Diophantische Analysis (Säule II)

Diophantische Analysis (Säule II)
LVA 405.460
C. Fuchs
Inhaltsübersicht
24.06.2014
Inhaltsübersicht
Diophantische Analysis bezeichnet das Studium von Diophantischen Gleichungen, das sind polynomielle Gleichungen mit rationalen Koeffizienten wo ganzzahlige (bzw. rationale) Lösungen gesucht sind,
mit Hilfe von Mitteln aus der Analysis, Algebra und Geometrie. In dieser Vorlesung werden einige
Highlights aus der Diophantischen Analysis vorgestellt. Diese Lehrveranstaltung ist als Wahlfach im
Masterstudium Mathematik belegbar. Sie kann auch im Rahmen des Doktoratsstudiums absolviert
werden. Es werden die folgenden Themen behandelt: Linear und quadratische Diophantische Gleichungen, Pellsche Gleichung, Diophantische Approximation, Thue Gleichungen, Approximationssatz
von Thue, Grundzüge der algebraischen Zahlentheorie, Höhentheorie (bewertete Körper, Weilhöhe,
Mahlersches Mass), S-Einheitengleichungen.
Die Vorlesung behandelt (voraussichtlich) die folgenden Themen:
§0. Motivation
Diophantische Gleichungen, 10. Hilbertsches Problem
§1. Einfache Diophantische Gleichungen in einer und zwei Variablen
Gleichungen in einer Variablen, lineare Gleichungen in zwei Variablen, Satz von Dirichlet,
Pellsche Gleichung, quadratische Gleichungen in zwei Variablen
§2. Thue Gleichungen und rationale Approximation
Thue Gleichungen, Satz von Liouville, Approximationssatz von Thue, Beweis des Approximationssatzes
§3. Grundzüge der algebraischen Zahlentheorie
§4. Einführung in die Höhentheorie
Bewertete Körper, Produktformel, Weil Höhe, Mahlersches Mass, Sätze von Northcott und
Kronecker
§5. Diophantische Gleichungen über Zahlkörpern
Satz von Roth-Lang, S-ganze Zahlen, S-Einheiten, S-Einheitengleichungen, Satz von Mahler,
Satz von Siegel
∗
§6 Weitere Ausblicke
Satz von Baker, Teilraumsatz von Schmidt
Bei Fragen oder Bemerkungen (speziell Hinweise auf Fehler aller Art sind willkommen) schicken Sie
ein Email an [email protected].
§0. Motivation
0.1 Diophantus von Alexandria gilt als Gründer der Algebra und Zahlentheorie; er hat als erster
derartige Probleme systematisch untersucht. Beispiel aus der “Arithmetika” von Diophant: Finde
vier Zahlen mit der Eigenschaft, dass das Produkt von je zwei dieser Zahlen plus eins eine Quadratzahl ist. Ein Beispiel ist die folgende Menge, welche Fermat angegeben hat: {1, 3, 8, 120} denn
1 · 3 + 1 = 22 , 1 · 8 + 1 = 32 , 1 · 120 + 1 = 112 , 3 · 8 + 1 = 52 , 3 · 120 + 1 = 192 , 8 · 120 + 1 = 312 . Euler hat
1
gezeigt, dass es unendlich viele solche Quadrupel gibt, denn {a, b, c = a + b + 2r, d = 4r(r + a)(r + b)}
mit ab + 1 = r2 (z.B. a = r − 1, b = r + 1, r ∈ Z) hat diese Eigenschaft. Ein wichtiges Ergebnis geht
auf Baker und Davenport zurück: Angenommen {1, 3, 8, d} hat diese Eigenschaft, so folgt d = 120.
Dazu: d + 1 = x2 , 3d + 1 = y 2 , 8d + 1 = z 2 . Dann: 8x2 − z 2 = 7, 8y 2 − 3z 2 = 5. Diese Gleichungen
definieren Kegelschnitte. Was kann man über die ganzen Punkte auf diesen geometrischen Objekten
sagen? Eine andere Möglichkeit das Problem zu untersuchen ist: (xyz)2 = (d + 1)(3d + 1)(8d + 1).
Was können wir über die ganzen Punkte auf dieser Kurve sagen? Antworten auf diese und ähnliche
Fragen geben wir in dieser Vorlesung.
0.2 Eine Diophantische Gleichung ist eine polynomielle Gleichung f (X1 , . . . , Xn ) = 0 mit f ∈
Z[X1 , . . . , Xn ] von der wir Lösungen x1 , . . . , xn ∈ Z suchen. In seiner berühmten Liste von 23 Problemen hat Hilbert im Jahr 1900 nach einem Verfahren (heute: Algorithmus) gefragt, welcher entscheidet, ob eine gegebene Diophantische Gleichung eine Lösung besitzt oder nicht (10. Hilbertsches
Problem). Die Antwort lieferte, nach Vorarbeiten von Davis, Putnam und Robinson, Matijasevitch
1969: Es gibt keinen solchen Algorithmus! Dieses Ergebnis hat weitreichende Auswirkungen, denn
viele Probleme der Mathematik lassen sich durch ein solches Entscheidbarkeitsproblem formulieren
(sogenannte Π01 -Sätze bzw. Sätze vom Goldbach-Typ; z.B. auch der grosse Fermat, die Riemannsche
Hypotheses, das 4-Farben-Problem). Selbst der Gödelsche Unvollständigkeitssatz lässt sich aus dem
Satz von Matijasevitch herleiten. Eine Folgerung aus dem Beweis ist, dass es eine “universelle Diophantische Gleichung” gibt (wegen der Existenz der universellen Turing-Maschine); sei δ der Grad
und ν die Anzahl der Variablen dieser Gleichung. Es ist bekannt, dass δ ≤ 4 (mit ν = 58) und ν ≤ 10
(mit δ = 8.6 · 1044 ).
0.3 Manchmal können wir eine gegebene Diophantische Gleichung f (X1 , . . . , Xn ) = 0 durch Faktorisierung von f auf ein System von Gleichungen umformen; sei z.B. fi (X, Y ) = 0, i = 1, . . . , r mit
fi ∈ Z[X, Y ] und fi (X, Y ) = g(X, Y )hi (X, Y ) mit hi teilerfremd in Q[X, Y ], dann kann man das
System hi = 0, i = 1, . . . , r mit Resultanten behandeln und es bleibt die Gleichung g(X, Y ) = 0 zu
betrachten. Ist umgekehrt eine System fi (X1 , . . . , Xn ) = 0, i = 1, . . . , r gegeben (z.B. als definierende
Gleichungen einer algebraischen Varietät), dann erhalten wir alle Lösungen in dem wir stattdessen
f1 (X1 , . . . , Xn )2 + · · · + fr (X1 , . . . , Xn )2 = 0 betrachen.
0.4 Was jetzt? Die typischen Fragen lauten: Besitzt die Gleichung eine Lösung oder nicht? Wenn
ja, gibt es endlich oder unendlich viele Lösungen? Wenn unendlich viele, lässt sich etwas über die
Struktur der Lösungen sagen? Wenn endlich viele: Lässt sich die Anzahl der Lösungen abschätzen
(quantitative Endlichkeitssätze) oder sogar genau angeben? Gibt es einen Algorithmus mit dessen
Hilfe die Lösungen (zumindest in der Theorie) bestimmt werden können (effektive Endlichkeitssätze)?
Wie lauten alle Lösungen?
