Mathplan 8.2.1 - educa.Unterricht

Mathplan 8.2.1
Arithmetik
Algebra
Grundoperationen
Terme über Q
Teil I
Hilfsmittel :
Zeitvorschlag:
Algebra 2 / AB 8
3 Wochen
von:
am:
Lernkontrolle
Name:
(112) 3 = 14
bis
Probe 8.2.1
Wichtige Punkte:
Ich mache eine saubere, klare Darstellung, schreibe die Aufgabenstellung ab und unterstreiche das Resultat doppelt.
1. Selbständigkeit:
Ich wähle meinen Arbeitsort und meinen Arbeitspartner möglichst sinnvoll aus.
2. Hilfen:
erst wenn ich mich bemüht habe und trotzdem nicht klar komme, hole
ich mir Hilfe (mit dem bereits Berechneten als Grundlage)
3. Arbeitstempo:
Ich darf in meinem Tempo arbeiten (nicht trödeln).Die Zeit ist knapp berechnet. Für Sekundarschüler : Auswahl A (mindestens die fett gedruckten Nummern) Für Spez.Sekundarschüler: nebst fettgedruckten Nr. auch noch Auf
gaben aus der Auswahl B. (speziell die Unterstrichenen)
4. Hausaufgaben:
pro Woche 45 Minuten
Weiterarbeit am Arbeitsplan > grün umranden Zeit und das Datum dazu
setzen !
5. Selbstbeurteilung:
mit selbständig gelösten Tests (in die Liste FORMATIVE BEURTEILUNG eintragen! )
6. Auswertung:
Am Schluss des Planes Probe und Selbstbeurteilung auf der Rückseite
dieses Planes.
7. Übersicht
LP 95
8.1
8.2
Themenfeld
Sachrechnen
Zuordnungen
Proportionalitätsfaktor
angewandte Aufgaben
Arithmetik / Algebra
Grundoperationen
Terme über Q (Teil I)
Anzahl
Wochen
4
Hilfsmittel
Sachrechnen 2
Kapitel 1+6
5
Algebra 2
Kapitel 5, 1 + 2
8.3
Geometrie
Kongruenzabbildungen, Winkel
2
Geometrie 2
Kapitel 1
8.4
Geometrie
Kreis
3
Geometrie 2
Kapitel 2+3
Inhalte, Begriffe, Hilfsmittel
Auswahl A
Auswahl B
Zahlenraum N
Natürliche Zahlen (N): Begriff,
Eigenschaften
Andere Stellenwertsysteme
A2:
AB8: 3
A2:
5101, 5103, 5104,
5105, 5106,
5107cd, 5108,
5109, 5110
Teiler, Vielfache, Primzahlen
(Repetition)
A2:
A2:
52.7, 528, 5302,
5303, 5304, 5305
A2:
5401, 5402, 5403,
5404, 5405, 5406,
5407, 5408, 5409,
5410, 5411-5413
5102, 5107ab
521, 522, 523, 524,
525, 526, 5301
Primfaktorzerlegung, ggT und kgV
Gesekmässigkeiten in No
Test 8.2.1 Fach 1
Potenzen
Potenz, Basis (auch negativ),
Exponent; Potenztaste beim TR
TR: Quadrat, Quadratwurzel
AB8: 8
AB8: 9, 62 Nr. 1
Test 8.2.2 Fach 1
Grundoperationen in Q auch
mit negativen Zahlen
Begriffe bei den Operationen
gezielt verwenden
Addition und Subtraktion,
A2:
1101, 1103*), 121, 122,
123,125, 126
A2:
1102, 1104, 1105,
124, 127
Multiplikation und Division
A2:
1106, 1107* ,131, 132,
133, 134, 136
A2:
1108, 1109, 1110,
1111,135,137
Test 8.2.3 Fach 2
Probe 8.2.1
Selbstbeurteilung:
Der Lehrer:
Die Eltern:
Bearbeitet am:
Teilbarkeit / kgV / ggT
1. Begriff der Teilbarkeit
In der Zahlenmenge Q+ ist die Division immer ausführbar. Anders ist es
zum Beispiel in den Mengen N oder Z.
Q= alle positiven Zahlen
N= alle natürlichen Zahlen
Z= alle ganzen Zahlen
Man sagt << a ist teilbar durch b >> oder << b ist ein Teiler von a >> , a,
b ∈ N, wenn a ein Vielfaches von b ist, d. h. wenn es ein n ∈ N gibt
mit a = b · n
BEISPIEL: Welches sind die Teiler von 144 ?
