Wozu braucht man den Sinus — oder gar Wavelets

Wozu braucht man den Sinus
— oder gar Wavelets —
in der Nachrichtentechnik?
Alexander Stoffel
Institut für Nachrichtentechnik
Fakultät für Informations-, Medien- und Elektrotechnik
Fachhochschule Köln
24. Mai 2013
1
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
3
2 Der Sinus als Baustein
8
3 Anwendung: Datenkompression
15
4 Anwendung: Entrauschen
17
5 Technische Einzelheiten
19
6 Ausblick
21
2
1
Einleitung
Beispiel für ein Tonsignal: Vokal u“
”
3
Einfacheres Signal:
Projektion einer Kreisbewegung auf eine Gerade:
4
Projektion einer Kreisbewegung auf eine Gerade, Ergebnis:
5
Neben dem Sinus braucht man auch seinen Kollegen:
6
Fortsetzung der Kreisbewegung liefert:
7
2
Der Sinus als Baustein
Veränderung der Amplitude, rot: f (x) = 12 sin(x),
blau: f (x) = 2 sin(x), schwarz: f (x) = sin(x))
8
Veränderung der Frequenz
1
T
(T die Periode):
f (x) = sin(2x) (rot, Frequenz verdoppelt),
zum Vergleich f (x) = sin(x) (blau)
9
Frequenz verdreifacht (Periode auf ein Drittel verkleinert):
f (x) = sin(3x) (rot),
zum Vergleich f (x) = sin(x) (blau)
10
Beispiel mit Sinus-Bausteinen:
f (x) = sin(x) −
11
1
sin(2x)
2
f (x) =
1
1
1
sin(x) − sin(2x) + sin(3x) − sin(4x)
2
3
4
1
1
1
+ sin(5x) − sin(6x) + sin(7x)
5
6
7
1
1
1
sin(10x)
− sin(8x) + sin(9x) −
8
9
10
12
Skalierung der Argumente, um periodische Funktionen der Periode
T 6= 2π zu erreichen:
2π
2π
t = f (t + T ) = sin
(t + T )
f (t) = sin
T
T
ist periodisch mit Periode T . Abkürzung: ω = 2π
T . f (t) = sin(2ωt) hat
dann die Periode T2 .
Jede vernünftige“ periodische Funktion kann näherungsweise durch
”
einen Bauplan“ der folgenden Art dargestellt werden:
”
f (t) ≈ c0 + a1 cos(ωt) + b1 sin(ωt)
+a2 cos(2ωt) + b2 sin(2ωt)
+a3 cos(3ωt) + b3 sin(3ωt)
+...
+an cos(nωt) + bn sin(nωt)
13
Die Zahlen c0 , a1 , a2 , a3 ,. . . an und b1 , b2 , b3 ,. . . bn können aus den
Funktionswerten berechnet werden:
c0
=
1
T
ZT
f (t)dt
0
ak
=
2
T
ZT
f (t) cos(kωt)dt
k = 1, 2, 3, 4, . . . n
f (t) sin(kωt)dt
k = 1, 2, 3, 4, . . . n
0
bk
=
2
T
ZT
0
14
3
Anwendung: Datenkompression
Tonsignal, eine Periode, Wertetabelle von 152 Werten (ω =
15
2π
152 ):
angenähert durch Bauplan“ mit 14 Zahlenwerten:
”
f (x) = 3 + 18 cos(ωx) + 58 sin(ωx) − 12 cos(2ωx) + 23 sin(2ωx)
−12 cos(3ωx) − 7 sin(3ωx) + cos(4ωx) + 6 sin(4ωx)
+2 cos(5ωx) − 2 sin(5ωx) − cos(6ωx) + sin(6ωx) − cos(8ωx)
16
4
Anwendung: Entrauschen
verrauschtes Tonsignal
17
entrauscht durch abgeschnittenen Bauplan“
”
f (x) = 3 + 18 cos(ωx) + 60 sin(ωx) − 12 cos(2ωx) + 22 sin(2ωx) − 14 cos(3ωx)
−6 sin(3ωx) + cos(4ωx) + 5 sin(4ωx) − cos(5ωx) − cos(6ωx)
+ sin(6ωx) + cos(7ωx) + sin(7ωx) − cos(8ωx) − sin(8ωx)
18
5
Technische Einzelheiten
Vorfaktoren vor dem Cosinus (ak , links, blau)
und vor dem Sinus (bk , rechts, rot) des ursprünglichen Signals:
19
dasselbe für das verrauschte Signal
20
6
Ausblick
andere Funktionen als Bausteine“
”
(statt f (x) = sin x und f (x) = cos x): Wavelets
21
Man benutzt skalierte und verschobene Versionen:
22
Anwendungen: Datenkompression, Entrauschen, . . .
links: Testbild Lena“ (Original), rechts: Rekonstruktion nach
”
Kompression (Rate 1:64) mit dem Binlet“
”
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links: Kompression (Rate 1:64) mit dem FBI-Wavelet,
rechts: Kompression mit JPEG (Rate etwa 1:64)
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