Beispiel 1.09 - Bildungsportal Sachsen

Prof. Dr.-Ing. Herzig
Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1"
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1etv1-1
1 Einführung
1.1 Grundsätzliches zur elektrischen Energie- und Informationsübertragung
Der Lernende kann
- die grundsätzlichen Aufgaben der elektrischen Energie- und Informationsübertragung nennen
- die Begriffe Quelle, Übertragungskanal und Verbraucher definieren und Beispiele
aus der Energie- und Informationsübertragung angeben
- die Bergriffe Verluste und Speicherung im Übertragungskanal definieren sowie
den Wirkungsgrad der Übertragung angeben
In der modernen Elektrotechnik unterscheidet man heute die zwei wesentlichen
Aufgabenbereiche:
Die elektrische Energietechnik befasst sich mit der Verteilung der elektrischen
Energie und deren Umformung in andere nichtelektrische Energieformen wie z. B.
Wärme, Licht und mechanische Energie sowie der Umformung nichtelektrischer
Energieformen wie mechanischer, thermischer u.a. Energien in elektrische Energie.
Die Übertragung und Umformung der Energie muss dabei möglichst wirtschaftlich mit
geringsten Energieverlusten erfolgen
Die elektrische Nachrichten-/Informationstechnik nutzt die elektrische Energie zur
Übertragung, Verteilung und Verarbeitung von Nachrichten und Informationen. In der
elektrischen Nachrichten-/Informationstechnik besteht die Forderung, ein Signal
fehlerfrei zu übertragen, es soll kein Informationsverlust entstehen. Die auftretenden
elektrischen Energien sind dabei so gering, dass Energieverluste nur eine
untergeordnete Rolle spielen.
Lässt man alle Nebensächlichkeiten weg, so ergibt sich für beide Bereiche der
Elektrotechnik die folgende Aufgabenstellung:
Elektrischer Energie muss erzeugt, übertragen und gewandelt werden.
Die zu transportierende Energie liegt stets in Form nichtelektrischer Energie (Wnel )
vor und ist am Ort der Verwendung auch nur als nichtelektrische Energie für den
Menschen nutzbar.
Wnel = Wmech;
Wnel = Wwärme;
Wnel = Wlicht
Wnel = Wchem
Mechanische Energie (Motor, Schallwandler)
Wärmeenergie (Heizung, Kühlung)
Lichtenergie (Beleuchtung, Monitor)
Chemische Energie (Batterie, Elektrolyse)
Die elektrische Energie (Wel) ist außerordentlich vorteilhaft für den ökonomischen
Energietransport und die effektive Energiewandlung geeignet. Mit dem Gesagten
erfordert die Energie- oder Informationsübertragung folgendes Grundschema:
Es wird eine Wandler gebraucht, der die nichtelektrische Energie in elektrische
umformt. Diesen Wandler bezeichnen wir als Quelle. Es wird ein Übertragungskanal
für die Übertragung der elektrischen Energie benötigt. Es wird ein Wandler benötigt,
der die elektrische Energie wieder in die Nutzenergie umformt, diesen Wandler
bezeichnen wir als Verbraucher. In Abb. 1.1 ist das Grundschema der elektrischen
Energie- und Nachrichtenübertragung schematisch dargestellt.
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W el
W nel
W el
Wandler
(Quelle)
W nel
Abb. 1.1
W el
W el
Übertragungskanal
W el
W nel
Wandler
(Verbraucher)
W el
W nel
Grundschema der elektrischen Energieübertragung
In Tabelle 1.1 sind Beispiele für die drei Elemente der Energieübertragung
zusammengestellt.
Beispiele
elektrische
Energietechnik
elektrische
Nachrichtentechnik
Wandler
(Quelle)
Generator
Wmech→ Wel
Batterie
Wchem→ Wel
Mikrophon
Tastatur
Kamera
Fotodiode
Thermoelement
elektrischer
Übertragungskanal
Transformator
Schalter
Kabel
Messgeräte
Sendeanlagen
Raum zwischen
Sender und
Empfänger
Empfangsanlagen
Messleitungen
Wandler
(Verbraucher)
Motor
Heizung
Beleuchtung
Schallwandler
Monitor
LED
Galvanometer
Tab. 1.1. Beispiele für Elemente der elektrischen Energie- und Nachrichtenübertragung
Im Folgenden wollen wir das Grundschema weiter verfeinern.
