Brückenkurs Schulmathematik 2. Veranstaltung: Arithmetik 1

Brückenkurs Schulmathematik
2. Veranstaltung: Arithmetik 1: Darstellung von Zahlen,
Grundrechenarten, Rechengesetze, Vorrangregeln, Teilbarkeit
13. April 2016
Alle Aufgaben in Anlehnung an: Cukrowitz et al. (2006): Mathenetz 6 Gymnasium.
Braunschweig: Westermann.
1. Darstellung von Zahlen
1. Aufgabe: Beschreiben Sie, welche Vorteile die Darstellung von Zahlen in einem
Stellenwertsystem z. B. gegenüber der römischen Zahlendarstellung hat.
Das Dezimalsystem ist ein Stellenwertsystem mit der Basis zehn. Im Dezimalsystem benutzt
man zehn verschiedene Ziffern. Die Stellenwerte erhöhen sich von rechts nach links jeweils
um den Faktor zehn.
2. Aufgabe: Was bedeutet, wenn an eine natürliche Zahl im Dezimalsystem drei Nullen
angehängt werden?
3. Aufgabe: Geben Sie die wichtigsten Merkmale des Dualsystems an! Was bedeutet, wenn
an eine natürliche Zahl im Dualsystem drei Nullen angehängt werden?
4. Aufgabe: Übersetzen Sie die folgenden Zahlen ins Dezimalsystem:
110112
10010002
111112
1010102
5. Aufgabe: Übersetzen Sie entsprechend ins Dualsystem:
5
256
511
513
100
6. Aufgabe: Stellen Sie die Zahlen aus Aufgabe 4 am Zahlenstrahl dar!
2. Grundrechenarten, Rechengesetze, Vorrangregeln
7.
8.
9.
Aufgabe: Was passiert, wenn man 0 addiert, subtrahiert, mit 0 multipliziert? Erläutern
Sie, warum die Division mit Null nicht erlaubt ist! Was passiert, wenn man 1 addiert,
subtrahiert, mit 1 multipliziert, durch 1 dividiert?
Aufgabe: Die Summe zweier natürlicher Zahlen ist stets eine natürliche Zahl. Gelten
entsprechende Aussagen für die anderen drei Grundrechenarten?
Aufgabe: Warum ist es bei der Subtraktion und bei der Division wichtig, die beiden
Zahlen (Minuend, Subtrahend bzw. Dividend, Divisor) zu unterscheiden, während man
bei der Addition und bei der Multiplikation mit einer Bezeichnung auskommt (Summand,
bzw. Faktor)?
10. Aufgabe: Berechnen Sie schriftlich:
15681 + 4511+812
5688 – 5299
1232  204
743 : 38
Vorrangregeln legen fest, in welcher Reihenfolge gerechnet werden soll:
1.) Multiplikation und Division werden vor Addition und Subtraktion ausgeführt.
2.) Was in einer Klammer steht, wird zuerst berechnet.
3.) Wenn nichts anderes festgelegt ist, rechnet man von links nach rechts.
11. Aufgabe: Berechnen Sie unter Beachtung der Vorrangregeln:
900 : (9  (10 + 10))
(900 : 9)  10 + 10
900 : (9  10) + 10
900 : ((9  10) + 10)
3. Teilbarkeit
12. Aufgabe:
13. Aufgabe: Diskutieren Sie in Kleingruppen anhand der obenstehenden Aufgabe folgende
Begriffe: Primzahl, zusammengesetzte Zahl, Vielfaches, Teiler, Sieb des Eratosthenes!
14. Aufgabe: Wir haben bereits formuliert: Eine natürliche Zahl ist durch 3 teilbar, wenn
ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
a. Wie könnte man diesen Satz direkt beweisen? Gilt die Umkehrung dieses
Satzes?
b. Formulieren Sie entsprechende Teilbarkeitsregeln für die Teilbarkeit durch 2,
4, 5, 9, 10!
c. Wann ist eine natürliche Zahl durch 6 (durch 12, durch 15) teilbar?
15. Aufgabe: a.) Geben Sie die Primfaktorzerlegung nachfolgender Zahlen an! Verwenden
Sie dabei die Potenzschreibweise!
800
225
1320
611
b.) Bestimmen Sie die Anzahl der Teiler der Zahlen aus der Teilaufgabe a.)!
16. Aufgabe: Bestimmen Sie den ggT (größten gemeinsamen Teiler) und das kgV (kleinste
gemeinsame Vielfache) folgender Zahlenpaare!
144;51
169;65
84;42
17. Aufgabe: Wie würden Sie kgT und ggV definieren? Begründen Sie Ihre Meinung!
18. Aufgabe: Bei großen Zahlen kann es schwierig werden, den ggT zu bestimmen. (Warum
eigentlich?) Wenn man folgendes Verfahren, welches man Euklidischen Algorithmus
nennt, anwendet, kommt man zum Ziel. Das Verfahren wird anhand eines Beispiels
erörtert:
Gesucht ist ggT(455;637)
Man bilde:
637 = 455 + 182
455= 2 ∙ 182 + 91
182 = 2 ∙ 91 + 0
Daraus folgt: ggT(91:182)=91  ggT(182; 455)=91  ggT(455;637)=91
Bestimmen Sie den ggT mithilfe des Euklidischen Algorithmus: für 273 und 294 bzw. für
1225 und 1600!
19. Aufgabe: Begründen Sie oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen!
a. Jede Zahl, die durch 15 teilbar ist, ist auch durch 5 und 3 teilbar.
b. Eine Zahl, die durch 24 teilbar ist, ist auch durch 12 und durch 18 teilbar.
c. 2 3  5 2  7  11 ist ein Vielfaches von 2 2  5  7
d. Wenn eine Zahl durch 8 teilbar ist, so kann sie nicht durch 3 teilbar sein.
e. Jede Zahl, die den Teiler 250 hat, kann auch durch 125 und 10 geteilt werden.
f. 66 ist ein Teiler von 2 3  5 2  7  11.
g. 1 ist eine Primzahl.
h. Es gibt keine Primzahl, die durch 3 teilbar ist.
i. Es gibt keine Primzahl die durch 9 teilbar ist.
j. Jede Zahl, die ein Vielfaches von 1 und sich selbst ist, ist eine Primzahl.
k. Es gibt nur eine Primzahl, deren letzte Ziffer eine 5 ist.