkung Falls eines von (1) bis (4) (respektive (5)) unter der gegebenen Voraussetzung gilt, dann sprechen wir von einer direkten Summe. V ist dann direkte Summe
der (gegebenen) Unterräume. Zu jedem Unterraum U eines Vektorraums V gibt es einen
Unterraum W so, dass V direkte Summe von U und W ist, U und W nennt man dann
zueinander komplementäre Unterräume, U ist Komplement zu W und umgekehrt. Es
muss allerdings nicht nur ein Komplement geben! I.A. gibt es sehr viele!
Invarianz Sei φ : V → V ein Endomorphismus; wir nennen einen Unterraum U von V
invariant unter φ bzw. φ-invariant, wenn gilt: u ∈ U => φ(u) ∈ U .
1
Beispiel Seien U, W Unterräume von V mit U ⊕ W = V (⊕ schreibt man, um die Direktheit der Summe zu betonen). Ferner haben wir einen Endomorphismus φ : V → V . U
und W seien φ-invariant, also φ(U ) ⊆ U und φ(W ) ⊆ W . Eine Basis von U sei {u1 , u2 },
eine Basis von W sei {w1 , w2 , w3 }. φU und φW seien die Einschränkungen auf U bzw.
W . Dann gilt:
φU (u1 ) = a11 u1 + a21 u2
φU (u2 ) = a12 u1 + a22 u2
φW (w1 ) = b11 w1 + b21 w2 + b31 w3
φW (w2 ) = b12 w1 + b22 w2 + b32 w3
φW (w3 ) = b13 w1 + b23 w2 + b33 w3
Daher sind
"
a
a
A = 11 12
a21 a22
und

#

b11 b12 b13


B = b21 b22 b23 
b31 b32 b33
Matrixdarstellungen von φU bzw. φW . Da φ(ui ) = φU (ui ) und φ(wi ) = φW (wi ) sind, ist
die Matrixdarstellung von φ in der Basis {u1 , u2 , w1 , w2 , w3 } die Blockdiagonalmatrix
"
#
A 0
.
0 B
Satz 2 Sei φ : V → V ein Endomorphismus, wobei V direkte Summe von φ-invarianten
Unterräumen U1 , ..., Ur ist. Wenn Ai Matrixdarstellung der Einschränkung von φ auf Ui
ist, dann kann φ durch so eine Blockdiagonalmatrix dargestellt werden:

A1 0
0 A

2

 ... ...
0
0

... 0
... 0 

 = A1 ⊕ ... ⊕ Ar
... ... 
... Ar
2