Blatt2

Übungen zur Thermodynamik und Statistik
Theoretische Physik IV im SS 2007 — Dr. M. Kastner
Blatt 2
Abgabe: 30. April 2007
bis 14 Uhr vor Zimmer 01.504
Aufgabe 4: Charakteristische Funktion
2 Punkte
Die charakteristische Funktion P̃X einer Zufallsvariablen X ist definiert als die Fourier- Transformierte der Wahrscheinlichkeitsdichte von X, also
Z
P̃X (k) = heikX i =
dx eikx PX (x).
R
P∞ (ik)n n
sei: hX n i < ∞
a) Zeigen Sie, daß gilt P̃X (k) =
n=0 n! hX i, wobei vorausgesetzt
R
∀ n ∈ 0 . Geben Sie an, wie man jedes beliebige Moment hX n i = R dx xn PX (x) der
Wahrscheinlichkeitsdichte PX aus der charakteristischen Funktion erhalten kann.
N
b) Für die Wahrscheinlichkeitsdichte der Summe zweier unabhängiger Zufallsvariablen X
und Y mit Wahrscheinlichkeitsdichten PX und PY gilt
Z
dx PX (x)PY (z − x).
PX+Y (z) = hδ(z − X − Y )i =
R
Zeigen Sie, daß für die charakteristische Funktion gilt: P̃X+Y (k) = P̃X (k)P̃Y (k).
c) Berechnen Sie die charakteristische Funktion der Binomialverteilung aus Aufgabe 3 und
daraus die ersten beiden Momente der Verteilung.
Aufgabe 5: Random Walk in einer Dimension
schriftlich, 4 Punkte
Zwei Betrunkene bewegen sich unabhängig voneinander jeweils längs einer Linie nach Hause.
Die einzelnen Schritte der beiden Betrunkenen seien jeweils durch eine Folge unabhängiger,
identisch verteilter Zufallsvariablen (Xi )i∈N bzw. (Yi )i∈N gegeben. Die Wahrscheinlichkeitsdichten für ihre Schrittlängen xi bzw. yi unterscheiden sich und werden durch die Normalverteilung PXi sowie die Cauchy-Lorentz-Verteilung PYi beschrieben:
(xi − µ)2
a
1
1
exp −
, a > 0.
, und
PYi (yi ) =
PXi (xi ) = √
2
2
2σ
π a + (yi − η)2
2πσ 2
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichten PSx bzw. PSy der beiden Zufallsvariablen
P
PN
Sx = N
i=1 Xi bzw. Sy =
i=1 Yi .
R∞
(Tip zur Berechnung von P̃Yi : z −1 = 0 dk e−kz , ∀ z ∈ , Re[z] > 0)
C
b) Wie groß ist die mittlere Entfernung hSx i, hSy i vom Ursprung nach dem N -ten Schritt?
c) Geben Sie die Varianzen von Sx und Sy an, sofern diese existieren.
Aufgabe 6: Zentraler Grenzwertsatz – Konvergenz der Momente
Es seien Xi unabhängige, reelle Zufallsvariablen, die im Wertebereich − 12 ≤ Xi ≤
verteilt sind (und außerhalb dieses Intervalls Wahrscheinlichkeit Null haben).
4 Punkte
1
2
gleich-
a) Berechnen Sie die ersten vier Momente der Zufallsvariablen
SN
N
1 X
=√
Xi .
N i=1
R
normalverteilten Zufallsvariablen
b) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte einer auf
G an, welche die gleichen 1. und 2. Momente wie SN besitzt.
c) Wie groß ist die Differenz der 4. Momente von G und SN in Abhängigkeit von N ?
Um wieviel Prozent weichen Sie für N = 4 voneinander ab?
d) Konvergiert die Verteilung PSy aus Aufgabe 5 für N → ∞ gegen die Normalverteilung?
e) Wenn Sie unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen (mit endlicher Varianz) addieren, konvergiert die Summe gegen die Normalverteilung. Welche Verteilung erhalten
Sie, wenn Sie die Zufallsvariablen (mit positivem Wertebereich) multiplizieren?