§1. Einfache Diophantische Gleichungen in einer und zwei
Variablen
1.1 Sei f ∈ Z[X] mit f = a0 X d + a1 X d−1 + · · · + ad , a0 6= 0. Wir können annehmen, dass ad 6= 0.
Wie man leicht sieht gilt für x = p/q, p, q ∈ Z, q > 0, (p, q) = 1, dass p|ad , q|a0 . Wir haben also ein
Verfahren, um sogar alle rationalen Lösungen von Diophantischen Gleichungen in einer Variablen
effektiv zu bestimmen. Wir können also annehmen, dass unsere Gleichungen mindestens zwei Variablen enthalten.
1.2 Faktorisierung von Polynomen
2
1.3 Die Gleichung aX + bY = c
1.4 Sei f = a1 X1 +· · ·+an Xn −b ∈ Z[X1 , . . . , Xn ] ein Polynom vom Grad 1. Wir können (a1 , . . . , an , b) =
1 annehmen. Die Diophantische Gleichung a1 X1 + · · · + an Xn = b ist lösbar genau dann, wenn
(a1 , . . . , an ) = 1 und die Lösungen können mit dem Euklidischen Algorithmus effektiv (und sehr effizient) bestimmt werden. Z.B. für n = 2 und a1 , a2 , b 6= 0 gibt es m, n ∈ Z mit a1 n+a2 m = 1 und somit
ist (x1 , x2 ) = (bn, bm) eine Lösung. Sei (x, y) eine weitere Lösung, so folgt x = bn + ka2 , y = bm − ka1
mit k ∈ Z beliebig. Es gibt also entweder keine Lösung oder unendlich viele, welche parametrisiert
werden können. Wir können also auch annehmen, dass unsere Gleichung mindestens Grad 2 hat.
1.5 Ausgangspunkt für die weiteren Betrachtungen ist sehr oft die Tatsache, dass eine ganze Zahl x,
welche nicht 0 ist, die Ungleichung |x| ≥ 1 erfüllt; dies nennt man auch die Fundamentalungleichung
der Diophantischen Approximation, da alle weiteren Ergebnisse im Kern auf dieses einfache Ergebnis
zurückgeführt werden. Für eine rationale Zahl x = p/q gilt: x = 0 oder |x| ≥ 1/q. Daraus folgt z.B.
sofort |a/b − p/q| = |aq − bp|/|bq| ≥ 1/|bq|, falls a/b 6= p/q ist; wir sehen also, dass jede Lösung
x, y ∈ Z, y 6= 0 der Gleichung aX + bY = 1 (mit a, b ∈ Z\{0}) eine best-mögliche rationale Approximation −y/x von a/b liefert. Diesen Link zwischen Diophantischer Approximation und den Lösungen
von Diophantischen Gleichungen werden wir später, in immer eindrucksvolleren Form, wiedersehen.
von Dirichlet Sei ξ ∈ R und Q > 0 eine ganze Zahl. Dann gibt es p, q ∈ Z, (p, q) = 1 mit
1.6 Satz
:::::::::::::::::::
0 < q ≤ Q und
p
1
ξ − ≤
.
q
q(Q + 1)
Beweis. Betrachte die Q + 1 reellen Zahlen 0,S{ξ}, . . . , {Qξ} in [0, 1), wobei {x} den gebrochenen
Anteil von x bedeutet. Wir zerlegen [0, 1) = Q
j=0 [j/(Q + 1), (j + 1)/(Q + 1)) in Q + 1 disjunkte
Intervalle. Es gibt dann entweder in jedem dieser Intervalle genau ein Element der Folge oder ein
Intervall, welches zwei verschiedenen Elemente enthält. Im ersten Fall gibt es also ein q, 0 < q ≤ Q
mit Q/(Q + 1) ≤ {qξ} < 1, und somit gilt |qξ − p| ≤ 1/(Q + 1) für ein geeignetes p ∈ Z. Im zweiten
Fall gibt es r, s, 0 ≤ r < s ≤ Q mit |{rξ} − {sξ}| < 1/(Q + 1) und somit |qξ − p| < 1/(Q + 1) mit
q = r − s und geeignetem p ∈ Z. Sind p, q nicht teilerfremd so teilen wir durch (p, q); die gewünschte
Ungleichung gilt auch weiterhin; somit folgt die Aussage.
//
1.7 Folgerung: Somit gibt es für jedes irrationale ξ ∈ R unendlich viele p, q√∈ Z, (p, q) = 1 mit
|qξ − p| < q −1 ; diese Aussage kann man i.A. nicht verbessern wie man für ξ = d leicht sieht.
Beweis. Angenommen es gibt nur endlich viele Lösungen, nämlich (p1 , q1 ), . . . , (pn , qn ). Definiere
ε = min{|qi ξ − pi |} > 0. Der erste Teil mit Q > 1/ε zeigt dann aber, dass es eine weitere Approximation geben würde, Widerspruch.
//
1.8 Bemerkungen: a) Der Exponent 2 läßt sich als doppelter Freiheitsgrad interpretieren. b) Solche
Approximation wie in 1.7 sind “selten”.
1.9 Irrationalitätskriterium und die Irrationalität von e
1.10 Die Pellsche Gleichung; triviale Lösungen (±1, 0), nicht-triviale Lösungen mit x, y > 0
3
1.11 Bemerkungen: a) rationale Lösungen; b) Lösungen und Approximationen von
len Fälle d ≤ 0 und d nicht quadratfrei
√
d; c) die trivia-
1.12 Satz
Die Pellsche Gleichung besitzt stets unendlich viele Lösungen.
:::::
1.13 Folgerung für die rationale Approximation von
√
d
√
√
√
1.14 Der Ring Z[ d]; Norm, α ∈ Z[ d]× ⇔ N (α) ∈ Z× = {±1}; Z[ d]× ∼
= {±1} × Z
1.15 Negative Pellsche Gleichung
1.16 Algorithmus zur Berechnung aller Lösungen der Pellschen Gleichung
1.17 Die verallgemeinerte Pellsche Gleichung X 2 − dY 2 = m
Beispiel: X 2 − 82Y 2 = 2 hat keine Lösungen
1.18 Die allgemeine quadratische Gleichung in zwei Variablen
§2. Thue Gleichungen und rationale Approximation
2.1 Vorbmerkungen
2.2 Der Satz von Thue
2.3 Obere Schranke
2.4 Untere Schranke für |p −
√
dq|
2.5 Satz
von Liouville Sei ξ eine algebraische Zahl vom Grad d. Dann gibt es eine effektiv berechen:::::::::::::::::::
bare Konstante c = c(ξ) > 0, sodass
p
ξ − ≥ c
q qd
für alle p, q ∈ Z, q > 0, p/q 6= ξ gilt.
Beweis. Sei f = a0 X d + · · · + ad ∈ Z[X] das ganzzahlige Minimalpolynom von ξ mit a0 > 0. Es
gilt f (p/q) 6= 0 und daher |f (p/q)| ≥ 1/q d . Wir können annehmen, dass ξ reell ist, denn sonst gilt
|ξ − p/q| ≥ |=ξ|. Der Mittelwertsatz liefert |f (p/q)| = |f (ξ) − f (p/q)| = |ξ − p/q||f 0 (α)| mit α zwischen ξ und p/q. Wir können weiter annehmen, dass |ξ − p/q| < 1 und daher α ∈ I := [ξ − 1, ξ + 1],
woraus |f 0 (α)| ≤ max{|f 0 (t)|; t ∈ I} = M folgt. Die Aussage folgt nun mit c := min{1, 1/M }.
//
2.6 Transzendenz und Liouville-Zahlen
2.7 Liouville ist best-möglich für d = 1, 2
2.8 Approximationssatz
von Thue Sei ξ eine algebraische reelle Zahl vom Grad d ≥ 3. Für jedes
::::::::::::::::::::::::::::::::::
ε > 0 gibt es eine Konstante c = c(ξ, ε) > 0, sodass
p
c
ξ − ≥
q q 1+d/2+ε
4
für alle p, q ∈ Z, q > 0 gilt.