Bei der Energieübertragung entstehen Verluste. Verluste sind dabei ungewollte
Wandlungen in Wnel, die im allgemeinen als Wärme dem gewollten Prozess verloren
gehen. Verluste lassen sich durch einen Wandler elektrischer Energie in
nichtelektrische Energie (Wärme) darstellen.
Im elektrischen Übertragungskanal gibt es Speicher für elektrische Energie. Die
Speicherung kann im elektrischen oder magnetischen Feld erfolgen. Unter einem
Feld müssen wir uns an dieser Stelle einfach einen bestimmten energetischen
Zustand eines Raumes vorstellen. Der Feldbegriff wird zu einem späteren Zeitpunkt
definiert. Gespeicherte Energie geht dem Prozess nicht verloren.
Speicher sollen durch einen Wandler elektrischer Energie in Speicherenergie
dargestellt werden.
In Abb.1.2 sind beide Wandler schematische dargestellt.
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W el
W nel
W el
Verluste
Abb. 1.2
W sp
Speicherung
Schema für Wandlung in Verluste und Energiespeicherung im elektrischen
oder magnetischen Feld
Mit diesen beiden Ergänzungen ergibt sich das allgemeine Schema der
Energieübertragung, das in Abb 1.3 dargestellt ist. Der Übertragungskanal weist an
vielen Stellen Wandler (Verluste und Speicher) auf, die je nachdem, welche
Übertragung beschrieben wird, in charakteristischer Weise räumlich verteilt sind.
Verluste
W nel2
W nel3
W nel4
Verbraucher
W nel1
W nel5
Übertragungskanal
Quelle
W sp1
W sp2
Speicherung
Abb. 1.3
Verfeinertes Schema der elektrischen Energieübertragung
In räumlich abgeschlossenen System gilt der Energieerhaltungssatz:
In einem räumlich abgeschlossenen System ist die Summe aller Energien konstant.
Betrachten wir den Übertragungskanal als ein abgeschlossenes System in dem die
gespeicherte Energie ( Wsp1 + Wsp2 ) konstant ist, so muss die dem Übertragungskanal
zugeführte Energie gleich der abgeführten sein. Nach Abb. 1.3 ergibt sich dann die
Energiebilanz:
Wnel1 = Wnel2 + Wnel3 + Wnel4 + Wnel5
Führt man die Leistung P als die in der Zeit t umgesetzte Energie W ein
W
P=
t
so ergibt sich eine ähnliche Beziehung für die Leistungen (Leistungsbilanz)
Pnel1 = Pnel2 + Pnel3 + Pnel4 + Pnel5
(1.03)
Pnel1 = Pzu
Pnel5 = Pab
Pv = Pnel2 + Pnel3 + Pnel4
Quellenleistung
Verbraucherleistung
Verluste
(1.01)
(1.02)
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Pzu = Pv + Pab
(1.04)
Aus dem Verhältnis der abgeführten Verbraucherleistung Pab zur zugeführten
Quellenleistung Pzu wir der Wirkungsgrad η definiert:
P
η = ab < 1
Wirkungsgrad
(1.05)
Pzu
Hinsichtlich des Wirkungsgrades ergeben sich in der Energie- und in der
Informationstechnik unterschiedliche Zielstellungen:
Energietechnik:
Nachrichtentechnik:
Wirkungsgrad möglichst groß, Verluste möglichst klein
Wirkungsgrad bedeutungslos, aber Information muss
vollständig übertragen werden, dazu wird das Maximum
der auf den Verbraucher übertragenen Leistung Pab
angestrebt. Wie wir später sehen werden, wird das bei der
sogenannten Anpassung erreicht, der Wirkungsgrad wird
dann η = 50%.