Vorbereitung: 144= 1 · 144= 2 · 72= 3 · 48= 4 · 36= 6· 24= 8 · 18= 9 · 16= 12 ·
12
Teilermenge :
= ( 1; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 12; 16; 18; 24; 36; 48; 72; 144)
Eine Quadratzahl muss eine ungerade Anzahl von Teilern haben:
Also ist 144 eine Quadratzahl ( 12 ·12= 144 )
2. Teilbarkeitssätze
a ) Jede Zahl a ist durch 1 teilbar,
b ) Jede Zahl a ist durch sich selber teilbar,
denn 1 · a= a.
denn a · 1= a
oder a : a= 1
c )Ist a durch b teilbar , so ist auch jedes Vielfache von a durch b
teilbar.
Zum Beispiel: a= 6 ; b= 3 ; n= 2 ; x= 1
Wenn nämlich a= b · n, dann a · x= ( b · n )· x= b· ( n· x )
Mit Zahlen: 6= 3· 2, dann 6· 1= ( 3· 2 ) · 1= 3· ( 2· 1 )
d ) Sind a und b durch c teilbar, so sind auch a+ b und a - b durch c
teilbar.
Zum Beispiel: a= 12 ; b= 6 ; c= 3 ;n= 4 ;m= 2
Wenn nämlich a= c · n und b= c · m, dann a+ b= c · n + c · m= c (n+m )
Mit Zahlen: 12= 3 · 4 und 6= 3· 2, dann 12+ 6= 3 · 4+ 3 · 2= 3 ( 4+ 2 )
e ) Ist a teilbar durch b und b teilbar durch c, so ist auch a teilbar
durch c
a= 50, b= 25, c= 5, n= 2, m= 5.
Wenn nämlich a= b · n und b= c· m, dann a= ( c· m )· n= c · ( n· m )
Mit Zahlen: 50= 25· 2 und 25= 5· 5, dann 50= ( 5· 5 )· 2= 5· ( 2· 5 )
3. Grösster gemeinsamer Teiler ( ggT )
und kleinstes gemeinsames Vielfaches ( kgV )
BEISPIEL:
ggT der Zahlen 42, 24
Die Menge der Teiler von 42 ist
( 1; 2;3;6 ;7;14;21;42 )
Die Menge der Teiler von 24 ist
( 1;2;3;4:6;8;12;24; )
Die Menge der gemeinsamen Teiler ist ( 1;2;3;6; )
Der grösste gemeinsame Teiler ist
6
kgV der Zahlen 6 und 8
Die Menge der Vielfachen von 6 ist ( 6;12;18;24;30;36;42;48;......)
Die Menge der Vielfachen von 8 ist ( 8;16;24;32;40;48;56;64;.......)
Die Menge der gemeinsamen Vielfachen ist ( 24;48;........)
Das kleinste gemeinsame Vielfache ist 24
4. Teilbarkeitsregeln im Dezimalsystem
Im Dezymalsystem gelten folgende Sätze:
Eine Zahl ist genau dann teilbar durch 2, wenn die letzte Ziffer eine durch
2 teilbare Zahl darstellt: z.B. 14
Eine Zahl ist genau dann teilbar durch 4, wenn die letzten zwei Ziffern
eine durch 4 teilbare Zahl bilden: z. B. 132
Entsprechende Regeln gelten für 8 ( z .B.356 ) und 16 ( 1548 )
Eine Zahl istgenau dann teilbar durch 5, wenn die letzte Ziffer eine durch
5 teilbare Zahl darstellt: z .B. 3925
Eine Zahl ist genau dann teilbar durch 25, wenn die letzten zwei Ziffern
eine durch 25 teilbare Zahl bilden: z .B. 125
Entsprechende Regeln gelten für 125 ( 2150 )und 625 ( 2150 )
Eine Zahl ist genau dann teilbar durch 3, wenn ihre Quersumme durch 3
teilbar ist: z. B. 369
Eine Zahl ist genau dann teilbar durch 9, wenn ihre Quersumme durch 9
teilbar ist: z. B. 27
TEILBARKEITSREGELN
TEILBARKEITSREGELN
T2
Eine Zahl ist genau dann teilbar durch 2,
wenn ihre letzte Ziffer eine durch 2 teilbare Zahl darstellt
T2
Eine Zahl ist genau dann teilbar durch 2,
wenn ihre letzte Ziffer eine durch 2 teilbare Zahl darstellt
T3
Eine Zahl ist genau dann teilbar durch 3,
wenn ihre Quersumme teilbar ist durch 3
T3
Eine Zahl ist genau dann teilbar durch 3,
wenn ihre Quersumme teilbar ist durch 3
T4
Eine Zahl ist genau dann teilbar durch 4,
wenn die zwei letzten Ziffern, eine durch 4 teilbare Zahl bilden.
T4
Eine Zahl ist genau dann teilbar durch 4,
wenn die zwei letzten Ziffern, eine durch 4 teilbare Zahl bilden.
