Zusatz - Universität Münster

Westfälische Wilhelms-Universität Münster
Mathematisches Institut
Übungen zur Vorlesung
Elementare Geometrie
Sommersemester 2010
Anmerkungen zu Blatt 4, Aufgabe 2
vom 26. April 2010
apl. Prof. Dr. Lutz Hille
Dr. Karin Halupczok
erstellt von F. Springer
Satz 1 (Ähnlichkeitssatz SsW): Es seien zwei Dreiecke 4ABC und 4A0 B 0 C 0 gegeben.
Weiter sei a = |BC|, b = |AC|, c = |AB|, a0 = |B 0 C 0 |, b0 = |A0 C 0 |, c0 = |A0 B 0 | und α =
^CAB, α0 = ^C 0 A0 B 0 .
Behauptung: Die Dreiecke 4ABC und 4A0 B 0 C 0 sind ähnlich, falls
α = α0 ,
c<a
und
c0
c
= 0
a
a
gilt.
Folgende Umkehrungen des Satzes sind im Allgemeinen falsch:
Behauptung 1: Die Dreiecke 4ABC und 4A0 B 0 C 0 sind ähnlich, falls
α = α0 ,
c>a
und
c
c0
= 0
a
a
gilt.
Behauptung 2: Es gibt zwei nicht-ähnliche Dreiecke 4ABC und 4A0 B 0 C 0 mit
0
α=α,
wobei die Werte für α und
c
a
c>a
und
c0
c
= 0,
a
a
fest vorgegeben seien.
Gegenbeispiel für Behauptung 1: Die Dreiecke 4ABC und 4A0 B 0 C 0 , die durch die
Koordinaten
A = (0, 0),
A0 = (0, 0),
B = (2, 2),
B 0 = (2, 2),
C = (1, 0),
C 0 = (3, 0),
B = B0
A = A0
C
gegeben sind, sind nicht ähnlich.
1
C0
Gegenbeispiel für Behauptung 2: Folgende Daten bestimmen ein Dreieck eindeutig
bis auf Ähnlichkeitstransformation:
c √
π
= 3,
α= ,
(c > a).
6
a
C
a
A
α
c
B
Zusatz zur Lösung zu Aufgabe 2a): Möchte man den Beweis der Umkehrbarkeit des
ersten Strahlensatzes durch einen Widerspruchsbeweis führen, so muss man in zweierlei
Hinsicht aufpassen.
Wir verwenden die Voraussetzungen der Aufgabenstellung und nehmen an, dass wir eine
Situation gefunden haben, in der P1 P2 ∦ Q1 Q2 gilt.
←−−→
Konstruieren wir die Parallele zu Q1 Q2 durch den Punkt P1 , so muss zunächst gezeigt
−−→ −−→
werden, dass diese auch den Strahl SQ2 = SP2 (nicht zu verwechseln mit dem Vektor) und
nicht den entgegengesetzten Strahl schneidet. Dies funktioniert mittels eines Konvexitätsarguments. Den Schnittpunkt nennen wir P3 . Erst dann kann man aus |SP2 | = |SP3 | auch
−−→
P2 = P3 folgern, da es auf der Geraden SQ2 zwei Punkte x, y mit |Sx| = |Sy| = |SP2 |
gibt.
Zusatz zur Lösung zu Aufgabe 2b): Gibt man für die Seitenverhältnisse |SP1 | :
|SQ1 | = |P1 P2 | : |Q1 Q2 | keinen festen Wert an und wählt auch für α keinen festen
Wert, so reicht dies nicht zu Lösung der Aufgabe, da man damit keine konkrete Situation erhält, in der man ein Gegenbeispiel gegeben hat. Auch die Angabe Seitenlängen für
|SP1 |, |SQ1 |, |P1 P2 |, |Q1 Q2 | genügen nicht, da in Abhängigkeit von α (als Winkel bei S)
noch immer der Fall eintreten kann, dass P1 P2 k Q1 Q2 zwingend gelten muss.
Daher reicht es auch nicht zu sagen, dass im Fall dass α fest vorgegeben ist und die
übrigen Seitenlängen gegeben sind und die obigen Bedingungen erfüllt sind im Falle,
dass |P1 P2 | < |SP1 | zwei nicht-ähnliche Dreiecke 4SP1 P2 und 4SQ1 Q2 existieren. Dies
entspricht Behauptung 2.
Es gilt daher immer zu beweisen, dass die Konstruktion eines Gegenbeispiels bei der
Widerlegung einer Aussage eindeutig ist und die zu widerlegende Aussage nicht mehr
eintreffen kann. (Achtung: In aller Regel gibt es Spezialfälle, in denen eine solche Aussage
immer noch stimmt!)
Andererseits muss auch bewiesen werden, dass das konstruierte Gegenbeispiel tatsächlich
existiert. (Beispielsweise gibt es kein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen 1, 2 und
3.) Am sinnvollsten ist daher meistens, sich zeichnerisch ein Gegenbeispiel zu überlegen
und die Punkte so zu manipulieren, dass man ihre Koordinaten problemlos (am besten
ganzzahlig) angeben kann.
2