2.9 Beweis von 2.2 mit 2.8
2.10 Der Exponent von ξ ∈ R ist definiert als das Infimum über alle reellen Zahlen δ mit der Eigenschaft, dass |qξ − p| < q 1−δ hat nur endlich viele Lösungen in rationalen Zahlen p/q. Wir haben
bereits gesehen, dass e(ξ) = 1 für ξ ∈ Q und e(ξ) ≥ 2 für alle ξ ∈ R\Q; ausserdem gilt e(ξ) ≤ 2 für
fast alle ξ. Für algebraische ξ vom Grad d, folgt aus Liouville e(ξ) ≤ d und der Approximationssatz
von Thue zeigt √
e(ξ) ≤ 1 + d/2 falls d ≥ 3; dieses√Resultat wurde später schrittweise verbessert: Siegel
zeigte e(ξ) ≤ 2 2, Gelfond und Dyson e(ξ) ≤ 2d und schliesslich bewies Roth, das best-mögliche
Resultat, e(ξ) = 2 für alle algebraischen reellen ξ. Für transzendente ξ andererseits ist fast nichts
bekannt; es gilt e(exp(t)) = 2 für alle t ∈ Q und e(ξ) = ∞ für alle Liouville-Zahlen (per definitionem).
2.11 :::::::::::::
Beweisskizze:::::
von ::::
2.8 Angenommen |ξ − p/q| ≤ q −ν , |ξ − r/s| ≤ s−µ mit 0 < q ν ≤ sµ . Falls
p/q 6= r/s, dann (qs)−1 ≤ |p/q − r/s| ≤ 2q −ν und somit s ≥ q ν−1 /2. Wir haben s ≥ q ν/µ ;
das “Lückenprinzip” macht also für ν > 1 + ν/µ bzw. ν > µ/(µ − 1) Sinn. Sei p/q eine exzellente Approximation (mit genügend grossem q) von ξ. Wir konstruieren Approximationen pn /qn
mit |ξ − pn /qn | < q −ν für ν > 1 + 2/d und qn+1 qn1+λ für ein genügend kleines λ > 0. Dazu
Pn , Qn ∈ Z[X] mit deg Pn , deg Qn ≤ n, kPn k, kQn k B n und Dj (Pn (X) + Y Qn (X))|(X,Y )=(ξ,ξ) = 0
für alle 0 ≤ j < m ≈ 2n/d; setzen pn /qn = Pn (p/q)/Qn (p/q). Sei r/s eine weitere exzellente
Approximation, so existiert ein n mit qn ≤ sµ/ν < qn+1 qn1+λ . Andererseits qnν−1 s. Somit
µ ≤ (1 + λ)ν/(ν − 1) + o(1). Für ν > 1 + 2/d gilt µ < (1 + λ)(1 + d/2) + o(1), Widerspruch! “Crucial
difficulty” besteht darin pn /qn 6= r/s zu zeigen; wofür man die Hilfsfunktion differenziert und ein
Wronski-Argument verwendet.
Konventionen:::::
und::::::::::::::::
Bezeichnungen 1. Sei ξ ∈ R algebraisch vom Grad d ≥ 3 und ε > 0. Wir
2.12 ::::::::::::::
sagen p/q, p, q ∈ Z, (p, q) = 1 heisst exzellente Approximation (bzgl. ε) von ξ, falls
ξ − p < q −(d/2+1+ε) .
q
2. Wir definieren Dj = ∂ j /∂X j , Dj = Dj /j!, D1 = D = D1 , P 0 = DP für P ∈ Z[X].
3. Für P (X) = a0 X n + · · · + an ∈ Z[X] definieren wir kP k := max{|a
i |; i =deg0,P. . . , n}. Es gilt:
deg P
kP + Qk ≤ kP k + kQk, kP Qk ≤ (deg P Q + 1)kP kkQk, kDj P k ≤ j kP k ≤ 2
kP k.
4. Wir setzen µ = d/2 + 1 + ε > 0 und wählen eine rationale Zahl 0 < λ < 1/2 mit δ :=
(1 + 2ε/d)(1 − λ) − 1 > 0.
5. Im folgenden bezeichnen wir mit B1 , B2 , . . . positive reelle Zahlen > 1, welche nur von ξ, ε, λ
abhängen; diese “evolving constants” könnten durch Inspektion des Beweises leicht explizit gemacht
werden, wir werden das in der Regel nicht machen (dies ist ein typisches und sehr hilfreiches Mittel,
welches wir im vorigen Abschnitt schon verwendet haben).
6. Wir betrachten nur jene n ∈ N mit d|(2n + 2)(1 − λ); diese erfüllen eine lineare Rekursion. Sei
m := (2n + 2)(1 − λ)/d; mit n durchlaufen auch diese m eine lineare Rekursion.
2.13 Wir schreiben ξ r = cr,0 +cr,1 ξ +· · ·+cr,d−1 ξ d−1 , cr,s ∈ Q. Dann gibt es eine Konstante b > 0, b ∈ Z
mit br cr,s ∈ Z, |cr,s | ≤ B1r .
Beweis. Sei b = kgV(Nenner von cd,i ), B1 = 1+max{|cd,i |; i = 0, . . . , d−1}. Für r ≤ d ist die Aussage
trivial; r ≥ d: ξ r+1 = ξ r ξ = cr,0 ξ+· · ·+cr,d−1 (cd,0 +· · ·+cd,d−1 ξ d−1 ) = cr,d−1 cd,0 +(cr,d−1 cd,1 +cr,0 )ξ+· · · .
Die Aussage folgt dann durch Induktion.
//
5
2.14 :::::
Satz::::::::::
(Lemma:::::
von ::::::::
Siegel) Sei (aij ) ∈ ZN ×M , N > M, |aij | ≤ A mit A ≥ 1. Dann gibt es
P
t1 , . . . , tN ∈ Z mit |ti | ≤ (N A)M/(N −M ) , N
i=1 aij ti = 0, ∀j = 1, . . . , M .
Beweis. Sei T = [(N A)M/(N −M ) ] ≥ 1, IT = {0, . . . , T } und L : ZN → ZM definiert durch L(x) =
P
P
P
(j)
(j)
(j)
(j)
M
( N
max{0, aij }, S− =
min{0, aij }; es gilt S+ − S− =
i=1 aij xi )j ∈ Z . Wir definieren S+ :=
P
(j)
(j)
|aij | ≤ N A. Für x ∈ ITN gilt L(x) ∈ [S− T, S+ T ]M . Da |L(ITN )| = (N AT +1)M ≤ (N A(T +1))M <
(T + 1)N = |ITN |, wegen T ≤ (N A)M/(N −M ) < T +1, folgt: Es gibt x, x0 ∈ ITN , x 6= x mit L(x) = L(x0 ).
Mit t = (t1 , . . . , tN ) = x − x0 6= 0 gilt |ti | ≤ T, L(t) = 0, was die Behauptung war.