T5
Eine Zahl ist genau dann teilbar durch 5,
wenn ihre letzte Ziffer enweder 5 oder 0 ist.
T5
Eine Zahl ist genau dann teilbar durch 5,
wenn ihre letzte Ziffer enweder 5 oder 0 ist.
T6
Eine Zahl ist genau dann teilbar durch 6,
wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist.
T6
Eine Zahl ist genau dann teilbar durch 6,
wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist.
T8
Eine Zahl ist genau dann teilbar durch 8,
wenn die letzten 3 Ziffern eine durch 8 teilbare Zahl bilden.
T8
Eine Zahl ist genau dann teilbar durch 8,
wenn die letzten 3 Ziffern eine durch 8 teilbare Zahl bilden.
T9
Eine Zahl ist genau dann teilbar durch 9,
wenn ihre Quersumme teilbar ist durch 9
T9
Eine Zahl ist genau dann teilbar durch 9,
wenn ihre Quersumme teilbar ist durch 9
T25
Eine Zahl ist genau dann teilbar durch 25,
wenn die zwei letzten Ziffern eine durch 25 teilbare Zahl bilden.
T25
Eine Zahl ist genau dann teilbar durch 25,
wenn die zwei letzten Ziffern eine durch 25 teilbare Zahl bilden.
TEST
8.2.1
Algebra
1. Operieren im Zweiersystem:
Bilde die Summe, und die Differenz der
beiden Zahlen: 111010 ; 10010
2Pt
2. Operieren im Zweiersystem:
Berechne das Produkt : 1110 · 10 =
Berechne den Quotienten: 1110 : 10 =
2Pt
3. Zehner (= Dezimal-) system:
Suche für das Zahlenpaar 16 ; 20
alle gemeinsamen Teiler und alle
gemeinsamen Vielfache
TEST
8.2.2
2Pt
Algebra
Schreibe die Zehnersystemzahl 167
1a
im Fünfersystem;
1b
im Zwölfersystem.
2Pt
Gegeben sei die Zahl 210 im Zehnersystem
2a
Zerlege sie in Primfaktoren.
2b
Suche alle ihre Teiler.
2c
Füge hinten eine Ziffer so an, dass
die neue Zahl durch 9 teilbar ist.
3a
3b
4
3Pt
ggT und kgV.
Suche den ggT von 216, 180 und 504
Das kgV von 75 und einer weiteren Zahl
beträgt 150 . Bestimme alle Lösungen.
2Pt
Bestimme alle gemeinsamen Teiler:
ab2 ; a2b
2Pt
TEST
8.2.1
Algebra
Resultate:
1. Operieren im Zweiersystem:
Bilde die Summe, und die Differenz der
beiden Zahlen: 111010 ; 10010
1.
D : 101000
2Pt
2.
2. Operieren im Zweiersystem:
Berechne das Produkt : 1110 · 10 =
Berechne den Quotienten: 1110 : 10 =
3. Zehner (= Dezimal-) system:
Suche für das Zahlenpaar 16 ; 20
alle gemeinsamen Teiler und alle
gemeinsamen Vielfache
TEST
8.2.2
2Pt
3.
T : { 2, 4 }
V : { 80, 160, 240 ...}
Algebra
Resultate
2Pt
Gegeben sei die Zahl 210 im Zehnersystem
2a
Zerlege sie in Primfaktoren.
2b
Suche alle ihre Teiler.
2c
Füge hinten eine Ziffer so an, dass
die neue Zahl durch 9 teilbar ist.
4
P : 11100
Q : 111
2Pt
Schreibe die Zehnersystemzahl 167
1a
im Fünfersystem;
1b
im Zwölfersystem.
3a
3b
S : 1001100
ggT und kgV.
Suche den ggT von 216, 180 und 504
Das kgV von 75 und einer weiteren Zahl
beträgt 150 . Bestimme alle Lösungen.
Bestimme alle gemeinsamen Teiler:
ab2 ; a2b
3Pt
1a
1b
1132
11B
2a
2b
2·3·5·7
16 Teiler:
1,2,3,5,6,7,10,14,15,21,
30,35,42,70,105,210
2106
2c
3a
216 = 2·2·2·3·3·3
180 = 2·2·3·3·5
504 = 2·2·2·3·3·7
ggT = 2·2·3·3 = 36
3b
Zweite Zahl: 2, 6, 10, 30, 50,
und 150
enthält sicher eine 2 ev
eine 3 und eine oder zwei
5 als Faktoren.
4
L = { 1, a, b, ab }
2Pt
2Pt
TEST
8.2.3
Algebra
Berechne für jedes Zahlenpaar die Summe und Differenz
Resultate:
1.