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1.2 Grundschaltelemente der Elektrotechnik
Der Lernende kann
Quellen, Verbraucher und Energiespeicher als Grundschaltelemente der
Elektrotechnik benennen
ideale Grundschaltelemente der Elektrotechnik hinsichtlich ihrer Eigenschaften
definieren
erkennen, dass komplexe Systeme durch Modellierung mit elektrischen
Grundschaltelementen (Ersatzschaltungen) der Berechnung zugängig gemacht
werden
Eine wesentliche Aufgabe der Elektrotechnik ist es, das allgemeine
Übertragungsschema so mathematisch zu modellieren, dass dessen Berechnung
möglich wird. Dazu werden eine Reihe von Bauelementen der Elektrotechnik
definiert, die dann zu einer Schaltung verbunden werden, durch die das
Übertragungsschema beschrieben wird. Diese Schaltung bezeichnet man als
Netzwerk, das das mathematische Modell des Übertragungsschemas ist.
Geht man von Abb. 1.3 aus, so werden folgende Bauelemente benötigt:
Quelle, Verbraucher, Speicher, Verbindungen
Die Bauelemente werden als ideale Bauelemente entsprechen Tabelle 1.2 definiert.
Die Bauelemente werden hier als Vorgriff auf die spätere Behandlung vorgestellt.
Als ideale Bauelemente weisen sie immer nur eine spezielle Eigenschaft auf.
Quellen haben nur Quellencharakter, Verbraucher nur Wandlungscharakter,
Speicher nur Speichercharakter. Die Elemente werden durch Schaltzeichen
symbolisiert. Sie brauchen sich an dieser Stelle nur mit den Begriffen und den
Symbolen vertraut machen.
Element
Quelle
ideales Bauelement
Spannungsquelle
Kennzeichen
speicherfrei,
verlustfrei
Stromquelle
Verbraucher
Widerstand
quellenfrei,
speicherfrei
Speicher
magnetisches Feld:
Spule
quellenfrei,
verlustfrei
elektrisches Feld:
Kondensator
Verbindung
Tab 1.2
Leitung
quellenfrei,
speicherfrei
widerstandsfrei
Ideale Bauelemente der Elektrotechnik
Schaltzeichen
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Durch zweckmäßige Kombination dieser idealen Schaltelemente der Elektrotechnik
ergeben sich mathematische Modelle (Netzwerke) realer Schaltelemente,
Baugruppen, Geräte und Systeme in der gesamten Elektrotechnik/Elektronik.
Abbildung 1.4 zeigt Beispiele für Ersatzschaltungen technischer Bauelemente und
Geräte mit idealen Schaltelementen
technische
Spannungsquelle
technische
Stromquelle
technischer
Widerstand
technische
Spule
technischer Kondensator
Transformator
Abb. 1.4
Ersatzschaltungen technischer Bauelemente und Geräte
Die Berechnung dieser Schaltungen muss nun für alle möglichen Zeitfunktionen der
Quellen (Gleichstrom-, Wechselstromquellen, Schaltvorgänge bei Gleich und
Wechselstrom, Drehstromquellen, mehrfrequente Quellen) durchgeführt werden.
Das Aneignen dieser Fähigkeit wird wesentlicher Inhalt unserer Lehrveranstaltung
sein, wobei wir uns schrittweise diesem Ziel nähern wollen.
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1.3 Umgang mit physikalischen Größen
Der Lernende kann
physikalische Größen mit Maßzahl und Maßeinheit definieren
das internationale Maßeinheitensystem mit Vorsatzeinheiten anwenden
physikalische Gleichungen als Größengleichungen, Einheitengleichungen,
Zahlenwertgleichungen, zugeschnittene Größengleichungen und normierte Gleichungen
darstellen und zielgerichtet verwenden
1.3.1
Maßeinheiten
Bevor wir uns im Kapitel 2 mit den elektrotechnischen Grundgrößen befassen, wollen
wir zunächst allgemein den Umgang mit physikalischen Größen betrachten.
Physikalische Größen sind messbare Merkmale von Objekten.
Ihr Betrag ist das Produkt von Maßzahl und Maßeinheit.