//
Beweis:::::
von::::
2.8::-:::::::::::::::
Konstruktion ::::
der::::::::::::::::
Hilfspolynome Setze Pn (X) = x0 + x1 X + · · · + xn X n ,
2.15 :::::::
Qn (X) = y0 + y1 X + · · · + yn X n und Fn (X, Y ) = Pn (X) + Y Qn (X). Betrachte
" n
#
n
n
d−1
X
i i−j X
i i−j+1 X X
i
i
Dj Fn (ξ, ξ) =
xi
ξ +
yi
ξ
=
xi
ci−j,l + yi
ci−j+1,l ξ l .
j
j
j
j
i=j
i=j
i=j
l=0
(j)
(j)
Die Koeffizienten definieren Linearformen Ln,l (x, y) und nach 2.13 gibt es ein b > 0 mit bn+1 Ln,l ∈
(j)
Z[X, Y ], kbn+1 Ln,l k ≤ bn+1 2n B1n+1 ≤ B2n . Wir wollen Dj Fn (ξ, ξ) = 0, j = 0, . . . , m − 1; dies ist gleich(j)
bedeutend mit bn+1 Ln,l (x, y) = 0 für j = 0, . . . , m − 1, l = 0, . . . , d − 1. Mit N = 2n + 2, M =
md = (2n + 2)(1 − λ) = N (1 − λ), A = B2n ≥ 1 folgt aus 2.14, dass es x, y ∈ ZN , nicht beide 0
mit |xi |, |yj | ≤ (N A)M/(N −M ) = ((2n + 2)B2n )(1−λ)/λ ≤ (4B2 )n/λ ≤ B3n wie gewünscht gibt. Somit
kPn k, kQn k ≤ B3n .
von 2.8 - Obere Schranke Wir fixieren zwei exzellente Approximationen u = p/q, v = r/s
2.16 Beweis
:::::::::::::::::::::::::::::::::
mit 0 < q < s. Es ist Fn (X, Y ) = Fn (X, ξ) + (Y − ξ)Qn (X) = (X − ξ)m Rn (X) + (Y − ξ)Qn (X) und
daher Dj Fn (X, Y ) = (X − ξ)m−j Rn,j (X) + (Y − ξ)Dj Qn (X); beachte deg Rn,j ≤ n − m. Wir schätzen
die Summanden ab: kDj Qn k ≤ 2n B3n . Für kRn,j k gehen wir wie folgt vor: Dj Fn (X, ξ)(X −ξ)−(m−j) =
Dj Fn (X, ξ)(−ξ)−(m−j) (1−X/ξ)−(m−j) ; den letzten Term können wir (formal) in eine Reihe entwickeln
und erhalten
X −(m − j) X k
−(m−j))
Dj Fn (X, ξ)(−ξ)
ξ
k
k≥0
X
−(m−j)
k k+m−j −1
= Dj Fn (X, ξ)(−ξ)
(−1)
ξ −k X k ;
k
k≥0
beachte, dass die Identität zunächst in C[[X]] gilt, dass wir aber aus Gradgründen nur die ersten
n−m Koeffizienten der Reihe betrachten müssen, welche für uns also interessant sind. Zur Erinnerung
Dj Fn (X, ξ) = Dj Pn (X)+ξDj Qn (X). Wir erhalten somit kRn,j k ≤ (1+|ξ|)2n B3n max{1, 1/|ξ|}n 2n (2n+
1). Beachte nun, dass |u|, |v| ≤ 1 + |ξ| (da u, v exzellente Approximationen von ξ sind) gilt. Es folgt
|Dj Fn (u, v)| ≤ (|u − ξ|m−j + |v − ξ|)(n + 1)(1 + |ξ|)n (1 + |ξ|)22n max{1, 1/|ξ|}n B3n
≤ (q −µ(m−j) + s−µ )B4n ,
womit wir eine obere Schranke gezeigt haben.
2.17 :::::::
Beweis::::
von::::
2.8::-::::::::
Untere ::::::::::
Schranke Für alle rationalen Zahlen u, v gilt entweder Di Fn (u, v) = 0
n−i −1
oder |Di Fn (u, v)| ≥ (q s) , da Di Fn (u, v) ∈ Q und Di Fn (X, Y ) ∈ Z[X, Y ] mit Grad ≤ n − i in X
und Grad ≤ 1 in Y .
6
2.18 Beweis
von 2.8 - “Non-vanishing” Sei h definiert durch Dh Fn (u, v) 6= 0 aber Dj Fn (u, v) = 0, ∀j <
:::::::::::::::::::::::::::::::::
(j)
(j)
(i) (j)
(j) (i)
h. Es folgt (Pn (u)+vQn (u)) = 0, ∀j < h und somit (Pn Qn −Pn Qn )(u) = 0, ∀i, j = 0, . . . , h−1.
Wir definieren die Wronski-Determinante von Pn , Qn als W = WPn ,Qn = Pn0 Qn − Pn Q0n . Mit der
Leibnitz-Regel folgt
W
(j)
(u) =
j X
j
i=1
i
(Pn(i+1) Q(j−i)
− Pn(j−i) Q(i+1)
)(u) = 0, ∀j = 0, . . . , h − 2.
n
n
Beachte, dass W 6= 0: Falls nicht, dann gilt Fn (X, ξ) = Pn (X) + ξQn (X) = cPn (X), dQn (X) mit
c, d ∈ Q(ξ). Aber Fn (X, ξ) = 0 für X = ξ der Ordnung ≥ m und daher jetzt für alle Konjugierten
von ξ mit Ordnung ≥ m; somit hat Fn (X, ξ) mindestens ≥ md > n + 1 Nullstellen (gezählt mit
Vielfachheiten). Es folgt, dass Pn (X), Qn (X) mindestens n + 1 Nullstellen hätten, woraus aber Pn =
Qn = 0 folgen würde; Widerspruch! Somit (X − u)h−1 |W also (qX − p)h−1 |W (X) in Z[X]. Es folgt
kW k ≥ q h−1 . Andererseits gilt kW k ≤ kPn0 Qn k + kPn Q0n k ≤ 2nnB32n 2 ≤ B6n . Wir erhalten daher
h≤1+
log B6n
.
log q
2.19 :::::::
Beweis:::::
von::::
2.8 Wähle m so, dass q m ≤ s maximal. Beachte, dass gemäss 2.12 m in einer
arithmetischen Progression liegt; wir bezeichnen die gemeinsame Differenz dieser Progression mit τ .
Es folgt
log s
log s
−τ ≤m≤
.
log q
log q
Wegen 2.18 ist Dh Fn (u, v) 6= 0. Daher folgt mit 2.16 und .7, dass (q n−h s)−1 ≤ |Dh Fn (u, v)| ≤
2q −µ(m−h) B4n bzw. q µ(m−h)−n+h ≤ s2B4n . Wir erhalten µ(m − h) − n + h ≤ m + τ + log(2B4n )/ log q
und weiter (µ − 1)m − n ≤ (µ − 1)h + τ + log(2B4n )/ log q. Es folgt mit m > 2n(1 − λ)/d, dass
log B6n
δn
δn
log(2B4n )
0 < δn ≤ µ 1 +
≤µ+
+τ + ,
+τ +
log q
log q
4
4
denn: Wir wählen dazu die erste Approximation u = p/q so, dass
log q ≥ µ
4 log(B6 2B4 )
;
δ
dies ist möglich, da es unendlich viele Lösungen nach Annahme gibt! Es folgt n ≤ (2/δ)(µ + τ ) und
daher
log s
2(µ + τ )
≤m+τ ≤n+τ ≤τ +
,
log q
δ
Widerspruch falls wir die zweite Approximation v = r/s so wählen, dass
2(µ + τ )
log s > log q τ +
,
δ
was wieder möglich ist, da wir annehmen, dass es unendlich viele Lösungen gibt! Dieser Widerspruch
beendet schliesslich den Beweis von 2.8.