1.
111 ; –83
2.
14 ; 97
2
1
; –
5
2
2.
–
3.
1,5 ; – 5,1
3.
1
9
;
10
10
– 3,6 ; 6,6
4.
– 78 ; – 45
4.
– 123 ;– 33
Setze, ohne etwas auszurechnen, das richtige Zeichen :
<, = , >
5.
387 + (– 593)
..............
387 – (+ 593)
5.
=
6.
– 387 – (+593)
..............
387 + (– 593)
6.
<
7.
– 387 – (– 593)
.............. – 593 – ( – 387)
7.
>
8.
– 593 – (– 387)
..............
8.
=
387 – (+ 593)
8.2.1 ALGEBRA
Reihe A
8.2.1 ALGEBRA
Reihe B
ACHTUNG:
ACHTUNG:
1a
1b
1c
2a
2b
Aufgaben gut lesen !
Natürliche Zahlen im Dreiersystem.
Zähle alle zweistelligen geraden Zahlen auf.
Welche Zahl folgt auf 2122
Schreibe 2102 im Zehnersystem.
3Pt
Schreibe die Zehnersystemzahl 167
im Fünfersystem;
im Zweiersystem.
2a
2Pt
3a
3b
3c
4a
4b
1a
1b
1c
Gegeben sei die Zahl 210 im Zehnersystem
Zerlege sie in Primfaktoren.
Suche alle ihre Teiler.
Füge hinten eine Ziffer so an, dass die neue
Zahl durch 9 teilbar ist.
3Pt
ggT und kgV im Zehnersystem
Suche den ggT von 216, 180 und 504
Suche das kgV von 75 und 30.
2Pt
2b
2c
3a
3b
Aufgaben gut lesen !
Gegeben sei die Zahl 330 im Zehnersystem
Zerlege sie in Primfaktoren.
Suche alle ihre Teiler.
Füge hinten eine Ziffer so an, dass die neue
Zahl durch 9 teilbar ist.
3Pt
Natürliche Zahlen im Dreiersystem.
Zähle alle zweistelligen ungeraden Zahlen
auf.
Welche Zahl folgt auf 1122
Schreibe 2012 im Zehnersystem.
3Pt
ggT und kgV im Zehnersystem
Suche den ggT von 216, 360 und 252
Suche das kgV von 50 und 75
2Pt
4a
4b
Schreibe die Zehnersystemzahl 166
im Fünfersystem;
im Zweiersystem.
2Pt
5
Fünfersystem: addiere die beiden Zahlen
4023 und 13304
2Pt
5
Zweiersystem: addiere die beiden Zahlen
1001101 und 111010
2Pt
6
Zehnersystem (gilt für Aufgaben 6-9)
Berechne vom Zahlenpaar –7 ; 6 die
Summe und die Differenz
6
Zehnersystem (gilt für Aufgaben 6-9)
Berechne vom Zahlenpaar 2 ; –6 die
Summe und die Differenz
2Pt
7a
7b
Schreibe einfacher und rechne aus:
(–35) – (+18) + (+48) + (–57) – (–62) =
(–4,2) – (–2,5) + ( –7,7) – (+0,8) + (+5,2) =
2Pt
7
2Pt
8
Berechne vom Zahlenpaar – 9 und
– 6 das Produkt und den Quotienten.
2Pt
9
8a
8b
9
Rechne aus:
(– 0,7)3 =
2 Pt
21.11.2001
Berechne vom Zahlenpaar – 3 und
– 12 das Produkt und den Quotienten.
