Mathematischer Backgroundx

VU Informatikgestützte Lehr- und Lernplanung
Sieb des Eratosthenes & Euklidischer Algorithmus
S. 1
WS 2010 / 11 – Teresa Auer
Mathematischer Background:
1.)
Primzahlen:
Eine Primzahl p ist eine
natürliche Zahl > 1, die nur sich
selbst und 1 als Teiler besitzt.
Man nennt diese beiden Teiler
auch „triviale“ Teiler. Es gibt
unendlich viele Primzahlen.
Was ist eine
Primzahl?
Eine Möglichkeit zur Bestimmung der Primzahlen stellt folgende Vorgehensweise dar:
Das Sieb des Eratosthenes:
Hierfür schreibt man Zahlen von 2 bis zur gewünschten größten Zahl auf. Folglich streicht
man alle Vielfachen von 2, 2 selbst ist eine Primzahl (sie wird nur von sich selbst und 1 mit
Rest 0 geteilt). Dann die nächste noch nicht durchgestrichene Zahl, sie selbst ist eine
Primzahl, alle Vielfachen werden durchgestrichen. Die übriggebliebenen Zahlen sind
Primzahlen.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
Die farblich hinterlegten Felder in der Tabelle stellen sind die Primzahlen von 2 bis 100.
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2.)
Teilbarkeitsregeln:
Eine Zahl ist teilbar durch …
3.)
2, wenn ihre Einerziffer 0, 2, 4, 6 oder 8 ist.
3, wenn ihre Ziffernsumme durch 3 teilbar ist.
4, wenn die von den letzten beiden Ziffern gebildete Zahl durch 4 teilbar ist.
5, wenn ihre Einerziffer 0 oder 5 ist.
6, wenn die Zahl durch 2 und durch 3 teilbar ist.
8, wenn die von den letzten drei Ziffern gebildete Zahl durch 8 teilbar ist.
9, wenn ihre Ziffernsumme durch 9 teilbar ist.
10, wenn ihre Einerziffer 0 ist.
Größter gemeinsamer Teiler (ggT):
Folgende Vorgehensweise ist aus der Unterstufe bekannt:
Primfaktorenzerlegung – Jede Zahl wird durch Primzahlen aufsteigender Größe (beginnend
bei 2) dividiert bis man die Zahl 1 als Ergebnis erhält. Das Produkt aller gemeinsamer
Primfaktoren ist der größte gemeinsame Teiler (ggT).
Bemerkung:
Das Produkt der Primfaktoren einer Zahl ergibt wieder die Zahl selbst.
Bsp.: Berechne den ggT von 16, 36 und 52!
16
8
4
2
1
2
2
2
2
36
18
9
3
1
2
2
3
3
52
26
13
1
2
2
13
→ ݃݃ܶ ሺ16, 36, 52ሻ = 2 ∙ 2 = 4
Haben zwei oder mehrere Zahlen nur den Teiler 1 gemeinsam, nennt man sie teilerfremd
(relativ prim).
Bsp.: Berechne den ggT von 42 und 13!
42
21
7
1
2
3
7
13
1
13
→ ݃݃ܶ ሺ42, 13ሻ = 1
S. 2
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Für große Zahlen ist die Primfaktorenzerlegung aber relativ mühsam. Deshalb folgt nun der
Euklidische Algorithmus, der ebenfalls für die Bestimmung des größten gemeinsamen
Teilers dient.
Hierbei wird die größere der beiden Zahlen durch die kleinere dividiert und dann als Summe
von kleinerer Zahl mal Quotient und Rest dargestellt. Dann wird die kleinere Zahl
weiterverwendet und dasselbe Verfahren wie oben angewendet. Als „kleinere Zahl“ nimmt
man hier den Rest der oberen Zeile. Das ganze wird so lange weitergeführt bis der Rest 0
beträgt. Der Rest der darüberstehenden Zeile ist der größte gemeinsame Teiler der beiden
Zahlen.
Bsp.: Berechne den ggT von 3 345 und 234!
3 345 = 14 · 234 + 69
234 = 3 · 69 + 27
69 = 2 · 27 + 15
27 = 1 · 15 + 12
15 = 1 · 12 + 3
12 = 4 · 3
→ ݃݃ܶ ሺ3345, 234ሻ = 3