7
§3. Grundzüge der algebraischen Zahlentheorie
3.1 Wir nennen eine Zahl ω ∈ C ganz algebraisch, wenn ein normiertes Polynom f (X) ∈ Z[X] mit
f (ω) = 0 existiert. Die Menge aller ganz algebraischen Element bezeichnen wir mit Z. Klarerweise
sind ganze Zahlen auch ganz algebraisch. Umgekehrt ist r ∈ Q ganz algebraisch, wenn r ∈ Z. Denn
angenommen rn + b1 rn−1 + . . . + bn = 0 mit b1 , . . . , bn ∈ Z. Sei r = c/d mit c, d ∈ Z, (c, d) = 1. So
gilt cn + b1 cn−1 d + . . . + bn dn = 0. Daher d|cn und somit d|c. Wegen (c, d) = 1 ist schliesslich d = ±1
und r ∈ Z. Insgesamt ist also Z ∩ Q = Z.
3.2 Satz
Die Menge der ganz algebraischen Element Z bilden einen Integritätsbereich.
:::::
Beweis. Es genügt zu zeigen, dass Z einen Ring bilden, da dieser als Unterring von C klarerweise
kommutativ und nullteilerfrei ist.
Wir zeigen zunächst eine Hilfsüberlegung: Sei W eine endlich erzeugte abelsche Untergruppe von C
und ω ∈ C mit ωW ⊆ W , so ist ω ganz algebraisch. Angenommen γ1P
, . . . , γl sei eine Basis der (freien)
abelschen Gruppe W . Da nach Voraussetzung ωγi ∈ W , ist ωγi = lj=1 cij γj mit cij ∈ Z. Daher ist
P
0 = lj=1 (cij − δij ω)γj , wobei δij = 0 für i 6= j und δii = 1. Es folgt det(cij − δij ω) = 0. Schreibt man
diese Gleichung aus, so ist ω Nullstelle eines normierten Polynomes vom Grad l mit Koeffizienten in
Z und daher ganz algebraisch.
Seien jetzt ω1 und ω2 ganz algebraisch, also ω1n +a1 ω1n−1 +. . .+an = 0 und ω2m +b1 ω2m−1 +. . .+bm = 0
mit ai , bj ∈ Z. Sei W die von ω1i ω2j , 0 ≤ i < n, 0 ≤ j < m erzeugte abelsche Gruppe. Offensichtlich gilt
ω1 W ⊆ W, ω2 W ⊆ W . Daher ist auch (ω1 + ω2 )W ⊆ W und (ω1 ω2 )W ⊆ W . Mit der Hilfsüberlegung
sind daher ω1 + ω2 und ω1 ω2 ganz algebraisch.
//
3.3 Wir nennen einen Unterkörper K von C einen algebraischen Zahlkörper , falls [K : Q] < ∞.
Weiters nennen wir ZK = Z ∩ K = {x ∈ K; x ganz algebraisch} den Ganzheitsring (oder Ring der
ganzen Zahlen) in K.
3.4 Jedes Ideal A 6= {0} von ZK enthält eine Basis von K/Q.
Aus dem ersten Teil des Beweises wird folgen, dass K der Quotientenkörper von ZK ist, denn klarerweise ist der Quotientenkörper in K enthalten und andererseits lässt sich jedes α ∈ K als α = ω/b
mit ω ∈ ZK , b ∈ Z, b 6= 0 schreiben.
Beweis. Sei zunächst β ∈ K. Dann ist β algebraisch über Q mit Minimalpolynom a0 β n + a1 β n−1 +
so ist (a0 β)n + a1 (a0 β)n−1 +
. . . + an = 0 mit ai ∈ Z, a0 6= 0. Multiplizieren wir die Gleichung mit an−1
0
. . .+an an−1
= 0 mit ai ai−1
∈ Z für i = 1, . . . , n und wir sehen daher, dass a0 β ganz algebraisch ist. Sei
0
0
nun β1 , . . . , βn eine Basis von K über Q. Nach dem gerade bewiesenen gibt es b1 , . . . , bn ∈ Z, bi 6= 0
mit b1 β1 , . . . , bn βn ∈ ZK . Sei b := b1 · · · bn . So ist bβ1 , . . . , bβn ∈ ZK . Wählen wir nun ein beliebiges
α ∈ A, α 6= 0, dann ist bβ1 α, . . . , bβn α eine Basis von K über Q bestehend aus Elementen von A. //
3.5 Wir erinnern daran, dass für Ideale A, B eine Addition und Multiplikation definiert sind durch
A + B := {a + b; a ∈ A, b ∈ B} = hA ∪ Bi,
A · B := h{a · b; a ∈ A, b ∈ B}i,
wobei wir mit hSi für S ⊆ ZK (wie üblich) die kleinste (additive) Untergruppe von ZK verstehen, die
S umfasst. Es gelten dabei die folgenden Inklusionen {0} ⊆ A · B ⊆ A ∩ B ⊆ A, B ⊆ A + B ⊆ ZK .
Die Menge der Ideale bilden mit diesen Operationen einen kommutativen, nullteilerfreien Halbring
mit Nullelement {0} und Einselement ZK . Um es gleich vorwegzunehmen, dieser Halbring wird die
Rolle der natürlichen Zahlen übernehmen. Beachte, dass es im Fall K = Q, ZK = Z eine Bijektion
zwischen den Idealen und N gibt; wir müssen einem Ideal A nur das kleinstes positive Element 6= 0
8
(also den positiven Erzeuger) zuordnen. Unser erstes Hauptziel ist es zu zeigen, dass auch hier der
Fundamentalsatz gilt (es also eine eindeutige Primelementzerlegung gibt). Im Gegensatz zu Z sind die
Ideale A von ZK keine Hauptideale mehr; wir werden später sehen, dass sie aber zumindest endlich
erzeugt sind. Alle Unterschiede zur Situation in N kommen von dieser Tatsache. Auf den natürlichen
Zahlen hatten wir eine Ordnungsrelation, die hier durch die Relation “ist enthalten in” gegeben ist,
i.e. A ≥ B : ⇐⇒ A ⊆ B. Diese Relation ist nach wir vor eine Ordnungsrelation, welche bezüglich der
Operationen monoton ist, denn für alle Ideale A, B, C von ZK gilt A ⊆ B impliziert A + C ⊆ B + C
und A · C ⊆ B · C. Diese Ordnung ist aber keine Linearordnung mehr (mit dem Wissen, dass alle
Ideale endlich erzeugt sind, könnten wir wieder A ⊆ B ⇐⇒ ∃C : B = A+C definieren). Das grösste
Element bezüglich unserer Ordnung ist das Ideal {0} und das kleinste Element das Ideal ZK . Wie
wir ebenfalls später sehen werden, gilt auch das Prinzip des kleinsten Elementes (was wieder aus der
endlichen Erzeugtheit folgt!). Im folgenden verstehen wir unter einem Ideal stets ein nichttriviales
Ideal 6= {0} und 6= ZK .
3.6 Bevor wir fortfahren führen wir noch
Pnzwei wichtige Grössen ein. Sei α1 , . . . , αn eine Basis von
K/Q. Für jedes α ∈ K ist dann ααi P
= j=1 aij αj mit aij ∈ Q. Wir nennen det(aij ) die Norm von
α (in Zeichen N (α) = NK/Q (α)) und ni=1 aii die Spur von α (in Zeichen t(α) = tK/Q (α)). Wie man
leicht sieht, sind Spur und Norm wohldefiniert (also unabhängig von der Wahl der Basis) und es gilt
für alle α, β ∈ K, a ∈ Q:
N (αβ) = N (α)N (β), t(α + β) = t(α) + t(β), N (aβ) = an N (β), t(aβ) = at(β).