2Pt
Schreibe einfacher und rechne aus:
(–5,3) – (–3,2) + ( –8,4) – (+0,4) + (+6,7) =
(–35) – (+18) + (+48) + (–57) – (–62) =
2Pt
Rechne aus:
– 0,23 =
2 Pt
21.11.2001
8.2.1 Lösungen
8.2.1 Lösungen
Reihe A
1a
1b
1c
11 ; 20 ; 22
2200
65
2a
2b
1132
10100111
3a
3b
3c
4a
4b
5
Reihe B
3 Pt
3 Pt
2·3·5·7
16 Teiler: 1,2,3,5,6,7,10,14,15,21,
30,35,42,70,105,210
2106
216 =
180 =
504 =
ggT =
2·2·2·3·3·3
2·2·3·3·5
2·2·2·3·3·7
2·2·3·3 = 36
75 =
30 =
kgV=
3·5·5
2·3·5
2·3·5·5 = 150
4023
13304
22332
1a
1b
1c
2 Pt
2a
2b
2c
3 Pt
2 Pt
2 Pt
2 Pt
7a
7b
– 63
–5
2Pt
8
Produkt: +54
Quotient: +1,5
9
– 0,343
10 ; 12; 21
1200
59
216 =
360 =
252 =
ggT =
2·2·2·3·3·3
2·2·2·3·3·5
2·2·3·3·7
2·2·3·3 = 36
3b
75 =
50 =
kgV=
3·5·5
2·5·5
2·3·5·5 = 150
4a
4b
1131
10100110
2 Pt
2 Pt
2·3·5·11
16 Teiler: 1,2,3,5,6,10,11,15,22,
30,33,55,66,110,165,230
3303
3a
2 Pt
Summe : –1
Differenz: –13
6
3 Pt
5
1001101
111010
10000111
6
Summe : – 4
Differenz: 8
2 Pt
7
Produkt: +36
Quotient: +0,25
2 Pt
2 Pt
8
– 4,2
0
2 Pt
2 Pt
9
– 0,008
2 Pt
Mathplan 8.2.2
Arithmetik
Algebra
Grundoperationen
Terme über Q
Teil I
Hilfsmittel :
Zeitvorschlag:
Algebra 2 / AB 8
2 Wochen
von:
am:
Lernkontrolle
Name:
3a-(+a)
3
2
[(x )-2]
2
(a+b) =
bis
Probe 8.2.2
Wichtige Punkte:
Ich mache eine saubere, klare Darstellung, schreibe die Aufgabenstellung ab und unterstreiche das Resultat doppelt.
1. Selbständigkeit:
Ich wähle meinen Arbeitsort und meinen Arbeitspartner möglichst sinnvoll aus.
2. Hilfen:
erst wenn ich mich bemüht habe und trotzdem nicht klar komme, hole
ich mir Hilfe (mit dem bereits Berechneten als Grundlage)
3. Arbeitstempo:
Ich darf in meinem Tempo arbeiten (nicht trödeln).Die Zeit ist knapp berechnet. Für Sekundarschüler : Auswahl A (mindestens die fett gedruckten Nummern) Für Spez.Sekundarschüler: nebst fettgedruckten Nr. auch noch Auf
gaben aus der Auswahl B. (speziell die Unterstrichenen)
4. Hausaufgaben:
pro Woche 45 Minuten
Weiterarbeit am Arbeitsplan > grün umranden Zeit und das Datum dazu
setzen !
5. Selbstbeurteilung:
mit selbständig gelösten Tests (in die Liste FORMATIVE BEURTEILUNG eintragen! )
6. Auswertung:
Am Schluss des Planes Probe und Selbstbeurteilung auf der Rückseite
dieses Planes.
7. Übersicht
LP 95
8.1
8.2
Themenfeld
Sachrechnen
Zuordnungen
Proportionalitätsfaktor
angewandte Aufgaben
Arithmetik / Algebra
Grundoperationen
Terme über Q (Teil I)
Anzahl
Wochen
4
Hilfsmittel
Sachrechnen 2
Kapitel 1+6
5
Algebra 2
Kapitel 5, 1 + 2
8.3
Geometrie
Kongruenzabbildungen, Winkel
2
Geometrie 2
Kapitel 1
8.4
Geometrie
Kreis
3
Geometrie 2
Kapitel 2+3
Inhalte, Begriffe, Hilfsmittel
Auswahl A
Alle Operationen
A2: 141, 142, 143
AB8: 60 Nr. 1
Terme mit Doppelklammern
A2: 144ad, 146, 147
A2: 144bcef, 145, 148
Terme auswerten
A2: 151,153, 154, 156
A2:
Zusammenfassung
Terme aus Sachzusammenhängen gewinnen
Termumformungen
Terme mit Monomen vereinfachen; Terme aufgrund des Vertauschungs- und Verbindungsgesetzes umformen
Auswahl B
152,155, 157
Test 8.2.4 (S.91)
AB8: 1
AB8: 60 Nr. 2
A2:
211, 212 TR, 214, 215,
216, 217, 219
AB8: 2
A2:
Polynome addieren und subtrahieren
A2:
221, 222, 223, 224,
225, 227
2206, 2207
A2:
226; 2201, 2202,
2203, 2204, 2205,
Verteilungsgesetz
A2:
231, 232, 233, 235
A2:
234, 236
Ausmultiplizieren (Polynome
multiplizieren)
A2:
A2:
241, 248, 2401,
2402, 2403,2404
2405
A2:
251-257
2501-2506
242, 243, 244, 245,
246, 247
AB8: 5, 6
Ausmultiplizieren (Produkte von
Polynomen addieren und subtrahieren)
Zusammenfassung
Test 8.2.5 (S.95)
Probe 8.2.2
Selbstbeurteilung:
Der Lehrer:
Die Eltern:
213, 218
AB8: 4
Bearbeitet am:
Klammerregeln
Klammerregeln
Für Summen und Differenzen
1. Fall:
Es ist zB.
