Weihnachtsblatt_Loesung

Weihnachtszettel zur Vorlesung
Stochastik I
Wintersemester 2011/2012
Aufgabe 1. Der Weihnachtsmann hat vergessen die Weihnachtsgeschenke mit Namen
zu beschriften und muss sie daher zufällig verteilen. Dabei enthält der Sack 4 Geschenke
für 4 Kinder, denen jeweils genau ein Geschenk zusteht.
(a) Formulieren Sie einen geeignenten Wahrscheinlichkeitsraum.
(b) Sei X die Anzahl der Kinder, die das richtige Geschenk bekommen. Bestimmen und
zeichnen Sie die Verteilungsfunktion von X. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass
keines der Kinder das richtige Geschenk erhält?
(c) Wie groß ist für ein Kind die Wahrscheinlichkeit das richtige Geschenk zu bekommen, wenn es weiß, dass bereits k (k = 1, 2, 3) der anderen Kinder das jeweils
richtige Geschenk bekommen haben?
Lösung.
(a) Setze als Grundmenge Ω = S4 die Menge aller Permutation der vierelementigen
Menge {1, 2, 3, 4}. Zum Beispiel steht (2, 1, 3, 4) ∈ Ω für den Fall, dass das erste
Kind das Geschenk des zweiten, das zweite Kind das Geschenk des ersten und die
anderen beiden Kinder ihre eigenen Geschenke bekommen. Auf Ω betrachten wir die
Gleichverteilung, Ω hat 24 Elemente.
(b) Zunächst bestimmt man durch zählen die Werte
P(X = 0) =
P(X = 1) =
P(X = 2) =
P(X = 3) =
P(X = 4) =
Für die Verteilungsfunktion FX ergibt sich


0



9

 24

FX (x) = 17
24


23



24


1
Gezeichnet sieht das so aus:
1
9
24
8
24
6
24
0
24
1
.
24
x<0
0≤x<1
1≤x<2
2≤x<4
4 ≤ x.
FX (x)
FX (x)
23
24
17
24
9
24
1
2
4
x
Die Wahrscheinlichkeit, dass kein Kind das richtige Geschenk bekommt ist gerade
9
P(X = 0) = 24
groß.
(c) Für ein Tupel (k1 , k2 , k3 , k4 ) ∈ Ω fixieren wir zukünftig den vierten Eintrag k4 .
Dass wir das richtige Geschenk haben möchten heißt also, dass k4 = 4 gelten soll.
Zunächst widmen wir uns dem Fall, dass k = 3 Kinder vor uns bereits richtige
Geschenke bekommen haben, dann bleibt nur noch ein Geschenk übrig und auch
das muss an
heißt das P k4 = 4 ∧ k1 = 1 ∧ k2 =
das richtige Kind gehen. Formal
2 ∧ k3 = 3 = P k1 = 1 ∧ k2 = 2 ∧ k3 = 3 und damit
P k4 = 4 ∧ k1 = 1 ∧ k2 = 2 ∧ k3 = 3
P k4 = 4 | k1 = 1 ∧ k2 = 2 ∧ k3 = 3 =
= 1.
P k1 = 1 ∧ k2 = 2 ∧ k3 = 3
Für den Fall k = 2 nehmen wir o. B. d. A. k1 = 1 und k2 = 2 an. Dann gilt P(k1 =
2
1
1 ∧ k2 = 2) = 24
und P(k4 = 4 ∧ k1 = 1 ∧ k2 = 2) = 24
. Somit folgt
P(k4 = 4 | k1 = 1 ∧ k2 = 2) =
1
24
2
24
1
= .
2
Für den Fall k = 1 sei wieder o. B. d. A. k1 = 1. Dann ist P(k1 = 1) =
2
P(k4 = 4 ∧ k1 = 1) = 24
. Somit ist
P(k4 = 4 | k1 = 1) =
2
24
6
24
6
24
und
1
= .
3
Aufgabe 2. Ein Weihnachtsengel lässt versehentlich seinen 10cm langen Stab fallen.
Dieser zerbricht zufällig gleichverteilt in zwei Teile.
(a) Sei X die Länge der kürzeren Strecke. Berechnen Sie die Verteilungsfunktion, die
Dichtefunktion, den Erwartungswert und die Varianz von X.
(b) Sei Y der Quotient kürzere durch längere Strecke. Was ist E(Y )?
Lösung.
2
(a) Die Länge der kürzeren Strecke ist gleichverteilt auf dem Intervall [0, 5]. Es ergibt
sich also
(
1
x ∈ [0, 5]
fX (x) = 5
,
0 sonst