Für α 6= 0 weiters wegen N (α)N (α−1 ) = N (αα−1 ) = N (1) = 1 auch N (α−1 ) = N (α)−1 . Ausserdem
t(1) = n 6= 0. Da K/Q eine separable Erweiterung ist, gibt es n verschiedene Homomorphismen
σ1 , . . . , σn von K nach C. Die Elemente α(j) = σj (α), j = 1, . . . , n sind gerade die Konjugierten von
α und es gilt
t(α) = α(1) + . . . + α(n) , N (α) = α(1) · · · α(n) .
Sei f (X) = (X − α(1) ) · · · (X − α(n) ), dann ist f (X) ∈ Q[X] und −t(α) ist der Koeffizient bei
X n−1 , sowie (−1)n N (α) der Koeffizient bei X 0 . Für α1 , . . . , αn ∈ K definieren wir die Diskriminante
∆(α1 , . . . , αn ) := det(t(αi αj )).
Satz Die Elemente α1 , . . . , αn ∈ K sind genau dann eine Basis vonPK/Q, wenn ∆(α1 , . . . ,
3.7 :::::
αn ) 6= 0. Falls α1 , . . . , αn und β1 , . . . , βn Basen von K/Q sind und αi = nj=1 aij βj ist, dann gilt
∆(α1 , . . . , αn ) = det(aij )2 ∆(β1 , . . . , βn ).
Beweis.
Angenommen α1 , . . . , αn sind linear abhängig, d.h. es gibt a1 , . . . , an ∈ Q, nicht alle 0, mit
Pn
a
α
i=1 i i = 0. Multiplizieren wir diese Gleichung mit αj und nehmen die Spur, so erhalten wir
n
X
ai t(αi αj ) = 0,
j = 1, . . . , n.
i=1
Somit ist die Matrix (t(αi αj )) singulär und daher die Determinante gleich 0. Nehmen wir umgekehrt
an, dass α1 , . . . , αn eine Basis von K/Q mit ∆(α1 , . . . , αn ) = 0 ist. Dann betrachten wir das lineare
Gleichungssystem
n
X
xi t(αi αj ) = 0, j = 1, . . . , n,
i=1
P
welches eine nichttriviale Lösung xi = ai ∈ Q, i = 1, . . . , n besitzt. Mit α = ni=1 ai αi 6= 0 ist dann
t(ααj ) = 0 für j = 1, . . . , n, und da die αi eine Basis sind, folgt t(αβ) = 0 für alle β ∈ K. Dies ist
9
ein Widerspruch zu t(1) = n 6= 0.
Sei A = (t(αi αj )), B = (t(βj βl )) und C = (aij ). Durch Spurbildung in
n X
n
X
αi αk =
aij akl βj βl ,
j=1 l=1
t
ergibt sich die Matrixidentität A = C BC. Durch Bildung der Determinanten, unter Beachtung von
det C = det C t , erhalten wir die letzte Behauptung.
//
3.8 Falls α ∈ ZK , so sind N (α), t(α) ∈ Z; das sieht man so: α ist Nullstelle eines normierten Polynomes
mit ganzen Koeffizienten und dasselbe gilt daher für die Konjugierten. Somit sind N (α) und t(α) als
Summe bzw. Produkt von ganz algebraischen Elementen wieder ganz algebraisch. Andererseits liegen
sie (per definitionem) auch in Q und somit schliesslich in Z. Daher folgt, dass ∆(α1 , . . . , αn ) ∈ Z\{0}
für jede Basis α1 , . . . , αn ∈ ZK von K/Q gilt.
3.9 Satz
Sei A ein Ideal von ZK und α1 , . . . , αn ∈ A eine Basis von K/Q mit |∆(α1 , . . . , αn )| minimal,
:::::
dann ist A = Zα1 + Zα2 + . . . + Zαn , d.h. A ist eine freie abelsche Gruppe vom Rang n. Insbesondere
ist also tatsächlich jedes Ideal endlich erzeugt. Die im Satz beschriebene spezielle Basis für A wird
Ganzheitsbasis genannt. Es folgt, dass je zwei Ganzheitsbasen diesselbe Diskrimante besitzen. Diese
bezeichnen wir mit ∆(A). Die Diskrimante von ZK ist eine wichtige Grösse und wird die Diskrimante
des Zahlkörpers K/Q (in Zeichen δK = ∆(ZK )) genannt.
Beweis. Nach dem Prinzip des kleinsten Elementes für N gibt es eine Basis α1 , . . . , αn mit |∆(α1 , . . . , αn )|
minimal. Angenommen α ∈ A und α = c1 α1 + . . . + cn αn mit ci ∈ Q. Nehmen wir indirekt an, dass
ci ∈
/ Z für ein i und oBdA können wir i = 1 annehmen. Wir schreiben c1 = m + θ mit m ∈ Z und
0 < θ < 1. Sei β1 = α − mα1 , β2 = α2 , . . . , βn = αn . Dann ist β1 , . . . , βn ∈ A wieder eine Basis von
K/Q. Nach dem zweiten Teil von 3.7 folgt dann θ2 ∆(α1 , . . . , αn ) = ∆(β1 , . . . , βn ) ∈ Z, im Widerspruch zur Minimalität von |∆(α1 , . . . , αn )|. Daher sind alle ci ∈ Z und somit A = Zα1 +. . .+Zαn . //
3.10 Für jedes Ideal A von ZK gilt A ∩ Z 6= 0 und ZK /A ist endlich.
Beweis. Sei α ∈ A, α 6= 0. Dann gibt es ai ∈ Z mit αm + a1 αm−1 + . . . + am = 0. Wir können
am 6= 0 annehmen (sonst dividieren wir die Gleichung durch eine geeignete Potenz von α), somit gilt
0 6= am ∈ A ∩ Z.
Sei jetzt 0 6= a ∈ A∩Z. Wir betrachten den surjektiven Homomorphismus ZK /(a) → ZK /A, ω+(a) 7→
ω + A, wobei (a) = aZK . Es genügt P
also zu zeigen, dass ZK /(a) endlich ist. Sei ω1 , . . . , ωn eine
Ganzheitsbasis von ZK und sei S = { ni=1 ci ωiP
; 0 ≤ ci < a}. Wir zeigen, dass S ein vollständiges
Repräsentantensystem
von ZK /(a) ist. Sei ω = ni=1 mi ωi ∈ ZK und mi = qi a + ci mit 0 ≤ ci < a.
Pn
DannP
ist ω = i=1 cP
i ωi + (a). Jede Klasse von ZK /(a) enthält also mindestens ein Element von S.
n
Falls i=1 ci ωi und ni=1 c0i ωi in S und in derselben Nebenklasse modulo (a) liegen, so folgt aus der
linearen Unabhängigkeit der ωi , dass a|(ci − c0i ) in Z. Aus 0 ≤ ci , c0i < a, folgt dann aber ci = c0i .
Somit haben wir sogar gezeigt, dass |ZK /(a)| = an , woraus die Behauptung folgt.
//
3.11 Aus dem letzten Satz ergeben sich nun zwei wesentliche Folgerungen. Die erste Folgerung ist,
dass der Halbring der Ideale mit der Ordnungsrelation ≥ ein Prinzip des kleinsten Elementes besitzt.
a) Jede aufsteigende Kette von Idealen A1 ⊆ A2 ⊆ A3 ⊆ . . . bricht ab, d.h. es gibt ein N > 0 mit
Am = Am+1 für alle m ≥ N . Einen Ring mit dieser Eigenschaft nennt man einen Noetherschen Ring.
Tatsächlich ist 3.10 äquivalent dazu, dass jedes Ideal von ZK endlich erzeugt ist.
b) Jedes Primideal von ZK ist maximal.