5 + (3+4) = 5 + 3 + 4
denn
5+7
=8+4
allgemein
a +(b+c) = a + b +c
Für Summen und Differenzen
1. Fall:
Es ist zB.
5 + (3+4) = 5 + 3 + 4
denn
5+7
=8+4
allgemein
a +(b+c) = a + b +c
2. Fall:
2. Fall:
Es ist zB.
denn
allgemein
2 + (7–4) = 2 + 7 – 4
2+3
=9–4
a + (b–c) = a + b – c
Es ist zB.
denn
allgemein
5 – (2+9) = 5 – 2 – 9
5 – 11
=3–9
a – (b+c) = a – b – c
Es ist zB.
denn
allgemein
9 – (6–2) = 9 – 6 + 2
9–4
=3+ 2
a – (b–c) = a – b + c
3. Fall:
Es ist zB.
denn
allgemein
2 + (7–4) = 2 + 7 – 4
2+3
=9–4
a + (b–c) = a + b – c
Es ist zB.
denn
allgemein
5 – (2+9) = 5 – 2 – 9
5 – 11
=3–9
a – (b+c) = a – b – c
Es ist zB.
denn
allgemein
9 – (6–2) = 9 – 6 + 2
9–4
=3+ 2
a – (b–c) = a – b + c
3. Fall:
4. Fall:
4. Fall:
Ist vor einer Klammer das Zeichen + , so kann man die
Klammer weglassen.
Ist vor einer Klammer das Zeichen + , so kann man die
Klammer weglassen.
Ist vor einer Klammer das Zeichen – so kann man die
Klammer und das Minus weglassen, wenn in der Klammer
die Zeichen + und – vertauscht werden.
Ist vor einer Klammer das Zeichen – so kann man die
Klammer und das Minus weglassen, wenn in der Klammer
die Zeichen + und – vertauscht werden.
Bsp 1:
(5 + 6p) – (3 + 2p) + (21 – 4p) =
5 + 6p –3 – 2p +21 – 4p
= 0p + 23
= 23
Bsp 1:
(5 + 6p) – (3 + 2p) + (21 – 4p) =
5 + 6p –3 – 2p +21 – 4p
= 0p + 23
= 23
Bsp 2:
(a2 – 2ab + 3b2) – ( a2 – 3ab + 5b2) =
a2 – 2ab + 3b2 – a2 + 3ab – 5b2
= ab – 2b2
Bsp 2:
(a2 – 2ab + 3b2) – ( a2 – 3ab + 5b2) =
a2 – 2ab + 3b2 – a2 + 3ab – 5b2
= ab – 2b2
Bei Mehrfachklammern beginnen wir mit dem Ausrechnen
zu innerst:
Bei Mehrfachklammern beginnen wir mit dem Ausrechnen
zu innerst:
–x2y : [ –x2y : (–x)2 ] = –x2y : [–y] = x2
–x2y : [ –x2y : (–x)2 ] = –x2y : [–y] = x2
Distributivgesetz
Distributivgesetz
(= Verteilungsgesetz)
(= Verteilungsgesetz)
Ausmultiplizieren (= Klammer wegschaffen)
Ausmultiplizieren (= Klammer wegschaffen)
3 · ( 8 + 4 ) = 24 + 12
3 · ( 8 + 4 ) = 24 + 12
a · ( b + c ) = a·b + a·c
a · ( b + c ) = a·b + a·c
( a + b ) · ( c + d ) = a·c + a·d + b·c + c·d
Distributivgesetz
( a + b ) · ( c + d ) = a·c + a·d + b·c + c·d
Distributivgesetz
der Faktor vor der Klammer wird auf die Summanden in der Klammer
verteilt.
die Summanden aus der ersten Klammer werden auf die Summanden in der 2. Klammer verteilt
der Faktor vor der Klammer wird auf die Summanden in der Klammer
verteilt.
die Summanden aus der ersten Klammer werden auf die Summanden in der 2. Klammer verteilt
Ausklammern (= Klammern bilden)
Ausklammern (= Klammern bilden)
5a + 25 b
6p2 + 3p
– 2a – 4b
4a – 8 ab + 16 ac
=
=
=
=
5a + 25 b
6p2 + 3p
– 2a – 4b
4a – 8 ab + 16 ac
5 · ( a + 5b )
3p · ( 2p + 1 )
– 2 · ( a + 2b )
4a · ( 1 – 2b + 4c )
=
=
=
=
5 · ( a + 5b )
3p · ( 2p + 1 )
– 2 · ( a + 2b )
4a · ( 1 – 2b + 4c )
das Gemeinsame der Summanden wird vor die Klammer genommen. Kontrolle mit Ausmultiplizieren !
das Gemeinsame der Summanden wird vor die Klammer genommen. Kontrolle mit Ausmultiplizieren !