Nach DIN 1313 (Physikalische Größen und Gleichungen, Begriffe, Schreibweisen)
verwenden wir folgende Darstellung:
G = {G} ⋅[G]
G
Symbol für die physikalische Größe
{G}
Maßzahl
[G]
Maßeinheit
Beispiel 1.01: Masse eines Elektrons
(1.06)
me = 9.1095⋅10-31⋅ kg
{me} = 9.1095⋅10-31
[me] = kg
Maßsysteme haben sich historisch entwickelt. Zurzeit ist das Internationale
Einheitensystem (Système International d’Unités - SI) verbindlich. Das Internationale
Einheitensystem hat 7 Basiseinheiten, die Tabelle 1.3 aufgeführt sind
Physik. Größe
Länge
Masse
Zeit
elektrische Stromstärke
Temperatur
Stoffmenge
Lichtstärke
Formelzeichen
s
m
t
I
T
n
Iv
Name
Meter
Kilogramm
Sekunde
Ampere
Kelvin
Mol
Candela
Abkürzung
m
kg
s
A
K
mol
cd
Tab. 1.3. Basiseinheiten des internationalen Einheitensystems (SI)
In der Elektrotechnik werden wir nur die ersten fünf Basiseinheiten verwenden.
Neben den 7 Basiseinheiten gibt es abgeleitete Maßeinheiten, die bis auf wenige
Ausnahmen mit dem Zahlenfaktor 1 aus Basiseinheiten gebildet werden. Für die
abgeleiteten Einheiten werden eigene Namen eingeführt, da die Darstellung in
Basiseinheiten unhandlich ist.
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Beispiele für abgeleitete Einheiten:
kg ⋅ m
= N (Newton)
s2
kg ⋅ m2
= V (Volt)
elektrische Spannung U
[U] =
A ⋅ s3
Im Abschnitt 1.3.3. a) Einheitengleichungen werden die abgeleiteten Einheiten
ausführlicher behandelt.
[F] =
mechanische Kraft F
Physikalische Größen variieren oft um viele Zehnerpotenzen. Um den Zahlenwert der
Maßzahl im Bereich 0.1 ≤ {G} ≤ 1000 zu erhalten, werden Vorsätze zu den
Maßeinheiten eingeführt.
Name Kurzzeichen
Exa
E
Peta
P
Tera
T
Giga
G
Mega
M
Kilo
k
Hekto
h
Deka
da
Faktor
1018
1015
1012
109
106
103
102
101
Name Kurzzeichen
Dezi
d
Zenti
c
Milli
m
Mikro
µ
Nano
n
Piko
p
Femto
f
Atto
a
Faktor
10−1
10−2
10−3
10−6
10−9
10−12
10−15
10−18
Tab. 1.4. Vorsätze zu den Maßeinheiten
Beispiel 1.02:
1.3.2.
0.00001A = 10 −5 A
0.00001A = 0.01⋅ 10 −3 A = 0.01mA
0.00001A = 10 ⋅ 10 −6 A = 10µA
Schreibweise physikalischer Größen
Physikalische Größen können gerichtete Größen (vektorielle physikalische Größen,
Vektoren) oder ungerichtete Größen (skalare physikalische Größen, Skalare) sein,
sie können in unterschiedlicher Art eine Zeitabhängigkeit aufweisen.
Vektorielle physikalische Größen haben neben dem aus Maßzahl und Maßeinheit
gebildeten Betrag noch eine Wirkrichtung im Raum (Kraft, Geschwindigkeit), skalare
physikalische Größen haben einen Betrag und unter bestimmten Umständen ein
Vorzeichen (Temperatur, Energie).
Der unterschiedliche Charakter der physikalischen Größe wird in ihrer Schreibweise
berücksichtigt. Grundlage bildet DIN 1313 (Physikalische Größen und Gleichungen,
Begriffe, Schreibweisen).
Mit großen Buchstaben werden zeitkonstante skalare Größen und Vektorbeträge
gekennzeichnet:
U
F
zeitkonstante elektrische Spannung, Gleichspannung
Betrag des Kraftvektors
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mit kleinen Buchstaben werden zeitabhängige skalare physikalische Größen
dargestellt:
u
i
zeitabhängige elektrische Spannung
zeitabhängiger elektrischer Strom
Vektoren werden durch Überstreichen mit einem Pfeil gekennzeichnet
G
FG
E
Kraftvektor
Feldstärkevektor
Groß- und Kleinschreibung zur Kennzeichnung der Zeitabhängigkeit wird nicht immer
möglich sein, da bestimmte physikalische Größen historisch an bestimmte Symbole
G
gebunden sind. Der Geschwindigkeitsvektor v kann auch einen zeitlich konstanten
Betrag haben. Weiterführende Kennzeichnungen physikalischer Größen werden im
weitern Vorlesungsverlauf nach Notwendigkeit eingeführt.