10
Beweis. a) Da ZK /A1 endlich ist, können nur endlich viele Ideale A1 enthalten. Somit ist die Aussage gezeigt. b) Sei P ein Primideal von ZK . Dann ist ZK /P ein endlicher Integritätsbereich. Ein
solcher Ring ist aber notwendigerweise ein Körper (Übungsaufgabe). Da ZK /P ein Körper ist, ist P
maximal.
//
3.12 Aus 3.11 folgt also, dass ZK ein Dedekindscher Ring bildet, d.h. ein ganzabgeschlossener,
noetherscher Ring in dem jedes Primideal maximal ist. In einem Dedekindschen Ring gilt der Fundamentalsatz der höheren Arithmetik: Jedes Ideal A 6= {0} in ZK lässt sich eindeutig (bis auf die
Reihenfolge der Faktoren) als Produkt von endlich vielen Primidealen schreiben.
3.13 Mit ähnlichen Argumenten wie in §2 zeigt man: Die Einheitengruppe Z×
K des Ringes ZK ist
eine freie abelsche Gruppe vom Rang r + s − 1, wobei n = [K : Q] = r + 2s und r die Anzahl der
Einbettungen von K in R und 2s die Anzahl der Einbettungen von K in C (inklusive der konjugierten
Einbettung) bezeichnet. Diese Aussage nennt man den Dirichletschen Einheitensatz für ZK .
§4. Einführung in die Höhentheorie
Sei K ein Körper. Ein Absolutbetrag (oder Bewertung) auf K ist eine Abbildung
4.1 Bewertungen
:::::::::::::
+
| · | : K → R mit den Eigenschaften a) |a| = 0 ⇔ a = 0; b) |ab| = |a||b|; c) |a + b| ≤ |a| + |b|. Ein
Absolutbetrag heisst nicht-archimedisch (oder ultametrisch, endlich), falls sogar die ultrametrische
Dreiecksungleichung |a + b| ≤ max{|a|, |b|} gilt. Im folgenden betrachten wir nur nicht-triviale Bewertungen, d.h. es gilt nicht |x| = 1 für alle x ∈ K ∗ . Zwei Bewertungen heissen äquivalent, falls sie
diesselbe Topologie erzeugen; eine Äquivalenzklassen von Bewertungen heisst eine Stelle. Für nichtarchimedische | · | ist durch v(x) = − log |x|/ log c für jedes c > 1 eine Abbildung K → R ∪ {∞}
definiert (exponentielle Bewertung genannt), welche in 1:1 zu den Bewertungen steht. Wir schreiben
v oder | · |v und bezeichnen die Vervollständigung von K bzgl. v mit Kv .
Sei M eine Menge von Stellen von K, welche fast alle nicht-archimedisch sind;
4.2 Produktformel
:::::::::::::::
∞
wir schreiben M für die archimedischen und M 0 = M \M ∞ für die nicht-archimedischen Stellen in
M . Wir sagen K erfüllt bzgl. einer Normalisierung der Stellen in M die Produktformel, falls: a) für
jedes x ∈ K ∗ gilt |x|v 6= 1 für höchstens endlich viele v ∈ M ; b) für jedes v ∈ M gibt es ein λv > 0
mit
Y
|x|λv v = 1, ∀x ∈ K ∗ .
v∈M
a) Sei K = Q. Neben dem üblichen Absolutbetrag sind (bis auf Äquivalenz) die weiteren
4.3 Beispiele
:::::::::
Bewertungen gegeben durch die p-adischen Bewertungen. Die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung
zeigt, dass bzgl. diesen Stellen die Produktformel mit λv = 1 für alle v gilt.
b) Sei K = k(t) und k = k. Alle Bewertungen, welche auf k trivial sind, sind dann gegeben durch die
Punkte P von P1 (k) (nämlich durch die Verwschwindungsordnung
von f ∈ K bei P ). Die ProduktP
formel gilt mit λP = 1 für alle P und lautet P vP (f ) = 0 für alle f ∈ K ∗ (eine rationale Funktion
hat gleich viele Nullstellen wie Pole). Ist k nicht algebraisch-abgeschlossen, so sind die Stellen gegeben
durch die irreduziblen Polynome in k[t] zusammen mit der unendlichen Bewertung v∞ (f ) = − deg f
für f ∈ k[t]; nun gilt die Produktformel mit den Gewichten λp = deg p, λ∞ = 1.
c) Ist K der Funktionenkörper einer normalen projektiven Varietät, so gibt es i.A. verschiedene Produktformeln.
4.4 Sei M eine Stellenmenge von K, sodass bzgl. der Normalisierung (λv )v∈M die Produktformel gilt;
sei L ⊇ K eine endliche, separable Erweiterung vom Grad d. Sei ML = {w Stelle auf L, welche ein
11
v ∈ M = MK fortsetzt}. Wir setzen v zunächst zu einer Bewertung von Kv fort; für archimedisches
v ist dies nicht schwierig (denn Kv = R oder C), sondern Teil der komplexen Analysis, wir können
uns also auf nicht-archimedisches v beschränken. Dort lässt sich nachrechnen, dass durch
x 7→ |NKv /Kv (x)|v
eine (eindeutige!) Fortsetzung von v definiert ist. Für jedes ϕ ∈ HomK (L, Kv ) erhalten wir durch
Einschränkung von v auf ϕ(L) eine Bewertung |x|w = |ϕ(x)|v . Bzgl. w ist ϕ stetig und es gilt
Lw = LKv , denn LKv ⊆ Lw enthält Kv , L und ist selbst vollständig. w ist die Fortsetzung von v auf
1/d
Lw und es gilt |x|w = |NLw /Kv (x)|v w mit dem lokalen Grad dw = [Lw : Kv ]. Man kann zeigen, dass
Y
L ⊗K Kv ∼
Lw
=
w|v
gilt; daraus folgt d =
Y
P
w|v
|x|dww λv =
dw und NL/K (x) =
Y Y
v∈MK w|v
w∈ML
|x|dww λv =
Q
w|v
NLw /Kv (x). Nun gilt für x ∈ L∗ , dass
Y Y
|NLw /Kv (x)|λv v =
Y
|NL/K (x)|λv v = 1
v∈M
v∈MK w|v
wegen der Produktformel auf K.
4.5 Beispiele
a) Sei K ein algebraischer Zahlkörper; dann besteht MK aus: i) den unendlichen (ar:::::::::
chimedischen) Bewertungen, welche zu den Einbettungen von K in Q gehören bis auf komplexe
Konjugation (für jedes Paar konjugiert komplexer Einbettungen erhalten wir nur eine Stelle); ii)
den endlichen (ultrametrischen) Bewertungen, welche zu den Primidealen des Ganzheitsringes von
K gehören; beim Fortsetzen von Bewertungen kommt es also auf des Verzweigungsverhalten von
Primidealen an.
b) Sei L der Funktionenkörper einer vollständigen glatten Kurve C über einem Körper k. Die Inklusion K ⊆ L gibt eine nicht-konstante rationale Funktion ϕ : C → P1 . Die Stellen von L/K
korrespondieren dann zu den K-rationalen Punkten Q ∈ C(K).
4.6 Sei K ein Körper dessen Stellenmenge die Produktformel erfüllt; wir bezeichnen mit k · kv die
normalisierten Bewertungen. Für P = (x0 : x1 : . . . : xn ) ∈ Pn (K) ist die K-Höhe von P definiert
durch
Y
HK (P ) =
max{kx0 kv , . . . , kxn kv };
v∈MK
wir setzen hK (P ) = log HK (P ) und sprechen von der multiplikativen bzw. logarithmischen Höhe. Es
gilt: a) HK (P ) ist unabhängig von der Wahl der homogenen Koordinaten für P ; b) HK (P ) ≥ 1 für
alle P ∈ Pn (K); c) HL (P ) = HK (P )[L:K] für jede endliche Körpererweiterung L ⊇ K.