Die binomischen Formeln
Die binomischen Formeln
I.
(a+b)· (a+b)
= a2 + 2ab + b2
I.
(a+b)· (a+b)
= a2 + 2ab + b2
II.
(a–b)· (a–b)
= a2 – 2ab + b2
II.
(a–b)· (a–b)
= a2 – 2ab + b2
III.
(a+b)· (a–b)
= a2 – b2
III.
(a+b)· (a–b)
= a2 – b2
TEST
8.2.4
Algebra
Schreibe die folgenden Anweisungen als Zahlenterm und rechne aus:
1.
Addiere 7 und 9 , zähle die Summe von 5 ab und subtrahiere das Ergebnis von 3
2.
Dividiere 5 durch den Quotienten von 4 und 3 und teile die Zahl 6 durch
das Ergebnis.
3.
Multipliziere die Differenz von 3 und 4 mit 5, subtrahiere sodann 6 und
quadriere das Ergebnis.
Rechne aus :
4.
7 − (5 − 7) =
5.
5 − [7 − (5 − 7)] =
6.
7 − {5 − [7 − (5 − 7)]
7.
7 − {5 ⋅ [7 − (5 − 7)]} =
}=
Rechne aus:
8.
1− {3 − [5 − (7 − 9)]} =
9.
{[(4 − 5) 6 + 7]8 − 9} ⋅10 =
10.
{−4 ⋅ [5 − 3( 4 − 9)]}
2
=
Lösungen:
TEST
1.
3 - [5 - ( 7 +9)] =
2.
6:
3.
[(3 − 4) ⋅5 − 6 ]
4.
9
5.
-4
6.
11
7.
-38
8.
5
9.
-10
10.
14
[ 5 : ( 4 : 3)] =
6400
2
=
1,6
121
8.2.4
Pt
Beurteilung
10
rot
9
8
7
6
5
4
3
2
1
rot
blau
blau
blau
gelb
gelb
gelb
gelb
gelb
TEST
1.
Algebra
Vereinfache.
a.
b.
2.
8.2.5
[ – 8a – ( – 2a)]2: ( – 9a)
– 5x2 – 3x · ( – 2x)
Bilde von den beiden Termen
5x2 – 4x + 7 und x2 – 2x – 5
die Differenz
und vereinfache.
3.
Multipliziere aus.
3pq · (p2 – 5pq – 8q2)
4.
Multipliziere aus und vereinfache
(6a + 0,4) · (0,5a – 0,2)
5.
Vereinfache und klammere aus.
x2 – 2x · (x – 5) + (x + 5)2
TEST
1.
Algebra
Vereinfache.
a.
b.
2.
8.2.5
[ – 8a – ( – 2a)]2: ( – 9a)
– 5x2 – 3x · ( – 2x)
Bilde von den beiden Termen
5x2 – 4x + 7 und x2 – 2x – 5
Lösungen
1a
36a2 : (– 9a)
= – 4a
1b
– 5x2 – (– 6x2)
= x2
2
4x2 – 2x + 12
3.
3p3q – 15p2q2 – 24pq3
4.
3a2 – 1,2a + 0,2a – 0,08
die Differenz
und vereinfache.
3.
Multipliziere aus.
3pq · (p2 – 5pq – 8q2)
4.
Multipliziere aus und vereinfache
(6a + 0,4) · (0,5a – 0,2)
5.
Vereinfache und klammere aus.
x2 – 2x · (x – 5) + (x + 5)2
= 3a2 – 1a – 0,08
5.
+ 20x + 25 = 5· (4x + 5)
Beurteilung:
6 Pt
5 Pt
4 Pt
3 Pt
rot
blau
blau
gelb
8.2.2
Name: ...............................................
M – Lernkontrolle
Reihe A
Punkte:
Beurteilung:
Beurteilungskriterien:
–
saubere Darstellung : aufschreiben was ge
rechnet wird.
–
richtiges Resultat ohne Taschenrechner
1. Schreibe als Term mit einer Variablen und
vereinfache ihn.
a.
Multipliziere eine Zahl mit ihrer Ge
genzahl.
b.
Subtrahiere vom Quadrat einer Zahl das
Quadrat der Gegenzahl.
2Pt
2. Vereinfache.
– 2n2 – 3n · ( – 2n)
a.
2Pt
2
b.
[ – 8s – ( – 2s)] : ( – 9s)
3. Bilde von den beiden Termen
2x2 – 3x + 7
und
x2 – 2x – 3
a.
die Summe
b.
die Differenz und vereinfache.
2Pt
4. Multipliziere aus.
a.