1.3.3.
Physikalische Gleichungen
Die Zusammenhänge zwischen physikalischen Größen werden durch physikalische
Gleichungen beschrieben, wobei es zweckmäßig ist, für unterschiedliche
Aufgabenstellungen unterschiedliche Gleichungsformen zu verwenden.
a) Größengleichungen
In der physikalischen Größengleichung bedeutet jedes Formelzeichen eine
physikalische Größe G. Beim Übergang zur Zahlenrechnung werden für die
physikalischen Größen nach Gl.(1.06) das Produkt aus Maßzahl {G} und Maßeinheit
[G] eingesetzt. Größengleichungen sind unabhängig von den verwendeten
Maßeinheiten der physikalischen Größen.
Beispiel 1.03:
U = R ⋅I
{U}⋅[U] = {R}⋅[R] ⋅{I}⋅[I]
I = 15mA
R = 100Ω = 100
U = 15mA ⋅ 100
(1.07)
V
A
V
V
= 15 ⋅ 10 −3 A ⋅ 100 = 1.5V
A
A
b) Einheitengleichungen
Einheitengleichungen sind physikalische Größengleichungen mit der Maßzahl
{G} = 1. Sie werden benutzt, um Zusammenhänge zwischen den Einheiten zu
bestimmen, abgeleitete Einheiten zu definieren, Vorsätze zu den Maßeinheiten
einzuführen und zur Kontrolle in physikalischen Größengleichungen.
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Definition von Vorsätzen zu den Maßeinheiten:
U = I⋅R
{U} [U] = {}I [I] ⋅ {R} [R]
{U} = {}I = {R} = 1
[U] = [I] ⋅ [R]
(1.08)
(1.09)
V
[R] = Ω = A
Beispiel 1.04:
[I] = mA = 10-3A
[U] = Ω⋅10-3⋅A = 10-3V = mV
Für die Definition abgeleiteter Maßeinheiten werden Bestimmungsgleichungen
zwischen den physikalischen Größen benutzt.
Beispiel 1.05:
Definition der abgeleiteten Maßeinheit der Kraft:
v
s
s
F=ma
a=
v=
F = m⋅ 2
t
t
t
{F} = {m} = {s} = {t} = 1
[F] = [m] ⋅
[ s]
2
[t]
=
kg ⋅ m
= N (Newton)
s2
(1.10)
Beispiel 1.06:
Definition der abgeleiteten Spannungsmaßeinheit Volt:
s
W F ⋅ s m ⋅ s2
W = U⋅I⋅ t
W = F⋅s F = m⋅ 2
U=
=
=
t
I⋅ t I⋅ t
I ⋅ t3
{s} = {m} = {}I = {t} = 1
[m ] ⋅ [ s ]
[U] =
3
[I] ⋅ [ t ]
2
=
kg ⋅ m2
=V
A ⋅ s3
(1.11)
c) Zahlenwertgleichung
Zahlenwertgleichungen sind physikalische Gleichungen ohne Maßeinheiten. Sie
werden bei der rechentechnischen Lösung von Gleichungen und
Gleichungssystemen und bei physikalischen Funktionen benutzt.
Bei der Anwendung von Zahlenwertgleichungen wird vereinbart, in welcher
Maßeinheit die Größen verwendet werden sollen. Damit wird die
Zahlenwertgleichung nur für die vereinbarten Maßeinheiten anwendbar.
Beispiel 1.07:
U = I⋅R
{U} ⋅ U = {R} ⋅ [R] ⋅ {}I ⋅ [I]
[U] = V (U in V)
[I] = mA (I in mA)
{U} ⋅ V = {R} ⋅ Ω ⋅ {}I ⋅ mA
[R] = Ω (R in Ω)
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{U} = {R} ⋅ {}I ⋅
mA ⋅ Ω
V
Koeffizientenvergleich
{U} = {R} ⋅ {}I ⋅ 10−3
{U} = {R} ⋅ {}I ⋅ k
mA ⋅ Ω 10−3 A V
k=
=
⋅ = 10−3
V
V
A
(1.12)
d) Zugeschnittene Größengleichung
Wird die physikalische Größengleichung mit einer gewünschten Maßeinheit erweitert,
erscheinen alle Umrechnungsbeziehungen in einem dimensionslosen Zahlenwert.