0 x ≤ 0
FX (x) = x5 0 ≤ x ≤ 5 ,


1 5≤x
5
E(X) = (0 + 5)/2 = ,
2
Var(X) = (5 − 0)2 /12 = 25/12.
(b) Es ist Y = X/(10 − X) =: g(X). Also ergibt sich
1
E(Y ) = E(g(X)) =
5
Z
0
5
1
g(x) dx =
5
Z
0
5
5
x
x
dx = − − 2 ln(10 − x) ∼ 0.38
10 − x
5
0
Aufgabe 3. Beim Kauf einer Lichterkette mit 100 Lichtern hat man die Wahl zwischen
zwei Herstellern. Bei Hersteller H1 sind die Lampen unabhängig voneinander mit einer
Wahrscheinlichkeit von 1H2 beträgt diese Wahrscheinlichkeit nur 0.1%, dafür ist die
Kette teurer.
(a) Muss man sich die teure Kette leisten, wenn man mit einer Wahrscheinlichkeit von
90möchte, dass alle Lampen funktionieren?
(b) Man lässt eine faire Münze entscheiden, welchen Hersteller man wählt. Zuhause
stellt man fest, dass keine der Lampen kaputt ist; von welchem Hersteller die Kette
stammt, hat man allerdings schon wieder vergessen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
ist die Lichterkette von Hersteller H1 ?
Lösung.
1
(a) Wir modellieren das Problem mit der Binomialvertielung X1 ∼ B(·, 100, 100
) und
1
1
X2 ∼ B(·, 100, 1000 ). Dabei sei P(X1 = k) = B(k, 100, 100 ) die Wahrscheinlichkeit,
dass beim billigem Hersteller k ∈ Ω100 := 0, 1, . . . , 100 Lampen der Kette kaputt
sind. Dann ist P(X1 = 0) = (99/100)1 00 ∼ 0.366 und P(X2 = 0) = (999/1000)1 00 ∼
0.905. Wir müssen also die teure Lichterkette kaufen.
(b) Sei nun der Wahrscheinlichkeitsraum Ω = {1, 2}×Ω100 mit P({(1, k)}) = 21 P(X1 = k)
und P({(2, k)}) = 12 P(X2 = k) gegeben. Dann ist das Ereignis die Kette ist vom
”
billigen Hersteller“ H1 = {(1, k) | k ∈ Ω100 } und das Ereignis alle Lampen sind in
”
Ordnung“ E = {(1, 0), (2, 0)}. Es ist nun die Wahrscheinlichkeit P(H1 | E) gesucht.
3
Diese ergibt sich durch
P(H1 ∩ E)
P(E)
P({(1, 0)})
=
P({(1, 0), (2, 0)})
P(X1 = 0)
=
P(X1 = 0) + P(X2 = 0)
99 100
P(H1 | E) =
=
100
99 100
+
100
999 100
1000
∼ 0.288
Es ist also zu 28.8% wahrscheinlich, dass die Lichterkette vom billigem Anbieter
stammt.
Aufgabe 4. Ein fairer Würfel wird so oft geworfen bis zum ersten mal eine 6 erscheint.
Dabei sei X die Anzahl der Würfe.
(a) Was ist die im Mittel zu erwartende Anzahl der Würfe? Wie groß ist die Streuung
um den Mittelwert?
(b) Beweisen und interpretieren Sie die Gleichung
P(X > k + m | X > k) = P(X > m)
k, m ∈ N0
(c) Das Würfelexperiment wird wiederholt. Sei Y die Anzahl der Würfe beim zweiten
Durchlauf. Was ist E(X + Y ) und Var(X + Y )?
Lösung.
n−1
(a) X ist geometrisch verteilt. Das heißt es gilt P(X = n) = 16 65
. Wir wissen
bereits, dass dann E(X) = 11 = 6 und Var(X) = 11 2 − 11 = 30 gilt. Folglich ist die
(6)
6
p
√6
Streuung σ = Var(X) = 30.
(b) Die Gleichung lässt sich als diskrete Gedächtnislosigkeit interpretieren. Wir zeigen
k
zuerst P(X > k) = 56 für alle k ∈ N0 : (wobei k = 0 schon richtig ist)
P(X > k) = 1 − P(X ≤ k)
k 1 X 5 i−1
=1−
6
6
i=1
k
1 1 − 65
=1−
6 1 − 65
k k
5
5
=1−1+
=
.
6
6
4
Es gilt also
P(X > k + m ∧ X > k)
P(X > k)
P(X > k + m)
=
P(X > k)
5 k+m
P(X > k + m | X > k) =
=
6
5 k
6
m
5
6
= P(X > m).
=
(c) Für den Erwartungswert gilt E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) = 2E(X) = 12. Wegen
der Unabhängigkeit foglt für die Varianz analog Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) =
2 Var(X) = 60.
5