2ef · (e2 – 2ef – 8f2)
b.
3
p · (4p – 2q + 1 )
4
4Pt
5. Multipliziere aus und vereinfache
a.
(3a – 2b) · (5a + 3b)
b.
(6z + 0,4) · (0,5z – 0,2)
4Pt
6. Vereinfache und klammere aus.
a.
x2 – 2x · (x – 5) + (x + 5)2
b.
(3e – 2f)2 – (2e – 3f)2
4Pt
7. Schreibe die 3. Binomische Formel auf
2Pt
8. Forme um (ausmultiplizieren) du kannst die
binomische Formel anwenden:
2Pt
2
2
(p + 4q) · ( p – 4q) =
9. Berechne etapenweise:
2Pt
{5 – [5 – (5 – 9) · (2 – 3)] + 6}2 =
10. Berechne den Term, wenn x = –2 ist
4x + 3x2 – 3 x3 – x4
8.2.2 M-Lernkontrolle.Doc
2Pt
1
11.08.2002
RESULTATE REIHE A :
1
2
3
4
5
6
= – a2
a
a ( – a)
b
a2 – ( – a)2 = 0
a
– 2n2 – ( – 6n2) = 4n2
b
( – 6s)2: ( – 9s) = – 4s
a
3x2 – 5x + 4
b
x2 – x + 10
a
2e3f – 4e2f2 – 16ef3
b
3p2 –
a
15a2 – ab – 6b2
b
3z2 – z – 0,08
a
20x + 25 = 5·(4x + 5)
b
5e2 – 5f2 = 5· (e2 – f2)
3
3
pq +
p
2
4
7.
(a–b) · (a+b) = a2 – b2
1.
p4 – 16q4
9.
[5 – 1 + 6] = 100
10.
– 8 + 12 + 24 – 16 = 12
8.2.2 M-Lernkontrolle.Doc
2
11.08.2002
8.2.2
Name: ...............................................
M – Lernkontrolle
Reihe B
Punkte:
Beurteilung:
Beurteilungskriterien:
–
saubere Darstellung : aufschreiben was ge
rechnet wird.
–
richtiges Resultat ohne Taschenrechner
1. Vereinfache
a.
b.
– 2p2 – 3p · ( – 2p)
2Pt
2
[ – 8x – ( – 2x)] : ( – 9x)
2. Schreibe als Term mit einer Variablen und
vereinfache ihn.
a.
Dividiere eine Zahl durch ihrer Gegenzahl.
b.
Addiere zum Quadrat einer Zahl das
Quadrat der Gegenzahl. vereinfache.
2Pt
3. Bilde von den beiden Termen
2a2 – 3a + 7
und
a2 – 2a – 3
a.
die Summe
b.
die Differenz und vereinfache.
2Pt
4. Vereinfache und klammere aus.
a.
b.
x2 – 2x · (x – 5) + (x + 5)2
2
4Pt
2
(3a – 2b) – (2a – 3b)
5. Multipliziere aus und vereinfache
a.
(3a – 2b) · (5a + 3b)
b.
(6a + 0,4) · (0,5a – 0,2)
4Pt
6. Multipliziere aus.
a.
b.
2ef · (e2 – 2ef – 8f2)
3
s · (4s – 2r + 1 )
4
4Pt
7. Schreibe die 2. binomische Formel auf !
2Pt
8. Berechne etapenweise:
2Pt
{4 – [4 – (4 – 7) · (3 – 4)] + 6}2 =
9. Berechne den Term, wenn x = –2 ist
2Pt
3x + 4x2 – 4 x3 – x4
10. Forme um (ausmultiplizieren) du kannst die
binomische Formel anwenden:
2Pt
(x2 + xy) · ( x2 – xy) =
8.2.2 M-Lernkontrolle.Doc
3
11.08.2002
RESULTATE REIHE B :
1 a
b
2 a
b
3 a
b
4 a
b
5 a
b
6 a
b
– 2p2 – ( – 6p2) = 4p2
( – 6x)2: ( – 9x) = – 4x
a : ( – a)
= – 1
a2 + ( – a)2 = 2 a2
3a2 – 5a + 4
a2 – a + 10
20x + 25 = 5·(4x + 5)
5a2 – 5b2 = 5· (a2 – b2)
15a2 – ab – 6b2
3a2 – a – 0,08
2e3f – 4e2f2 – 16ef3
3s2 –
3
3
sr +
s
2
4
7.
(a – b) · (a – b) = a2 – 2ab + b2
8.
[4 – 1 + 6]2 = 81
9.
–6 + 16 + 32 – 16 = 26
10.
x 4 – x 2 y2
8.2.2 M-Lernkontrolle.Doc
4
11.08.2002