Die zugeschnittenen Größengleichung wird damit im Gegensatz zur
Zahlenwertgleichung unabhängig von den verwendeten Maßeinheiten.
Beispiel 1.07:
U = I⋅R
gewünschte Maßeinheit: [U’] = V
[U'] = I ⋅ [I'] ⋅ R ⋅ [R ']
[U'] [I'] [R ']
U
I
R [I'] ⋅ [R ']
=
⋅
⋅
[U'] [I'] [R '] [U']
U⋅
[I’] = mA
[R’] = Ω
(1.13)
U
I
R
=
⋅
⋅m
[U'] [I'] [R ']
Koeffizientenvergleich:
[I'] ⋅ [R '] = mA ⋅ Ω = 10−3
m=
V
[U']
U
I R
==
⋅ ⋅ 10−3
V
mA Ω
(1.14)
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e) Normierte Gleichung
Wie bei den Zahlenwertgleichungen werden bei den normierten Gleichungen nur
dimensionslose Größen verwendet. Der Übergang zu dimensionslosen Größen wird
durch Division der jeweiligen physikalischen Größe durch eine ausgewählte
physikalische Größe (Bezugsgröße) realisiert.
Normierte Gleichungen werden verwendet, um das allgemeine Verhalten von
Schaltungen unabhängig von der konkreter Dimensionierung zu beschreiben,
Gleichungen oder Gleichungssysteme rechentechnisch zu behandeln und
physikalische Funktionen darzustellen.
Beispiel 1.08
U = I⋅R
Ausgewählte Größen U0 = 220V; I 0 = 2.2A und R = 100Ω
U
I R
= ⋅
U0
I0 R 0
U
= u*;
U0
I
= i*;
I0
R
= r*
R0
u* = i* ⋅r*
für U = 100V und R = 1000Ω
i∗ =
u∗ 0.455
=
= 0.0455
r∗
10
(1.15)
U
= 0.455
u∗ =
U0
R
= 10
r∗ =
R0
I = i∗ ⋅ I0 = 0.0455 ⋅ 2.2A = 1A
1.3.4
Physikalische Funktion
Ist eine physikalische Größe G funktionell von einer zweiten physikalischen Größe H
abhängig, liegt eine physikalische Funktion vor.
G = f(H)
(1.16)
In der physikalischen Funktion müssen die physikalischen Größen mit Maßzahl und
Maßeinheit verwendet werden. Alle Konstanten in der Funktion werden
dimensionsbehaftete Größen.
Bei der Verwendung einer Zahlenwertfunktion müssen die anzuwendenden
Maßeinheiten vereinbart werden. Die konstanten sind dann dimensionslos.
Physikalische Funktionen lassen sich im Diagramm grafisch darstellen. Die
Koordinatenachsen werden in den physikalischen Größen mit Maßzahl und
Maßeinheit benannt.
Beispiel 1.09
Gegeben ist ein linearer, zeitlicher Stromverlauf
iI = m ⋅ t + n
(1.17)
m und n können aus zwei Wertepaaren der Funktion bestimmt werden:
t1 = 1s i1 = 1A
1A = m ⋅ 1s + n
t 2 = 2s i2 = 4 A
4A = m ⋅ 2s + n
m = 3A / s
n = −2A
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1etv1-1
Physikalische Größen-Funktion:
3A
i=
⋅ t − 2A
s
(1.18)
[i ] = A [ t ] = s
Zahlenwertfunktion mit:
A
[m ] = s
{m} = 3
[n ] = A
{n} = −2
{}i ⋅ [i] = {m} ⋅ [m] ⋅ {t} ⋅ [ t ] + {n} ⋅ [n]
[m ] ⋅ [ t ] + n ⋅ [ n ]
( A / s) ⋅ s + n ⋅ A
{}i = {m} ⋅ {t} ⋅
{}
{}i = {m} ⋅ {t} ⋅
{}
A
A
[i ]
[i]
{}i = {m} ⋅ {t} + {n}
{}i = 3 ⋅ {t} − 2
In Abb. 1.5 ist die Größenfunktion im Diagramm dargestellt.
i
A
4
3
2
1
0
1
−1
2
t
s
−2
Abb. 1.5
Grafische Darstellung der physikalischen Funktion
(1.19)