Schülerzirkel Mathematik

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Prof. Dr. Johann Hartl
18. April 2012
Schülerzirkel Mathematik
Den Abstand zweier Punkte A, B bezeichnen wir kurz mit d(A, B).
Eine Bewegung b der Ebene E2 ist eine Abbildung
b : E2 → E2 , b : X 7→ b(X) =: X 0 ,
für die gilt: Für je zwei Punkte X, Y ∈ E2 gilt:
d(X 0 , Y 0 ) = d(X, Y ).
1. Kann sein, dass bei einer Bewegung b der Ebene E2 zwei verschiedene Punkte
P , Q ∈ E2 auf denselben Punkt abgebildet werden?
Ist jede Bewegung b : E2 → E2 injektiv?
2. Tritt bei einer Bewegung jeder Punkt X ∈ E2 als Bild auf?
Ist jede Bewegung b : E2 → E2 surjektiv?
Eine Abbildung, die sowohl injektiv als auch surjektiv ist, heißt bijektiv.
3. Seien A, B, C drei Punkte in E2 , die nicht auf einer Geraden liegen. Seien die
Bilder A0 , B 0 von A, B gegeben unter einer Bewegung b : E2 → E2 gegeben.
Wo kann C 0 liegen?
4. Was ist das Bild einer Geraden unter einer Bewegung? Warum?
Ist jede Bewegung b : E2 → E2 eine kollineare Abbildung oder kurz eine
Kollineation?
5. Was ist das Bild einer Strecke unter einer Bewegung? Warum?
6. Seien A, B, C, D vier verschiedene Punkte in E2 , von denen keine drei auf einer
Geraden liegen, und für die gilt: Die Punkte C und D liegen auf derselben Seite
der Geraden AB. Kann dann sein, dass C 0 und D0 auf verschiedenen Seiten
von A0 B 0 liegen? Begründung!
7. Seien A, B, C, D vier verschiedene Punkte in E2 , von denen keine drei auf
einer Geraden liegen, und für die gilt: Die Dreiecke 4ABC und 4ABD werden
entgegen dem Uhrzeigersinn durchlaufen.
a) Sei b : E2 → E2 eine Bewegung, so dass gilt: Das Dreieck 4A0 B 0 C 0 wird
entgegen dem Uhrzeigersinn durchlaufen. Was kann man über das Dreieck
4A0 B 0 D0 aussagen? Begründung!
b) Sei b : E2 → E2 eine Bewegung, so dass gilt: Das Dreieck 4A0 B 0 C 0 wird
im Uhrzeigersinn durchlaufen. Was kann man über das Dreieck 4A0 B 0 D0
aussagen? Begründung!
Werden bei einer Bewegung b : E2 → E2 alle Dreiecke 4ABC, die entgegen dem
Uhrzeigersinn durchlaufen werden, abgebildet auf Dreiecke A0 B 0 C 0 , die entgegen
dem Uhrzeigersinn durchlaufen werden, so heißt b orientierungserhaltend oder
gleichsinnig.
Werden bei einer Bewegung b : E2 → E2 alle Dreiecke 4ABC, die entgegen
dem Uhrzeigersinn durchlaufen werden, abgebildet auf Dreiecke A0 B 0 C 0 , die im
Uhrzeigersinn durchlaufen werden, so heißt b nicht orientierungserhaltend oder
gegensinnig.
Jede Bewegung b : E2 → E2 ist entweder gleichsinnig oder gegensinnig.
Gleichsinnige Bewegungen sind sicher die Parallelverschiebungen oder Translationen und die Drehungen um ein Drehzentrum oder einen Drehpol.
8. Ist b : E2 → E2 eine gleichsinnige Bewegung und M ∈ E2 ein Punkt mit
der Eigenschaft M 0 = M , so ist b eine Drehung mit dem Drehzentrum M .
(Sonderfall?)
9. Ist b : E2 → E2 eine gleichsinnige Bewegung aber keine Parallelverschiebung,
so ist b eine Drehung mit einem Drehzentrum M . Zeichne M ein, wenn zwei
verschiedene Punkte A, B und ihre Bildpunkte A0 , B 0 gegeben sind.
10. Ist eine Punktspiegelung b : E2 → E2 eine gleichsinnige oder eine gegensinnige Bewegung?
11. Ist eine Geradenspiegelung b : E2 → E2 an einer Geraden g ⊂ E2 eine
gleichsinnige oder eine gegensinnige Bewegung?
12. Seien b, c zwei Bewegungen, und sei d := c ◦ b diejenige Bewegung, die man
erhält, wenn man zuerst die Bewegung b und anschließend die Bewegung c
ausführt. Ist d gleichsinnig oder gegensinnig, wenn
a) b und c gleichsinnig sind,
b) b gleichsinnig und c gegensinnig ist,
c) b gegensinnig und c gleichsinnig ist,
d) b und c gegensinnig sind?
13. Welche Bewegung erhält man, wenn man zwei Geradenspiegelungen nacheinander ausführt? Genaue Kennzeichnung abhängig von den beiden Spiegelachsen g, h! (Fallunterscheidung!)
14. Welche Bewegung erhält man, wenn man zwei Drehungen nacheinander
ausführt? Genaue Kennzeichnung abhängig von den beiden Drehzentren und
den Drehwinkeln! (Fallunterscheidung!)