Beweis. a) folgt aus der Produktformel, b) ist klar, da wir Koordinaten von P so wählen können,
das eine Komponente 1 ist. Für c) beachte:
Y Y
Y Y
HL (P ) =
max{kx0 kw , . . . , kxn kw } =
max{|x0 |dvw λv , . . . , |xn |dvw λv }
v∈MK w|v
=
Y Y
v∈MK w|v
max{kx0 kv , . . . , kxn kv }
[Lw :Kv ]
= HK (P )[L:K] ,
v∈MK w|v
wobei wir 4.4 verwendet haben.
//
12
4.7 Absolute
Weil-Höhe auf Pn Die absolute Weil-Höhe auf Pn ist die Abbildung H : Pn (Q) → [1, ∞)
:::::::::::::::::::::::::::
mit H(P ) = HK (P )1/[K:Q] , wobei K ein Körper mit P ∈ Pn (K) ist; die absolute logarithmische WeilHöhe auf Pn ist h : Pn (Q) → [0, ∞) mit h(P ) = log H(P ). Wir schreiben auch H(x0 : . . . : xn ) =
H(x0 , . . . , xn ) = H(P ) mit P = (x0 : . . . : xn ) ∈ Pn . Für α ∈ Q definieren wir HK (α) = HK ((1 : α));
analog für hK , H, h.
Bemerkungen a) Zur Berechnung der Höhe genügt es den kleinsten Körper, nämlich Q(P ) =
4.8 ::::::::::::::
Q(x0 /xj , . . . , xn /xj ) für jedes j mit xj 6= 0, zu verwenden über dem P = (x0 : . . . : xn ) ∈ Pn (Q)
definiert ist; manchmal ist es praktisch einen grösseren Körper zu verwenden. Eine viel praktischere
Methode die Höhe zu berechnen besteht darin, die Jensensche Formel für das Mahlersche Mass zu
verwenden (siehe Übungen).
b) Beachte, dass es nicht möglich ist auf Q eine Produktformel zu definieren; wir haben aber nun
gesehen, dass es eine Höhe zum Mass der arithmetischen Grösse algebraischer Zahlen gibt.
Beispiel: Es gilt für x √
= (x0 √
: . . . : xn )√∈ Pn (Q)
√ mit x0 , . . . , xn ∈ Z teilerfremd, dass H(x) =
max{|x0 |, . . . , |xn |}; H( 2) = 2, H(3 + 2) = 7, H(exp(2πi/n)) = 1 für jedes n ≥ 1.
4.9 Eigenschaften der Höhe, z.B. die Aktion der Galoisgruppe GQ auf Pn (Q) lässt die Höhe invariant.
Beweis. Nach 4.4 ist klar, dass GQ transitiv auf den Stellen operiert. Somit
Y
Y
Hσ(K) (σ(P )) =
max{kσ(xi )kw } =
max{|σ(xi )|w }dw
w∈Mσ(K)
=
Y
w∈Mσ(K)
max{|σ(xi )|σ(v) }dσ(v) =
v∈MK
Y
v∈MK
Da [K : Q] = [σ(K) : Q] folgt die Aussage.
max{|xi |v }dv =
Y
max{kxi kv } = HK (P ).
v∈MK
//
4.10 Satz
von Liouville
:::::::::::::::::::
Satz:::::
von :::::::::::
Northcott Für alle B, d ≥ 0 ist die Menge {P ∈ Pn (Q); H(P ) ≤ B, [Q(P ) : Q] ≤ d}
4.11 :::::
endlich. Insbesondere gilt für jeden Zahlkörper K, dass die Menge {P ∈ Pn (K); HK (P ) ≤ B} endlich
ist.
Beweis. Sei P = (x0 : x1 : . . . : xn ). Es gilt H(P ) ≥ H(xi ) und Q(P ) ⊇ Q(xi ) für alle i = 0, . . . , n.
Es genügt also z.z., dass {x ∈ Q; H(x) ≤ B, [Q(x) : Q] = d} für alle d = 1, . . . , D endlich ist.
Für d = 1 ist die Aussage klar. Für allgemeines d bezeichnen wir mit x1 , . . . , xd die Konjugierten
von x und mit f = T d − s1 T d−1 + s2 T d−2 − + · · · ∈ Q[T ] das Minimalpolynom. Die Koeffizienten sind elementarsymmetrische Polynome in x1 , . . . , xd und lassen sich daher abschätzen durch
|sr |v ≤ c(v, r, d) max{|xi |v }r mit c(v, r, d) = dr ≤ 2d falls v archimedisch und c(v, r, d) = 1 sonst.
Q
Daher max{|si |v } ≤ c(v, d) di=1 max{|xi |v , 1}d mit c(v, d) = 2d falls v archimedisch und c(v, d) = 1
2
sonst. Es folgt H((s0 : . . . : sd )) ≤ 2d H(x1 )d · · · H(xd )d = 2d H(x)d , wobei wir 4.9 verwendet haben.
Somit gibt es (da d = 1 bereits erledigt ist) nur endlich viele in Frage kommenden Minimalpolynome,
die alle nur endlich viele Nullstellen haben.
//
4.12 :::::
Satz:::::
von :::::::::::
Kronecker Sei K ein Zahlkörper und P = (x0 : . . . : xn ) ∈ Pn (K). Fixiere ein i mit
xi 6= 0. Dann gilt H(P ) = 1 genau dann, wenn xj /xi eine Einheitswurzel oder gleich 0 ist für alle
0 ≤ j ≤ n.
13
Beweis. Wir können o.B.d.A. annehmen, dass P = (1 : x1 : . . . : xn ). Angenommen xi , i = 1, . . . , n
sind Einheitswurzeln, so gilt |xi |v = 1 für alle v und daher ist H(P ) = 1. Umgekehrt sei H(P ) = 1.
Betrachte P r = (xr0 : xr1 : . . . : xrn ) ∈ Pn (K). Aus der Definition der Höhe folgt: H(P r ) = H(P )r ,
womit auch P 2 , P 3 , . . . die Höhe 1 haben. Wegen 4.10 gibt es also s > r ≥ 1 mit P r = P s , woraus
xrj = xsj , j = 1, . . . , n folgt (beachte x0 = 1).
//
§5. Diophantische Gleichungen über Zahlkörpern
5.1 Satz
von Roth-Lang
:::::::::::::::::::::
5.2 S-ganze Zahlen
Beispiele
5.3 Eigenschaften von S-ganzen Zahlen
5.4 S-Einheiten
Beispiele
5.5 Bemerkungen
von Mahler (Thue-Gleichung über OS )
5.6 Satz
:::::::::::::::::
Beipiele
(S-Einheitengleichung x + y = 1)
5.7 Satz
:::::
Beispiele
5.8 Äquivalenz von 5.4 und 5.5
Literatur
1.
2.
3.
4.
5.
6.
U. Zannier, Lecture Notes on Diophantine Analysis, Birkhäuser, 2009
E. Bombieri and W. Gubler, Heights in Diophantine Geometry, NMM 4, Cambridge, 2006
M. Hindry and J.H. Silverman, Diophantine Geometry, GTM 201, Springer, 2000
S. Lang, Fundamentals of Diophantine Geometry, Springer, 1983
D. Lorenzini, An invitation to Arithmetic Geometry, AMS, 1996
J. Neukirch, Algebraische Zahlentheorie, Springer, 1992
14